关于在等高线图上计算矿藏储量与破地面积的问题.doc

关于在等高线图上计算矿藏储量与坡地面积的问题 1 引言 2 矿藏储量计算 3 坡地面积计算 1 引言 感谢我国的地理、矿冶与地质工作者们，他们向我们介绍了不少计算矿藏储量与计算坡地面积的实用方法，使我们能学习到这些方法，从而进行了一些研究.作者试图在本文中对这些方法进行比较，阐明它们相互之间的关系，与这些方法的偏差情况，并提出若干建议. 关于分层计算矿藏储量方面，在矿体几何学上见[2]～[4]有Бауман公式，截锥公式与梯形公式.设用它们算出来的矿藏体积分别为υ，υ1与υ2.本文证明了它们满足不等式 υ≤υ1≤υ2， 并且完全确定了取等号的情况.关于这三个公式的比较问题，作者认为主要应从量纲来看，因此我们认为Бауман公式的局限性较少. 本文提供了一个双层合算矿藏储量的公式，这个公式的获得首先在于我们找到了Бауман公式的一个新证明.这个证明既简单，而又易于进一步改进.它的优点在于比Бауман公式麻烦得并不很多，但比Бауман公式多考虑了一些因素，同时也比Cоболевский公式即通常的双层合算矿藏储量的公式，见[2]～[4]多考虑了一些因素.我们推荐它供我国矿藏储量计算工作者参考或试用. 关于坡地面积的计算方面，在地理学上常用Волков方法见[5]～[6]；在矿体几何学上，则常用Бауман方法见[1]～[2].本文指出，Бауман方法比Волков方法精密，但用这两个方法算出的结果常比真正的结果偏低.本文完全定出了能够用这两个方法来无限精密地计算其面积的曲面及指出这两个方法的偏差情况.详言之，偏差依赖于曲面上点的倾角的变化.只有当整个曲面上各点的倾角都相差不大时，Волков方法才能得到精确结果，而只有当曲面在相邻两等高线间的点的倾角的变化不大时，Бауман方法才能给出精密的结果，然而在其他情况下，用这两个方法的误差就可能比较大了，因此我们建议在等高线图上通过制高点引进若干条放射线，当曲面与直纹面相近时，可以分别求出相邻两条放射线间的表面积，然后总加起来.如果相邻两条等高线间与相邻两条放射线间，曲面的倾角的变化都比较大时，可以分别算出由放射线及等高线所织成的每一小块的表面积，然后总加起来.这样算出的结果，偏差就比较小了. 2 矿藏储量计算 1.Бауман方法 假定有一张矿藏的等高线图，高程差是h，地图上所表示的一圈，实际上便是一定高程的矿体的截面积.我们来估计两张这样的平面之间的矿藏的体积.这两张平面之间的距离便是高程差h.我们以A，B各表示下、上两个等高线圈所包围的截面见图1，它们的面积亦记为A，B.Бауман建议用 来估算这两个高程间的一片的体积υ，此处TA，B是用以下方法所画出的图形的面积，称它为Бауман改正数. 如图 2中，从制高点O出发，作放射线OP，这放射线在地图上A，B之间的长度是l.另作图3，取一点O′，与OP同方向取O′P′l.当P延着A的周界走一圈时，P′也得一图形，这图形的面积就称为Бауман改正数.因为它依赖于两截面A与B，所以我们用TA，B来表示它. 把算出来的矿体体积一片一片地加起来，就得到矿藏的体积V.换言之，设矿体的等高线图的n1条等高线所围成的面积依次为S0 ，S1，，Sn，则矿体的体积V由下式来近似计算 此处h为高程差图4. 定理 ①Бауман已知物体的下底A与上底B 其面积亦记为A，B均为平面，且A平行于B，h为它们之间的高，O为B上一点，若用任意通过O而垂直于B的平面来截物体，所得的截面都是四边形，则物体的体积υ恰如1式所示. 证 以O为中心，引进极坐标见图 5.命高度为z的等高线的极坐标方程为 ρρz，θO≤θ≤2π， 其中，ρz，Oρz，2π.今后我们常假定ρz，θO≤θ≤2π，O≤z≤h是连续的，我们不妨假定A，B的高程各为O及h.并且记 ρ1θρO，θ，ρ2θρh，θ. 由假定可知 因此物体的体积为，． 定理证完. 2.Бауман公式，截锥公式与梯形公式的关系 假定物体的下底A与上底B均为平面，且A平行于B，h为它们之间的高，O为B上一点，除Бауман公式外，常用下面两公式来近似计算物体的体积 式4. 定理1 不等式 υ≤υ1≤υ2 5 恒成立，当且仅当物体为截锥，且此锥体的顶点至底面A的垂线通过点O时，υυ1，当且仅当 AB时，υ1υ2. 证 如Бауман定理中的假定.由Бауман公式及Буняков-cкий-Schwarz不等式可知 当且仅当ρ1θcρ2θ0≤θ≤2π，c为常数时，即当这物体为一截头锥体，而此锥体的顶点至底面A的垂线通过点O时，才会取等号图6. 又由于 所以，υ1≤υ2 当且仅当AB时取等值，定理证完. 关于这三个公式的比较问题，我们认为主要应该从量纲来看，面的量纲为2.所以把面的量纲考虑为 1所得出的公式，局限性往往是比较大的. 梯形公式是把中间截面看成上底与下底的算术平均而得到的，所以把面的量纲当作1. Бауман公式则是将中间截面作为量纲2来考虑的.详言之它假定了ρz，θ，为ρ0，θ，与ρh，θ关于z的线性_到的见1. 截锥公式亦是将中间截面的量纲考虑为2.但比Бауман公式还多假定了ρ0，θcρh，θ0≤θ≤2π，此处c为一常数. 因此我们认为Бауман公式更具有普遍性，所以用它来近似计算物体的体积，一般说来，应该比较精确，但这并不排斥对于某些个别物体，用其他两个公式更恰当些的可能性.例如有一梯形，其上底与下底的宽度相等如图7所示.用梯形公式反而能获得它的真正体积，而用Бауман公式与截锥公式来计算，结果就偏低了.不过，我们注意此时这梯形的截面的量纲为1由于沿y轴未变. 相对于Бауман公式，我们还可以估计用梯形公式与截锥公的相对偏差. 对于Бауман公式算出的结果的相对偏差为_ 因为TA，B≤A-B 即 此不等式显然成立，所以 3.建议一个计算矿藏储量的公式 Бауман公式是假定ρz，θ为ρ0，θ与ρh，θ关于z的线性关系而得到的.如果我们将两相邻分层放在一起估计，即已知相邻三等高线ρ0，θ，ρh，θ与ρ2h，θ.我们用通过ρ0，θ，ρh，θ与ρ2h，θ的抛物线所形成的曲面ρρz，θ来逼近矿体这两分层的表面，因此我们建议用如下的计算方法. 命A，B，C分别表示连续三等高线所围成的截面面积亦记为A，B，C，A与B及B与C之间的距离都是h，则这两片在一起的体积可用以下公式来近似计算 2TB，C-TA，C.6 如果不计6式中的第二项，就是熟知的Соболевский公式.把二片二片的体积总加起来，就得到矿藏的总体积V的近似公式. 换言之，设矿藏的等高线图的2n1条等高线所围成的面积依次为S0 ，S1，，S2n，而高程差为h，则矿藏的体积V由下式来近似 计算 注意如果等高线图含有偶数条等高线，则最上面一片可以单独估计，其余的用公式7. 定理2 已知物体的上底C与下底A均为平面，B为中间截面面积亦分别记为C，A，B，且A，C都与B平行，A与B之间及B与C间的距离都是h，O为C上一点图8.若用任意通过O而垂直于C的平面截物体，所得的截面的周界均由两条直线及两条抛物线所构成，则物体的体积υ3恰如6式所示. 证以O为中心，引进极坐标，命高度为z的等高线的极坐标方程为 ρρz，θO≤θ≤2π，ρz，Oρz，2π. 不妨假定A，B，C的高程分别为0，h，2h，并且记 ρ1θρO，θ，ρ2θρh，θ，ρ3θρ2h，θ 由假定可知 因此物体的体积υ3为 定理证完. 3 坡地面积计算 4.Бауман方法及Волков方法 现在先介绍矿学家及地理学家所常用的方法，假定地图上以△h为高程差画出等高线，今后我们常假定有一制高点，及等高线成圈的情况来讨论其他情况也可以十分容易地被推出来. 我们假定由制高点出发，向外一圈一圈地画出等高线ln-1，ln-1，，l0图9.记l0的高度为0，而制高点用ln表之，它的高度是hli与li1之间的面积用Bi；表示即投影的面积. Ⅰ.矿体几何学上常用的方法的步骤如下 Ⅱ.地理学上常用的方法的步骤如下 这两个方法哪一个更好一些这些方法给出的结果在怎样的程度上迫近斜面积换句话说，当等高线的分布趋向无限精密时也就是△h→0时，这些方法所给出的结果是什么是否就是真正的斜面积呢一般说来，答案是否定的，仅仅是一些十分特殊的曲面，答案才是肯定的.我们将在下面定出这些曲面，并将给出这些方法和实际结果的相差比例，同时指出避免较大偏差的计算步骤. 5.Бa，B0与S的关系 以制高点ln为中心O，引进极坐标.命高度为z的等高线方程为 ρρz，θ0≤θ≤2π， 所以由中值公式可知 由Бауман方法所得出的结果是 趋近于 这便是用Бауман方法算出的斜面积，当△h→0时所趋向的数值. 注意ρh，θ0及△hl的极限应当等于 因此用Волков方法算出的斜面积，当△h→0时，所趋向的数值为 由于 所以斜面的面积S为 为了比较Бa，B0与S，我们引进一个复值函数 则得 因此显然有不等式 B0≤Бa≤S. 16 由此可见iБауман方法比Волков方法精密；ii所求出的结果比真正的结果偏低一些；iiiБауман方法既然偏低，因此可以作如下的修改，即取Cili△h.这样既简化了算法而又增大了数值. 现在来考虑B0S及БaS的曲面，先讲下面的引理 引理 若fx为区间[a，b]中的复值函数，此处a，b均为实数，则等式 成立的必要且充分的条件是fx的虚实部分之比为常数. 证 命fxeiθx，ρx≥0，而θx是实函数.显然如果θx为与x无关的常数，则17成立.反之，由于 因而若17成立，则必 cosθx-θy≡1， 即θx≡θy.此即引理所需. 易知对于多重积分，引理依然成立. 由引理可知 成立的必要且充分的条件为fz，θ的虚实部分之比是常数c，则得偏微分方程 换言之，仅有适合这偏微分方程的函数ρρz，θ，Волков才能给出正确答案.这当然要适合以下的条件ρh，θ0这是制高点及ρ0，θρ0θ这是曲面的底盘方程. 我们并不解这偏微分方程，而从它的几何意义入手，把θ与z看成参变数，即 xρcosθ，yρsinθ，zz， 而ρ是θ与z的函数，由 得知在曲面上的点θ，z的法线方向是 由18可知它与z轴的交角a即点θ，z的倾角的余弦等于 是一常数.也就是说，这曲面的切平面与地平面即xy平面成一固定角度a.我们来说明这样的曲面的几何性质. 从制高点向xy平面作任一垂直平面，这平面与该曲面的交线有次之性质.这曲线上每一点的切线与xy平面的交角为a.因此，它是一条直线. 从任一平面封闭曲线l0作底盘，以任一投影在盘内的点ln作制高点.通过制高点与底盘垂直的直线称为轴.通过l0上任一点A作一直线，它在A与轴所成的平面上，与底盘的交角是a.这样直线所成的图形便是适合B0S的图形. 所以，如果有最高峰，而且向下看没有陡峭的角度，则仅有以下的曲面才能B0S.底盘是圆或圆的若干切线形成的多角形或一些圆弧及一些切线所形成的图形，轴的尖端在通过圆心而垂直于底盘的直线上见图10. 通俗些说，只有蒙古包，金字塔和一些由此复合出来的图形，才能由Волков方法来无限逼近. 但什么时候БaS呢当然B0S的时候БaS除掉上面所求的曲面，还有其他曲面否等等.有证明如下，从 因为积分号下的函数是非负的.因此对任一z常有 因此当固定z时.fz，θ的虚实部分之比是常数，即方程18中的c是仅为z的函数.所以仅有下面的曲面才能БaS.高程相同之处，曲面有相同的倾角.用通俗的话说，只有葫芦，白塔北海，才能由Бауман方法来无限逼近. 现在我们来估计一下这两个方法给出的结果的偏差情况.假定曲面上点的倾角的余弦介于两正常数ξ与η之间，即 ξ≤cosα≤η， 因而 又因为1＞η≥ξ＞0，所以 将两端平方，此式即η2-ξ21-η2≥0即得 总而言之，我们证明了下面的定理. 定理3 若曲面ρρz，θ0≤z≤h，0≤θ≤2π上任一点的倾角α的余弦都满足0＜ξ≤cosα≤η，则不等式 成立.B0S的充要条件是曲面的任意点都有相同的倾角，БaS的充要条件是曲面在高程相等处的点有相同的倾角. 6.算法建议 由定理3可以看出只有当曲面上的点的倾角变化不大时，Воков方法才能得到精确结果，而只有当曲面在相邻两高程间的点的倾角相差不大时，Бауман方法才能给出精密的结果，然而在其他情况下，用这种方法的误差就可能比较大了. 因此我们建议如下的算法在等高线图上图11，通过制高点ln 线θj，θj1与等高线lj，lj1所围成的面积记为dij；li被θj，θj1所截取的一段的长度记之为lij. 方法Ⅱ.a.eijlij△h中间隔板在两直立墙壁之间的面积； 与上段相同的方法可知 及 分别为当n→∞，m→∞时，σ1与σ2所趋近的数关于fz，θ的定义请参看12式. 显然B0≤K≤S见10，同上段的方法可知KS的充要条件为曲面为直纹面.由于σ2趋于真面积，所以方法Ⅱ最为精密可靠.