储量计算中平行断面法公式的使用条件.pdf

储计算中平行断面法公式的使用条件 河南省冶金设计院 衷崎 前言 当前 , 我国在储量计算中使用最广泛的是平行 断面法 , 而此法中使用较多的公式是梯形公式和截 锥公式 。 这两个公式的使用条件 , 基本匕遵循的是 一 , 时使用截锥公式 , 、 为块体两底面面积 , 反之使用梯形公式 。 笔者认 为 , 以面积大小作为公式的使用条件 , 在理论上是 缺乏根据的 , 在实际使用中也出现很多弊病 。 首先 , 给人造成一种错觉 , 以为块体两底面彩咖相对差别 大时 , 使用截锥公式较准确两底面积差别小时 , 使用梯形公式较准确而以作为界限 , 其产生 的误差在实际计算中是可以接受的 。 其次 , 按此规 定使用这两个公式时产生的误差并不算小 , 特别是 当 ,一 而使用截锥公式日水 鞍钢 矿山建设公司葛恩恕同志对 ‘ 分块求积 ’ 问题产生 的误差已有论述 ’‘。 其三 , 如果从增加地质储量 的可靠性 , 在地质报告中使计算储量偏小一些使用 截锥公式 , 还说得过去 , 但在生产中三级矿量等的 计算就需要准确度高些 , 使用误差太大的公式就不 合适了 。 错在哪里 以面积大小作为公式的使用条件错在哪里卿 我们先从公式的来源谈起 。 截锥公式 , 是根据锥体被平行于底面的平面截 去上部后 , 由锥体公式推导来的 〔图 。 截锥公 式为 万 招飞 了万 为截锥体体机为截锥体的高 、 , 为截锥体上 、 下底面机 图 梯形公式怎样得来的咖我们先看一个简单情 况 , 如图所示 。 这是一个高为 , 底面为矩形的 楔形 , 矩形边长为 、 。 与矩形平行的一条棱与 三 角形的侧面垂直 , 且棱长为 。 那么 , 若把三角 形侧面当成底面 , 这个楔形则是一个直三棱柱 , 其 体积犷 二 为矩形面柳 。 用平行于矩形的平面截此楔形 , 设截得的面积为 , 截去上部后剩下部分的高为 , 则剩下部分 的体积犷 , 也就是梯形公式 。 二万二 供二 多 一子 仕一 ‘ 几丰军石 一一 名 ,’ “ 且 现在 , 我们给出更一般的楔形图 。约定底 面周边上两点间的最大距离为 , 并为底面的长帆 若用与长轴垂直的平面截这楔形 , 则得到的截面均 为高等于的三角形 。 若楔形的底面积为 , 我们 用积手洲均方法不难证明 , 其体积犷 二 。 同样地用与底面距离为 , 并平行于底面的平面截 此楔形‘截面面积仍为 , 截去后剩下部分的体积 , 也就是梯形公丸此截楔体 的特点是两底面的一对对应轴长度不变 , 与这对对 应轴垂直的方向上的长度在变小 。 如果将图的楔形 , 用与底面斜交的平面截去 如图所示之虚线部分 , 剩下的部分叫做似楔体 再用平行底面的平面截之 , 则剩下的似截楔体体积 八介 , 且 似 犷 。 我们研究介与味就 可以了 。 可能有人会说 , 用这两个公式计算误差不会太 下面分析一下它仁比间的误差 。 因厂 一户 二 丸 令 △犷 噪 一, 二 万仁 一 了〕 这一函数的曲线如图所示 。 饭 四 尹尹尹 丫 丫 一 一 压 从上面的叙述中 , 可以看出 , 不论是截锥或是 截楔 , 其截面的大小都是可以变化的 , 可以从接 近于 ,一直变到 , 反映在两个具体公式上就是 一 衬 了 , , 当 , 时 , 一 介 , 按截锥或 截楔考虑 , 这 时也应为 。 。 若认 为不等于 零 , 则可认为 , 表示了一个柱体体积 。 这时 一 二 。 当。时 , 则叹 。 , 且分别表示 截锥体和截楔体的体机这时 ,一 。 当时 , 一 , 嘛 二, , 分别表示锥体和楔体的体机这时 ,一 。 由此看来 , 不论是截锥或是截楔 , 其都可任 意的小 , 以至为 , 一 , 也可以在 与 之间任意变化 。 也就是说 , 不论 一 大于或小于 , 都可 用梯形公式 , 也可 用 截锥公式 。 只是用梯形公式计算 , 反映的是截楔体 的体积 , 用截锥公式计算 , 反映的是截锥体的体积 , 而截楔体上 、 下两底面的一对对应轴相等 , 截锥体 上 、 下两底面为相似形 。 换句话说 , 公式的选择只 与底面的形状有关 , 而与 ,一 的大小无 关 。 那么用 一 , 的大小作为公式选择条 件就丧失了理论根据 。 误差有多大 图 当由变到时 , 曲线是上升的 , 说明 误差随 一 的变大而增大 。 当 , 时 , 曲线接近于直线 , 说明 ,一 时 , 误差增长很快 。 当 二 时 , 曲线上 升到最高点 , 这时 △ , 也是 △厂的最大低 ,,, 。 、 ,, “ , 。 、 么 △ 与截楔体体积的相对误差为书二一 二 一 ‘ ’『「 ‘, ’”‘,“‘ ’‘ 一“ 味 , 一 了 一 根据函数极值判定法 ‘’ 知此函数最大值为当时 。也就是说, 在单个块体计算时 , 是截楔体而用了截锥公式 , 其 相对误差可接近以至等于 。 在分块求积计算中 , 苏联学者普罗科菲 耶夫接角蜂了分块求积与整体求彩哟差别问题并 指出是由不正确的使用圆锥公式或截面圆锥公式而 引起的 ‘ ” , 但没有阐明怎样不正确的使用了截面 圆锥公式 。 葛恩恕也只是从分块体底面彩拍勺大小比 例讨论误差而没有说明引起误差的本质因素 。 其 实 , 整体求积与分块求积产生误差的根本原因是分 块时块体的形状改变了 。 如图所示 , 假设此块体 是一个标准的截锥体两个底面为相似形 , 那么 , 被截面 , 及截面所截之 后 得到的三个圳本 , 必然不再全是标准的截锥休 , 其 △ 积大随 变俗 , 当整块体为底面积相等的截 锥体时也可认为是截楔体的特殊情况 , 体移撮大 、。 一 ,, , 积累误差△ 大二 一 上占 ‘ , 不能 一 任意变 , 视 、 为常量 , 么 大为定询 。 最大积累相对误差 △ 大 也分为两种情况 整块体为截楔体时 , 不论在 , 与之间 如何鱿最大的体积 。 误差都扩传 竺 , , 故 厂积 大 犷佛 一 民 中有些变成了截楔体或似截楔依这些截楔体或似 截楔体的体积当然大于和它们底面积相等的截锥体 体机如果这时仍用截锥体公式计算它们的体积 , 结果必然偏小 , 自然分块求移 拍 勺体积之和就小于整 体求彩 拍 勺体积了 分块求积 一与 移体求彩哟误差究竟有多大呢为 了便 一于 说明问题 , 约定挤块体的体积计算是正确的 , 几狱块体的底面积仍为 , 、 设分块体的较大底 面积分别为 ,‘ 、 , 、 ⋯ ⋯ ”, 相对应的另 一较小底面积分别为 主 ’ 、 、 ⋯⋯ ‘’ 较 小底面积可以为 , 则对于梅个分块体 , 其体积误 差为 △吸大 一 一一 整块体为截锥体时 , 当从变到 , 分 块时可能引起的最大体积积累误差。 , 大也从粤 、 变到 。 , 犷 ,、是单调递减的 , 这时截锥体体积厂 从“ “变到静】“ , 也是单调递减的 , 其比值 一矢钾 必然是单调递减的 , 根据极值判定 法 , 其最大值必在 二 的端点即 一 △‘ 声 ‘ 从 ’ 厂雄 、 弓 △。 一 兴 “ △四 互二 △ 兴 ’ “ 积累误差 △厂 , △ ” ’ △ ‘ ” ⋯ 、 里卫分匕兰上 。 鱼宁 “ , 耳 ’ , 丁 , △「 积气 一 由于最大积累误差只有在分块体都是楔体而全 用锥体公式计算其体积时才能出现 , 根据前面的约 定 , 这手 胎况只有当整块体为截楔体或者是底面积 相等的特殊截锥体时才有可能 。 也就是说 , 当整块体 、。,。、。。 , 。 。兰 、 。 。 鱼二些 为截筷体时 , 体积最大积系误麦 △ 积大二 万 考虑到整块体 使用截锥公创算 时 , 仍以 了戈 一 凡 一 。 为条件故最人的 二 , 分块时最人的积累相对误 差也一定比 小 。 总结以两种青祝 , ‘厂 知分块求积的址人积累 相对误差可达 总之 , 不论单个块体体积计劝或分块求积 可能产生的最大相对误差都可达 “认 、在单个块 体体积计算中若是锥体而误用 ’梯形公式, 抽士 大相对误旅 , 达加 , 厂 代替的办法 用两底面积之差作为选择公式的条件既无尹淇 论 根据 , 而实际计算中可能产生的误差又不 ‘叮 忽略 , 那么用什么方法代铃呢根据最近出版的 地质没 计中介绍的三条原则 ’ 盛 , 笔者提 出如 下两种 办法 。 既然块体体积与块体形状有关系 , 我们 、 以 根据块体形状选择计算公式 两底面为相似形或近于相似形者用截锥公 式 , 即公式 。 两底面符合截楔形或近于截楔形者即两 底面有一对对应轴长度基本相等 , 另一对对应轴差 别较大用梯形公式 , 即公式 。 介于以上两种情况之间的似截楔体可用下 面的公式 犷似 佛十犷 , 即 犷。侧 畜瓦 〕 第一种方法虽然简便 , 但由于估计形状不准 或其它原因 , 实际计算中出现的误差还有可能偏大 , 为此 , 我们引入一个矫正系数和矫正项 。 在未 引入之前 , 我们作这样的规定将底面周边最远点 的距离最好不算很尖的尖角作为底面的长轴 , 而与长轴垂直的肥大部分的宽度为短轴 。 设较大底 面的两轴为 、 哪一轴为长轴均可 , 较小底与 、 对应的两轴为 、。 我们有 犷 厂 一 了 〕‘ 整块体体积 总 护丁丽丙厄系 了 令 二 , ‘ ,尸一下一 ‘ 了 一 口 丫“了爵 士 肠 犷 。 误差 △犷 一 则 犷 二 万 招丁不 其中 犷为要计算的块体体积 , 公式就是矫 正系数截锥公式 。 或者飞 厂 万 一 ’ 一一 令 一,一 , 则 厂 , 公式就是矫正项梯形公式 。 为了说明以上两种方法的使用和其产生的误 差 , 我们仍用葛恩恕举的例子 。 为了计算简便 , 把 整块体取为底面是正方形的截锥体 , 高仍为米 , 底面积也不变图 用第一种方法 比较分块体的两底面 , 看作近截楔形 , 按梯形公式计算 相对误差 △ 士 用第二种方法 我们选用公式计算 一试 对于分块体 读者也可选用公式〔 伪 二 二 则 犷 , 攀 乙 〔 一 一, 。, ,。 一 ‘。 一 对于分块体 一 ‘ 下二只 去 乙 , 三 二气十勺气 乙 一 二 冬 扔 二 冬 卜 比较分块体的两底面 , 两轴方向上的长 度都在变小但又不 相似 , 为似截楔体 , 按公式 计算 〕‘ 二 叮 △ 二 肠 一 △二 一 士 误差分桥 两种方法的误差都不算大 , 第一种方法稍 偏大些 。 仔细比较一下就可看出 , 对于犷 , 第一方 法比第二方法小对于犷 。, 第一方法比第二 方法 大这样 , 相加时就由于抵消作用而使第一种方法 的丫价与犷 。的误差变小了。 否则 , 误差将会大 些 , 但是总要比纯用截锥公式算得要小 ‘”。 第二种方法的误差虽然接近于 。 , 这是因 为本例的底面图形皆为矩形或正方形 , 长 、 短轴方 向上长度无变化 , 形状规则 , 完全符合公式 。 实际 计算中底面图形不可能这么规则 , 再加上量度和目 测方面的误差 , 就会出现较大些的误差 。 但这种误 差比要小得多 , 在实际计算中是完全可以接 受的 。 结语 综上所述 , 我们得出 在利用平行断面法进行储量计算时 , 不能以 一 大于或小于作为选择公式的条 件 , 而应以块体的形状当然包括两底面的形状 作为选择公式的条件 。 根据块体形状 , 该用梯形公式计算时而用了 截锥公式 , 最大相对误差可达 , 在实际中是 不允许的 。 为了尽量减小块体真实体积与计算结果的误 差 , 我们建立了矫正系数截锥公式和矫正项梯形公 式 。 用这两个公式中的了 到可 一个公式都可对平行断 面法中的任何形状的块体进行计算包括锥体楔 体 、 截锥体截楔体和拟柱体 。最好近于锥体或截 锥体尽量用矫正系数截锥公式近于楔体截楔体 或拟柱体的尽量用矫正项梯形公式 ,考资料 【」葛恩恕 , 地质与勘探 , , 第期 〔〕樊映川 , 高等数学 , 人民教育出版社 , 仁〕 普罗科菲 耶夫 , 实用金属矿床储计算 法 , 地质出版杜 仁〕黑色冶金矿山企业地质设计编写组 , 黑色冶 金矿企业地质设计 ,, 第页 附录 矫正系数截锥公式和矫正项梯形公式的来源及 系数公式的建立 在实际问题中 , 用平行断面法截矿体所得断面形状 是千变万化的 , 但我们可以近似地把它们看成矩形或椭 圆或者通过小量的割补之后 。 为了推导公式的方便 , 我们给出一个两底面皆为矩形的棱台 , 如图所示 。 过矩 形月的一个顶点作棱台的侧棱 , 的平 行线 , 交矩形月的边 , 于 。 同样 , 再作汽 交于 , 使平行于 , 再作平行于 , , 平行于 。 那么 月 二 刁一 二 , 二一 , 刁一 一一一 二 , 刁一 一二一, 若这个棱台的高仍为 , 矩形 月 和矩形 月 的面积仍为 , 和的话 , 则 , , 二 。 截楔体月一月 石的体积犷 二 二 万 ’”,十百, 锥体一 厂尤 的体积犷‘体 楔形体一的体积犷一体 二 一 二 一 口 一一 梭台的总体积犷 厂一 十犷一体 , 休 二 「些坐竺三二 一 止竺卫竺业生 由 一一 , 十 一 , 一, 一 叹 一 一‘一‘一,‘‘一一 实际上底面不可能是标准的矩形 , 在体积计算中直 接应用上述结果 , 就可能出现较大误差 。 为了尽减小 误差 , 我们将上述结果进行如下变形 犷 二 警 〔 “二 ” , 一” , 少 〔 , 招 , 了 鱼些 鱼 一 广 些鱼‘ 口 , 衬 ︸ 或者 犷 二 十 些兰 止竺迪匕竺虹 些 一 一 , , 二 仃 鱼兰竺些生 、 三上竺竺生虹竺些匕 一,一一 一 一 一 一 一 令 二 护 需 一。一 一 算矫正系数 和矫正项还是比较麻烦的 。 如果先计算 好一系列的和值 , 并列成表 , 到使用公式时直接查 用 , 那就方便多了 , 但由于 口 、、、 的 组合数日 太多 , 这样做的结果会使表太繁杂 。 为了制出一个简单 而在计算中又能使用的表 , 将公式。 尽 十 一 一 ,,, 一 ’ 里 则上两式就可写成 一 进行如下变形 。 丝 衷石了丁 为矫正系数截锥 设些 二 , 得 。二 , 由 。 占一 公式 。 犷 二 二 , 二 二 , 为矫项梯形公式 。 得 二 口 其中为娇正系数 , 为矫正砚 但须注愈以下几点 在这两个公式的推导过程中 , 没有限制与山 , 与谁大谁小 , 故 一 和 ,一 都可以 为负值 , 也即可为负值 。 由于公式推导过程中使用了 ,二 , 二 , 为在实际应用中减小误差 , 在取 、、 、 的值时 , 最好取同轴方向上有代表性的几个长度的均 值 , 并尽使 、 , 。 “ 。 由于分母不能为 。 , 在使用 系数截锥公式时 , 、 、、 都不能为 。 。 使用矫正项梯形公式时 无这种限制 。 在使用矫正系数截锥公式和矫正项梯形公式时 , 计 则 二 口 一 口 二 , 二 一 一 一一 卫 。 了 一 一 兰 , 十 竺 一 一一 二 全 鱼 、 令 ,二 则 二 就是系数公式 。 系数表附后 。 如勺 使用本表时 , 绘幻 可利用括号内的数字查表 , 要互换 。 , 可直接查表 。 唁刀 , 不过查得的和的数值 减小误差 , 选用对应轴 、 时 , 应尽童包含较大底面 的长轴 。 由于表的容盘有限 , 选用对应轴时 , 也尽选 用长度差别较小的一对对应轴 , 表中不能直接查出的数 值 , 可用内擂法求出 。 从表上可看出 , 较长轴对应的系数较小 , 为尽 系 旅斑 竺竺生 少 , , , 月生一 卜三乙 口口 , , , , ,口口 。 一 ⋯ ⋯ 。 。。 ” ’ ‘吃了’’ 。。 。 ”“,‘吕’’ 。。 。 ” ‘ ”’ ‘,’’ 。。。。 。 ” ’‘’, , 。。 ‘ 。 。 ” “ , ‘’‘’’ 。。 ⋯ 。。 。 ” ’ ”“ “‘ ’’ 。 吸吸 。。 ” ”‘’’’ 。。。。 。 ”〔’’’ 。 。 。‘ ” , ’了’’ 。,。 。。。 。 。。。 二 。 叫 上接第页 。 注意到 一 , , 将它变形 后 得到 一二 一 , 再利用上面求得的 、 瑞 。,、 眺 。、 等数值 , 即可根据反应式 、 一 、 一 求得朋巧 、 , 一 , 戊 一 一 , 咫 一 甲 一 , 卜 二一 。 主要结论 将以上的计算结果进行整理 , 可 以得到热液 作用下的热力学参数估计为 ℃ , 习 , , 场 二一 , 仇 , 一一 , 践 ‘ 一 , 践 甲 一 , , 一 , 舰 ‘一 二 一 州 、、 一 , ‘ 甲 二一 ‘ 参考文 献 仁〕曾世伟大宝山铁 、 铜多金属矿认地质特机与矿 床成因探讨 、内 部稿 仁」邱世强 , 地质论评第卷 , 灿 「〕孙宝田广东大宝山多金 属矿床成矿作用地球 化 学研究研究生学位 论文 【二〕饶纪龙地球 化学中的热力学 , 科学出版社 古菊云等地 质与勘探 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