冶金传输原理 华建社.pdf

[General Ination] 书名冶金传输原理 作者 页数256 SS号0 出版日期 Vss号92799276 绪言绪言 冶金传输原理课程主要内容有动量传输、热量传输和质量传输三大部分，并介绍 了三者的类似机理、 相互关联的关系； 同时介绍了利用相似原理来处理试验数据和进行模型 试验。 1、 地位地位 冶金工程专业的专业基础必修课。在冶金、机械、航海、航空等领域中，凡是涉及到流 体（气体、液体）的流动，均不可避免的存在在流动过程中流体的动量、热量、质量的传递 规律。 2、、 要求要求 本课程的先修课程为高等数学、普通物理、计算机语言。该门课程是以数、理知识为基 础，在充分弄懂物理概念后，常用数理解析的方法来解决问题。 要求初学者上课认真听课，做好笔记，课前进行预习，课后进行复习，独立完成作业。 3、、 参考书参考书 主要参考书 冶金传输原理 张先棹、冶金工业出版社、1991.11 本科 其它参考书TRANSPORT PHENOMENA Second Edition R.Byron Bird Warren E.Stewart Edwin N.Lightfoot 、化学工业出版社、2002.8 动量、热量、质量传递原理 [美]J.R.威尔特等 北京科学科学出版社，1984 计算流体力学吴子牛，北京科学出版社，2001 1 第一篇 动量的传输第一篇 动量的传输 第一章第一章 动量传输的基本概念动量传输的基本概念 什么是动量传输什么是动量传输 从所学的物理概念中知道当速度不同的两个小球相互碰撞时，有动量的传递发生。即 小球的动量 mv 发生了变化。而当流体的速度发生变化时，是否他们的动量也发生变化呢 是 而当流体的速度发生变化时，是否他们的动量也发生变化呢 是 固体的动量变化与流体的动量传输也各有特点。此处我们研究的动量传输是流体（即 液体、气体）在流动过程中动量传输的规律。 第一节第一节 连续介质模型连续介质模型 1、流场、流场流体运动的全部范围。 2、流体、流体液体、气体。 流体的性质流体的性质 1）易流动性）易流动性在任何微小的应力的作用下可发生连续变形。原因分子之间的内聚 力小。 2）可压缩性（气体） ）可压缩性（气体） 压力增加，体积减小；反之。没有自由表面，充满整个容器 空间。 不可压缩流体（液体） 不可压缩流体（液体） 在相当大的压力下，流体仍几乎不改变其原有的体积，有 自由表面。 3、连续介质人为假定的模型、连续介质人为假定的模型 从流体的宏观特性出发，流体充满的空间里是有大量的没有间隙存在的流体质点流体质点组成 的。 流体质点流体质点 在连续介质内对某一点取得极小， 但却包含有足够多的分子 （宏观 足够小； 微观足够大。 ） ，使其不失去连续介质的特性连续介质的特性而有确定的物理值。 连续介质的特性连续介质的特性流体的一切属性（速度、压力、密度、温度、浓度等）都可看作坐标 与时间的连续函数，利用数学中连续函数的性质解题。 注意 稀薄气体的分子间距大，此概念不适用。 4、流体微团、流体微团 可认为它是由质点组成的微小的流体单元，微团中的个质点的参量可能有所不同。 （在 研究流体运动时，经常取微元体来分析，列出微分方程） 如 Vx Vxd Vx 控制体控制体流场中某一确定的空间区域。 如 2 第二节第二节 流体密度、重度、压缩性流体密度、重度、压缩性 1．质量与重力特性．质量与重力特性 密度密度流体具有质量，每单位体积的质量称为密度密度。 V M V Δ Δ →Δ lim 0 ρ 1-1 单位kg/m3 重度重度流体受地心引力的作用具有重量，每单位体积的重量称为重度重度。 g V G V ργ Δ Δ →Δ lim 0 1-2 单位N/m3; 式中g 为重力加速度。 比容比容单位质量流体所占有的体积称作比容比容ν，其单位为m3/kg. ρ ν 1 1-3 比重比重液体的重度与 4℃时水的重度之比称为比重比重，也叫相对密度，它是一无量纲的量。 水 液 γ γ Δ 1-4 计算中采用 重力加速度g9.81m/s2， 常压常温下， 33 /9810,/1000mNmkg 水水 γρ 标准大气压及 20℃下 空气 ρ1.205kg/m3, 空气 γ11.82N/m3 2. 压缩性与热胀性压缩性与热胀性 流体受压体积缩小的性质称为压缩性，压缩系数压缩系数的定义为 dp dV V p 1 −β 1-5 p β的单位为 1/Pa，体积压缩系数的倒数为体积弹性模数体积弹性模数，以 Ev 表示，则 dp dV V Ev p − β 1 1-6 流体受热体积膨胀的性质称为热胀性热胀性，温度膨胀系数定义为 dT dV V a 1 1-7 气体的体积变化遵循理想气体的状态方程式，即 RTPρ 1-8 对于等温过程 2 2 1 1 ρρ PP 1-9 对于等压过程 2211 TTρρ 1-10 对于绝热过程 1 1 2 1 2 1 2 − K K K T T P P ρ ρ 1-11 以上各式中的 P 为绝对压强，T 为绝对温度，R 为气体常数，K 为绝热指数。 3 举例举例 例1-1． 有 空 气1m3, 原 处 于 t140 ℃ ,p10.10510 6Pa 状 态 ， 已 知 气 体 常 数 为 R287J/kgK,K1.4 1 若等熵地压缩为 0.5m3，求终态温度和压力； 2 若等温地压缩为 0.5 m3，求终态温度和压力。 解 由状态方程知 36 111 /17 . 1 313287/10105. 0/mkgRTPρ 由于V20.5V1，故 3 12 /34. 217. 122mkgρρ （1） 等熵过程 KK PP 1 1 2 2 ρρ Pa P P K K6 4 . 1 6 4 . 1 1 1 22 1027 . 0 17. 1 10105 . 0 34. 2 ρ ρ KRPT46.41234 . 2 287/1027. 0/ 6 222 ρ （2） 等温过程 KTT313 12 PaTRP 6 222 10212 . 0 31334. 2287ρ 例1-2． 体积为 5m3的水，在温度不变的条件下，压强从 1 大气压增加到 5 大气压，体积减 小了 1L，求水的压缩系数和弹性系数值。 解 根据 dP dV V p 1 −β，1 大气压9.807104N/m2 得Nm p /1051 . 0 10807 . 9 15 101 5 1 29 4 3 − − − − −β 29 /1096. 1 1 mNEv p β 4 第三节第三节 流体粘性与粘性动量通量流体粘性与粘性动量通量 1、粘性、粘性 如图如图当流体从两平板中流过时，速度分布如下 y A Vxd Vx 上层速度 dy Vx 下层速度 x 上、下层速度不同，使流体发生变形，从而产生内摩擦力 F。 流体抵抗变形运动的性质，称为粘滞性粘滞性。粘性切应力τ用牛顿内摩擦（或粘性）定律来 计算 dy dU A F x μτ 1-12 式中μ称为动力粘性系数动力粘性系数或简称粘度粘度，它的单位为Ns/m2或Pas，工程常采用泊，用P 表示，1P0.1Pas 粘性系数μ与流体密度ρ的比值，称为运动粘性系数运动粘性系数，以ν表示，即 ρ μ ν 1-13 式中ν的单位为㎡/s。工程上采用沲为单位，用St表示，1St10-4㎡/s。 流体在静止时，有粘性吗有，但表现不出来。 2、粘性系数粘性系数μ 粘性系数μ大小与什么有关 （1）物质种类； （2）对同一种流体与温度 液体T 升高时 μ下降 气体T 升高时 μ升高 原因原因 在液体中，分子间距小，分子相互作用力较强，当 T 升高时，分子之间距离增加，引 力减小，所以层与层之间的摩擦力减小，粘性下降。 而气体，分子间距比液体大得多，引力很弱，层与层之间的粘性表现为两层流体层间分 子的动量交换，来阻止流体层间相对滑动，分子间的引力作用可忽略，当气体 T 升高时，内 能增加，分子运动剧烈，动量交换激烈，所以粘性升高。 （3）与组分有关 对混合流体，经验公式有 lglg iim xμμ ∑ （1-14） 对压力不太高的气体混合物有 ∑ ∑ 5 . 0 5 . 0 ii iii m Mx Mxμ μ （1-15） 式中xi、μi混合物中某组分的摩尔分数与粘度； Mi混合物中I组分的分子量； Μm混合物的粘度。 3、粘性动量通量 3、粘性动量通量 5 通量通量单位时间通过单位面积的**量，称为**通量。对动量而言，称为动量通量动量通量。 粘性动量通量是流体粘性所形成的动量传输过程 粘性力→各流层之间 带动力（对慢流层） 制动力（对快流层） 由于流层的速度不等→动量不等，快流层带动慢流层，前者将动量传给后者实质是 动量的传递过程。 动量通量动量通量 即即 动量 mv/单位时间.单位面积 t.A 即 （F/A）m（v/t.A）τ Fmam（v/t） 所以速度不等的流层之间，作用在单位接触面积上的粘性力τ，相应地就是接触面积上的 粘性动量通量。 对不可压缩流体，式（1-12）可改写成 dy Vd x ρ ντ− 1-16 式中ν为运动粘性系数运动粘性系数，又称为动量扩散系数动量扩散系数。 dy Vd x ρ 为单位体积流体的动量在y方 向上的动量梯度，单位为kgm/s/m3m。 式中“-”号表示，动量通量的方向与速度梯度的方向相反，即动量是从高速到低速的 方向传输的 动量是从高速到低速的 方向传输的。 4、粘性力与粘性动量通量的区别、粘性力与粘性动量通量的区别 大小相等，方向垂直。粘性力的方向对快流层与速度的方向相反，对慢流层与速度的方 向相同；粘性动量通量的方向与动量梯度（或速度梯度）的方向平行而相反，即动量是由高 速流层向低速流层方向传输。 注意注意 牛顿粘性定律的适用范围流体的层流流动流体的层流流动。 举例举例 例1-3． 两平行平板之间充满粘度为μ0的液体，在对称面上有一面积为A的薄板，薄板以 等速度U作平移运动如图（a）所示。现以另一种液体充满上述平板之间，但其粘度μ未知， 若其中薄板置于底板以上处， ，也以等速U作平移运动，如图（b）所示，且已知拖动力与 等一种情况相同，试由μ h′ 0, 确定μ。 h′ a h u0 U F0 b F u 解 对于第一种情况，拖力F0为 h U A h U A y U AF 0000 4 2 22μμμ Δ Δ 对于第二种情况，拖力F1为 6 11 1111 hhh UA hh U A h U AF ′− ′ ′− ′ μμμ 由于，故可得 10 FF 1 4 01 h h h h′ − ′ μμ 例 1-4．长度为L30 ㎝的两个同心圆管，其半径分别为r115cm,r215.5cm,缝隙之间充满某 种液体，如图（1-2）所示。外管被固定，内管以n60r/min转速旋转，已知作用在它上面的 外力距为M0.98Nm，试确定此流体的μ（由于间隙厚度与圆柱周长相比为小量，故假定 其间速度分布为直线型） 。 ε r1 ω r2 v 确定粘性系数 解 设间隙中速度分布呈直线型，即 1 C dr dV ε 积分 21 CrCV ε 利用下列边界条件确定常数C1，C2 ω ε1 1 rV rr 0 2 rr Vε 于是得速度分布公式 2 12 1 rr rr r V− − ω ε 因此 12 1 rr r dr dV − − ω ε 利用牛顿切应力公式 12 1 rr r dr dV − − ω μμτ ε 对于内柱建立平衡方程 02 2 1 ⋅LrMπτ 即 12 1 2 1 2 rr r LrM − ω μπ 7 故 SPa nr rr Lr M ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅123. 0 60/215. 0 15. 0155. 0 3 . 015. 02 98. 0 2 2 1 12 2 1 ππωπ μ 第四节第四节 作用在流体上的力作用在流体上的力 主要分为质量力质量力和表面力表面力。 质量力质量力是作用在流体的每个质点上，其大小与流体的质量成正比。 如 重力m g、直线惯性力m a、离心力mω 2 r 表面力表面力是作用在所取出的流体的表面上的力，并与其表面积成比例，它又分为法向力 （通常称为压力）和切向力（粘性力）两种。 作用在流体的外表面外力； 作用在流体内部任意表面内力。 在流体力学中，常从流体内部取一部分（分离体） ，此时，周围流体对分离体表面上的 作用就是外力。例如任取一微元面积ΔA 在ΔA 上有两种应力 Fn 当 ΔA→0 时 Fi ΔA 法应力 A Fn n Δ limτ；切应力 A Fi i Δ limτ 例任取流体微元体受力分析 用双下标表示第一下标表示应力作用面的法线方向； 第二下标表示应力方向。 Z τZZ 在六个面上 τZY 法应力τXX、τYY、τZZ 切应力τXY、τXZ、τYX、 τZX τYZ、τZX、τZY y 可记为 τXX τXY τXZ x τ τYX τYY τYZ τZX τZY τZZ 可以证明τXYτYX ；τYZτZY ，τXZτZX 。 即. 应力张量是对称张量。 作业作业见助学园地。 8 第二章 流场的描述第二章 流场的描述 第一节 流场运动描述的两种方法 第一节 流场运动描述的两种方法 1.拉格朗日法（Lagrange.J.L（法） 1736-1814） 1.拉格朗日法（Lagrange.J.L（法） 1736-1814） 特点分析流体各个质点的运动，来研究整个流体的运动。 假定在t0时，某一点（a，b，c）点的名称，不同的质点，位置不同（即坐标不 同） ，点的名称也不同；在t1 时，这一质点到另一个位置上x，y，z。 所以 xx（a，b，c，t） yy（a，b，c，t） zz（a，b，c，t） 这一质点的速度速度在三个坐标轴的分量 ,,, ,,, ,,, tcbaz dt dz t z t z V tcbay dt dy t y t y V tcbax dt dx t x t x V z y x ∂ ∂ Δ Δ ∂ ∂ Δ Δ ∂ ∂ Δ Δ （a，b，c）随时间变化吗 不，因为它是质点的名称。所以位置 X，Y，Z 仅是时间 t 的函数。 这一质点的加速度加速度在三个坐标轴的分量 ,,, ,,, ,,, “ 2 2 2 2 “ 2 2 2 2 “ 2 2 2 2 tcbaz dt zd t z t Vz t Vz a tcbay dt yd t y t Vy t Vy a tcbax dt xd t x t Vx t Vx a z y x ∂ ∂ ∂ ∂ Δ Δ ∂ ∂ ∂ ∂ Δ Δ ∂ ∂ ∂ ∂ Δ Δ 拉格朗日法是描述各个质点各个质点在不同时刻的参量变化， 它是追踪个别质点描述， 用于表达 有限个数目质点的运动是方便的。 但在流体运动过程中，质点的位置变化很大，质点量多，因而在一般情况下，要追随每 一个质点的运动就很困难，而实际，在应用中，只要表达每一时刻流场中每一个空间点上流 体质点的运动特征参数（不必知道它的过去和未来） ，就能了解流体的运动，因此，一般不 用“拉法” 。 2.欧拉法 2.欧拉法 它是研究流场特征的最广泛应用的方法。 它不是着眼于流场中某个质点的运动行为， 而 是整个流场的运动状态。即研究整个流场整个流场内不同空间位置上，各个流体质点的运动参量随 时间的变化。 不同空间位置有 （x，y，z） ；运动参量有 V、P、T、ρ；时间 t；对某个空间位置来 说，不同时间可能为不同质点所占据，以欧拉法所表示的流场 同一瞬间，各个不同位置上流体质点的参量特征（即整个流场的特征） 。 VFv（x，y，z，t） 整个流场中的速度分布速度场； PFp（x，y，z，t） 整个流场中的压力分布压力场； ρFρ（x，y，z，t） 整个流场中的密度分布密度场； TFt（x，y，z，t） 整个流场中的温度分布温度场； CFc（x，y，z，t） 整个流场中的浓度分布浓度场。 由于连续介质概念成立，所以描述流场内流体质点运动参量（V、P、ρ、T、C） ，对空 1 间坐标（x，y，z）和时间（t）的函数也是连续函数。 可以写成Xf（x，y，z，t） 与 t 无关时，称稳定场（或定常场） ； 与 t 有关时，称不稳定场（或不定常场） ； 与（x，y，z）无关，均值场； 与（x，y，z）有关，非均值场。 在流体力学中，一般用欧拉法描述流体运动。流体运动可表示为速度场，在直角坐标 系中，x,y,z 三个坐标轴方向的速度分量速度分量为 ,,, ,,, ,,, tzyxuu tzyxuu tzyxuu zz yy xx （2-1） 流体质点的加速度为 uu t u dt du ∇⋅ ∂ ∂ （2-2） 式中 t u ∂ ∂ 称时变加速度（当地加速度）由速度场随时间而变化引起的，当 t u ∂ ∂ 0 时， 速度场稳定流动； uu∇⋅ 称迁移加速度 （位变加速度） 由速度场的不均匀性引起的， 当0 时，速度场均匀流动。 uu∇⋅ 在直角坐标系中，x,y,z 三个坐标轴方向的加速度分量加速度分量为 z u u y u u x u u t u dt du z u u y u u x u u t u dt du z u u y u u x u u t u dt du z z z y z x zz y z y y y x yy x z x y x x xx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ （2-3） 举例 举例 例 2-1 设流场的速度分布为 22 22 2 2 4 yx x u yx y tu y x − 试求 （1）当地加速度的表达式； （2）t0 时，在 M（1，1）点上流体质点的加速度。 解 （1）根据当地加速度的定义，求得 0, 4 ∂ ∂ ∂ ∂ t u t u y x （2）根据质点的加速度的表达式 2 y u u x u u t u dt du x y x x xx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 222 222 2222222 422 4 2 44 yx yyx yx x yx xy yx y t 当1, 1, 0yxt时 314− dt du a x x y u u x u u t u dt du y y y x yy ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 22 222 22 222 22 42422 4 yx xy yx x yx xyx yx y t 当1, 1, 0yxt时 1− dt du a y y 第二节 流线与迹线第二节 流线与迹线 1、迹线 1、迹线 对于每个流体质点，它在流场运动过程中的轨迹点连线称为迹线迹线。 例如某一流场的欧拉表达式 UxUx（x，y，z，t） UyUy（x，y，z，t） UzUz（x，y，z，t） 由于 Uxdx/dt； Uydy/dt； Uzdz/zt 所以有 dt tzyxu dz tzyxu dy tzyxu dx zyx ,,,,,,,,, （2-4） 即迹线微分方程 注意 在迹线微分方程中，t 是一个自变量。由迹线的定义就可知。 2.流线 2.流线 速度场还可用流线作几何描述流线流线是某时刻在流场中所画的一条曲线，在这条曲线 上任一点的切线方向就是该点上流体质点的速度方向。 例如如图 2-1，该曲线代表了在同一瞬时的流体质点的速度矢量。由定义 M U 图 2-1 3 在流线上任一点 M（x，y，z）处的速度为 U，速度在三个坐标轴的分量为Ux，Uy， Uz，速度与三个坐标轴之间的夹角的方向余弦 COS（U，x）Ux/U ；COS（U，y）Uy/U ；COS（U，z）Uz/U 在 M 点的切线 T 与坐标轴间的夹角的方向余弦 COS（T，x）dx/ds ；COS（T，y）dy/ds ；COS（T，z）dz/ds 由定义 Ux/Udx/ds ；Uy/Udy/ds ；Uz/Udz/ds 得到 t u ds tzyxu dz tzyxu dy tzyxu dx zyx ,,,,,,,,, 2-5 即流线微分方程 注意 注意 流线微分方程中的 t 是固定值，迹线微分方程中的 t 是变量。 流线的性质 1）通过流场内的任何空间点都有一条流线，在整个空间就有一流线族； 2）流线是不能相交的，通过流场中的任何空间点只能有一条流线； 3）不稳定流动时，流线与迹线不重合，稳定流动时，两者重合。 3.流管、流束及流量 3.流管、流束及流量 流管流管在流场内任取封闭曲线，通过曲线上每一点连续地作流线，则流线族构成一个管状 表面城流管。 因为流管是由流线作成的， 所以流管上各点的流速都与其相切， 流管中的流体不可能穿 过流管侧面流到流管外，而外面的也不能流到内，只能从一端流入，另一端流出。 流束流束在流管内取一微元曲面积 dA，在 dA 边界上的每一点作流线，这族流线称为流束。 流量流量通过微小流束的流体数量。 dQVdA 2-7 式中V速度；dA微元面积。 通过流管的流量 Q∫AV dA 2-8 工程上 AVQ 2-9 式中 A Q dA VdA V A A ∫ ∫ 举例 举例 例 2-2有一流场的欧拉表达式Vxxt Vy-yt Vz0 ，求迹线方程。 解 Vxxtdx/dt Vy-ytdy/dt Vz0dz/dt 分析常微分方程求解 对应本题 x ，-xt P（x）1 Q（x）t 所以 ∫ −− dtteecex ttt 解出迹线方程 xAe t-t-1 yBe -tt-1 zC 例 2-3 已知平面流动的速度分布为 4 2 2 tyu txu y x − 试求t0 和 t1 时，过 M（1，1）点的流线方程。 解 该平面流动的流线微分方程为 22 ty dy tx dx − 因 t 与 x、y 无关，故可直接积分得 Ctytx− 22 当11, 1, 0Cyxt时， 则时过 M（1，1）点的流线方程为 0t 1xy 当01, 1, 1Cyxt时， 则 t1 时过 M（1，1）点的流线方程为 011−yx 可见，该非定常流动的流线形状是随时间而改变的。 第三节．梯度、散度、旋度 第三节．梯度、散度、旋度 1、梯度梯度 流场中流体物理量（V，T，C）在空间上的变化程度常以梯度的概念来表示。 其定义为取值最大的方向导数，即 n pf n pf pfgrad n ∂ ∂ Δ Δ →Δ lim 0 （2-10） 式中 n过某点等值面的法线方向； f（P）场中的点函数，代表某一物理量 方向方向规定为等值面的法线方向，并指向函数值增大的一侧。 分析分析如图 0 0 lim 0 0 P PP l pf PP PfPf ∂ ∂ − → 函数f（P）在P0点l方向导数的定义式。 理解为 流场中某一物理量在某一方向，单位距离上的变化量（变率） 。 n P0 f（P0）f（P ，） P ， l 图 2-3 等值线 过P0点使方向导数取值最大的方向，称为梯度的方向。 5 对速度场 UxUx（x，y，z，t） UyUy（x，y，z，t） UzUz（x，y，z，t） 各分速度的速度梯度，只存在于其它 2 方向，如 Ux z u y u x x ∂ ∂ ∂ ∂ Uy z u x u y y ∂ ∂ ∂ ∂ Uz y u x u z z ∂ ∂ ∂ ∂ 但流体在变形及流动中，也存在有本方向的速度变率，如 x ux ∂ ∂ 等，这是下面散度的概念。 2、散度散度 散度是表示流体体积膨胀（或收缩）速度的。 定义在流场中取包围某点 a 的封闭曲面Ω，曲面所包围的流体体积为 V（如图 2-4） ； 当 V→0 时，对单位体积、在单位时间内通过曲面流过的流体体积，即单位体积的流体体 积流量。 体积流量 dQUn*dA a 单位体积流量 divU V dUn V Ω⋅ ∫Ω →0 lim 2-11 V 式中Un微元 dΩ面上的法向流速； Ω Ω⋅ ∫Ω dUn通过曲面Ω的体积流量。 图 2-4 从封闭曲面Ω流过的体积流量相当于体积 V 的膨胀量（或收缩量） 。 现假定流场中包围 a 点的封闭曲面有一个六面体的微团，体积为 dxdydz，各方向均有 流体的流入及流出。 如图 2-5 在单位时间内，且在 X 方向仅有 dx 增量，所以 uxdux x uy dt t u dz z u dy y u dx x u du xxxx x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ dx x u du x x ∂ ∂ 同理 dy y u du y y ∂ ∂ dz z u du z z ∂ ∂ uzduz ux yduy z 图 2-5 z u uy 6 在单位时间内该微元体的净体积流量 dQudA dxdydz z u dxdydz y u dxdydz x u dxdyudz z u udxdzudy y u udydzudx x u udQ z y x z z zy y yx x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ 而散度 z u y u x u dxdydz dQ dV dQ divU z y x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2-12 讨论讨论当 divU＞0 （正散度） ，流体向外流出，膨胀状态； 当 divU＜0 （负散度） ，流体向内流入，收缩状态。 对不可压缩流体 divU0 遵守质量守恒的原则。 3、旋度 3、旋度 流体的流动除具有一定方向和大小的运动速度外，还存在有旋转运动。 → u 旋度是说明流体旋转强弱的一种运动参量。 旋转运动是对流体质点所组成的微团而言。当流体质点以大小均等、方向一致的速度 流动时，流体微团不会旋转。当流体质点的速度不等时，不管流动的方向是否一致，流体的 微团均有旋转运动。 定义 设a为流场中的一点，在包含点a的平面Ω上，流体各质点在与a点相距为r的圆周长s上 运动，质点的运动速度为u，周长上的切线分速度为us。 如图 2-6。 Ω u us n ω s 图 2-6 a 对 a 点在平面法线方向上的旋度定义式 dsu r rotU s s∫ 2 1 π 2-13 式中rot u对 a 点的旋度； dsu s s∫ 对周长 s 的线积分（流体旋转运动环量） 。 ds周长 s 上的微元弧。 若Ω为曲面，则 Ω ∫ →Ω s sds u rotU 0 lim 2-14 对流场中 a 点的旋度可粗略地理解为单位面积上的环量， 旋度有时也称为涡量。 旋度能 说明流体的旋转强度，就在于它本身具有旋转角速度的含义。 当Ω→0，曲面Ω近于平面，微元弧ds所包含的扇形面积近似等于rdr 2 1 ，此时相应的 环量为usds。 7 ω22 2 1 lim 0 Ω ∫ →Ω r u rds dsu dsu rotU sss s 2-15 式中ω通过 a 点并垂直于微元面 dΩ（Ω→0）的轴上的旋转角速度。 RotU，ω向量，流体的旋转方向以逆时针为正，旋度及角速度的方向以右手法则确定 其正负。 三个方向的角度ω分量为 2 1 2 1 2 1 y u x u x u z u z u y u x y z zx y y x x ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ω ω ω （2-16） 第四节．流函数、势函数 第四节．流函数、势函数 1、流函数1、流函数是流线的相应的数学表达式。 1）流线方程 t u ds tzyxu dz tzyxu dy tzyxu dx zyx ,,,,,,,,, 2）二维流场的流线微分方程 得 Cyx Cdxudyu u dy u dx yx yx ∴ − ∫ ,ψ 因为Ψ是由流线的微分方程积分而来的， 所以它是流线的函数表达式， 即流线方程式 称流函数。 3）流函数与质点运动速度的关系 0 ∂ ∂ ∂ ∂ dy y dx x d ψψ ψ 所以 y ux ∂ ∂ ψ x uy ∂ ∂ − ψ 当两个分速度ux、uy存在时，流函数才存在。所以，流函数存在的条件 0 ∂ ∂ ∂ ∂ y u x u y x 推导因为 y ux ∂ ∂ ψ ， xyx ux ∂∂ ∂ ∂ ∂ψ 2 ； x uy ∂ ∂ − ψ ， yxy uy ∂∂ ∂ − ∂ ∂ ψ 2 ； 又因为 yxxy∂∂ ∂ ∂∂ ∂ψψ 22 所以 0 22 ∂∂ ∂ − ∂∂ ∂ yxxy ψψ 成立。 另外，在平面流动中，两条流线间通过的流体流量等于两条流线的函数值之差。 2、势函数 2、势函数 流体运动时没有旋转运动， 即旋转角速度为 0 的运动， 称为无旋运动、 有势流动或势流。 1）无旋运动的条件 8 无旋运动的条件是 rot u0 （2-17） 即 （2-18） 0, 0, 0 zyx ωωω 亦即 y u x u x u z u z u y u x y zx y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂