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,,,,,,,实例1（求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,,,,,,,,,,,,,,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．,播放,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,实例2（求变速直线运动的路程）,思路把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,二、定积分的定义,定义,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意,定理1,定理2,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,几何意义,对定积分的补充规定,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．,三、定积分的性质,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,证,性质2,补充不论的相对位置如何,上式总成立.,例若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,证,性质4,性质5,性质5的推论,证,（1）,解,令,于是,证,说明可积性是显然的.,性质5的推论,（2）,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,解,解,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释,,,,解,由积分中值定理知有,使,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．,
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