爆破动荷载作用下的地下结构内力计算方法探讨.pdf

第 35 卷 第 1 期 2018 年 3 月 爆 破 BLASTING Vol. 35 No. 1 ▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂ Mar. 2018 doi 10. 3963/ j. issn. 1001 -487X. 2018. 01. 008 爆破动荷载作用下的地下结构内力计算方法探讨* 杨文东， 杨 栋， 夏 杰 （武汉理工大学 土木工程与建筑学院， 武汉 430070 摘 要 地下结构内力计算是地下结构工程设计与施工验算的重要内容， 而地下结构内力计算方法是地下 结构内力计算的理论基础， 所以必须加强地下结构内力计算方法的研究。这里采用结构动力学原理和弹性 力学厚板理论对爆破动荷载作用下的地下结构内力计算方法进行了研究， 推导了爆破荷载作用下的地下结 构围岩和支护的内力 M 和 Q 计算公式， 可用于分析地下结构相互作用原理、 围岩压力分布和支护应力状态 以及地下结构设计与施工强度验算。 关键词 地下工程；围岩和支护结构；内力计算；结构动力学；厚板理论 中图分类号 TD235. 3 文献标识码 A 文章编号 1001 -487X 2018 01 -0049 -05 Calculating of Subsurface Structures Inner Force caused by Explosion Dynamic Load YANG Wen-dong， YANG Dong， XIA Jie （School of Civil Engineering and Architecture， Wuhan University of Technology， Wuhan 430070， China Abstract Internal force calculation of subsurface structure is the important content of the engineerings design and construction， and the calculating of the underground structures inner force is the theoretical basis. In this research， the calculating of the substructures inner force caused by explosion load is studyed based on the structural dynamics and the theory of thick plate of the elastic mechanics. The ula of the inner force caused by the explosion load in the substructures surrounding rock and supporting system are deduced. It can be used to ana- lyze the interaction principle of underground structures， the pressure distribution of of the surrounding rock and the stress condition of supporting. Moreover， it can provide suggestion for design and constructions strength check of the underground structure. Key words subsurface engineering;surrounding rock and supporting structure;internal force calculation; structural dynamics;theory of thick plate 收稿日期 2017 -10 -03 作者简介 杨文东 （1965 - ， 男， 宁夏盐池人， 教授、 博士， 主要从事 岩土与爆破工程方面的研究，（E-mail ywd whut. edu. cn。 基金项目 国家自然科学基金项目 （50874085 随着我国经济的飞速发展， 地下空间工程的开 发与利用也得到了前所未有的发展。地下结构是地 下空间工程的主体， 地下工程结构由围岩和支护结 构组成， 地下结构内力计算是地下工程设计与施工 的核心内容， 也是地下工程安全重要保障， 所以加强 地下工程研究具有十分重要的意义 [1-5]。虽然近年 来城市地下工程 （如城市地铁工程 得到了快速的 发展。但地下工程理论研究相对滞后， 如目前关于 地下结构相互作用的内力计算的理论方法研究较 少， 尤其是爆破荷载作用下的地下结构内力计算方 法更少 [6-10]， 动荷载下的地下结构内力与静载下的 地下结构内力差别是较大的。为此， 基于结构动力 学原理和弹性力学的厚板理论， 对爆破荷载作用下 的地下结构 （围岩与支护 的内力计算方法进行 研究。 万方数据 1 地下结构内力方程建立及其解 地下结构构件简化力学模型如图 1 所示， 设厚 度为 h 的厚壁构件代表围岩， 大量的工程实践表明， h 约为地下工程跨度的三倍 [11]。 图 1 地下结构构件简化力学模型 Fig. 1 Simplify mechanical model of substructures member 外部作用有自由场压力 P （x， t ， 与其相连的是 地下工程衬砌构件， 二者之间有接触压力 q （x， t ， 衬砌内表面自由， 两端边界条件弹性嵌固， 作为单向 厚板， 围岩有挠度 w 和转角 φ 方程 [12， 13] D ∂2φ ∂x 2 5 6 ∂w ∂x - φhG - PJ ∂2φ ∂t 2 0（1 q （x， t- P （x， t ρh ∂2w ∂t 2 - 5 6 ∂2w ∂x 2 - ∂w ∂ x Gh 0 （2 D ∂4w ∂x 4 ρh ∂2w ∂t 2 - ρJ 6ρD 5 G ∂4w ∂t 2 ∂x 2 ρJ 6ρ 5G ∂4w ∂t 4 P （t- q （x， t（3 式中 ρ 和 ρ1分别为围岩和支护的密度， kg/ m3; D 和 D1分别为围岩和支护的刚度， N/ mm; G 为剪切模量， MPa; J 为应变能， Nm; x 为横坐标， m; t 为时间， s。 式 （1 、（2 和 （3 任二个是独立的， 将式 （2 对 x 求一次偏导代入式 （1 可合并得 ρJ ∂2w ∂t 2 5Gh 6 φ - D ∂3w ∂x 3 - 5Gh 6 ∂w ∂x 6ρD 5G ∂3w ∂x∂t2 6D 5Gh ∂ （P - q ∂x （4 另有内力表达式 M - D ∂φ ∂x （5 Q 5 6 ∂φ ∂x - φGh （6 式 （3 、 式 （4 为围岩基本动力方程， 求出 w， φ 后可由式 （5 、式 （6 求取内力及应力。衬砌用一 般单向板动力方程 D1 ∂4w ∂x 4 ρ 1h1 ∂2w ∂t 2 q （x， t（7 由 w 求结构内力表达式为 M1 - D1 ∂2w ∂x 2 （8 Q1 - D1 ∂3w ∂x 3 （9 q （x， t 为围岩与衬砌之间的相互作用函数 （接 触压力 ， 凡下标带 “1” 之参数代表衬砌， 无下标之 参数代表围岩。 将式 （7 与式 （3 相加消去 q （x， t 得到方程 （D D1∂ 4w ∂x 4 （ρh ρ1h∂ 2w ∂t 2 - ρJ 6ρD 5 G ∂4w ∂t 2 ∂x 2 ρJ 6ρ 5G ∂4w ∂t 4 P （x， t （10 将式 （7 对 x 求一次偏导与式 （4 相加， 消去 q （x， t 得到另一方程 5ρJGh 6D ∂2φ ∂t 2 25G2h2 36D φ D1 ∂5w ∂x 5 - 5Gh 5 ∂3w ∂x 3 - 25G2h2 36D ∂w ∂x （ρh ρ1h1 ∂3w ∂x∂t3 ∂ρ （x， t ∂x （11 式 （10 、（11 、（7 组成围岩与衬砌共同作用的 联立方程组， 通过该方程组解出 w、 φ、 q 则可解得围 岩和衬砌内的各力学量。 现在来讨论式 （10 、（11 ， 首先解自由振动， 令 其方程的右端为零， 取方程的解有如下形式 w （x， t W （xsin （ωt φ φ （x， t Φ （xsin （ωt φ { 代入式 （10 、（11 ， 有 W″（x ρJ 6ρD 5G D D1 - ω 2W“ （x- （ρh ρ1h1- ρJ 6ρ 5Gw 2 D D1 - ω 2W （x 0 （12 W″（x 5Gh 6D1 W″（x- 25G2h2 36DD1 ρh ρ1h1 D1 ω[] 2 W （x 5Gh 6D1 5Gh 6D - ρJ D w [] 2 Φ （x 0 （13 式 （12 可写成 W″（x b20W“ （x- b0β 2 0W （x 0 （14 其中 b20 w2 ρJ D0 6ρD 5GD 0 ， D0 D D1 β20 w2 ρ0h0 D0 ， ρ 0h0 （ρh ρ1h1 b0 1 - ρJ6ρ 5Gρ 0h0w 2 1 - ρJ6ρD0 5G （ρ0h0 2β 2 0 1 - β20 6E 5Gr 4 0 05爆 破 2018 年 3 月 万方数据 r4 0 EJD0/ E2 （ρ 0h0/ ρ 2， r 2 0 EJD √ 0/ D ρh0 / ρ 那么 b20 β 2 0 1 6D 5 GJ r2 0 EJ D √0 式 （14 的特征方程为 s4 b20s2- b0β2 0 0 其根为 s2 - b20b2 20 4b0β √ 2 0 2 即 s1 - b20b2 20 4b0β √ 2 0 √ 2 - s3 s2 - b20b2 20 4b0β √ 2 0 √ 2 is - s4 于是式 （14 的通解可写成 W （x AY1（x BY2（x CY3（x EY4（x （15 Y1 1 2d （s2 1chs2x - s 2 2chs1x Y2 1 2d s2 1 s2 shs2x - s2 2 s1 shs1 x Y3 1 2d （chs2x - chs1x Y4 1 2d 1 s1 shs1x - 1 s2 shs2 x 2d s2 1 - s2 2 b2 20 4b0β √ 2 0 函数 Yt满足柯西型单位矩阵， 即 x 0 时， 振型 函数为 Y1（0 1， Y 1 （0 0， Y “ 1 （0 0， Y ″ 1 （0 0 Y2（0 0， Y 2 （0 1， Y “ 2 （0 0， Y ″ 2 （0 0 Y3（0 0， Y 3 （0 0， Y “ 3 （0 1， Y ″ 3 （0 0 Y4（0 0， Y 4 （0 0， Y “ 4 （0 0， Y ″ 4 （0 1 上述通解的形式只限于 b2 204b0β 2 0 ＞0 的情形， 一般 D， D0 D D1（D1＜ D 相关不甚大， 能满足该 要求， 但如果上述条件不成立， 则改变解的形式。 将式 （15 代入 （13 可解得另一振型 Φ （x W“″- 5Gh 6D1 W″- 5Gh 6 D 5Gh 6D 1 ρh D1 ρ1h1 D 1 w [] 2 W 5Gh 6D1 ρJ D w2 5Gh 6 [] D （16 在式 （15 和式 （16 中有四个待定常数， 由边界 条件确定。 对于一般地下工程结构， 其两端可作为弹性嵌 固， 弹性嵌固边界条件有 M Kφ， M - D ∂φ ∂x 故有振型边界条件 Kφ D ∂φ ∂x 0 代入式 （16 ， 即 K W“″- 5Gh 6D1 W″- 5Gh 6 D 5Gh 6D 1 ρh D1 ρ1h1 D 1 w [] 2 {} W D W“″- 5Gh 6D1 W″- 5Gh 6 D 5Gh 6D 1 ρh D1 ρ1h1 D 1 w [] 2 {} W x 0; W （0 0 这样具体边界条件可以写成如下 K {1 W“″（0- 5Gh 6D1 W″（0 [ - 5Gh 6 D 5Gh 6D 1 ρh D1 ρ1h1 D 1 w ] 2 W （0 } { DW“″（0 - 5Gh 6D1 W““ （0 - 5Gh 6 D 5Gh 6D 1 ρh D1 ρ1h1 D 1 w [] 2 W“ （0 } x l; W （l 0 K {2 W“″（l- 5Gh 6D1 W″（l [ - 5Gh 6 D 5Gh 6D 1 ρh D1 ρ1h1 D 1 w ] 2 W （l } { DW“″（l - 5Gh 6D1 W““ （l - 5Gh 6 D 5Gh 6D 1 ρh D1 ρ1h1 D 1 w [] 2 W“ （l } 注意到式 （14 有 W“″（0 b0β 2 0W （0- b20W“ （0 b0β 2 0A - b20C W“″（0 b0β 2 0W （0- b20W″ （0 b0β2 0B - b20E W“″（0 b0β 2 0W“ （0- b20W““ （0 b0β2 0C - b20β 2 0A b 2 20C 代入式 （15 有 Y2（l B Y3（l C Y4（l E 0（17 f1（w B Y2（w C Y3（w E 0（18 f4（w B Y5（w C Y6（w E 0（19 由式 （17 、（18 和 （19 来确定常数 B、 C、 E， 方 程组有非零解的充分必要条件是系数行列式为零， 由此得频率方程。 F （w Y2（l f2（w f3（w Y3（l f3（w f4（w Y4（l f1（w f5（w- Y4（l f2（w f4（w- Y3（l f1（w f6（w- Y2（l f3（w f5（w 0 （20 其中 f1（w K1b0β2 0- 5Gh 6 D 5Gh 6D 1 ρh D1 ρ1h1 D 1 w []{} 2 15第 35 卷 第 1 期 杨文东， 杨 栋， 夏 杰 爆破动荷载作用下的地下结构内力计算方法探讨 万方数据 f2（w { - D （b0β2 0 b2 20 5Ghb20 6D1 - 5Gh 6 D 5Gh 6D 1 ρh D1 ρ1h1 D 1 w []} 2 f3（w - K1b20 5Gh 6D [] 1 fi3（w K {2 Y″ “ i1 （l- 5Gh 6D1 Y“ i1[ - 5Gh 6 D 5Gh 6D 1 ρh D1 ρ1h1 D 1 w ] 2 -Y i1 （l } { -DY““ i1 （l -5Gh 6D1 Y““ i1 （l [ - 5Gh 6 D 5Gh 6D 1 ρh D1 ρ1h1 D 1 w ] 2 Y““ i1 （l } （i1， 2， 3 由式 （20 解出无穷多组 wm， 又可确定相应的振 型系数 Bm1， Cm， Em， 最后得振型为 Wm（x Y2m（x CmY3m（x EmY4m（x 式中， Y4m（x 为代入 Wm值之 Yi（x（i 2， 3， 4 。 下面进一步讨论在围岩外侧受有爆破荷 P （x， t 作用下的强迫振动解 令解 w ∑ ∞ m Wm（x Tm（t φ ∑ ∞ m Φm（x Tm（t } （21 其中， 振型 Wm 、 Φ m满足式 （1 、 （2 相应的振型 方程 DΦ“ m- 5 6 （Wm- Φm hG - ρJw2 mΦm （22 5 6 （Wm- Φm Gh - q - ρhw2 mWm （23 强迫振动从式 （1 、 式 （2 出发进行求解， 将式 （21 代入之有 D∑ ∞ m Φm（x Tm 5Gh 6 ∑ ∞ m（W m- Φm Tm - ρJ ∑ ∞ m ΦmTm 0（24 q （x， t- P （x， t ρh∑ ∞ m WmTm- 5Gh 6 ∑ ∞ m（W“ m- Φm Tm 0（25 将式 （22 、 式 （23 代入 （24 、（25 有 ∑ ∞ m ρJw 2 nΦmTm ∑ ∞ m ρJΦmTm 0（26 ∑ ∞ m ρhw2 nWmTm ∑ ∞ m ρhWmTm 0 （27 利用振型正交性 ∫ l 0 WmWn ρJ ρh ΦmΦ n dx 0 （m ≠ n 作 ∫ l 0 [ （12 - a Φn（12 - b Wn] dx 运算得 Tm w mTm Pm Mm （28 式中 Pm ∫ l 0 P （x， t Wndx Mm ∫ l 0 （ρJΦ2n ρhW 2 m dx 式中， P （x， t 取自由场压力。 式 （28 之强迫振动特解为 Tm（t 1 wmMm∫ l 0 Pm（τsinwm（t - τ dτ （m 1， 2， 3， 最后得强迫振动解为 w （x， t∑ ∞ m Wm（x Tm（t φ （x， t∑ ∞ m Φm（x Tm（t } （29 将式 （29 代入式 （7 得接触压力函数为 q （x， t D1∑ ∞ m W““ m （x Tm（t ρ1h1∑ ∞ m Wm（x T （t （30 围岩内应力可根据由式 （5 和式 （6 确定， 即 M - D∑ ∞ m Φ m （x Tm（t（31 Q 5Gh 6 ∑ ∞ m[W m （x- Φ （x ] Tm（t（32 来计算， 围岩外介质中应力同自由场， 两者连 续。 衬砌中内力由式（8 和式 （9 决定， 即 M - D1∑ ∞ m W m （x Tm（t（33 Q - D1∑ ∞ m W″ m （x Tm（t（34 式中 M 为弯矩， kNm; Q 为剪力， kN。 对于在爆破动载荷作用下的地下工程围岩接触 面压力、 围岩内力和衬砌内力分布可分别按式 （30 、（31 、（32 、（33 和 （34 计算。这些计算公 式将可以从理论上研究分析地下工程支护结构与围 岩动力共同作用原理的一些实质规律， 如围岩接触 面压力与位移分布的时空理论曲线， 围岩与结构弹 性常数不同匹配对动力反应影响， 围岩动力问题集 中参数化的理论依据等。 25爆 破 2018 年 3 月 万方数据 2 结论 基于结构动力学原理和弹性力学的薄板与厚板 理论， 推导了在爆破动载荷作用下的地下工程围岩 内力计算式为 M - D∑ ∞ m Φ m （x Tm（t和 Q 5Gh 6 ∑ ∞ m[W m （x- Φ （x ] Tm（t ，衬砌内力计算式 为 M - D1∑ ∞ m W m （x Tm（t 和 Q - D1∑ ∞ m W″ m （x Tm（t 地下工程围岩和支护间的相互作用力用接触压 力函数 q （x， t 加以联系， 并给出了函数q （x， t的解 析表达式为 q （x， t D1∑ ∞ m W““ m （x Tm（t ρ1h1∑ ∞ m Wm（x T （t 研究成果为分析爆破荷载作用下的地下结构相 互作用原理、 围岩压力分布、 支护应力状态提供了可 参考的理论依据。 参考文献 References [1] 白现军， 王太兴， 卫鑫. 近断层速度脉冲对隧洞工程动 力响应的影响规律 [J] . 山东大学学报 （工学版 ， 2017， 47 （2 14-19. 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