事故树计算题 [兼容模式].pdf

二、顶上事件发生的概率二、顶上事件发生的概率 1．如果．如果事故树中不含有重复的或相同的基本事 件 事故树中不含有重复的或相同的基本事 件，各基本事件又都是相互独立的，顶上事件 发生的概率可根据事故树的结构，用下列公式 求得。 ，各基本事件又都是相互独立的，顶上事件 发生的概率可根据事故树的结构，用下列公式 求得。 用“与门”连接的顶事件的发生概率为用“与门”连接的顶事件的发生概率为 用“或门”连接的顶事件的发生概率为用“或门”连接的顶事件的发生概率为 式中式中qi第第i个基本事件的发生概率（个基本事件的发生概率（i1，， 2，，n）。）。    n i i qTP 1    n i i qTP 1 1 1 例如某事故树共有例如某事故树共有2个最小割集个最小割集 E1｛｛X1，，X2｝，｝， E2｛｛X2，，X3，，X4 ｝。 已知各基本事件发生的概率为 ｝。 已知各基本事件发生的概率为 q10.5；； q20.2；； q30.5；； q40.5； 求顶上事件发生概率 ； 求顶上事件发生概率 T . .. . E1 E2 X2X4X1X2 X3 2 12 1 23 11 12234 111 1 1 1 1 1 1 1 1 EiEE i ii ii P TPPP qq q qq q q             122341322 2 4 12234134 1 1 0.5 0.20.2 0.5 0.50.2 0.5 0.5 0.5 0.125 q q q P Tq qq q qqq q q qq q qqq q      1 1 0.5 0.2 1 0.2 0.5 0.50.145P T   2．但当事故树含有．但当事故树含有重复出现的基本事件重复出现的基本事件时时，， 或或基本事件可能在几个最小割集中重复 出现 基本事件可能在几个最小割集中重复 出现时，最小割集之间是相交的，这时时，最小割集之间是相交的，这时，， 应按以下几种方法计算。应按以下几种方法计算。 ① 最小割集法① 最小割集法 事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这 时，顶上事件等于最小割集的并集。 事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这 时，顶上事件等于最小割集的并集。 设某事故树有设某事故树有K个最小割集个最小割集E1、、E2、、、、 Er、、、、Ek，则有，则有 顶上事件发生概率为顶上事件发生概率为  k r r ET 1           k r r EPTP 1 化简，顶上事件的发生概率为化简，顶上事件的发生概率为 式中式中r、、s、、k最小割集的序号，最小割集的序号，r＜＜s＜＜k；； i 基本事件的序号，基本事件的序号， 1≤r＜＜s≤kk个最小割集中第个最小割集中第r、、s两个割集的组合 顺序； 两个割集的组合 顺序； 属于第属于第r个最小割集的第个最小割集的第i个基本事件；个基本事件； 属于第属于第r个或第个或第s个最小割集的第个最小割集的第i个基 本事件。 个基 本事件。 ri Ex  sri EEx 123 1 111 1 ir irs ik kk k iii rr s kxEr xEE xEEEE P Tqqq               123 1 111 1 ir irs ik kk k iii rr s kxEr xEE xEEEE P Tqqq               公式中的第一项 “求各最小割集E的发生概率的和”（将各最 小割集中的基本事件的概率积 相加）；但有重复计算的情况， 因此， 在第二项中 “减去每两个最小割集同时发生的概率”（将每两 个最小割集并集的基本事件的概率积 相加）；还有重复计算 的情况， 在第三项 “加上每三个最小割集同时发生的概率” （将每三 个最小割集并集的基本事件的概率积 相加） ； 以此类推，加减号交替，直到最后一项 “计算所有最小割集同 时发生的概率” 例如某事故树共有例如某事故树共有3个最小割集试用 最小割集法计算顶事件的发生的概率。 个最小割集试用 最小割集法计算顶事件的发生的概率。 E1｛｛X1，，X2，， X3｝，｝， E2｛｛X1，，X4 ｝｝ E3｛｛X3，，X5｝ 已知各基本事件发生的概率为 ｝ 已知各基本事件发生的概率为 q10.01；； q20.02；； q30.03；； q40.04；； q50.05 求顶上事件发生概率求顶上事件发生概率 123 1 111 1 ir irs ik kk k iii rr s kxEr xEE xEEEE P Tqqq               1231435 12341235134512345 0.001904872 P Tq q qq qq q q q q qq q q qq q q qq q q q q    E1｛｛X1，，X2，， X3 ｝，｝， E2｛｛X1，，X4 ｝｝ E3｛｛X3，，X5｝｝ 1、列出顶上事件 发生的概率表达式 、列出顶上事件 发生的概率表达式 2、展开，消除每个概率积中 的重复的概率因子 、展开，消除每个概率积中 的重复的概率因子 qi qiqi 3、将各基本事件的概率值带 入，计算顶上事件的发生概率 、将各基本事件的概率值带 入，计算顶上事件的发生概率 如果各个最小割集中彼此不存在重复的基本事 件，可省略第 如果各个最小割集中彼此不存在重复的基本事 件，可省略第2步步 最小径集法最小径集法 根据最小径集与最小割集的对偶性，利 用最小径集同样可求出顶事件发生的概 率。 根据最小径集与最小割集的对偶性，利 用最小径集同样可求出顶事件发生的概 率。 设某事故树有设某事故树有k个最小径集个最小径集P1、、P2、、、、 Pr、、、、Pk。用。用Dr（（r1，，2，，，，k）表 示最小径集不发生的事件，用表示顶 上事件不发生。 ）表 示最小径集不发生的事件，用表示顶 上事件不发生。 T 由最小径集定义可知，只要由最小径集定义可知，只要k个最小径集 中有一个不发生，顶事件就不会发生， 则 个最小径集 中有一个不发生，顶事件就不会发生， 则  k r r DT 1           k r r DPTP 1 1 故顶上事件发生的概率故顶上事件发生的概率 式中Pr最小径集（最小径集（r1，，2，，k）；）； r、、s最小径集的序数，最小径集的序数，rs；； k最小径集数； （ 最小径集数； （1-qr））第第i个基本事件不发生的概率；个基本事件不发生的概率； 属于第属于第r个最小径集的第个最小径集的第i个基本事件；个基本事件； 属于第属于第r个或第个或第s个最小径集的第个最小径集的第i个 基本事件 个 基本事件  123 1 111 11111 irirs ik kk k iii rr s kxPxPPr xPPPP P Tqqq             ri px  sri ppx 公式中的第二项 “减去各最小径集P实现的概率的和”（将 各最小径集中的基本事件不发生的概率积 相加）；但有重 复计算的情况，因此， 在第二项中 “加上每两个最小径集同时实现的概率”（将 每两个最小径集并集中的各基本事件不发生的概率积 相 加）；还有重复计算的情况， 在第三项 “减去每三个最小径集同时实现的概率” （将每 三个最小径集并集的基本事件不发生的概率积 相加） ； 以此类推，加减号交替，直到最后一项 “计算所有最小径 集同时实现的概率”  123 1 111 11111 irirs ik kk k iii rr s kxPxPPr xPPPP P Tqqq             例如某事故树共有例如某事故树共有4个最小径集，个最小径集， P1｛｛X1，，X3｝，｝， P2｛｛X1，，X5 ｝｝, P3｛｛X3，，X4｝｝, P3｛｛ X2，， X4，，X5｝ 已知各基本事件发生的概率为 ｝ 已知各基本事件发生的概率为 q10.01；； q20.02；； q30.03；； q40.04；； q50.05 试用试用最小径集法最小径集法求顶上事件发生概率求顶上事件发生概率  123 1 111 11111 irirs ik kk k iii rr s kxPxPPr xPPPP P Tqqq             131534245 135134 123451534 124523 1 [111111111] [111111 111111111 111111 P Tqqqqqqqqq qqqqqq qqqqqqqqq qqqqqq      45 134512345 1234512345 12345 11] [111111111 1111111111] 11111 qq qqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqq     P1｛｛X1，，X3 ｝，｝， P2｛｛X1，，X5 ｝｝, P3｛｛X3，，X4｝｝, P4｛｛ X2，， X4，，X5｝｝ 1、列出定上事件 发生的概率表达式 、列出定上事件 发生的概率表达式 2、展开，消除每个概率积中的重 复的概率因子 、展开，消除每个概率积中的重 复的概率因子 1-qi 1-qi1-qi 3、将各基本事件的概率值带 入，计算顶上事件的发生概率 、将各基本事件的概率值带 入，计算顶上事件的发生概率 如果各个最小径集中彼此不存在重复的基本事 件，可省略第 如果各个最小径集中彼此不存在重复的基本事 件，可省略第2步步 例如某事故树共有例如某事故树共有2个最小径集个最小径集P1｛｛X1，，X2｝，｝， P2｛｛X2，，X3｝。已知各基本事件发生的概率为｝。已知各基本事件发生的概率为 q10.5；； q20.2；； q30.5；求顶上事件发生概率；求顶上事件发生概率 12 1223 12 22 222222 22 122323 121312323 3112313 1213233123 123113 112 22 233 [1 11][1 11] 0.5 0. PP q q q q q q P TPP qqqq qqq qqqq q q qq qq q qq q qqq q qqq q qq qq qq qqqq q q q q qq qq q qq q q qqq q         50.5 0.2 0.50.20.4 T . . P1 P2 X2X3X1X2 三、基本事件的概率重要度三、基本事件的概率重要度 基本事件的重要度一个基本事件对顶 上事件发生的影响大小。 基本事件的重要度一个基本事件对顶 上事件发生的影响大小。 基本事件的基本事件的结构重要度分析结构重要度分析只是按事故 树的结构分析各基本事件对顶事件的影 响程度，所以，还应考虑各基本事件发 生概率对顶事件发生概率的影响，即对 事故树进行 只是按事故 树的结构分析各基本事件对顶事件的影 响程度，所以，还应考虑各基本事件发 生概率对顶事件发生概率的影响，即对 事故树进行概率重要度分析概率重要度分析。。 事故树的事故树的概率重要度分析概率重要度分析是依靠各基 本事件的概率重要度系数大小进行定 量分析。 是依靠各基 本事件的概率重要度系数大小进行定 量分析。所谓概率重要度分析，它表 示第 所谓概率重要度分析，它表 示第i个基本事件发生的概率的变化引 起顶事件发生概率变化的程度。 个基本事件发生的概率的变化引 起顶事件发生概率变化的程度。 由于顶上事件发生概率函数是由于顶上事件发生概率函数是n个基 本事件发生概率的多重线性函数 个基 本事件发生概率的多重线性函数 对对自变量自变量qi求一次偏导求一次偏导，即可得到该 基本事件的概率重要度系数。 ，即可得到该 基本事件的概率重要度系数。 xi基本事件的基本事件的概率重要度系数概率重要度系数 式中式中P（（T））顶事件发生的概率；顶事件发生的概率； qi第第i个基本事件的发生概率。个基本事件的发生概率。 利用上式求出各基本事件的概率重要度 系数，可确定降低哪个基本事件的概率 能迅速有效地降低顶事件的发生概率。 利用上式求出各基本事件的概率重要度 系数，可确定降低哪个基本事件的概率 能迅速有效地降低顶事件的发生概率。   i g q TP iI    例如某事故树共有例如某事故树共有2个最小割集个最小割集E1｛｛X1，，X2｝，｝， E2｛｛X2，，X3｝。已知各基本事件发生的概率为｝。已知各基本事件发生的概率为 q10.4；； q20.2；； q30.3；排列各基本事件的概率重 要度， ；排列各基本事件的概率重 要度， 1223123 223 1 1313 2 212 3 0.116 10.16 20.49 30.12 g g g P Tq qq qq q q P T Iqq q q P T Iqqq q q P T Iqq q q           213 ggg III T . . P1 P2 X2X3X1X2 . . 四、基本事件的四、基本事件的关键重要度（临界重要度）关键重要度（临界重要度） 一般当各一般当各qi不等时，改变不等时，改变qi大的大的Xi较容易， 但 较容易， 但概率重要度系数概率重要度系数并未反映并未反映qi变化变化 考虑从考虑从本质上反映本质上反映Xi在在FT中的重要程度中的重要程度。。 关键重要度分析，它表示关键重要度分析，它表示第第i个基本事件 发生概率的变化率引起顶事件概率的变 化率 个基本事件 发生概率的变化率引起顶事件概率的变 化率；； 相比概率重要度关键重要度，更合理更 具有实际意义。 相比概率重要度关键重要度，更合理更 具有实际意义。 基本事件的关键重要度基本事件的关键重要度 式中式中第第i个基本事件的关键重要度系数；个基本事件的关键重要度系数； 第第i个基本事件的概率重要度系数；个基本事件的概率重要度系数； P（（T））顶事件发生的概率；顶事件发生的概率； qi第第i个基本事件发生概率。个基本事件发生概率。    iI Tp q q Tp Tp q qq TpTp iI g i i q i ii q c g i i          lim lim 0 0  iI c g  iI g 例如某事故树共有例如某事故树共有2个最小割集个最小割集E1｛｛X1，，X2｝，｝， E2｛｛X2，，X3｝。已知各基本事件发生的概率为｝。已知各基本事件发生的概率为 q10.4；； q20.2；； q30.3；排列各基本事件的关键重 要度， ；排列各基本事件的关键重 要度， 1 2 3 0.116;10.16;20.49;30.12 0.4 110.160.552 0.116 0.2 220.490.845 0.116 0.3 310.120.310 0.1 213 1 6 g ccc ggg gg c gg c gg c gg P TIII q II P T q II P II q II P T I T        