4.6马尔柯夫预测.ppt

1,4.6马尔柯夫预测,,2,主要内容,马尔柯夫预测的基本概念与原理市场占有率的马尔柯夫预测相关领域应用预测期望利润的马尔柯夫预测,马尔柯夫预测的基本概念与原理,马尔可夫（Markov）法是以俄国数学家AAMarkov名字命名的一种方法。它将时间序列看作一个随机过程，通过对事物不同状态的初步概率和状态之间转移概率的研究，确定状态变化趋势，以预测事物的未来发展状况。,4,状态和状态转移,状态是指客观事物可能出现或存在的状况。如企业的产品在市场上可能畅销，也可能滞销。状态转移是指客观事物由一种状态到另一种状态的变化。,5,马尔柯夫过程,设预测对象为一系统，若该系统在某一时刻可能出现的状态为Ei，而该系统从状态Ei变化到另一状态Ej的状态转移过程称为马尔柯夫过程。它具有如下的两个特征,无后效性即系统的第n次试验结果出现的状态，只于第n-1次时所处的状态有关，与它以前所处的状态无关；稳定性即在较长时间下，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。,6,概率向量和概率矩阵,在一行向量中，如果每一元素都为非负，且其和等于1，则称该向量为概率向量。如A0.30.50.2,由概率向量构成的矩阵称为概率矩阵。,概率矩阵有下列性质若A、B都是概率矩阵，则AB也是概率矩阵；若A是概率矩阵，则An也是概率矩阵。,7,正规概率矩阵,若P为概率矩阵，且存在m0,使Pm的所有元素均为正非零非负，则P为正规概率矩阵。,正规概率矩阵m1,正规概率矩阵m2,不是正规概率矩阵,8,对于正规概率矩阵P和概率向量U，如果UPU成立，则称U为P的固定概率向量。并且P只有一个固定概率向量。,正规概率矩阵的固定概率向量,设P的固定概率向量为Ux,1-x，则由UPU，得U1/3,2/3，为P的唯一的固定概率向量。,9,一步转移概率与转移矩阵,系统由状态Ei经过一步转移到状态Ej的概率为pij，则下述N阶矩阵称为一步转移矩阵,10,例1,11,k步转移概率与矩阵,,,,,由此，两步转移概率矩阵为,可以证明,13,状态转移概率的估算,一步转移概率是马尔柯夫方法应用的关键。一般地，转移概率的理论分布是未知的，但当我们具有足够样本资料时，可利用状态之间转移的频率来作为概率的估计值。即,,14,例2,已知某一产品在过去21个月销量如下表所示。其中每月销量在150千件以上为畅销，在100千件与150千件之间为正常，低于100千件为滞销。记三种销售状态分别为,,,由表可知，滞销状态总数为,正常状态总数为,,,畅销状态总数为,,,并且,,所以,,,同样,得,,,,写成一步转移矩阵为,,17,系统的稳定状态,处于状态i的概率如用Si表示，则系统的状态可用下面的概率向量来表示SS1，S2，，Sn系统的稳定状态是指系统即使再经过一步状态转移，其状态概率仍保持不变的状态。即SPS则称S为P的稳定状态概率向量。,18,稳定状态概率向量求法,且S1S2Sn1,由,从而有,P11S1P21S2Pn1SnS1P12S1P22S2Pn2SnS2P1nS1P2nS2PnnSnSnS1S2Sn1,由前n个方程中去掉一个不独立的方程，整理得,即有,矩阵形式,20,设系统在k0时所处的初始状态为已知，记作,马尔柯夫预测模型,经过k次转移后所处的状态向量记为,则,21,马尔柯夫预测模型,写成矩阵形式为,22,马尔柯夫预测法的应用条件,必须将研究的问题归纳成独立的状态；要确定经过一个时期后，系统由一种状态转变为另一种状态的概率，并且这种概率必须满足下列条件只与目前状态有关；与具体的时间周期无关；预测期间，状态的个数必须保持不变。,23,预测步骤,如果研究的问题符合上述条件，则构成一阶马尔柯夫链，并可以据此建立预测模型，进行预测。具体步骤如下确定系统的状态；确定转移概率矩阵；进行预测。,24,例3,某公司将最近20个月的商品销售额统计如下，试预测第21个月的商品销售额。,各月商品销售额单位万元,1.划分状态按销售额多少作为划分状态的标准。状态1滞销销售额60万元；状态2平销60万元销售额100万元；状态3畅销销售额100万元。,解,2.计算转移概率矩阵各状态出现的次数为M17；M25；M38,由状态i转移为状态j的次数为M113；M124；M130；M211；M221；M233；M312；M320；M335。,,3.预测因为第20月的销售属状态3，而状态3经过一步转移达到状态1、2、3的概率分别为2/7、0、5/7，P33≥P31≥P32，所以第21月仍处于状态3的概率最大，即销售额超过100万元的可能性最大。,26,某家电生产企业液晶电视机销售情况如下表，分析预测下月可能的销售量。,例,单位千台,,,解假设该产品销售量可分为如下三个状态,1滞销,2正常,3畅销,,转移概率矩阵,第21期的销量为105.9千台，属于畅销状态，由此经过一步转移到达各个状态的概率有以下关系,说明销量在目前状态下，经过一次转移畅销的可能性最大。故预测第22期液晶电视机的销量将超过100千台。,市场占有率的马尔柯夫预测,30,市场占有率,在市场竞争条件下，企业向市场提供的商品份额占市场总份额的比例为企业该商品的市场占有率。设市场中提供某种商品的厂商共有n家。当前的市场占有率，即本期市场占有率为用Pij代表经过一个时期后i厂商丧失的顾客转移到j厂商的概率，或j厂商得到由i厂商转来的顾客的概率。特别是当ij时，Pij代表i厂商保留上期顾客的概率。这样Pij即为市场占有率的转移概率。,对于未来一个时期的市场占有率,上式表明对于某一厂商下期市场占有率，包括自己保留下来的顾客和从其它厂商转来的顾客两部分占有率构成。写成矩阵形式，有,即S（t1）S（t）P下期市场占有率取决于本期市场占有率和转移概率。,32,例4,有A、B、C三家企业的同种产品上个月在某地区市场上的占有率分别为0.52、0.30、0.18。根据市场调查情况，每1000户顾客中分别购买A、B、C三家企业产品的变化情况如表。试用马尔柯夫预测法分析，若按目前趋势发展下去，三家企业产品占有率的状况。,企业占有顾客变化情况单位人,解1．确定初始状态以上月各企业的市场占有率为初始状态，S00.52,0.30,0.18,2.计算转移概率,3.计算本期市场占有率,本月市场占有率S1S0P,即S10.435,0.297,0.268,4.后续周期趋势预测,若以本月为第一个月,则第K个月的市场占有率为SKS0PK。如果需要进行长期趋势预测,则可以此公式计算下去。如下表,5．长期市场占有率预测稳定状态分析,企业产品的市场占有率的稳定状态是各企业产品的市场占有率不发生逐期变化时的状态。从前面可以看到，随逐时间的推移，各企业产品的市场占有率逐期上升或下降，但变化的幅度逐渐减小，趋近于不变，即处于稳定状态。,若以SA、SB、SC分别代表稳定状态下A、B、C各企业产品的市场占有率，则,得联立方程组,0.6SA0.35SB0.1SCSA0.3SA0.35SB0.2SCSB0.1SA0.3SB0.7SCSCSASBSC1,解上述联立方程，得,SA0.3375，SB0.2750，SC0.3875。即系统稳定时，A、B、C各企业产品的市场占有率分别为33.75，27.5，38.75。,37,设某地区有甲、乙、丙三家企业，生产同一种产品，共同供应1000家用户。假定在10月末经过市场调查得知，甲、乙、丙三家企业拥有的用户分别是250，300，450户，而11月份用户可能的流动情况如下,现要求我们根据这些市场调查资料预测11、12两个月三家企业市场用户各自的拥有量。,例5,,1根据调查资料，确定初始状态概率向量为,2根据市场调查情况，确定一次转移概率矩阵为,3利用马尔柯夫预测模型进行预测，11月份三个企业市场占有率为,所以11月份三个企业市场用户拥有量分别为甲10000.28280户乙10000.27270户丙10000.45450户,,,若12月份用户的流动情况与11月份相同，即转移概率矩阵不变，则12月份三个企业市场占有率为,12月份三个企业市场用户拥有量分别为甲10000.306306户乙10000.246246户丙10000.448448户,稳定状态概率为,42,,,某地区销售A、B、C三种牌号的味精，经调查在1000个顾客中有400个顾客购买A牌号味精，有300个顾客购买B牌号味精，有300个顾客购买C牌号味精。顾客购买味精的流动情况如下表，试预测本月、第三个月的市场占有率及长期市场占有率。,例6,解初始状态为,转移概率矩阵,本月的状态,即本月A牌号味精的市场占有率为0.52，B牌号味精的市场占有率为0.24，C牌号味精的市场占有率为0.24。,同理也可以预测第三个月的市场占有率,即第三个月这三种牌号味精的市场占有率分别为50.08，24.96，24.96。,,稳定状态,即达到市场平衡状态时，A牌的市场占有率为50，B牌的市场占有率为25，C牌的市场占有率也是25。,47,应用人力资源预测,例某高校为编制师资发展计划，需要预测未来教师队伍的结构。现对教师状况进行如下分类青年、中年、老年和流退流失和退休.根据历史资料，各类教师每年的转移,概率矩阵为,目前青年教师硕博400人，中年教师360人,老年教师300人。试分析3年后教师队伍的结构以及为保持编制不变,3年内应进多少硕博毕业生充实队伍,48,解,设目前教师结构为,则一年后的教师结构为,即流退98人,为保持编制不变,第一年需进98人.此时青年教师为32098418人.教师结构为,两年后教师机构为,第二年流退100人,∴第二年需进100名硕博毕业生.则青年教师为334100434人.教师机构为,三年后教师机构为,49,第三年流退100人,∴第三年需进100名硕博毕业生。则青年教师为347100447人.教师机构为,综上所述3年内需要引进硕士和博士毕业生298人。3年后教师机构为青年教师447名，中年教师298名，老年教师315名。,50,应用项目选址预测,某汽车维修公司在合肥有A、B和C3个维修厂。由于公司注重对员工技术的提高，树立顾客至上、信誉第一的理念,采用先进的管理模式,∴公司在本行业具有良好的形象，形成了一定规模的、稳定的客户群。的客户的调查显示，客户在A、B和C3个维修厂之间的转移概率为,由于资金的原因，公司目前打算只对其中的一个维修厂进行改造，并扩大规模。试分析应选择哪一个维修厂。,51,解,由于,的所有元素都大于0,所以该矩阵是正规矩阵。因此，P存在惟一的固定概率向量,解线性方程组,即,得惟一解,可见长期趋势表明当客户在3个维修厂之间的转移达到均衡状态时,大约有50的客户在A厂维修,所以应选择A厂进行项目投资,52,应用最佳经营策略选择预测,某地区销售的鲜牛奶是由3个厂家提供的。该地区客户总数为100万户,假定厂家从每个客户那里每年平均获利50万元.厂家2的市场调查显示，状态转移概率矩阵为,当K的逐步增大稳定状态下向量,得到固定点,即均衡状态下的市场占有率分别为50、25和25,53,依据均衡状态下的市场占有率，厂家认为应采取积极的营销策略，提高自己的市场占有率,为此设计了两套方案,方案一,旨在吸引老客户,实施之需花费450万元，并估计转移概率矩阵为,方案二,旨在吸引厂家1和厂家2的客户,实施之需花费400万元并估计转移概率矩阵为,试选择最佳方案,54,方案一，显然,解,的所有元素都大于0，所以P1为正,规矩阵。故P有惟一的固定点,解线性方程组,即,得惟一解,因此，当市场达到均衡状态时，厂家2的市场占有率达到44，比原来增加了19个百分点，由此带来的利润为,方案一的净利润为950-450500万元。同理方案二的净利润为450万元。可见应选择方案一。,期望利润的马尔柯夫预测,56,,期望利润预测是指产品在销售状况发生转移时对利润变化的预测。在期望利润预测中，产品销售状态的转移可视为马尔柯夫链，则由此带来的利润也必将发生转变。这种随马尔柯夫链的状态转移所赋予的利润转变，称为带利润的马尔柯夫链。,期望利润预测,57,r11畅销→畅销的累计利润；r12畅销→滞销的累计利润；r21滞销→畅销的累计利润；r22滞销→滞销的累计利润。,设销售状态有畅销1和滞销2两种，一步转移矩阵和相应的利润矩阵为,则，经一次转移的期望利润或称即时期望利润为,i1时，表示产品现处于畅销，一次转移后的期望利润；i2时，表示产品现处于滞销，一次转移后的期望利润。,一次转移的期望利润,58,例7,设某产品销售状态有畅销和滞销两种，连续畅销时可盈利12万元，由畅销转为滞销时盈利4万元，由滞销转为畅销时盈利4万元，连续滞销时亏损9万元，设一步转移矩阵为试分析产品处于畅销和滞销时，下一期的期望利润。,利润矩阵,产品处于畅销时，下一期的期望利润,产品处于滞销时，下一期的期望利润,用列向量表示,解,一般地，现在所处的状态为Sii1,2,,n经一步转移后，至下期的k1的期望利润为,由现在所处的状态Sii1,2,,n经k步转移后，至k期的累计期望利润的递推公式为,用矩阵表示，即为,61,设某种商品以往24个季度的销售状态如下表所示，且经计算得到的相应利润矩阵为,试求下一个季度的即时期望利润和三个季度后的期望利润。,例7,,,解1根据资料估计状态转移概率并确定状态转移概率矩阵,2求期望利润矩阵,,当K2时，即二次转移后的期望利润为,即二个月后期望利润将达到4.78千元。,当K3时，即三次转移后的期望利润为,即三个月后期望利润将达到7.00千元。,