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第一章 质点运动学 1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r,速度为v ,速率为v,t 至t ＋Δt时间内的位移为Δr, 路程为Δs, 位矢大小的变化量为Δr 或称Δ｜r｜,平均速度为,平均速率为． 1 根据上述情况,则必有 A ｜Δr｜ Δs Δr B ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜dr｜ ds ≠ dr C ｜Δr｜≠ Δr ≠ Δs,当Δt→0 时有｜dr｜ dr ≠ ds D ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜dr｜ dr ds 2 根据上述情况,则必有 A ｜｜ ,｜｜ B ｜｜≠,｜｜≠ C ｜｜ ,｜｜≠ D ｜｜≠,｜｜ 分析与解 1 质点在t 至t ＋Δt时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr｜＝PP′,而Δr ＝｜r｜-｜r｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等注在直线运动中有相等的可能．但当Δt→0 时,点P′无限趋近P点,则有｜dr｜＝ds,但却不等于dr．故选B． 2 由于｜Δr ｜≠Δs,故,即｜｜≠． 但由于｜dr｜＝ds,故,即｜｜＝．由此可见,应选C． 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢rx,y的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 1； 2； 3； 4． 下述判断正确的是 A 只有12正确 B 只有2正确 C 只有23正确 D 只有34正确 分析与解 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率．通常用符号vr表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式计算,在直角坐标系中则可由公式求解．故选D． 1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v表示速度,a表示加速度,s 表示路程, aｔ表示切向加速度．对下列表达式,即 1d v /dt ＝a；2dr/dt ＝v；3ds/dt ＝v；4d v /dt｜＝aｔ． 下述判断正确的是 A 只有1、4是对的 B 只有2、4是对的 C 只有2是对的 D 只有3是对的 分析与解 表示切向加速度aｔ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；在极坐标系中表示径向速率vr如题1 -2 所述；在自然坐标系中表示质点的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度aｔ．因此只有3 式表达是正确的．故选D． 1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有 A 切向加速度一定改变,法向加速度也改变 B 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 C 切向加速度可能不变,法向加速度不变 D 切向加速度一定改变,法向加速度不变 分析与解 加速度的切向分量aｔ起改变速度大小的作用,而法向分量an起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于aｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, aｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, aｔ为一不为零的恒量,当aｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选B． *1 -5 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率v0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v,则小船作 A 匀加速运动, B 匀减速运动, C 变加速运动, D 变减速运动, E 匀速直线运动, 分析与解 本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质．为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t 时刻定滑轮距小船的绳长为l,则小船的运动方程为,其中绳长l 随时间t 而变化．小船速度,式中表示绳长l 随时间的变化率,其大小即为v0,代入整理后为,方向沿x 轴负向．由速度表达式,可判断小船作变加速运动．故选C． 讨论 有人会将绳子速率v0按x、y 两个方向分解,则小船速度,这样做对吗 1 -6 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为,式中x 的单位为m,t 的单位为 s．求 1 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小； 2 质点在该时间内所通过的路程； 3 t＝4 s时质点的速度和加速度． 分析 位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据来确定其运动方向改变的时刻tp ,求出0～tp 和tp～t 内的位移大小Δx1 、Δx2 ,则t 时间内的路程,如图所示,至于t ＝4.0 s 时质点速度和加速度可用和两式计算． 解 1 质点在4.0 s内位移的大小 2 由 得知质点的换向时刻为 t＝0不合题意 则 所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为 3 t＝4.0 s时 1 -7 一质点沿x 轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如图a所示．设t＝0 时,x＝0．试根据已知的v-t 图,画出a-t 图以及x -t 图． 分析 根据加速度的定义可知,在直线运动中v-t曲线的斜率为加速度的大小图中AB、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动；而线段BC 的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动．加速度为恒量,在a-t 图上是平行于t 轴的直线,由v-t 图中求出各段的斜率,即可作出a-t 图线．又由速度的定义可知,x-t 曲线的斜率为速度的大小．因此,匀速直线运动所对应的x -t 图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的x–t 图为t 的二次曲线．根据各段时间内的运动方程x＝xt,求出不同时刻t 的位置x,采用描数据点的方法,可作出x-t 图． 解 将曲线分为AB、BC、CD 三个过程,它们对应的加速度值分别为 匀加速直线运动 匀速直线运动 匀减速直线运动 根据上述结果即可作出质点的a-t 图［图B］． 在匀变速直线运动中,有 由此,可计算在0～2ｓ和4～6ｓ时间间隔内各时刻的位置分别为 用描数据点的作图方法,由表中数据可作0～2ｓ和4～6ｓ时间内的x -t 图．在2～4ｓ时间内, 质点是作的匀速直线运动, 其x -t 图是斜率k＝20的一段直线［图c］． 1 -8 已知质点的运动方程为,式中r 的单位为m,t 的单位为ｓ．求 1 质点的运动轨迹； 2 t ＝0 及t ＝2ｓ时,质点的位矢； 3 由t ＝0 到t ＝2ｓ内质点的位移Δr 和径向增量Δr； *4 2 ｓ 内质点所走过的路程s． 分析 质点的轨迹方程为y ＝fx,可由运动方程的两个分量式xt和yt中消去t 即可得到．对于r、Δr、Δr、Δs 来说,物理含义不同,可根据其定义计算．其中对s的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元ds,则,最后用积分求ｓ． 解 1 由xt和yt中消去t 后得质点轨迹方程为 这是一个抛物线方程,轨迹如图a所示． 2 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为 , 图a中的P、Q 两点,即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置． 3 由位移表达式,得 其中位移大小 而径向增量 *4 如图B所示,所求Δs 即为图中PQ段长度,先在其间任意处取AB 微元ds,则,由轨道方程可得,代入ds,则2ｓ内路程为 1 -9 质点的运动方程为 式中x,y 的单位为m,t 的单位为ｓ． 试求1 初速度的大小和方向；2 加速度的大小和方向． 分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向． 解 1 速度的分量式为 当t ＝0 时, vox ＝-10 mｓ-1 , voy ＝15 mｓ-1 ,则初速度大小为 设vo与x 轴的夹角为α,则 α＝12341′ 2 加速度的分量式为 , 则加速度的大小为 设a 与x 轴的夹角为β,则 β＝-3341′或32619′ 1 -10 一升降机以加速度1.22 mｓ-2上升,当上升速度为2.44 mｓ-1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m．计算1螺丝从天花板落到底面所需要的时间；2螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离． 分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y1 ＝y1t和y2 ＝y2t,并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法是取升降机或螺丝为参考系,这时,螺丝或升降机相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度．升降机厢的高度就是螺丝或升降机运动的路程． 解1 1 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为 当螺丝落至底面时,有y1 ＝y2 ,即 2 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 解2 1以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a′＝g ＋a,螺丝落至底面时,有 2 由于升降机在t 时间内上升的高度为 则 1 -11 一质点P 沿半径R ＝3.0 m的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为20.0ｓ,设t ＝0 时,质点位于O 点．按a图中所示Oxy 坐标系,求1 质点P 在任意时刻的位矢；25ｓ时的速度和加速度． 分析 该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r ＝rt求质点运动的一切信息如位置矢量、位移、速度、加速度．在确定运动方程时,若取以点0,3为原点的O′x′y′坐标系,并采用参数方程x′＝x′t和y′＝y′t来表示圆周运动是比较方便的．然后,运用坐标变换x ＝x0 ＋x′和y ＝y0 ＋y′,将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系中质点P 在任意时刻的位矢．采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度． 解 1 如图B所示,在O′x′y′坐标系中,因,则质点P 的参数方程为 , 坐标变换后,在Oxy 坐标系中有 , 则质点P 的位矢方程为 2 5ｓ时的速度和加速度分别为 1 -12 地面上垂直竖立一高20.0 m 的旗杆,已知正午时分太阳在旗杆的正上方,求在下午2∶00 时,杆顶在地面上的影子的速度的大小．在何时刻杆影伸展至20.0 m 分析 为求杆顶在地面上影子速度的大小,必须建立影长与时间的函数关系,即影子端点的位矢方程．根据几何关系,影长可通过太阳光线对地转动的角速度求得．由于运动的相对性,太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度．这样,影子端点的位矢方程和速度均可求得． 解 设太阳光线对地转动的角速度为ω,从正午时分开始计时,则杆的影长为s＝htgωt,下午2∶00 时,杆顶在地面上影子的速度大小为 当杆长等于影长时,即s ＝h,则 即为下午3∶00 时． 1 -13 质点沿直线运动,加速度a＝4 -t2 ,式中a的单位为mｓ-2 ,t的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x＝9 m,v ＝2 mｓ-1 ,求质点的运动方程． 分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决．由和可得和．如a＝at或v ＝vt,则可两边直接积分．如果a 或v不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分． 解 由分析知,应有 得 1 由 得 2 将t＝3ｓ时,x＝9 m,v＝2 mｓ-1代入1 2得v0＝-1 mｓ-1,x0＝0.75 m．于是可得质点运动方程为 1 -14 一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度a＝A -Bv,式中A、B 为正恒量,求石子下落的速度和运动方程． 分析 本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函数,因此,需将式dv ＝avdt 分离变量为后再两边积分． 解 选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点． 1 由题意知 1 用分离变量法把式1改写为 2 将式2两边积分并考虑初始条件,有 得石子速度 由此可知当,t→∞时,为一常量,通常称为极限速度或收尾速度． 2 再由并考虑初始条件有 得石子运动方程 1 -15 一质点具有恒定加速度a ＝6i ＋4j,式中a的单位为mｓ-2 ．在t＝0时,其速度为零,位置矢量r0 ＝10 mi．求1 在任意时刻的速度和位置矢量；2 质点在Oxy 平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图． 分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量ax 和ay分别积分,从而得到运动方程r的两个分量式xt和yt．由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即和,两个分运动均为匀变速直线运动．读者不妨自己验证一下． 解 由加速度定义式,根据初始条件t0 ＝0时v0 ＝0,积分可得 又由及初始条件t＝0 时,r0＝10 mi,积分可得 由上述结果可得质点运动方程的分量式,即 x ＝10＋3t2 y ＝2t2 消去参数t,可得运动的轨迹方程 3y ＝2x -20 m 这是一个直线方程．直线斜率,α＝3341′．轨迹如图所示． 1 -16 一质点在半径为R 的圆周上以恒定的速率运动,质点由位置A 运动到位置B,OA 和OB 所对的圆心角为Δθ．1 试证位置A 和B 之间的平均加速度为；2 当Δθ分别等于90、30、10和1时,平均加速度各为多少 并对结果加以讨论． 分析 瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同,它们分别表示为和．在匀速率圆周运动中,它们的大小分别为, ,式中｜Δv｜可由图B中的几何关系得到,而Δt 可由转过的角度Δθ 求出． 由计算结果能清楚地看到两者之间的关系,即瞬时加速度是平均加速度在Δt→0 时的极限值． 解 1 由图b可看到Δv ＝v2 -v1 ,故 而 所以 2 将Δθ＝90,30,10,1分别代入上式, 得 , , 以上结果表明,当Δθ→0 时,匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极限值,该值即为法向加速度． 1 -17 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r＝2.0ti ＋19.0 -2.0t2 j,式中r 的单位为m,t的单位为s．求1质点的轨迹方程；2 在t1＝1.0s 到t2 ＝2.0s 时间内的平均速度；3 t1 ＝1.0ｓ时的速度及切向和法向加速度；4 t ＝1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ． 分析 根据运动方程可直接写出其分量式x ＝xt和y ＝yt,从中消去参数t,即得质点的轨迹方程．平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt→0 时,平均速度的极限即瞬时速度．切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量aｔ 和an ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即,后者只反映质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和aｔ 得到．在求得t1 时刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式求ρ． 解 1 由参数方程 x ＝2.0t, y ＝19.0-2.0t2 消去t 得质点的轨迹方程 y ＝19.0 -0.50 x2 2 在t1 ＝1.00ｓ 到t2 ＝2.0ｓ时间内的平均速度 3 质点在任意时刻的速度和加速度分别为 则t1 ＝1.00ｓ时的速度 vt｜t ＝1ｓ＝2.0i -4.0j 切向和法向加速度分别为 4 t ＝1.0ｓ质点的速度大小为 则 1 -18 飞机以100 mｓ-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问1 此时目标在飞机正下方位置的前面多远 2 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度3 物品投出2.0ｓ后,它的法向加速度和切向加速度各为多少 分析 物品空投后作平抛运动．忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动．到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的．因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解． 此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度．为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β．由图可知,在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量vx 、vy求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得． 解 1 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为 x ＝vt, y ＝1/2 gt2 飞机水平飞行速度v＝100 ms-1 ,飞机离地面的高度y＝100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离 2 视线和水平线的夹角为 3 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为 取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为 1 -19 如图a所示,一小型迫击炮架设在一斜坡的底端O 处,已知斜坡倾角为α,炮身与斜坡的夹角为β,炮弹的出口速度为v0,忽略空气阻力．求1炮弹落地点P 与点O 的距离OP；2 欲使炮弹能垂直击中坡面．证明α和β必须满足并与v0 无关． 分析 这是一个斜上抛运动,看似简单,但针对题目所问,如不能灵活运用叠加原理,建立一个恰当的坐标系,将运动分解的话,求解起来并不容易．现建立如图a所示坐标系,则炮弹在x 和y 两个方向的分运动均为匀减速直线运动,其初速度分别为v0cosβ和v0sinβ,其加速度分别为gsinα和gcosα．在此坐标系中炮弹落地时,应有y ＝0,则x ＝OP．如欲使炮弹垂直击中坡面,则应满足vx ＝0,直接列出有关运动方程和速度方程,即可求解．由于本题中加速度g 为恒矢量．故第一问也可由运动方程的矢量式计算,即,做出炮弹落地时的矢量图［如图B所示］,由图中所示几何关系也可求得 即图中的r 矢量． 1解1 由分析知,炮弹在图a所示坐标系中两个分运动方程为 1 2 令y ＝0 求得时间t 后再代入式1得 解2 做出炮弹的运动矢量图,如图b所示,并利用正弦定理,有 从中消去t 后也可得到同样结果． 2 由分析知,如炮弹垂直击中坡面应满足y ＝0 和vx ＝0,则 3 由23两式消去t 后得 由此可知．只要角α和β满足上式,炮弹就能垂直击中坡面,而与v0 的大小无关． 讨论 如将炮弹的运动按水平和竖直两个方向分解,求解本题将会比较困难,有兴趣读者不妨自己体验一下． 1 -20 一直立的雨伞,张开后其边缘圆周的半径为R,离地面的高度为h,1 当伞绕伞柄以匀角速ω旋转时,求证水滴沿边缘飞出后落在地面上半径为的圆周上；2 读者能否由此定性构想一种草坪上或农田灌溉用的旋转式洒水器的方案 分析 选定伞边缘O 处的雨滴为研究对象,当伞以角速度ω旋转时,雨滴将以速度v 沿切线方向飞出,并作平抛运动．建立如图a所示坐标系,列出雨滴的运动方程并考虑图中所示几何关系,即可求证．由此可以想像如果让水从一个旋转的有很多小孔的喷头中飞出,从不同小孔中飞出的水滴将会落在半径不同的圆周上,为保证均匀喷洒对喷头上小孔的分布还要给予精心的考虑． 解 1 如图a所示坐标系中,雨滴落地的运动方程为 1 2 由式12可得 由图a所示几何关系得雨滴落地处圆周的半径为 2 常用草坪喷水器采用如图b所示的球面喷头θ0 ＝45其上有大量小孔．喷头旋转时,水滴以初速度v0 从各个小孔中喷出,并作斜上抛运动,通常喷头表面基本上与草坪处在同一水平面上．则以φ角喷射的水柱射程为 为使喷头周围的草坪能被均匀喷洒,喷头上的小孔数不但很多,而且还不能均匀分布,这是喷头设计中的一个关键问题． 1 -21 一足球运动员在正对球门前25.0 m 处以20.0 mｓ-1 的初速率罚任意球,已知球门高为3.44 m．若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门,问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球 足球可视为质点 分析 被踢出后的足球,在空中作斜抛运动,其轨迹方程可由质点在竖直平面内的运动方程得到．由于水平距离x 已知,球门高度又限定了在y 方向的范围,故只需将x、y 值代入即可求出． 解 取图示坐标系Oxy,由运动方程 , 消去t 得轨迹方程 以x ＝25.0 m,v ＝20.0 mｓ-1 及3.44 m≥y≥0 代入后,可解得 71．11≥θ1 ≥69．92 27．92≥θ2 ≥18．89 如何理解上述角度的范围在初速一定的条件下,球击中球门底线或球门上缘都将对应有两个不同的投射倾角如图所示．如果以θ＞71．11或θ ＜18.89踢出足球,都将因射程不足而不能直接射入球门；由于球门高度的限制,θ 角也并非能取71.11与18.89之间的任何值．当倾角取值为27.92＜θ ＜69．92时,踢出的足球将越过门缘而离去,这时球也不能射入球门．因此可取的角度范围只能是解中的结果． 1 -22 一质点沿半径为R 的圆周按规律运动,v0 、b 都是常量．1 求t 时刻质点的总加速度；2 t 为何值时总加速度在数值上等于b3 当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈 分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s ＝st,对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量为an＝v2 /R．这样,总加速度为a ＝aｔeｔ＋anen．至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs＝st -s0．因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得． 解 1 质点作圆周运动的速率为 其加速度的切向分量和法向分量分别为 , 故加速度的大小为 其方向与切线之间的夹角为 2 要使｜a｜＝b,由可得 3 从t＝0 开始到t＝v0 /b 时,质点经过的路程为 因此质点运行的圈数为 1 -23 一半径为0.50 m 的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比．在t＝2.0ｓ 时测得轮缘一点的速度值为4.0 mｓ-1．求1 该轮在t′＝0.5ｓ的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度；2该点在2.0ｓ内所转过的角度． 分析 首先应该确定角速度的函数关系ω＝kt2．依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k,ω＝ωt确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法微分法和积分法,即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移． 解 因ωR ＝v,由题意ω∝t2 得比例系数 所以 则t′＝0.5ｓ 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为 总加速度 在2.0ｓ内该点所转过的角度 1 -24 一质点在半径为0.10 m的圆周上运动,其角位置为,式中θ 的单位为rad,t 的单位为ｓ．1 求在t ＝2.0ｓ时质点的法向加速度和切向加速度．2 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ 值为多少3 t 为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等 分析 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到． 解 1 由于,则角速度．在t ＝2 ｓ 时,法向加速度和切向加速度的数值分别为 2 当时,有,即 得 此时刻的角位置为 3 要使,则有 t ＝0.55ｓ 1 -25 一无风的下雨天,一列火车以v1＝20.0 mｓ-1 的速度匀速前进,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75角下降．求雨滴下落的速度v2 ．设下降的雨滴作匀速运动 分析 这是一个相对运动的问题．设雨滴为研究对象,地面为静止参考系Ｓ,火车为动参考系Ｓ′．v1 为Ｓ′相对Ｓ 的速度,v2 为雨滴相对Ｓ的速度,利用相对运动速度的关系即可解．解 以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v2 ,旅客看到雨滴下落的速度v2′为相对速度,它们之间的关系为 如图所示,于是可得 1 -26 如图a所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ 角,速率为v2′,若车后有一长方形物体,问车速v1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿 分析 这也是一个相对运动的问题．可视雨点为研究对象,地面为静参考系Ｓ,汽车为动参考系Ｓ′．如图a所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向即雨点相对于汽车的运动速度v2′的方向应满足．再由相对速度的矢量关系,即可求出所需车速v1． 解 由［图b］,有 而要使,则 1 -27 一人能在静水中以1.10 mｓ-1 的速度划船前进．今欲横渡一宽为1.00 103 m、水流速度为0.55 mｓ-1 的大河．1 他若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点,那么应如何确定划行方向 到达正对岸需多少时间 2如果希望用最短的时间过河,应如何确定划行方向 船到达对岸的位置在什么地方 分析 船到达对岸所需时间是由船相对于岸的速度v 决定的．由于水流速度u的存在, v与船在静水中划行的速度v′之间有v＝u ＋v′如图所示．若要使船到达正对岸,则必须使v沿正对岸方向；在划速一定的条件下,若要用最短时间过河,则必须使v 有极大值． 解 1 由v＝u ＋v′可知,则船到达正对岸所需时间为 2 由于,在划速v′一定的条件下,只有当α＝0 时, v 最大即v＝v′,此时,船过河时间t′＝d /v′,船到达距正对岸为l 的下游处,且有 1 -28 一质点相对观察者O 运动, 在任意时刻t , 其位置为x ＝vt , y＝gt2 /2,质点运动的轨迹为抛物线．若另一观察者O′以速率v 沿x 轴正向相对于O 运动．试问质点相对O′的轨迹和加速度如何 分析 该问题涉及到运动的相对性．如何将已知质点相对于观察者O 的运动转换到相对于观察者O′的运动中去,其实质就是进行坐标变换,将系O 中一动点x,y变换至系O′中的点x′,y′．由于观察者O′相对于观察者O 作匀速运动,因此,该坐标变换是线性的． 解 取Oxy 和O′x′y′分别为观察者O 和观察者O′所在的坐标系,且使Ox 和O′x′两轴平行．在t ＝0 时,两坐标原点重合．由坐标变换得 x′＝x - v t ＝v t - v t ＝0 y′＝y ＝1/2 gt2 加速度 由此可见,动点相对于系O′是在y 方向作匀变速直线运动．动点在两坐标系中加速度相同,这也正是伽利略变换的必然结果． 第二章 牛顿定律 2 -1 如图a所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为 A gsin θ B gcos θ C gtan θ D gcot θ 分析与解 当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力FＴ 其方向仍可认为平行于斜面和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a,如图b所示,由其可解得合外力为mgcot θ,故选D．求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征． 2 -2 用水平力FN把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当FN逐渐增大时,物体所受的静摩擦力Ff的大小 A 不为零,但保持不变 B 随FN成正比地增大 C 开始随FN增大,达到某一最大值后,就保持不变 D 无法确定 分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μFN范围内取值．当FN增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态．由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选A． 2 -3 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率 A 不得小于 B 必须等于 C 不得大于 D 还应由汽车的质量m 决定 分析与解 由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μFN．由此可算得汽车转弯的最大速率应为v＝μRg．因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑．应选C． 2 -4 一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下滑过程中,则 A 它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变 B 它受到的轨道的作用力的大小不断增加 C 它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心 D 它受到的合外力大小不变,其速率不断增加 分析与解 由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力FN作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关．重力的切向分量m gcos θ 使物体的速率将会不断增加由机械能守恒亦可判断,则物体作圆周运动的向心力又称法向力将不断增大,由轨道法向方向上的动力学方程可判断,随θ 角的不断增大过程,轨道支持力FN也将不断增大,由此可见应选B． 2 -5 图a示系统置于以a ＝1/4 g 的加速度上升的升降机内,A、B 两物体质量相同均为m,A 所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力,则绳中张力为 A 58 mg B 12 mg C mg D 2mg 分析与解 本题可考虑对A、B 两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性参考系进行求解．此时A、B 两物体受力情况如图b所示,图中a′为A、B 两物体相对电梯的加速度,ma′为惯性力．对A、B 两物体应用牛顿第二定律,可解得FＴ ＝5/8 mg．故选A． 讨论 对于习题2 -5 这种类型的物理问题,往往从非惯性参考系本题为电梯观察到的运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟的惯性力．如以地面为惯性参考系求解,则两物体的加速度aA 和aB 均应对地而言,本题中aA 和aB的大小与方向均不相同．其中aA 应斜向上．对aA 、aB 、a 和a′之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁．有兴趣的读者不妨自己尝试一下． 2 -6 图示一斜面,倾角为α,底边AB 长为l ＝2.1 m,质量为m 的物体从题2 -6 图斜面顶端由静止开始向下滑动,斜面的摩擦因数为μ＝0.14．试问,当α为何值时,物体在斜面上下滑的时间最短 其数值为多少 分析 动力学问题一般分为两类1 已知物体受力求其运动情况；2 已知物体的运动情况来分析其所受的力．当然,在一个具体题目中,这两类问题并无截然的界限,且都是以加速度作为中介,把动力学方程和运动学规律联系起来．本题关键在列出动力学和运动学方程后,解出倾角与时间的函数关系α＝ft,然后运用对t 求极值的方法即可得出数值来． 解 取沿斜面为坐标轴Ox,原点O 位于斜面顶点,则由牛顿第二定律有 1 又物体在斜面上作匀变速直线运动,故有 则 2 为使下滑的时间最短,可令,由式2有 则可得 , 此时 2 -7 工地上有一吊车,将甲、乙两块混凝土预制板吊起送至高空．甲块质量为m1 ＝2.00 102 kg,乙块质量为m2 ＝1.00 102 kg．设吊车、框架和钢丝绳的质量不计．试求下述两种情况下,钢丝绳所受的张力以及乙块对甲块的作用力1 两物块以10.0 mｓ-2 的加速度上升；2 两物块以1.0 mｓ-2 的加速度上升．从本题的结果,你能体会到起吊重物时必须缓慢加速的道理吗 分析 预制板、吊车框架、钢丝等可视为一组物体．处理动力学问题通常采用“隔离体”的方法,分析物体所受的各种作用力,在所选定的惯性系中列出它们各自的动力学方程．根据连接体中物体的多少可列出相应数目的方程式．结合各物体之间的相互作用和联系,可解决物体的运动或相互作用力． 解 按题意,可分别取吊车含甲、乙和乙作为隔离体,画示力图,并取竖直向上为Oy 轴正方向如图所示．当框架以加速度a 上升时,有 FＴ -m1 ＋m2 g ＝m1 ＋m2 a 1 FN2 - m2 g ＝m2 a 2 解上述方程,得 FＴ ＝m1 ＋m2 g ＋a 3 FN2 ＝m2 g ＋a 4 1 当整个装置以加速度a ＝10 mｓ-2 上升时,由式3可得绳所受张力的值为 FＴ ＝5.94 103 N 乙对甲的作用力为 F′N2
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