编织型气动人工肌肉几何特性研究.pdf

2 0 1 0年 1月 第 3 8 卷 第 1 期 机床与液压 MACHI NE T OOL ＆ HYDRAUL I C S J a n ． 2 0 1 0 Vo 1 ． 3 8 No ． 1 D O I 1 0 ． 3 9 6 9 ／ j ． i s s n ． 1 0 0 1 3 8 8 1 ． 2 0 1 0 ． 0 1 ． 0 0 8 编织型气动人工肌肉几何特性研究 臧克江 ，郭艳玲 ，马岩 ，高明 1 ．东北林业大学，黑龙江哈 尔滨 1 5 0 0 4 0 ；2 ．佳木斯大学，黑龙江佳木斯 1 5 4 0 0 7 摘要以Mc K i b b e n型气动人工肌肉为研究对象，对编织型气动人工肌肉工作机理进行了研究，建立了考虑端部有径 向约束的气动人工肌肉几何模型，并对所建模型进行数值分析。通过与理想圆柱模型的对比，所建模型从理论上能更精确 描述气动人工肌肉的工作特性，这对建立更加精确的气动人工肌肉模型有着重要的意义。 关键词气动人工肌肉；理论建模；端部径向约束 中图分类号T P 2 1 1 ． 3 2 文献标识码A， 文章编号1 0 0 1 3 8 8 1 2 0 1 0 1 0 2 4 4 S t ud y o f Ge o me t r y Cha r a c t e r i s t i c o f Br a i de d S t y l e Pn e uma t i c Ar t i fic a l M u s c l e Z A N G K e j i a n g ，G U O Y a n l i n g ‘ ，MA Y a n ，G A O M i n g 1 ． N o r t h e a s t F o r e s t r y U n i v e r s i t y ，H e r b i n H e i l o n g j i a n g 1 5 0 0 4 0 ，C h i n a ； 2 ． J i a m u s i U n i v e r s i t y ，J i a mu s i H e i l o n g j i a n g 1 5 4 0 0 7，C h i n a Ab s t r a c t T h e w o r k i n g me c h a n i s m o f b r a i d e d s t y l e p n e u ma t i c a r t i fi c a l mu s c l e wa s s t u d i e d w i t h Mc k i b b e n p n e u ma t i c a r t i fi c al mu s c l e a c t u a t o r a s a c a s e ． T h e g e o me t ri c a l mo d e l o f b r a i d e d s t y l e p n e u ma t i c a r t i f i c a l mu s c l e a c t u a t o r Was b u i l t b y c o n s i d e rin g t h e e n d r a - d i a l c o n s t r a i n t a n d an a l y z e d b y n u me ri c a l me tho d ．B y c o mp a rin g w i t h t h e i d e a l c y l i n d e r mo d e l ，r e s u l t s h o ws that t h i s mo d e l C an e x a c t - l y d e s c rib e the w o r k c h a r a c t e ri s t i c s o f p n e u ma t i c a r t i fi c a l mu s c l e a c t u a t o r i n t h e o r y ． Ke y wo r d s P n e u ma t i c a r t i fi c a l mu s c l e a c t u a t o r ；T h e o r y mo d e l ； E n d r a d i al c o n s t r a i n t 0前 言 气动人工肌肉作为一种新型气动驱动元件引起了 国内外学者的关注，并做了大量的研究工作。由于其 工作特性类似于动物肌肉，工作介质为压缩空气，其 名由此 而得。气动人工 肌 肉不仅可 以实 现轴 向驱 动⋯，也可以实现旋转驱动 ，广泛用于机器人、自 动生产线、轻工机械以及人体康复机械等领域。从现 有文献看，早期 的研究多为气动人工肌 肉功能的实 现，近些年来多以应用开发研究为主，而关于气动人 工肌肉工作机理和建模方面的研究还不是很多。总结 现有文献，气动人工肌肉的建模方法有两种 一种是 能量方法 ，另 一 种 是 力平 衡 方 法 。 。M c K i b b e n型 气动人工肌肉是一种典型的编织型气动人工肌肉，对 于这种形式的气动人 工肌肉 ，无论是 能量方法还是力 平衡方法，其条件皆为理想状态 ，即气动人工肌肉始 终保持理想圆柱状态。但实际的气动人工肌肉两端存 在约束，理想圆柱模型并不能精确地表达气动人工肌 肉的工作特性。尽管一些研究 对气动人工肌肉的 模型进行了修正，但都是在一些假设条件下推导出来 的，并且这些假设条件不是来 自于气动人工肌肉工作 机理。作者以 M c K i b b e n型气动人工肌肉为研究对象 ， 从工作机理出发，利用其结构的几何特性 ，建立考虑 端部有径向约束的气动人工肌肉几何模型，这对更加 精确地描述气动人工肌肉的工作性能有着非常重要的 意义 。 1 Mc K i b b e n型气动人工肌肉的结构及工作机理 1 ． 1 Mc K i b b e n型气动人工肌 肉的结构 ●圜 l --橡胶管 卜 编 织 网 3 - --法 兰 4 _ _ 密封豳 s 一管接螺母 6 一隔膜 软 管 卜 盘 型弹 簧 --内部 圆锥 图 1 气动人工肌肉结构图 Mc K i b b e n气动 人 工 肌 肉最 早 由 M c K i b b e n在 2 O 世纪5 0年代后期提出，通常人们称之为 Mc K i b b e n型 气动人工肌肉。M c K i b b e n型气动人工肌 肉是现在应 用较为广泛的一种气动人工肌肉，它采用编织结构， 主要由具有气密性的弹性橡管和具有承载能力的编织 网构成 ，编织网的丝由高抗拉强度材料制成，两端设 有端盖。端盖为组合件 ，采用扣押式结构与弹性橡管 收稿 日期 2 0 0 8 0 9 0 4 基金项目黑龙江省自然科学基金项 目 E 2 0 0 5 - 0 2 ；黑龙江省教育厅项目 1 1 5 3 1 3 7 2 作者简介臧克江 1 9 6 5 一 ，男 ，博士研究生，研究方向为流体传动与控制技术。Em a i l k j z a n g 1 6 3 ． c o m。 第 1 期 臧克江 等编织型气动人工肌肉几何特性研究 2 5 和编织 网连接 ，可 以保证连接处可靠 密封 ，Mc K i b b e n 型气动人工肌肉结构如图 1 所示。端盖也是气动人工 肌肉与负载和机架的连接部件，根据常规连接的方 式 ，生产厂家设计了标准的连接构件 ，用户也可以根 据需要 自行设计。气动人工肌肉的进气和排气 口也设 置在端部 。 1 ． 2工作机理 与 变形 分析 构成编织网的丝与网筒的轴线成一定的角度 ，并 正反向对称缠绕。弹性橡管具有密封作用，它将充入 气动人工肌肉气体的压力，均匀地传递给编织网，从 而使编织网产生形变，在轴向上发生位移，并承受一 定的拉力。 由于构成 气动人 工肌 肉的 网丝 正反 向缠 绕编织 ， 在周向和径向是对称结构 ，若忽略丝与橡胶之间的摩 擦力 ，丝各处断面上的拉力的大小是相同的；若忽略 丝 的在长度方 向的变形 ，丝上各点 的 自由度为轴 向和 径向；由于端部受结构的约束，丝与端部结合处只有 轴向自由度；在横断面上，丝上各点的受力状态是相 同的，这给节点的受力分析带来极大的方便。图2表 示 了气动人工肌 肉轴剖面和横剖面上 的丝各点 的 自由 度，图 3 表示了气动人工肌肉内部的压力分布情况。 由于气动人工肌肉是由多条正反缠绕在圆柱上的螺旋 线包络而成 ，螺旋线除缠绕方向相反外 ，其余几何尺 寸都完全相同，因此在初始状态下，正反螺旋线的交 点 或称节点在圆柱面上是均匀分布的。 图2 丝上各点的自由度 图3 内部的压力分布 2两端约束几何模型建立 气动人工肌肉精确模型建立的关键在于其形状变 化的描述。由于气动人工肌肉的工作机理的原因，除 两端构件为刚性构件外 ，其他构件都具有柔性或弹 性，因此 ，从理论分析的角度 ，在建立理论模型前可 作如下假设 1 丝只具有柔性 ，但没有拉伸变化 ； 2 忽略橡胶管的弹性 ，但具有柔性 ，其作用是密 封并将气体的压力均匀传递给丝； 3 忽略丝与丝 间、丝与橡胶管之间的摩擦。 气动人工肌肉几何建模问题 ，实际是网膜形位求 解问题。从气动人工肌肉结构和工作机理来看 ，若有 上述 的 3个假设条件 ，在变形过程 中 ，可将气动人 工 肌 肉分为 3段 ，中间为 圆柱段 ，两端过渡段为 回转 曲 面。圆柱面与回转曲面为光滑过渡曲面，这里假设两 端过渡段曲面为回转椭球面，这样可以保证端部曲面 与 中间 圆柱面 的光滑连接 。 气动人工肌肉是在气体压力下膨胀产生轴向位移 的，因此可以断定，在充气状态下，气动人工肌肉件 处于极 大值 状态 ，此条件可作为模型求解 的重要约束 条件。 ／ ／＼ ＼ ＼ ． 、 ／ 羹 争 。 ‘ l＼ 善 l ＼ 弹 2 l盯l l n 2 一 珥 一 - 兀 一 2d ’ ⋯⋯ 挫 怨四仕 ． 卜 勺餍 列水 图4 气动人工肌肉的几何关系图 图 4是气 动人 工肌 肉理想 圆柱模 型和考虑端部约 束模 型的几何关系示意 图。左侧为理想圆柱模型 的几 何关系，右侧为考虑端部约束模型的几何关系。为了 便于说明，使左右两个几何模型的中间圆柱直径相 同。b 。 为单根丝的长度；b 为中间圆柱上丝的长度 ； b 为两端曲面上丝的长度 由于两端约束形成的曲 面不可展，右侧的 b 用曲线 A B和A B 表示；z 为考 虑端部约束的肌 肉长度；z 为理想圆柱模型的长度； 由理论分析得 Z Z ；Z 为 中间圆柱 的长度 ；Z 为端部 约束曲面的轴向长度；d为中间圆柱直径； 为圆柱 部分的编织角；n为丝缠绕的总圈数 ；n 为中间圆柱 上的缠绕圈数 ；n 为端部约束曲面上的缠绕圈数。 3 体积计算 气动人工肌肉初始状态时的几何关系为 ] Z 0 b o c 0 s 0 1 d b o s i n ao d o 2 z 式中 l o 为气动人工肌 肉的初始长度 ； ％ 为初始状态下的编织角； 为初始状态直径 端部连接件直径 ； ／ 1,。 为纤维丝初始的缠绕圈数。 因为气动人工肌 肉在变形过程中不能发生扭转 ， 所以对相同初始长度和直径的气动人工肌肉来说，无 论是理想圆柱模型还是考虑端部约束的模型，纤维丝 缠绕的总圈数保持不变。由图4可得 n o n n 1 2 n 2 3 Z l b 】 C O S O L 4 n l 1 『 db 1 s i n a 5 ， 盯 b ， s i n 6 曰◇ 2 6 机床与液压 第 3 8卷 Z Z l 2 Z 2 7 d s i 8 nl盯 由于气动人工肌肉的对称结构 ，在初始状态不变 的条件下，圆柱的直径由编织角决定 ，而圆柱上丝的 线长与缠绕圈数的比值为一恒定值 ，即 A 比值恒定 9 r t o ff n 1 中间圆柱段的直径也可以表示为 dd o s in o t 1 0 一 1 not o 从以上推导来看 ，当初始条件确定后 ，圆柱部分 的直径只由对应的编织角决定 ，也就是说，圆柱部分 的直径与编织角是一一对应的，这一几何关系为后续 的模型建立和解算提供了有利的条件。 气动人工肌肉几何模型问题可以认为是在一定 形状的几何体上稳定缠绕问题 ，只不过由于气动人 工肌肉在工作时其体积在不断变化而已。前面的三 段组成 机构假设 已经将气动人工肌 肉的形状确定 了，下 面要 解决 的就是气 动人 工 肌 肉体 积 大小 和长 短变化的问题 。由微分几何知识可 以证 明，曲面 上最 稳 线 为 测 地 线 ，圆 柱 面 上 的 测 地 线 为 螺 旋 线⋯ ，所以，中间圆柱段上丝 的缠 绕方式为螺旋 线缠绕。 一 口 为非测地线的编织角 a为测地线的编织角 l一纤维丝的实际走向 2一溯地线缠绕纤维丝的走向 3、3一气动人工肌肉轴线 图5 气动人工肌肉端部过渡部分纤维丝线形的走向 图5为气动人工肌肉收缩后的端部照片，从图片 可 以看出 ，端部 曲面上丝 的走 向与 圆柱面上丝的走 向 恰恰相反 ，由文献 [ 8 9 ]可知，端部曲面上丝缠 绕方式为稳定的非测地线缠绕 ，其稳定条件为 r i c o s o ／ f c 1 1 式中r i 为回转半径； a 为 r 对应 的编织角 ； c 为常数 由边界条件或特殊 点确定 。 设端部过渡部分沿轴向剖面的椭圆曲线方程为 1 1 2 ￡ ， “ 令 a ／ b k ok a 。 ，联立式 1 2 可得 Y 0 一k 1 3 ． ，2 端部过渡部分的回转椭球体是由椭 圆曲线 1 绕着半轴 b 所在的坐标 Ⅱ 轴为 中心 轴旋 转 而得 到的。 曲线如 图 6所示。 根 据 前 面 的 假 设 ，过 渡 部分的最大半径和 中问 圆柱 段 的半径 相 等 ，取 。d ／ 2 ，1 “0d 。 ／ 2 ，代入椭 圆方程 中得 到 一端 过 渡 区域 的长 度 为 图6 端部过渡部 分剖面曲线 z √ d 一 1 4 气动人工肌 肉上的纤 维丝总长度为 b 0 ’ b 2 6 1 5 中间圆柱段体积为 V l , r r d Z l ／ 4 1 6 在端部 ，由 Y r ，气 动人工肌 肉其一端部 过 渡区域的体积为 r 1 2 ． J 1 T r d x 1 7 气动人工肌肉的总体积为 VV l 2 1 “ 2 1 8 整理上述式子得 盯 譬 一 2 k 2x 2 d x { 一 矿硼 1 9 4仿真分析 4 ． 1 端部形状分析 由气动人工肌肉工作机理可知，在收缩膨胀过程 中，气动人工肌肉的体积应处于最大极值状态。 由于式 1 9 结 构 复 杂 ，求 其 连续 解 困难 ，采 用数值方法进行研究。取 Z 。 1 6 5 m m， 。 2 0 。 ，d 。 l O m m时 ， 与 k的关系如图7所示。从图7的 a 、 b 两图可以看出，无论 d 取何值时， 的极值点为 k 1 处 ，即端 部过 渡 曲面为 球面 。另 外 ，当 d由小 向大变化时总体积 不断增大，当d达到某一值此处 为 2 3 ． 9 6 m m后，如果 d继续增大时总体积 又逐渐 减小。从气动人工肌肉工作原理来说这是不可能的， 但体积随直径这一变化过程可以说明，气动人工肌肉 有一个最大直径存在。用同样的方法可以绘制当直径 d 。 分别取 2 0 m m、4 0 m m时的气动人工肌 肉体积 V - k 曲线，得到的规律也是相同的。 图7中的 C 、 d 分别为 V - R ． k 关系曲面图及 等高线图，从 等高线图上可以看出，其体积存在 极大值点，切该极值点收敛于 k 1 处 ，与上面得到 的结论是一致的。 第 1 期 臧克江 等 编织型气动人工肌肉几何特性研究 2 7 目 2 蛙 最 4 ． 4 ； E 最 值 点 4 ’ 、 掌 兰 3 ．6 ， ⋯ 一I 上j ．aO 一 2 3 ． 9 6 半 径 比值 a d 2 3 ． 9 6 ram时V - k 仿真 曲线 半径 比值k d 蹦 仿真 曲线 图7 l 。 1 6 5 m m，d o l O m m考虑端部约束模型仿真曲线 图8为有端部约束的气动人工肌肉膨胀后端部纤 维丝的缠绕仿真图，可以看出端部纤维丝走向与图 5 是相 同的。 图8 有端部约束几何模型纤维丝的缠绕 4 ． 2体积与编织角之 间的关系 茸 目 垃 昌 茸 4 l 蛊 皇 警 1 一 0 2 0 3 O 4 O 5 O 6 O 2 O 3 0 4 0 5 O 编织角a ／ 。 编织角a ／ 。 a 工 o 1 6 5 mm，D0 1 0 mm b Lo 1 6 5 mm， Do 2 0 ram 时 V - a , 仿真 曲线 时 V - a仿真 曲线 c Lo 3 0 0 mm， Do 1 0 mm 时 口 仿真曲线 1 茸 昌 一 蛙 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 编织角a ／ 。 d L0 5 0 0 ram，Do 1 0 ram 时 口 仿 真 曲线 图9 理想圆柱模型和考虑端部约束 模型仿真曲线 由图9可以看出，随着编织角的增大，体积 先 增大后减小，但对于实际情况来说，当仿真曲线上体 积取得最大值时编织角也取得了最大值。然而对于相 同初始长度不同初始直径的气动人工肌肉来说 ，随着 编织角的增大理想圆柱模型和端部约束模型仿真曲线 之间相差的距离逐渐变大，说明理想圆柱模型的体积 和端部约束模型的体积相差的值逐渐变大，理想圆柱 模型的最大体积的值 比考虑端部约束模型的最大体积 的值大，而且 ，理想圆柱模型的最大编织角的值比有 端部约束模型的最大编织角的值大理想圆柱模型模 型的最大编织角为 5 4 ． 7 o 【 ，而端部约束模型的最大 编织角 略小 于 5 4 ． 7 。 。 4 ． 3 端部约束对输 出力的影响 根据能量守恒原理，若系统无损耗以及没有能量 存储时 ，输入所做的功应与输出所做的功相等。假定 气动人工肌肉满足此理想条件，则 d W i d 2 0 设在某一平衡状态下 ，气动肌肉的内部压力为 P 外力为 ，，给气动人工肌肉一个虚位移 ，引起气动肌 肉体积 的变化 ，由虚 功原理得 一 Fd LPd V F 一P 2 1 2 2 分析 图 1 0可以知 ，三组 曲线 随着 收缩 比的增大 所能承受的负载逐渐减小 ，变化的趋势相同。总的来 说，端部约束数学模型仿真曲线与理想圆柱模型仿真 曲线相比，前者更加接近实验曲线。 Z R 丑 舞 收 绢 比F 图 1 0 8模型仿真曲线与实验曲线 5结论 通过对编织型气动人工肌肉工作机理的研究，建 立了有端部约束的气动人工肌肉体积模型并进行了数 值分析，所建模型与理想圆柱模型的数值计算对比可 得 1 考虑端部径向约束时，端部过渡 曲面为球 面； 2 初始条件相同情况下，考虑端部径向约束 时的体积要比理想圆柱的小 ，并且 ，理想圆柱模型时 气动人 工肌 肉变形后 的最大体积 发生在编织角为 5 4 ． 7 。 处，而考虑端部径向约束时，气动人工肌 肉变 形后的最大体积发生在编织角略小于 5 4 ． 7 。 处 ，二者 下转第 3 0页 燕 3 0 机床与液压 第 3 8卷 斜率变化较大的轮廓和圆弧，例如半圆、尖角 、 倒角等 ，它们的斜率变化大 ，即该曲线轮廓形状变化 剧烈 。大波动 曲线 的斜率值变化较 大 ，此处 的数据采 集应较为密集才能得到完整的轮廓信息，因此 ，大波 动样条曲线和圆弧的层厚控制算法应取断层厚度对斜 率变化敏感的模型，即采用非线性模型。 厚度 自适应控制算法的模型和参数选择如表 1 所 示。 表 1 厚 度控制模型参数选择 曲线类型 模型选择 参数区间[ D ， D ]参数区间[ K m m ， K ⋯] 3试验结果分析 层厚控制算法是在 V i s u a l C 6 ． 0下开发实现， 并使用 V T K类库 。通 过仿 真零 件 的侦测 投影 图像进 行实验 ，运用 的 软件是 U n i g r a p h i c s和西 北工 业 大学 中美 C B V C T图像工程 中心研 发的工 业无损检测 I C ． T F r a m e Wo r k 软件系统 1 ． 0版 。 对一个零件的侦测投影 图像进行 了处理 ，处理结 果如图5所示。以此零件为例，若采用等厚度切削， 层削 厚 度 为 0 ． 0 5 m m，则 总 共 需 切 削 次 数 2 1 6 ． 0 6 ／ 0 ． 0 5 4 3 2 1 层 ，需 要 时 间为 1 2 h 若每 层处 理需要 1 0 s ；若层厚取 0 ． 0 1 m m，则切削次数为 2 1 6 0 6次， 需要时间为 6 0 h 。而采用侦测投影 图像层厚控制方 法，采用最小厚度为 0 ． 0 1 m m，最大厚度为 0 ． 4 m m． 总共需切削次数为 2 1 9 1 次，需要时间为6 h 。采用了 根据斜率控制层厚 的方法 ，比等厚度切削大大提高 了 切削效率，而且测量精度也能达到很高的要求，使得 三维重构较为简单 。 a 外轮 廓 b 斜 率分 布 c 层 厚分 布 图5 零件处理结果 4 结束语 作者的研究表明通过侦测投影图像提取内、外 特征轮廓的斜率信息，使零件的断层厚度控制有较为 全面的依据 ；通过运用不 同的断层厚度控制模型来决 定切削层厚度 ，使测量精度和测量效率得到 了较好的 统一。研究成果将极大地提高了层去图像法的运行效 率 ，为其广泛 的工程应用奠定 了坚实的基础 。 参考文献 【 1 】张畅， 张祥林 ， 黄树槐． 快速造型技术 中的反求 工程 [ J ] ． 中 国机械工程 ， 1 9 9 7 ， 8 5 6 0 6 2 ． 【 2 】周剑． 层削三维数字化仪的精度控制原理和实用化研究 [ D] ． 西安 西安交通大学， 2 0 0 0 ． 【 3 】李根乾． 光电检测方法应用于电子工业质量控制的关键 技术研究[ D] ． 西安 西安交通大学， 1 9 9 8 ． 【 4 】 刘振凯， 陈剑虹， 乔志林， 等． 一种基于断层测量的反求 工程 [ J ] ． 中国机械工程 ， 2 0 0 0 ， 1 1 4 3 9 33 9 7 ． 【 5 】毛海鹏． 锥束 C T关键技术及应用研究[ D] ． 西安 西北 工 、 I 大学 ， 2 0 0 5 ． 上接第 2 7页 的差距 随气动人 工肌 肉长径增 大而减小 ； 3 初始 条件相同时，考虑端部径向约束时体积比理想圆柱模 型的体积变化量小 ，因此 ，实际输出力特性曲线比理 想圆柱模型的理论曲线低 ，这是由于端部径向约束使 气动人工肌 肉做功能力减小造成 的。 参考文献 【 1 】臧克江， 顾立志， 陶国良． 气 动人工肌 肉研究与展望 [ J ] ． 机床与液压 ， 2 0 0 4 4 47 ． 【 2 】 Y e e N ， C o g h i l l G ． M o d e l l i n g o f a n o v e l r o t a r y p n e u m a t i c m u s c l e [ C] ／ ／ P r o c ． 2 0 0 2 A u s t r al i a s i a n C o n f e r e n c e o n R o - b o t i c s a n d Au t o ma t i o n， Au c k l a n d， 2 72 9 No v e mb e r 2 0 0 2 ． 【 3 】C h o u C P ， H a n n a f o n l B ． S t a t i c a n d d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s o f Mc K i b b e n p n e u ma t i c ； a r t i fi c i a l m u s c l e s [ C] ／ ／ I n I E E E Co n f e r e n ce o n Ro b o t i c s a nd Aut o ma t i o n．S an Di e g o， US A 1 99 4 2 6 4 26 9． 【 4 】C h o u C l i n g p i n g ， H a n n a f o r d B l a c k ． S t a t i c and D y n ami c c h a - r a c t e r i s t i c o f M c k i b b e n P n e u m a t i c A rt i fi c i a l M u s l e s [ C] ／ ／ P r o c ．1 9 9 4 I EE E R o b o t i c an d Au t o ma t i o n C o n f e r e n c e ， 1 99 4 2 8128 6． 【 5 】隋立 明， 包钢， 王祖温． 气动人工肌 肉改进模 型研究 [ J ] ． 液压气动与密封 ， 2 0 0 2 2 1 4 ． 【 6 】杨钢， 李宝仁， 刘军． 气动人工肌肉特性分析的新方法 [ J ] ． 液压与气动 ， 2 0 0 2 1 0 2 22 5 ． 【 7 】黄宣国． 空间解析几何与微分几何[ M] ． 上海 复旦大学 出版社 ， 2 0 0 3 ． 【 8 】冷兴武． 纤维缠绕原理[ M] ， 济南 山东科技 出版社， 2 O0 0． 【 9 】富宏亚， 黄开榜， 朱方群 ， 等． 非测地线稳定缠绕的边界 条件及稳定方程 [ J ] ． 哈尔滨工业大学学报， 1 9 9 6 2 1 25 1 27