基于薄膜大挠度理论的张拉平面膜结构气动稳定性分析.pdf

第 4 0卷第 4期 2 0 1 4年 8月 四J i I 建筑科学研究 S i c h u a n B u i l d i n g S c i e n c e 基于薄膜大挠度理论的张拉平面膜结构 气动稳定性分析 徐磊 ， 曾琦云 ， 余路遥 1 ． 四川 I 大学工程设计研究院， 四川 成都6 1 0 2 0 7 ； 2 ． 中国石化石油工程建设有限公司 ， E 京1 0 0 1 0 1 ； 3 ． 上海天华建筑设计有限公司成都分公司， 四j i I 成都6 1 0 0 4 1 摘要 基于冯 卡门薄膜大挠度理论， 采用达朗贝尔原理， 结合势流理论和薄翼型理论， 建立了张拉平面膜结构 在风荷载作用下的非线性气动耦合控制方程， 并利用伽辽金法对其进行求解。对其解的稳定性进行判断， 得到结 构发散失稳的临界风速。通过算例， 分析了结构各参数对失稳临界风速的影响。分析表明， 张拉平面膜结构气动 稳定性受多个参数共同控制， 合理控制双向跨度和预张力是提高其气动稳定性的主要手段。 关键词 膜结构； 气动失稳 ； 非线性； 临界风速 中图分类号 T U 3 5 8 文献标志码 A 文章编号 1 0 0 81 9 3 3 2 0 1 4 0 4 0 0 1 0 6 An a l y s i s o n t h e a e r o d y n a mi c i n s t a b i l i t y o f t e n s i o n e d p l a n e me mb r a n e s t r u c t u r e ba s e d o n t h e l a r g e d e fle c t i o n t h e o r y o f me m b r a n e X U L e i ， Z E N G Q i y u n ， Y U L u y a o ’ 1 ． E n g i n e e r i n g D e s i g n a n d R e s e a r c h I n s t i t u t e o f S i c h u a n U n i v e r s i t y ， C h e n g d u 6 1 0 2 0 7， C h i n a ； 2 ． S i n o p e c P e t r o l e u m E n g i n e e r i n g C o n s t r u c t i o n C o ． ， L t d ． ， B e i j i n g 1 0 0 1 0 1 ， C h i n a ； 3 ． S h a n g h a i T i a n h u a A r c h i t e c t u r al D e s i g n C o ． ， L t d ．C h e n g d u B r a n c h ， C h e n g d u 6 1 0 0 4 1 ， C h i n a Ab s t r a c t B a s e d o n Vo n K6 r m6 n ’ S l a r g e d e fl e c t i o n t h e o r y o f me mb r a n e， t h e n o n l i n e a r a e r o d y n a mi c c o u p l i n g g o v e r n i n g e q u a t i o n s o f t e n s i o n e d p l a n e me mb r a n e s t r u c t u r e u n d e r w i n d l o a d a r e e s t a b l i s h e d b y D ’ Al e mb e r t ’ S p rin c i p l e c o mb i n e d w i t h t h e p o t e n t i a l fl o w t h e o r y a n d t h i n a i r foi l t h e o r y ． T h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s a r e s o l v e d b y B u b n o v G a l e r k i n me t h o d ． T h r o u g h j u d g i n g t h e s t a b i l i t y o f i t s s o l u t i o n ， t h e c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y o f d i v e r g e n c e i n s t a b i l i t y i s d e t e r mi n e d ． I n c o mp u t a t i o n al e x a mp l e s ， t h e i mp a c t s o f e a c h s t ruc t u r a l p a r a me t e r o n t h e i n s t a b i l i t y c ri t i c a l w i n d v e l o c i t y a r e a n a l y z e d ． T h e a n a l y s i s s h o ws t h a t t h e a e r o d y n a mi c s t ab i l i t y o f t e n s i o n e d p l a n e me mb r a n e s t ru c t u r e i s c o n t r o l l e d b y mu l t i p l e p a r a me t e r s ； t o c o n t r o l t h e s p a n a n d p r e t e n s i o n r e a s o n a b l y i s t h e ma i n me a s u r e f o r i mp r o v i n g i t s a e r o d y n a mi c s t a bi l i t y． Ke y wo r d s me mb r a n e s t ru c t u r e； a e r o d y n a mi c i n s t a b i l i t y； n o n l i n e a r ； c r i t i c al wi n d v e l o c i t y 0 前言 张拉平 面膜结构主要用于会展 中心 、 停车场和 体育馆等公共设施的平面型屋盖结构 中 1 - 2 ] 。其所 受的荷载 中， 风荷载一般起控制作用 ， 不少膜结构的 破坏事故都是 由强风引起的。如亚特兰大奥运会主 馆佐治亚穹顶于 1 9 9 5年在一次强风袭击下 ， 有四片 薄膜被撕裂 ； 加拿大蒙特利尔奥林匹克体育场 的一 片膜结构在 1 9 9 9年的一场暴风雪中突然破裂 ； 韩 日 世界杯济州 岛体育场膜屋盖在 2 0 0 2年 6月和 8月 先后两次在台风的袭击下出现膜材撕裂。国内如广 收稿 日期 2 0 1 4 - 0 4 ． 1 8 作者简介 徐磊 1 9 8 0一， 男 ， 硕 士 ， 工程 师 ， 研究 方 向 结构 可靠 度。 E ma i l 1 5 3 2 4 3 5 6 2 q q ． c o rn 州颐和山庄楼顶膜结构在 2 0 0 3年夏季台风 中被撕 裂； 温州大学体育场看台膜结构在 2 0 0 4年 8月 台风 “ 云娜” 作用下发生整体破坏。2 0 1 2年 4月 ， 甘肃某 中学的体育场看 台顶棚膜结构被强风撕裂 ， 此看台 膜结构竣工仅半年。 根据张拉膜结构工程破坏经历和试验观测 ， 人 们普遍认为风与膜结构之问的耦合气动失稳可能是 导致 膜结 构破 坏 的一 个重 要 因 素， M i y a k e A ． 、 K a w a k i ta S ． 等人 4 都曾在对悬索屋盖模型的风洞试 验中观测到此类失稳现象。 目前 ， 对于张拉膜结构 的气 动失稳机理在定性 上有较为一致的观点 在风速较低时薄膜以单模 态振动为主 ， 随着风速加大 ， 薄膜振动呈现多模态振 型叠加状态 ； 同时认为发散失稳为单模态振型失稳 ， 颤振失稳为多模态耦合失稳。但在对临界失稳风速 定量 分 析上 进行 的理论 工 作 还 比较 少 。K u n i e d a 2 四川建筑科学研究 第 4 0卷 H． 研究 了双 曲抛物面薄 膜屋盖结构长 向的气动 失稳情况 ， 通过 l 0个联立的微分方程描述了该模型 的气动响应 ， 并对方程进行稳 定性判断得 出了结构 失稳的临界风速 ， 该研究思路在后人 的研究 中得 到 广泛的体现 。本文借鉴 K u n i e d a H． 的研究思路 ， 基 于冯 卡门薄膜大挠度理论 ， 采用达朗贝尔原理 ， 结 合势流理论和薄翼型理论 ， 建立了张拉平 面膜结构 在风荷载作用下 的非线性气动耦合控制方程 。利用 B u b n o v ． G a l e r k i n法对控制方程进行求解 ， 并通过对 其解的稳定性 的判断 ， 得到其发散 失稳 临界风速 。 通过算例 ， 分析 了结构各参数对其气 动稳定性 的影 响 ， 提出了提高张拉平 面膜结构气动稳定性 的设计 措施 。 1 控 制方程和边界条件 张拉平面膜结构模型如图 1所示 ， 结构四边 固 支。 、 ， 方 向尺寸分别为 a 、 b ； 、 Y方 向预张力分别 为 Ⅳ 0 和 N o ； 风速沿结构 向。 图 1 四边 固支 的正 交异性 张拉 平面膜 结构模 型 F i g ． 1 Te n s i o n e d o r t h o t r o p i c p l a n e m e m b r a n e mo d e l wi t h f o u r e d g e s c l a mp e d 则相应的位移边界条件如下 f 0 ， y ， 0 f ， o ， 0 1 【 a ， Y ， t 0 【 ， b ， t 0 根据达朗贝尔原理 J ， 膜结构在产生动力 响应 时其广义外荷载应包括作用于结构上的风荷载 、 结 构阻尼力和惯性力 。则作用于膜材投影面单位面积 上的广义外荷载 q ， _y 为 P 封闭性膜结构外侧的动气压 室外气 压 ； W膜的挠度 ； t 时间 。 膜结构的气动控制方程组应包括了弹性曲面微 分方程 、 平衡微 分方程和相容方程 。当引入应力 函 数 ， Y 后 ， 平衡微分方程会被 自动满足 ， 所以控 制方程组中只剩下弹性 曲面微分方程和相容方程 。 又由于在膜振动过程中， 剪应力对结构动力响应的 影响很小 ， 可 以忽略 ， 这样控制方程为 Ⅳ 0 ” 一 ～ 麦 一 1 1 1 1 a ‘ W d ‘ W 7 a W ， d ‘ _ 一 o 0 v d X d ～ 式中 膜材厚度 ； k 、 k y 和 y向的曲率 ； k k o y 和 Y向的初始曲率 ； E 、 E 和 Y向弹性模量。 室外动气压可根据流体的伯努利方程得 一 p V 警 ⋯ 4 式 中P空气密度 ； 风速 ； 扰动速度势函数 ； z 曲面方程 ； 初始曲面方程 。 根据薄翼 型理论 ， 可设满足拉普拉斯方程 的对 称翼型扰动速度势函数 西 ， Y ， z ， t 为 x , y , z , t l f O z 1 ＼ O x a ￡ ，x ∈ 了 I 。 5 其中， R a是薄膜在平面 x o y上的投影 。 将对称翼型扰动速度势函数式 5 代人式 4 中得 g p _p 】 一 。 0 2 W 2 p 式中P 。 膜材面密度 ； 结构阻尼系数 ； P 封闭性膜结 构 内侧 的气 压 室 内气 压 一 f { 一d d卵 一 d叼 ] p 6 徐磊， 等 基于薄膜大挠度理论的张拉平面膜结构气动稳定性分析 3 O 2 Z0 0 2 W 9 I koy 0 2Zo 。 ， 02Z 0 2W 叫 d 劫 叫 嘞 A 2o X啊 』 Jff 1 ，＼ O w E 一 d 叩 旁 Ⅳ 0 0 2_ w 嘉 Ⅳ 0， 0 2W 一 2 p 0 。 O W． p 0 一 4 一 A A 3A 0 1 1 A 。 0 4 0 麦 0 2w，，，I 一 O 2w O 2w 1 2 { 1 3 态振型的发散失稳临界风速进行研究 。设满足位移 边界条件式 1 的振型函数为 w x ， ， s i n s 1‘ n 1 4 n D 其中， m、 n 取整数， 表示 向和Y向的振型阶数。 将式 1 4 代人式 1 3 得位移函数为 w x ， Y ， T t s i n_mT r x s 1’ n 1 5 口 D 将式 1 5 代入相容方程 1 2 得 1盘 一 El O y4 。E2 O x 一 2 2 4 ㈩ c o s ⋯s 6 设式 1 6 中应力函数的解为 r ， Y ， 严 ， y ⋯。 s 2 m,t r x3 c o s 2 n ，, r c y 0 ‘ 口 将式 】 7 代人式 1 6 可得 E2 a n 3 2 b m z E， b 2 m 将式 1 5 和 1 7 代人式 1 1 得 【 。 w i t 一 x ⋯ 2 --- w 2 ry 一 等 0 2 cp 0 2W ／ 。 18 其 中 s n s in - 帅 -a - ．u rY 2 一 c o s s i n 7 “ 吣 吼 n d 7 ， 警 一 C O S a s in J，7 一 s i n s t n 叼 运用 B u b n o v G a l e r k i n 法对式 1 8 进行变换得 【 y 一 2 p 0 】 一 Ⅳ 0 o／ _ _w 。 ㈩一 0 ⋯2 1 0 2 W雾 ’y 岫 。 1 9 其中， 积分区域 S∈{ 0 ≤ ≤口 ， 0 ≤， ， ≤6 } 。 4 四川建筑科学研究 第 4 0卷 将式 1 9 简化得 A T t B T t 一C T t 一D t 0 具 中 1 斗 1 T‘ t s in s in d 小 s i n鲨 s i n d y 0 B 一 P丁 o l o a b 一 2 一 c 一 手 矿 s in Z 0 d 0 2 4 2 o 由于厂≠0 ，f T o i n 2 0 d f ≠0 ， 则必 有 ∞ c 丢 旷 2 5 系统发生发散失稳的临界条件为 0， 同时 将 4、 C 、 D代入式 2 5 并化简得临界风速为 ， c o s s i n 幽 b s i n s i n d y a D [ s in s in d 小 s i n s i n n_ ． zd d y a o c 一 m2 2 一 2 2 2 a ， ， 一 z a O S s in s i n s i n d y a D D 一 因 ≠0 由数值计算可得 ， 仅当 b ／ a0 ． 1时 ， ≤ 0 ； 在实际工程中这种情 况不会发生 ， 设 e B ／ A， c 一 C ／ A， d一D ／ A， 则方程 2 0 化为 t e t c T t d t 0 2 1 目前 的研究表明， 当风速达到发散失稳临界 风 速时， 作用在结构上的气动力等于或将超过薄膜 自 重 、 惯性力和竖向约束之和。此时 ， 薄膜出现发散性 气动失稳现象 ， 同时系统特征方程的频率趋近于零 ， 相当于静态的平衡失稳 。 ] 。 方程 2 1 是关 于 T t 的二 阶非线性 微分 方 程， 设其满足初始条件 T t l 。0的周期解为 T t i s i n w tf s i n 0 2 2 其中 ， ．厂 为振幅。 将式 2 2 代入式 2 1 ， 并运用 B u b n o v G a l e r k i n 法得 rT b ． 1 e c d s i n 0 d t0 2 3 J 0 其 中， 2 “ r r ／ w为一个周期。 对式 2 3 积分后得 ，层曩 2 6 从式 2 5 中可以看 出， 在薄膜大挠度理论下 ， 结构的振动频率 与结构的振幅．厂 有关， 在不同的 振幅下结构的刚度也将发生变化 ， 这也导致结 构的 振动频率的变化 ， 这也是几何 非线性结构 的特性 。 在式 2 6 中令．厂 一 0时， 可得到结构在小挠度理论 下的发散失稳临界风速为 2 7 2 ． 2 算例分析 以工程 中常用 的膜 材为例 ， 取 E 1 4 0 0 MP a ， E 2 9 0 0 MP a ， P 1 ． 2 2 6 k g ／ m ， h0 ． 0 0 1 i n 。设 A b ／ a为横 、 顺 风向跨度 比； N o ／ N o 为顺 、 横 _y 风 向预张力 比。下面， 分别讨论各 因素 对结构气动失稳的影响规律， 式中 由数值积分求 得 。 2 ． 2 ． 1 跨 度 比 A 取膜结 构参 数为 a2 0 m， m几1 ， f1 1T I ， N o 2 k N ／ m， 1 ； 通过计算得横、 顺风向跨度比 A与临界风速 关系曲线 ， 如图 2所示。 9 O 8 。 7 0 著6 0 5 0 4 。 3 0 2 0 图 2 横、 顺风 向跨度 比 A与临界 风速 关 系曲线 F i g ． 2 Cu r v e o f b - t o - a r a t i o A a n d c r i t i c a l wi n d v e l o c i t y Vc 从 图 2中可以看 出， 临界风速随横 、 顺风向跨度 比 A增加而逐渐减小 ； 当 A≤3时 ， 临界风速急剧下 徐磊， 等 基于薄膜大挠度理论的张拉平面膜结构气动稳定性分析 5 降； 当A3 时， 临界风速下降趋势趋于平缓。说明 设计此类平面膜结构时其横 、 顺风 向跨度 比 A取值 不宜过大 当顺风 向跨 度一定时 ， 其 横 向跨度不应 过大 ， 以免造 成结构在较低 的风 速下 发生失稳破 坏 。 由于膜材具有正交异性 ， 从图 2中 E E 和 E 3后 ， 其增加量 基本保持不变 ； 在 A1时 ， 两种布置情况下得到的 临界风速相等 。 因此 ， 在实 际工程中根据 当地风况控制结构跨 度 比和合理布置膜材经 、 纬向都对防止结构发生气 动失稳破坏有着积极的意义。 2 ． 2 ． 2 跨度 0 、 bA一定时， b与 0成正比 取膜结构参数为 m n1 1 m， N o 2 k N ／ m， 1； 通过计算得顺风向跨度 口与临界风速 关 系曲线 ， 如图 3所示 。 图 3 跨度 n与临界风速 关系曲线 Fi g ． 3 Cu r v e o f s p a n a a n d c fifi c wi n d v e l o c i t y Vc 从图 3中可以看出， 在不 同A情况下 ， 发散失稳 临界风速都随结构跨度 的增加而逐渐 减小 ； 当 口≤ 3 0时 ， 临界风速下降幅度大； 当 口3 0时， 临界风速 下降趋势趋于平缓。说明在设计此类平面薄膜结构 时跨度不宜过大 ； 当跨度较小时其 尺寸变化对其临 界风速影响较大， 跨度较大时其尺寸变化对其临界 风速影响较小。 2 ． 2 ． 3预 张 力 和 取膜结构参数为 mn1 ， f1 m， 2 0 m， y 1 ； 通过计算得顺风向预张力 Ⅳ 0 与临界风速 关 系曲线 ， 如图 4所示。 从 图4中可以看出， 在不同 A情况下 ， 结构临界 风速都随着预张力增大而增大， 但增大幅度随 A值 图 4 预张力 Ⅳ 0 与 临界风速 关 系曲线 F i g ． 4 Cu r v e o f p r e t e n s i o n No a n d c r i t i c a l win d v e l o c i t y’ ， c 的增大而稍有减小 ， 总体呈现为近似线性状态。说 明增大结构预张力对提高其气动稳定性有着积极 的 影响。 2 ． 2 ． 4顺、 横风 向预张力比 取膜结构参数为 mnl ， f1 I T I ， 02 0 I n ， Ⅳ 0 2 k N ／ m； 通过计算得横 、 顺 风向预张力 比 与 临界风速 关系曲线 ， 如图5所示 。 图 5 顺 、 横风向预张力比 ， ， 与 临界风速 关 系曲线 F i g ． 5 C u r v e o f Nox t o Noy r a t i o y a n d c r i t i c a l wi n d v e l o c i t y V c 从图 5中可以看 出， 在不同 A情况下， 随着顺 、 横风向预张力比y的增大， 其临界风速逐渐降低； 当 1 时， 其下降幅度趋于平缓 。说明当结构顺风 向预张 力 Ⅳ 0 x 一定时 ， 其横风 向预张力 Ⅳ 0 的施加对提高结 构的气动稳 定性 有着积极 的意义 ， 但 只有在 Ⅳ 0 ≥ Ⅳ 0 时才能显著提高结构的临界风速。 2 ． 2 ． 5振幅 _厂 取膜结构参数为 m 1 ， 1 ， 2 0 m， Ⅳ 0 2 k N ／ m； 通过计算得振幅 与临界风速 ． 关系曲 线 ， 如图 6所示。 从 图6中可以看出， 在不同 A情况下， 薄膜结构 6 四J t I 建筑科学研究 第 4 0卷 图 6 振幅 _厂与l临界风速 关 系曲线 F i g ． 6 C u r v e o f a mp l i t u d e f a n d c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y ， c 的临界风速随振幅 厂 增大而增大 ， A越小 ， 其增加幅 度越大。当 一 0时， 得到的临界风速退化为结构在 小挠度理论下得到的结果 。在 大挠度理论下 ， 膜材 发生横 向位移时膜面 内产生的附加应力得 以考虑 ， 结构的横向刚度会 随着挠度的增 大而增大 ， 从而得 到的临界风速也大 于基于小挠 度理论下 的结果 ， 也 更符合工程实际。 2 ． 2 ． 6 、 向振 型 阶数 ， n 、 凡 取膜结构参数为 Y1 1 m， 口 2 0 m， N o 2 k N ／ m； 计算在不同振型阶数下临界风速 值， 见表 1。 表 1 不 同阶数 下的失稳临界风速 Ta bl e 1 The c r i t i c al wi nd v e l oc i t y Vc a t d i ff e r e n t o r d e r s m／ s 从表 1可 以看出， 当横 风向跨度 比顺风 向跨 度 小时 如 A 0 ． 2 5 、 0 ． 5 ， 随着顺风 向振 型阶数增加 其临界风速逐渐降低 ， 此时结构 失稳趋势为高阶振 型发散失稳 mn1 ， 但失稳时振型阶数 m随 A 的增加而逐渐变小； 随着 A的增加 如 A1 、 2 、 4 ， 结构失稳趋势转为低阶振型失稳 mn1 。从表 1中还可看 出， 一般情况下 ， 临界风速会随着振型阶 数的增加而增大； 当 A≤1 时， 横风向振型阶数对临 界风速的贡献大于顺风向； 当 A≥ 1 时 ， 情况则恰恰 相反 ， 顺风向振型阶数对临界风速的贡献大于横风 向 。 3 结 论 基于冯 卡门薄膜大挠度理论 ， 建立 了张拉平 面膜结构在风荷载作用下的非线性气动耦合控制方 程 ， 运用 B u b n o v G a l e r k i n法对控 制方程进 行求解 ， 推导出了其I 临界风速的表达式 ， 并分析 了膜结构各 参数对结构气动稳定性的影响。由分析可 知 ， 张拉 平面膜结构气动稳定性受多个参数共同控 制 ， 合理 的控制结构尺寸 双向跨度 和预张力是 提高结构 气动稳定性的主要手段 ， 但 同时考虑结构本身 的几 何非线性 ， 以及根据实际风荷 载工况合理布置膜材 经 、 纬向， 这样才对防止结构发生失稳破坏有着积极 的意 义 参 考 文 献 [ 1 ] 陈 务军． 膜 结构 工程设计 [ M] ． 北京 中 国建筑 工业 出版社 ， 2 0 0 4． [ 2 ] 张其林． 索和膜结构 [ M] ． 上海 同济大学 出版社 ， 2 0 0 2 ． [ 3 ] Mi y a k e A， Y o s h i m u r a T， Ma k i n o M． A e r o d y n a mi c i n s t a b i l i t y o f S U S p e n d e d r o o f m o d a l s[ J ] ． J o u r n a l o f Wi n d E n g i n e e r i n g a n d I n d u s - 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