边坡稳定性中BISHOP法的解析计算.pdf

第3 7 卷第3 期中国矿业大学学报 V 0 1 ．3 7N o ．3 2 0 0 8 年5 月J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g yM a y2 0 0 8 边坡稳定性中B I S H O P 法的解析计算 蒋斌松，康伟 中国矿业大学建筑工程学院深部岩土力学与地下工程国家重点实验室，江苏徐州2 2 1 0 0 8 摘要针对简化B i s h o p 法，采用精确积分代替有限务块的求和，获得了边坡安全系数的解析表 达式．这样只需通过迭代求解一代数方程就可获得边坡的安全系数，避免了有限条分法中计算繁 杂以及在试算时初值选取不当可能存在不收敛的缺点．此外，利用该解析算式可容易获得边坡的 最危险圆弧滑裂面和最小安全系数．在同样的边坡条件下，简化B i s h o p 法的安全系数一般比瑞 典条分法高6 ％“ - - 7 ％． 关键词边坡稳定性；B i s h o p 法；安全系数；解析方法 中图分类号T D8 2 4 ．7文献标识码A文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 8 0 3 0 2 8 7 0 4 A n a l y t i c a lF o r m u l a t i o no fB i s h o p ’SM e t h o df o r C a l c u l a t i n gS l o p eS t a b i l i t y J I A N GB i n s o n g ，K A N GW e i C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g y ，S c h o o lo fA r c h i t e c t u r ea n dC i v i lE n g i n e e r i n g ， S t a t eK e yL a b o r a t o r yf o rG e o m e e h a n i c s D e e pU n d e r g r o u n dE n g i n e e r i n g ，X u z h o u ，J i a n g s u2 2 1 0 0 8 ，C h i n a A b s t r a c t B ys u b s t i t u t i n gad e f i n i t ei n t e g r a lf o rt h es u mo ff i n i t es l i c e s ，a na n a l y t i c a lf o r m u l a f o rt h es a f e t yf a c t o r i n , t h es i m p l i f i e dB i s h o p ’Sm e t h o dc a nb ed e r i v e d ．I nt h i sc a s e ，t h es a f e t y f a c t o rc a nb ec a l c u l a t e df r o mt h ei t e r a t i v es o l u t i o no fa na l g e b r a i ce q u a t i o n ．T h i sa v o i d st h e s h o r t c o m i n g so fc o m p l i c a t e dc o m p u t a t i o n sa n dp o s s i b l en o n - c o n v e r g e n c ep r o b l e m sd u r i n gc a l c u l a t i o n ss t a r t e dw i t ha ni m p r o p e ri n i t i a lv a l u ei nt h ef i n i t es l i c em e t h o d ．T h ea n a l y t i c a lf o r m u - l a ec a na l s ob eu s e df o r1 0 c a t i n gt h em o s td a n g e r o u sc r i t i c a ls l i ps u r f a c ea n df o rd e t e r m i n i n gt h e c o r r e s p o n d i n gm i n i m u ms a f e t yf a c t o ro ft h es l o p e ．T h es a f e t yf a c t o ro ft h es i m p l i f i e dB i s h o p ’S m e t h o di sg r e a t e rt h a nt h eS w e d e ns l i c em e t h o db y6 ％～7 ％． K e yw o r d s s l o p es t a b i l i t y ；B is h o p ’Sm e t h o d ；s a f e t yf a c t o r ；a n a l y t i c a lm e t h o d 在矿山、建筑、交通以及水工等部门都有大量 的边坡工程．而边坡滑坡是自然界和岩土工程中主 要的地质灾害之一，往往给人类生命财产造成频繁 而巨大的损失． 边坡稳定性分析广泛采用极限平衡方法，包括 F e l l e n i u s 法‘1 3 瑞典法 ，B i s h o p 法‘2 1 ，J a n b u 法‘3 。， S a r m a 法[ 引，M o r g e n s t e r n ＆P r i c e 法[ 5 1 ，S p e n c e r 法[ 6 ] 等简化方法．其中，瑞典法和B i s h o p 法的应用 更为普遍． 陈祖煜在文献1 - 7 3 中提到B i s h o p 法通常代表 了正确解；对于一般的没有软弱土层或结构面的边 坡，采用圆弧形滑裂面B i s h o p 法计算往往能得到 足够的精度．事实上，B i s h o p 法具有与“严密”极限 平衡法，如M o r g e n s t e r n ＆P r i c e 法相一致的精 度． 简化B i s h o p 法的原理与瑞典法一样都是条分 法．B i s h o p 法在边坡安全系数的迭代计算过程中， 需要对每一条块求和，计算较繁杂，且初值选得不 收稿日期2 0 0 7 一0 8 0 1 基金项目国家自然科学基金项目 5 0 7 7 4 0 8 2 作者简介蒋斌松 1 9 6 1 一 ，男，江苏省溧阳市人，教授，博士生导师，工学博士，从事岩石力学理论及应用方面的研究． E - m a i l j i a n g b s c u m t ．e d u ．c aT e l 0 5 1 6 - 8 3 9 9 5 8 2 5 万方数据 2 8 8 中国矿业大学学报第3 7 卷 好则解可能不收敛．采用积分代替条块求和，一方 面可以简化计算，另一方面可以提高计算精度，此 外还可以在最小安全系数的确定中计算更有效．文 献[ 8 - 1 采用积分形式建立了在边坡稳定性分析中各 种简化方法需满足的平衡方程；文献[ 9 1 1 ] 采用积 分方法给出了瑞典法的完整解析算式；也有一些研 究者给出了简化B i s h o p 法安全系数的积分表示， 并通过数值积分方法获得边坡的安全系数，如文献 [ 1 2 ] ，但没有给出其积分式的具体算式． 本文对于简化B i s h o p 法，采用积分精确表示 条块的求和，试图通过获得其积分表达式的具体解 析算式来表示边坡的安全系数． 1 简化B i s h o p 法的积分表示 如图1 ，边坡高度为H ；边坡倾角为卢；边坡的 滑裂面为圆弧，其圆心为O a ，6 Ⅱ，b 分别为z 与Y 方向的坐标值 、圆弧半径为R ．若R ／以2 b 2 ， 圆弧滑裂面称为坡底圆，即，滑裂面在坡角A 点前 方与水平面相交于D 点，这时滑裂面常是深层的、 往往受边坡下硬层的控制；若R 一 ／口2 b 2 ，这 时，D 点与A 点重合，圆弧滑裂面称为坡脚圆，多 数斜坡的圆弧滑裂面属于坡脚圆．设边坡滑裂满足 M o h r ～C o u l o m b 条件，其内黏聚力和摩擦角分别用 C 和9 表示． 图1 简化B i s h o p 法 F i g ．1B i s h o p ’Ss i m p l i f i e dm e t h o d 下面就坡底圆的情形作一般性分析． 根据图1 ，考虑任意无限小条块E ，E 2 E 。E 4 忽 略条块侧面上作用力的影响 ，点E 的横坐标为 z ，用符号“i ”表示典型条块．由y 方向的静力平衡， 得 W l N ，C O S 口f T i s i n 口f ， 1 式中w i 为条块自重；N ；为条块底滑面上的法向 反力；T i 为条块底滑面上的剪切反力；嘞为条块底 滑面与, 2 7 轴的夹角，口f a r c s i n [ x a ／R ] ． 根据M o h r C o u l o m b 准则，在边坡破坏前，条 块底滑面上应有 T i 一 C d x s e ca i N i t a n _ o ／F ， 2 式中如为条块宽度，F 为边坡安全系数． 将式 2 代入式 1 ，解得N ；为 N ；一 w t 一学 _ _ 矗．c 3 ， C O S 哦十■r 就整个滑动坡体对圆心O 求力矩平衡，因各 条块N i 的作用线通过圆心，故有 ∑W 。R s i n 口；一∑T ，R 一0 ． 4 将式 2 和 3 代入式 4 可得 卜参蠹∑煮拳。 5 根据图1 ，忽略高阶小量，条块E 。E 。E 。E 4 的自 重W ；可表示为 W i yh i d x ， 6 式中y 为滑体的容重；而 f y 3 ，一Z o ≤z 0 ， h 一 Y l Y 3 ，0 ≤z L ， 7 【Y 2 一Y 3 ，L ≤z ≤1 ． 这里，l o 一 ／R 2 一b 2 - - a ，L H c o t 卢，z a 瓶2 一 6 一H 2 ；而y 。，Y 2 ，Y 。分别是直线A B ，B C 及圆弧C D 的方程，即 Y 1 x t a nJ 9 ，y 2 一H ， Y 3 b 一瓶2 一 z 一口 2 ． 8 将式 6 和 7 代入式 5 ，将条块求和用积分 代替，可得边坡安全系数F 的积分形式为 F 一矿L f ‘掣塑盟d z ． 9 l ‘ 豫s 1 ‘na d z J - - l oC O S 口 望竽s i n 口 J z o 』 这里边坡安全系数F 与文献[ 1 2 ] 具有相一致 的积分形式．但通过改变积分变量如用角度变量 d 口代替，可以获得边坡安全系数F 积分形式的具 体算式，因而，可以直接应用解析算式作计算，而不 需要用数值积分作计算．下面就给出边坡安全系数 F 的积分解析算式． 2 简化B i s h o p 法的积分计算 式 9 中的积分可分开计算，即 F F 1 { C ，j 。 F f l Y 。 F Y 2 F 一Y 3 F ] ， 1 0 式w f 乇h s i n a 如一 胁s i n 口如 胁s i n 口d z 一 卜s s i n 口d z 占o t ， P 1 c ，t出耢拗霪 函i * b 列 万方数据 第3 期蒋斌松等边坡稳定性中B I S H O P 法的解析计算 2 8 9 擞3 R 2 _ 口2 一b z 3 H b - 4 - a c o tp H 2 C S C 2 仞； J c F L 忑‰一 是[ a r c S i n 宁 a r c s i n 字砰l 盯∞mT 十盯∞m1 广十 仙岽蔫铧孚] ； y - F 一『L 忑可y l 面d x a R A t a 各na ．r L a r c s i n 宁 a r c s i n 景 套 K“ 仙等等毫] 掣[ 1 n 而L ．万- - bf F i L - - 丽a 一 n R ≤X F 譬a 籀a ] 一一f F 、／礤一2j 掣 Z m E l 屈刁 ； y z F 一￡丽‰ 等[ a r c S i n 宁一a r c s i n 宁百【- 盯∞m T 一1 广十 仙笔蔫皓鲁] ； Y 3 F 一L 忑‰ 筹广a r c s i ‘n 宁 a r c s i n 字 巧 T 十盯∞m ] 广十 仙岽臻样亭] 一 警[ n ％骞嚣掣一 - n 譬丧舞学卜 1q - 1 。一f F H ； 而C ，一c ／r ，f t a n 妒，f F f ／F ，A F 一祈研， L 。一所F 瓦可． 式 1 0 就是边坡安全系数解析算式的一般形 式．显然，通过迭代一代数方程即可获得边坡的安 全系数F ．在以上表达式中，若取l 。一0 ，R 以F 干矿，就可获得对应坡脚圆时边坡安全系数 的解析算式． 3 算例 文献[ 1 3 ] 中的算例．坡高H 5 0m ，容重 ，一 1 9 ．6 2k N ／m 3 ．黏象力C 一5 8 ．8 6k P a ．p I 两窿榕藜 数t a n9 0 ．2 ． 坡比取1 2 ．2 5 ，1 2 ．5 0 ，1 2 ．7 5 ，1 3 ．0 0 及1 ；3 ．2 5 等5 种情形，并相应取不同的滑裂圆 弧，对简化B i s h o p 法分别采用条分数值方法和条 分解析方法进行了边坡安全系数计算．计算显示 通过迭代可容易获得安全系数F ，通常在选取F 的一个初值后，如果精确到2 位小数，仅需要经过 2 到3 次迭代即可获得稳定的安全系数F ．此外， 对瑞典条分法的安全系数也进行了相应的计算．具 体计算结果见表1 和图2 ． 表1 边坡安全系数F T a b l e1 S a f e t yf a c t o r sFo fs l o p e s 坡比1 l 2 ．2 51 l 2 ．5 01 l 2 ．7 51 l3 ．0 01l 3 ．2 5 k 舔 I 妊 删 舷 坡比 图2 不同坡比下的安全系数 F i g ．2S a f e t yf a c t o r su n d e rd i f f e r e n ts l o p er a t i o 计算表明对于简化B i s h o p 法，边坡安全系 数的条分解析解是条分数值解的下解，但两者十分 接近；进行数值解时条块数需要大于1 5 ，才能达到 小于1 ％的精度要求；解析解法的计算速度快，对 安全系数F 的初值选取的要求低；简化B i s h o p 法 的安全系数要高于瑞典条分法，5 种坡比分别高 5 ．5 1 ％，6 ．0 9 ％，7 ．5 2 ％，6 ．5 8 ％和6 ．9 4 ％，平均高 6 ％～7 ％，与文献E 7 ] 评价相一致． 4 结论 1 对于圆弧滑裂面，采用积分算式代替条分 求和，获得了简化B i s h o p 法边坡安全系数的解析 计算公式，从而可以获得快捷、精确的计算结果． 2 根据边坡安全系数的解析算式，通常经过2 至3 次迭代就可以获得满足工程精度要求的安全 系数． 3 在同样的边坡条件下，简化B i s h o p 法的安 全系数一般比瑞典条分法高6 ％～7 ％；并且，一般 认为B i s h o p 法更符合实际． 万方数据 2 9 0中国矿业大学学报第3 7 卷 4 利用简化B i s h o p 法边坡安全系数的解析 算式，特别便于边坡圆弧滑裂面的形状、最小安全 系数的确定、边坡稳定性影响因数的分析以及安全 系数精度的分析． 参考文献 [ 1 3F E L L E N I U SW ．C a l c u l a t i o no ft h es t a b i l i t yo fe a r t h d a m s [ J ] ．T r a n s2 n dC o n gL a r g eD a m s ，1 9 3 6 ，4 4 4 5 ． [ 2 1B I S H O PAW ．T h eu s eo ft h es l i pc i r c l ei nt h es t a b i l i t ya n a l y s i so fs l o p e s [ J ] ．G e o t e c h n i q u e ，1 9 5 5 ，5 1 7 1 7 ． [ 33J A N B UN ．S l o p es t a b i l i t yc o m p u t a t i o n s 。e m b a n k m e n td a me n g i n e e r i n g [ - M ] ．N e wY o r k J o h nW i l e y a n dS o n s ，1 9 7 3 4 7 8 6 ． E 4 ]S A M ASK ．S t a b i l i t ya n a l y s i so fe m b a n k m e n t sa n d s l o p e s [ J ] ．G e o t e c h n i q u e ，1 9 7 3 ，2 3 3 4 2 3 4 3 3 ． [ 5 1 M O R G E R s T E MNR 。P R I C EVE ．T h ea n a l y s i so f t h es t a b i l i t yo fg e n e r a ls l i pc i r c l e s [ J ] ．G e o t e c h n i q u e ， 1 9 6 5 ，1 5 1 7 9 - 9 3 ． E6 ] S P E N C E RE ．Am e t h o do fa n a l y s i so ft h es t a b i l i t yo f e m b a n k m e n t su s i n g p a r a l l e li n t e r s l i c ef o r c e s [ J ] ． G e o t e c h n i q u e ，1 9 6 7 ，1 7 1 1 1 2 2 ．’ [ 7 ]龚晓南．土工计算机分析[ M ] ．北京中国建筑工业 出版社，2 0 0 0 2 2 6 - 2 2 8 ． [ 8 ]陈祖煜．土坡稳定分析通用条分法及其改进[ J ] ．岩 土工程学报，1 9 8 3 ，5 4 1 1 - 2 7 ． C H E NZ u - y u ．T h eg e n e r a l i z e dm e t h o do fs l i c e sf o r s l o p es t a b i l i t ya n a l y s i sa n di t sm o d i f i c a t i o n s [ J ] ．C h i - n e s eJ o u r n a lo fG e o t e c h n i c a lE n g i n e e r i n g ，19 8 3 ，5 4 1 1 - 2 7 ． [ 9 ] 杨庚宇，赵少飞．土坡稳定分析圆弧滑动法的解析 解[ J ] ．工程力学。1 9 9 8 增刊 4 4 0 4 4 4 ． Y A N GG e n g y u ，Z H A OS h a o - f e i ．A n a l y t i c a ls o l u - t i o no ft h ec i r c l es u r f a c ef a i l u r em e t h o df o rs o i ls l o p e s t a b i l i t y [ J ] ．E n g i n e e r i n gM e c h a n i c s ，1 9 9 8 S u p p l 4 4 0 - 4 4 4 ． [ 1 0 ]C A OJG ，M U s H A R R A FMZ ．S h o r tc o m m u n i c a t i o n s a n a l y t i c a lm e t h o df o ra n a l y s i so fs l o p es t a b i l i - t y [ J ] ．I n tJN u m e rA n a lM e t hG e o m e t h ，1 9 9 9 ，2 3 4 3 9 4 4 9 ． [ 1 1 3 蒋斌松，蔡美峰，吕爱钟．边坡稳定性的解析计算 [ J ] ．岩石力学与工程学报，2 0 0 4 ，2 3 1 6 2 7 2 6 2 7 2 9 ． J I A N GB i n - s o n g ，C A IM e i f e n g ，L UA i - z h o n g ． A n a l y t i c a lc a l c u l a t i o no fs l o p es t a b i l i t y [ J ] ．C h i n e s e J o u r n a lo fR o c kM e c h a n i c sa n dE n g i n e e r i n g ，2 0 0 4 ， 2 3 1 6 2 7 2 6 2 7 2 9 ． [ 1 2 ]戴自航，沈蒲生．土坡稳定分析简化B i s h o p 法的数 值解[ J ] ．岩土力学，2 0 0 2 ，2 3 6 7 6 0 7 6 4 ． D A IZ i h a n g ，S H E NP u - s h e n g ．N u m e r i c a ls o l u t i o n o fs i m p l i f i e dB i s h o pm e t h o df o rs t a b i l i t ya n a l y s i so f s o i ls l o p e s [ J ] ．R o c ka n dS o i lM e c h a n i c s ，2 0 0 2 。2 3 6 7 6 0 - 7 6 4 ． [ 1 3 ] 张天宝．土坡稳定分析和土工建筑物的边坡设计 [ M ] ．成都成都科技大学出版社，1 9 8 7 2 0 ． 责任编辑王继红 万方数据