对称正交对称半正定矩阵逆特征值问题.pdf

第3 4 卷第4 期 2 0 0 5 年7 月 中国矿业大学学报 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y 文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 5 0 4 - 0 5 3 6 0 5 V 0 1 ．3 4N o ．4 J u l ．2 0 0 5 对称正交对称半正定矩阵逆特征值问题 陈兴同 中国矿业大学理学院，江苏徐州2 2 1 0 0 8 摘要对给定的特征值和对应的特征向量，提出了对称正交对称半正定矩阵逆特征值问题及最 佳逼近问题．通过分析对称正交矩阵和对称正交对称半正定矩阵的结构，利用矩阵的奇异值分 解，导出了这种逆特征值问题的最小二乘解的表达式，以及这种逆特征值问题相容的充要条件和 通解表达式．利用矩阵的极分解，导出了逆特征值问题的最佳逼近解．最后，通过数值算例说明了 如何计算矩阵逆特征值问题的最小二乘解及最佳逼近解． 关键词逆特征值问题；对称正交对称半正定矩阵；F r o b e n i u s 范数；最小二乘解；最佳逼近解； 奇异值分解；极分解 中圈分类号02 4 1 ．6文献标识码A I n v e r s eE i g e n v a l u eP r o b l e mo fS y m m e t r i cO r t h o - - S y m m e t r i c P o s i t i v eS e m i ．．D e f i n i t eM a t r i c e s C H E NX i n g - t o n g S c h o o lo fS c i e n c e s ，C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y ，X u z h o u ，J i a n g s u2 2 1 0 0 8 ，C h i n a A b s t r a c t F r o mg i v e ne i g e n v a l u e sa n de i g e n v e c t o r s ，t h ei n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e mo fs y m m e t r i c o r t h o - ．s y m m e t r i cp o s i t i v es e m i d e f i n i t em a t r i c e sa n di t so p t i m a la p p r o x i m a t ep r o b l e m w e r e c o n s i d e r e d ．B ya n a l y z i n gt h es t r u c t u r eo fs y m m e t r i co r t h o g o n a lm a t r i c e sa n ds y m m e t r i co r t h o - s y m m e t r i cp o s i t i v es e m i - d e f i n i t em a t r i c e sa n db ya p p l y i n gt h es i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n o f m a t r i c e s ，t h ee x p r e s s i o no ft h el e a s t s q u a r e ss o l u t i o n so ft h i si n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e mw a s d e r i v e d ．M o r e o v e r ，t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ec o n s i s t e n c yo ft h i si n v e r s e e i g e n v a l u ep r o b l e ma n dt h ee x p r e s s i o no ft h es o l u t i o n sa l s ow e r eg i v e n ．T h eo p t i m a la p p r o x i m a t e s o l u t i o no ft h i si n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e ma l s ow a sg i v e nb ym e a n so ft h ep o l a rd e c o m p o s i t i o no f m a t r i c e s ．I nt h ee n d ，an u m e r i c a le x a m p l ew a sg i v e nt os h o wh o wt oc o m p u t et h el e a s t s q u a r e s s o l u t i o n sa n dt h eo p t i m a la p p r o x i m a t es o l u t i o n ． K e yw o r d s i n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m ；s y m m e t r i co r t h o s y m m e t r i cp o s i t i v e s e m i - d e f i n i t e m a t r i c e s ；F r o b e n i u sn o r m ；l e a s t s q u a r e ss o l u t i o n s ；o p t i m a la p p r o x i m a t es o l u t i o n ；s i n g u l a rv a l u e d e c o m p o s i t i o n S V D Ip o l a rd e c o m p o s i t i o n 关于矩阵的逆特征值问题及最佳逼近问题在 结构设计、参数识别以及自动控制等领域都有重要 应用，近年来得到了广泛的研究．所谓矩阵逆特征 值问题是指在已知矩阵的特征值、或特征向量、或 部分特征值和特征向量的情况下来确定该方阵，通 常有几种类型的逆特征值问题【1 - 3 ] ，本文只讨论特 征值和相应的特征向量均已知的情形即已知矩阵 X ∈Ⅳ煳和对角阵A d i a g A l ，A 2 ，⋯，k ，求A ∈S 已知矩阵类 使A X X A ．只有当x 和 满足相 容条件时逆特征值问题才可能有解，如果x 和／’ 不满足相容条件，我们仍然希望求最d x - - 乘解即求 A ∈I s 使l lA x X A 忆 m i n ；由于所求得的逆特 收稿日期l2 0 0 4 0 9 2 8 基金项目中国矿业大学科技基金项目 A 2 0 0 4 1 0 作者筒介陈兴同 1 9 6 3 一 ，男，江苏省徐州市人，副教授，理学硕士。从事计算数学方面的研究 万方数据 第4 期陈兴同等对称正交对称半正定矩阵逆特征值问题 5 3 7 征值问题的解或最t J 、- - 乘解通常不止一个，在实际 应用中常常需要最小范数解之类的特解，这就产生 了如下的最佳逼近问题已知A ∈Ⅳ黼，求A ∈ 逆特征值问题的解集 或求A ∈S 。 不相容时的 最小二乘解集 使l lA A 忆 r a i n ．S 可以选取不 同的矩阵类，特别是针对某些特殊矩阵类[ 4 3 的逆特 征值问题和最佳逼近问题曾经有许多学者进行了 研究；文献[ 5 ] 将S 取为对称矩阵集；文献E 6 ] 贝I J 将 S 取为对称半正定矩阵集；文献[ 7 ] 则将S 取为某 个线性流形；文献[ 8 ] 则将S 限制在双对称半正定 矩阵情形；文献[ 9 ] 将S 限制在对称正交对称矩阵 集上；本文将S 取为对称正交对称半正定矩阵集 来研究上述逆特征值问题及最佳逼近问题的解集． 采用如下记号R 似”表示全体，z m 实矩阵； S R 似”表示全体珂阶实对称矩阵；s 础舳表示全体咒 阶实对称半正定矩阵；O R 似”表示全体／, ／阶正交矩 阵；S O R 以”表示全体竹阶对称正交矩阵；| l * 忆 表示矩阵的F r o b e n i u s 范数；A * B 表示矩阵的 H a d a m a r d 乘积；A T 表示矩阵的转置；I 。表示，l 阶 单位矩阵；- ，。 P 。，e 。一l ．．．’e 1 表示，z 阶反序单位 矩阵；x 表示矩阵X 的M o o r e P e n r o s e 广义逆； d i a g A 。，A 。，⋯，k ≥0 表示对角元非负的T n 阶对 角阵． 给定P ∈S O Ⅳ炯，记咒阶对称正交对称矩阵集 为S P R 以”，即 S P R “ 蜘 { A ∈R 似”I A T A ， P A T P A ． 它是一个实数域上的矩阵空间；记，z 阶对称正交对 称半正定矩阵集为S P R 舳，它是S P R 似”中的一个 闭凸子集． 引理1若P ∈S O R 似”，则必存在唯一的整数 愚 o ≤忌≤，z 和以阶正交矩阵日，使P 有谱分解 P 日f L 0 一J 一。] 日T ． c ， 日l1 日1 ． 1 I J 。一 J 证明由P ∈S O R “”得P 可以正交相似对角 化并且特征值只能是1 和一1 ；取忌为正特征值的 个数，它可能是0 也可能是砚；记属于特征值1 的 单位正交的特征向量为 ，，h 。，⋯，阮，而属于特征 值～1 的单位正交的特征向量为‰ 。，舷 ，⋯，| I I 。， 令日 J l 。， 2 ，⋯， 。 ，贝0 得式 1 ． 证毕． 引理2 设P ∈S O R 以”，有谱分解 1 ，则矩阵 A ∈S P R g 跏的充要条件是 A HP 0 I 矶 2 l0A z 2J 其中对角块A 1 l ∈S R 姒，A 2 2 ∈S R 驴一以 n - - k ． 证明 若A ∈S P R 跏，则A P P A ，利用式 1 中P 的分解式得 叫 0 刊I 肚日[ 厶0 一I 。．- 。卜【一。一tJ【 一 tJ 日T 脯降01 f 厶o ] 日T 觚 【0一L 一 j【0一I 。一tJ 作如下分块 旷M - I 皇瓢二。． 代入上式则得矩阵A 。。 0 ，从而得到式 2 ；再由A 的半正定性知A 。。∈S R 3 灿，A 2 2 ∈S R 5 一”引”舢；反过 来若A 有表达式 2 ，则同样可证A ∈ P R g 湘． 证毕． 注1在P 中，愚也可能为0 或以，此时式 1 或式 2 中可能没有分块． 1 方阵逆特征值问题 为了研究在S P R 跏中的矩阵逆阵特征值问 题，需要用到下面的引理，它给出了在对称半正定 矩阵集S R ；跏中逆阵特征值问题的解． 引理3 [ 6 3 已知矩阵x ∈R 似”，A d i a g 2 1 ，A 2 ， ⋯，k ≥0 ，并且设X 有奇异值分解 x f 三o ／V r U 1 U U 删，X lⅣ， ＼00 ， ‘ 式中U U l ，U 2 ∈O R ““，U 1 ∈R “x ’；y 一 y 1 ，y 2 ∈O R “。“，y 1 ∈R “，；三- - - - - d i a g 0 1 ，盯2 ，⋯，o r O ，r r a n k X ． 1 在对称半正定矩阵集S R 3 跏上I I 从一 X A 忆一- - - r a i n 有解，且通解为 A ∥f 2 吼“硼胛∞o ] 矿， 【0 BJ 式中B E S R ≯一搬h 1 ’是任意的；吼 也， ，。，，丸 砰 西 _ 1 i ，．『一1 ，2 ，⋯，r ． 2 在对称半正定矩阵集S R 煳上A X X A 有 解的充要条件是X T X A A X T X ，此时通解为 ⋯∥K 一。卜X A X U z 0 B 明， 【J 。 式中B E S R 驴一掀“一’是任意的． 给定缸阶对称正交矩阵P ，其谱分解为式 1 } 在对称正交对称半正定矩阵集S P R 湘中的逆阵特 征值问题有如下定理 定理1给定P ∈S O R 似”和X ∈R 似”，A d i a g 万方数据 5 3 8中国矿业大学学报第3 4 卷 A ，，如，⋯，k ≥0 ，作分块 日T x [ 妻] 。二。， c 3 ， r 1 - - - - r a n k X 1 ，r 2 r a n k X 2 ． 并且分块X ，，X 。有奇异值分解 粘u 。 钏00 h ≥ ＼／A r - r l m - - r l 4 噩 u 。 乏00 。 y ；n - - “k - - n ， ＼／r 2 式中U 1 U { “ ，￡，l D ∈O R 姒‘； r lk - - r l U 2 ￡，i 孙，U 5 2 ’ ∈O R “一取“一’； H 一 y i n ，y 参’ ∈O R 袱”， y { 订∈R ”o i 一1 ，2 ； 五 d i a g a f ，口；，⋯，Z j ’ o ； 五 d i a g a f 盯，盯；2 ’⋯，∥’ o ． 则不相容情况下逆阵特征值问题0A X X Al | r m i n 在S P R Y , 跏中有解 A 日K 0M 。。卜 ㈣ I2J 其中M 。 ￡，， M 2 U 2 卜“帮{ l H 胛p 驾㈨k l 0 G 1J f 2 ∞毛* ‘五y 2 汀 y { 2 ’而’o ] u ；， 【0G 2J 瓦甲％一 彤’ r t X q ，掰’一 钟“‘ 哪”‘ 1 i ，．，2l ， 2 ，⋯，，．f ；Z 1 ，2 ；G l ∈S R ≯一7 l ’‘‘一7 1 ’和G 2 ∈ S R 扩扣‘。取“一一z ’为任意的；并记全体解为集合 S L ． 证明设A ∈S P R n X n 为未知的，利用它的结构 式 2 得 ㈨圳惜 №12 。] H T X - X A 卜 ∽／OI H T X - H T X A 卜 8 [ 之12 。] [ 妻] 一[ 妻] K 0【AA。I。IxX。IJ 1 一f x X 2 1 A ] J 虻 I IA 。。x 。一x ，A0 ； 0A 。。x 。一x 2 AI l ；． 将上式化成如下两个等价问题 怂[ A n X 。I 啦- X I AI忆Iv - m i n ，, A XA r a i n 6 | |2 22 一X 20F， 式中A 1 1 ∈S R * o m ，A 2 2 ∈S R o 一“ 州一耵为未知矩阵． 由引理3 中1 即可求得A n ，A 2 。的通解表达式 A 1 1 U l A 2 2 U 2 f 2 ① - * ‘五W T W 玉’o ] ￡，j ， 【0G 1J 卜“剐P 汀胛f 2 嘎川k T 【0G 2J 再将A ，。和A 2 。组合在一起可得A ∈S P R g “的 通解表达式 5 ． 证毕． 推论1假设条件与定理1 一致，则相容情况 下逆特征值问题A X X A 在S P R g 跏中有解的充 要条件是下列各式同时成立 A d i a g 1 l ，九，⋯，a m ≥0 ， x } x l A A X [ X l ， 7 x ；x 2 A A 辫X 2 ． 当有解时通解为 A 日[ Ⅳ0 1N 。。] 日T ， c 8 ， l2J 其中 Ⅳ。 U 。[ 五w 。T w “ 耳1 毒] U ，， Ⅳ。 u 。[ 乏w ∞T w 蛩写1 墨] u ；， 式中G 1 ∈s R 驴一‘1 ’“n 一7 1 ’，G 2 ∈S R 5 ”一‘一7 2 ’‘”一‘一r 2 ’ 是任意的，并记全体解为集合S E ． 证明相容情况下逆阵特征值问题A X X A 有解的充要条件是| | A X ～X Al Ir 0 ，由定理1 的 证明过程可得它等价于0A 。。x 。一X 。A | | 0 ， | | A 2 2 x 2 一x 2 Al | 0 ，即 A 1 1 X 1 X l A X 1 ∈S W o 。 ， A 2 2 X 2 X 2 A X 2 ∈S R C o ．一‘1 “一。’ ． 利用引理3 中2 即得上述两个子问题有解的 充要条件和通解表达式，从而进一步得到A X X A 有解的充要条件式 7 和通解表达式 8 ． 证毕． 注2 如果取正交矩阵P 厶，e 。一l ．．． e 。 ．，。，它是一个，l 阶反序单位矩阵，则s P R 妯恰为文 献[ 8 3 中的双对称半正定矩阵集，此时若行一2 k ，则 ～巴三卜其中日 扰针若咒 2 志扎则P 一日【≮1 三】日T ’其中日 1 几 l toI k 0 压0 J lg Jo ，文献[ 8 3 中的定理1 ，2 正 是上述定理1 的直接推论} 如果取正交矩阵p _ - - 万方数据 第4 期陈兴同等对称正交对称半正定矩阵逆特征值问题 e ，，e 。，⋯，e n 即，2 阶单位矩阵，则s P R ；舳为文献 [ 6 ] 中的对称半正定矩阵集，其结果也是定理1 的 直接推论． 2 最佳逼近问题 对定理1 和推论1 的解集 和 ，可以证明 它们都是空间Ⅳ加中，也是对称正交对称矩阵空 间S P R 似”中的闭凸集，因此在它们上面的最佳逼 近问题已知A ∈R 以”，求A ∈ 或A ∈5 E 使I | A A 忆 r a i n 有唯一解． 引理4 ‘1 0 3已知A ∈R ”“”，记口一 A A T ／2 ， 并且有极分解 曰一U H U ∈0 R ””，H ∈S R ；。4 ． 则在对称半正定矩阵集S R 加上的最佳逼近问题 I fA A 忆一r a i n 有唯一解，记为A ，并且A 曰 日 ／2 ． 为了研究在 和＆中最佳逼近问题，将定理 1 和推论1 的解集 和鼠统一表示为 r ‘ S √HU G 1 G 2 式中U2 i 1 u ，j ∈o R 似”，而U 1 9U 2 与定理1 或推论1 中的一致；G 1 ∈S R o 卜7 豫强一1 ’G 2 ∈ S R 5 ”一‘一r 2 ’。‘”一‘一也’． 当W f 王y } 订T y i 订F 1 i 1 ，2 时S S E ；当 w f 2 0 ．* 互y f o T y f D 互 i 1 ，2 时S S L ． 定理2 给定A ∈Ⅳ“，利用定理1 中的有关 记号作分块 f A l 】A 1 2 i ] T H T A Hb 卜A z 2 A 3 1A 3 2 【A 4 1A 4 2 t 1k - - r t 则最佳逼近问题I lA A 佳逼近解为 A HU A 2 2 A 1 3A 1 4 1 r l A 2 sA 2 tl 扣r 1 ． 9 A 3 3A 3 4 t “ 2 A 4 3A 4 4Jn 一 一r 2 W 2 A 4 4 B 2 C A 船 A 乏 ／2 Q 2 T 2 ， Q 2 ∈O R k - - r l 川卜‘1 ’r 2 ∈S R o 卜7 l 取娃一l ’， B 。 C A 。。 A T 4 ／2 Q 。T 。， Q 4 ∈O R ‘”一‘一r 2 ’‘”一‘一r 2 ’，r 4 ∈S R 5 ”一‘一r 2 ’‘“一‘一‘2 ’． 如果分别将S 看成 和 ，则得相应的最佳逼近 问题的解． 证明对任意的X ∈．S ，有 J JA xJ | ； A ～HU W 1 U T 日T A j ，U G l W 2 G 1 G 2 U 1 H 1 。 G 2 | IA 。。一G 。| l l IA 。。一G 。0 } C ， 式中C 为常量． 这样S 上的最佳逼近问题等价于如下两个问 题 I IA 2 2 一G 1I lF m i n ， I lA 4 4 一G 2 | 1F r a i n ， 式中G l ∈S R 驴一7 l ’“一7 l ’；G 2 ∈S R 5 ”一‘一7 2 ’。“一‘一r 2 ’． 按引理4 这两个最佳逼近问题的解恰好是 A 2 2 和A 4 4 ，即式 1 0 得证． 若取W i 2 0 置* 玉y f 叩A V [ D 互 i 1 ，2 ，则 得在＆中的最佳逼近解；而且当 非空时，若W r 玉y f 。T 以y f D F l i 一1 ，2 ，则得在 中的最佳逼 近解． 证毕． 注3 如果取正交矩阵P “，e 。一l ．．．’e 。 ，它 是一个反序单位矩阵，则S P R 跏恰为文献E 8 3 中的 双对称矩阵集，其定理3 ，4 正是上述定理2 的直接 推论． 3 数值算例 ．设n 4 ，7 n 2 ，且P U T 日T 。 1 0 式中A 2 2 曰2 T 2 ／2 ；A 4 。 ； 曰4 T 4 ／2 ；而B 2 ，X 2 F 。和B 。，T 。由下述极分解决定 1 1 O O O 1 l 一1 。A - - - - d i a g 0 ，1 ． O0 、 。0 一汁已知 一10J 、．．。。．．．．．．L，。，．．．．J T H T U 万方数据 5 4 0中国矿业大学学报第3 4 卷 则有村一 P H 1 压 1 。 。去。 O 。 去 。一寺 1 1 由愚 2 ，因而分块式 3 得 X 12 n 1 u 万 0 几 1 j 压 0 O 一1 ，X 2 日T ． O 1 1 压 汀一去 00 r 1 2 r 2 2 1 ． 利用M A T L A B 6 ．5 中函数s v d 得它们的奇异值分 解为 X l U 1 X 2 一U 2 ．5 8 1 1 O ．5 8 1 1 O y } ， y 手， 其中”h { 0 ．8 4 4 纵7 2 一叭0 ．8 4 9 4 7 4 2 ，y ， 0 一。1 ； z 7 。 ； ，y 。 0 一．．8 ．9 4 ．．4 2 ．4 8 4 9 4 7 4 2 ，／． 按条件 7 这是一个不相容情况下的逆阵特征 值问题，于是由定理1 得到问题I I 似一X A 忆一 m i n 的通解为 A 日 U ，㈡ 又如果取矩阵A ￡，T H T A 日U 1 ．7 9 9 9 一I ．0 9 9 9 0 ．4 4 7 2 O ．2 2 3 6 O ．4 9 2 21OO 1210 O121 OO 12 1 ．0 9 9 9 2 ．1 9 9 9 0 ．2 2 3 6 0 ．4 4 7 2 日T 9 1 ，9 2 ≥O ． ，则分块式 9 为 一0 ．4 4 7 2 0 ．2 2 3 6 1 一O ．5 0 ．2 2 3 6 0 ．4 4 7 2 一O ．5 3 ．O 由定理2 可求得最佳逼近l lA A 忆- - r n i n 解为 A HUU T 日T 1 ．2 7 9 9 O ．8 7 9 9 0 ．0 4 0 0 0 ．0 4 0 0 参考文献 O ．8 7 9 9 1 ．2 7 9 9 0 ．0 4 0 0 0 ．0 4 0 0 0 ．0 4 0 0 0 ．0 4 0 0 2 ．5 1 9 9 0 ．4 8 0 1 0 ．0 4 0 0 0 ．0 4 0 0 0 ．4 8 0 1 2 ．5 1 9 9 [ 1 3 周树荃，戴华．代数特征值反问题[ M ] ．河南河南 科学技术出版社，1 9 9 1 ． [ 23 X uSF ．A ni n t r o d u c t i o nt oi n v e r s ea l g e b r a i ce i g e - n v a l u ep r o b l e m s [ M ] ．B e i j i n glP e k i n gU n i v e r s i t y P r e s s 。1 9 9 8 ． [ 3 3 徐树方．矩阵计算的理论与方法[ M ] ．北京z 北京大学 出版社，1 9 9 5 ； [ 4 ] 陈景良，陈向晖．特殊矩阵[ M ] ．北京清华大学出版 社，2 0 0 1 ． [ 5 ] 孙继广．实对称矩阵的两类逆特征值问题[ J ] ．计算数 学，1 9 8 8 ，1 0 3 2 8 2 2 9 0 ． S u nJG ．T w ok i n d so fi n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m s f o rr e a l s y m m e t r i cm a t r i c e s [ J ] ． M a t h e m a t i c a N u m e r i c aS i n i c a ，1 9 8 8 ，1 0 3 2 8 2 2 9 0 ． [ 6 ] 张磊．对称非负定矩阵的一类逆特征值问题口] ．湖 南教育学院学报，1 9 9 5 ，1 3 2 1 1 1 7 ． Z h a n gL ．Ac l a s so fi n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e mf o r s y m m e t r i cn o n n e g a t i v ed e f i n i t em a t r i c e s [ J ] ．J o u r n a l o fH u n a nE d u c a t i o n a lI n s t i t u t e ，1 9 9 5 ，1 3 2 1 1 1 7 ． [ 7 ] 廖安平，郭忠．线性流形上实对称半正定阵的一类 逆特征值问题[ J ] ．计算数学，1 9 9 6 ，1 8 3 2 7 9 2 8 4 ． L i a oAP ，G u oZ ．Ac l a s s o fi n v e r s ee i g e n v a l u e p r o b l e m sf o rr e a ls y m m e t r i cs e m i p o s i t i v eo nal i n e a r m a n i f o l d [ J ] ．M a t h e m a t i c aN u m e r i c aS i n i c a ，1 9 9 6 ，1 8 3 2 7 9 2 8 4 。 [ 8 ] 廖安平，谢冬秀．双对称非负定阵一类逆特征值问题 的最小 乘解口] ．计算数学，2 0 0 1 ，2 3 2 2 0 9 2 1 8 ． L i a oAP ，X i eDX ．L e a s t s q u a r e ss l o l u t i o no fac l a s s o fi n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m sf o r b i s y m m e t r i c n o n n e g a t i v ed e f i n i t em a t r i c e s [ J ] ． M a t h e m a t i c a N u m e r i c aS i n i c a ，2 0 0 1 ，2 3 2 1 2 0 9 - 2 1 8 ． [ 9 3 胡锡炎，张磊，周富照．对称正交对称矩阵逆特征值 问题[ J ] ．计算数学，2 0 0 3 ，2 5 1 1 3 2 2 ． H uXY ，Z h a n gL ，Z h o uFZ ．T h ei n v e r s ee i g e n v a l u e p r o b l e mo fs y m m e t r i co r t h o s y m m e t r i cm a t r i c e s 口] ． M a t h e m a t i c aN u m e r i c aS i n i c a ，2 0 0 3 ，2 5 1 13 - 2 2 ． [ 1 0 ] H i g h a mNJ ．C o m p u t i n gan e a r e s ts y m m e t r i cp o s i t i v es e m i d e f i n i t em a t r i x 口] ．L i n e a rA l g e b r aa n dI t s A p p l i c a t i o n s ，1 9 8 8 1 0 3 1 0 3 - 1 1 8 ． 责任编辑邓群 T 1 U 、t_t___／ 0 骱 O●3 4●0 9991●2 2 万方数据