非负随机矩阵Kronecker积的谱半径的不等式.pdf

第3 7 卷第3 期 2 0 0 8 年5 月 中国矿业大学学报 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g y V 0 1 ．3 7N o ．3 M a y2 0 0 8 非负随机矩阵K r o n e c k e r 积的谱半径的不等式 李金玉，吴祝武 中国矿业大学理学院，江苏徐州 2 2 1 1 1 6 摘要给出了随机矩阵的K r o n e c k e r 积的元素的表达式，通过表达式研究了非负随机矩阵 K r o n e e k e r 积的数学期望的性质，建立了随机矩阵的K r o n e c k e r 积的数学期望与随机矩阵的 学期望的K r o n e c k e r 积的元素之间的关系不等式．选择了一个合适的矩阵范数，将矩阵的谱半 表示成矩阵范数的极限形式．在此基础上，利用数学期望的性质和K r o n e c k e r 积的性质证明了 负随机矩阵的K r o n e c k e r 积的谱半径的几个不等式，其中包括矩阵函数不等式、分块矩阵不 式；通过实例说明了主要结果在非线性时间序列模型中的应用． 关键词随机矩阵；矩阵的K r o n e c k e r 积；矩阵的谱半径；矩阵函数 中图分类号O1 5 1 ．2 1 ；O2 1 1 ．1文献标识码A文章编号1 0 0 0 一1 9 6 4 2 0 0 8 0 3 0 4 2 8 0 5 S p e c t r a lR a d i u sI n e q u a l i t i e so ft h eK r o n e c k e rP r o d u c t o fN o n n e g a t i v eR a n d o mM a t r i c e s L IJ i n - y u ．W UZ h u W U S c h o o lo fS c i e n c e s ，C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y ，X u z h o u ，J i a n g s u2 2 1 1 1 6 ，C h i n a A b s t r a c t T h er e p r e s e n t a t i o n so ft h ee l e m e n t so ft h eK r o n e c k e rp r o d u c tf o rr a n d o mm a t r i c e s w e r eo b t a i n e d 。T h ee x p e c t a t i o nv a l u e so ft h eK r o n e c k e rp r o d u c tf o rn o n n e g a t i v er a n d o mm a t r i c e sw e r es t u d i e d ．I n e q u a l i t i e sb e t w e e nt h ee x p e c t e dv a l u e so ft h eK r o n e c k e rp r o d u c ta n dt h e K r o n e c k e rp r o d u c to ft h ee x p e c t e dv a l u e sw e r ee s t a b l i s h e d ．S e v e r a li n e q u a l i t i e so ft h es p e c t r a l r a d i u so ft h eK r o n e c k e rp r o d u c tf o rn o n n e g a t i v er a n d o mm a t r i c e sw e r ed e r i v e d ．T h e s ed e r i v a t i o n sr e l yo nt h ep r o p e r t i e so fe x p e c t a t i o na n dt h eK r o n e c k e rp r o d u c ta n dt h ec h o i c eo fn o r m u s e dt or e p r e s e n tt h es p e c t r a lr a d i u so ft h em a t r i xa sal i m i t i n gf o r m 。T h em a i nr e s u l t si n c l u d e i n e q u a l i t i e so fm a t r i xf u n c t i o n sa n di n e q u a l i t i e so fb l o c km a t r i c e s ．F u r t h e r m o r e ，t w oe x a m p l e s a r eg i v e nt os h o wt h ea p p l i c a t i o no ft h em a i nr e s u l t st on o n l i n e a rt i m es e r i e sm o d e l s ． K e yw o r d s r a n d o mm a t r i x ；K r o n e c k e rp r o d u c to fm a t r i c e s ；s p e c t r a lr a d i u so fm a t r i x ；m a t r i x f u n e t i o n 关于随机矩阵K r o n e e k e r 积的谱半径的不等 式，文献[ 1 2 ] 给出了任意P 阶实随机矩阵的2 m m ∈N 次K r o n e c k e r 积的谱半径的几个不等式． 本文给出了任意非负P 阶实随机矩阵的m 次 K r o n e c k e r 积的谱半径的几个不等式矩阵函数不 等式、分块矩阵不等式；最后通过两个应用实例说 明它们在非线性时间序列模型中的应用． 设矩阵A 一 口i 的每一个元素都是概率空间 n ，三，P 上的实随机变量，则称矩阵A 为实随机 矩阵．若随机矩阵A 的每一个元素的数学期望都 存在，则称矩阵A 的数学期望存在，并记E A E a ．同样，如果随机矩阵A 的每一个元素的志 阶矩都存在，则称随机矩阵A 的最阶矩存在．若随 机矩阵A 的每一个元素都是非负的，则称矩阵A 收稿日期2 0 0 7 0 4 2 5 基金项目国家自然科学基金项目 1 0 6 7 1 2 0 5 作者简介李金玉 1 9 6 2 一 ，男，湖北省天门市人，副教授，理学硕士，从事随机过程与时间序列分析方面的研究． E - m a i l ；l j y e u m t 1 6 3 ．c o m T e l 0 5 1 6 8 3 5 9 1 5 3 0 的数径非等 万方数据 第3 期李金玉等非负随机矩阵K r o n e c k e r 积的谱半径的不等式 4 2 9 为非负随机矩阵． 设A ，B 分别是H 口和P 口阶矩阵，则称如 下分块矩阵 AoB a l l B a 2 l B a 。l B 口1 2 B a2 2 B a 以B 为矩阵A ，口的K r o n e c k e r 积口] ，用A 跏表示m 个 矩阵A 的K r o n e c k e r 积，称为矩阵A 的m m ∈N 次K r o n e c k e r 积，规定A 一A ． 设A 为P 阶实矩阵，称A 的所有特征值的模 的最大值为A 的谱半径，记为I D A ．定义0A0 P m a x I a dI ，1 ≤i ，．『≤P ，则可证明H 3J I 0 是 S p p 上的一个矩阵范数，且I D A l i ml lA ”IJ 音． ，l 。 ∞ 1 引理 对于正整数m ，本文假设随机矩阵的m 阶矩 均存在．记P 阶实随机矩阵A t ，A z ，⋯，A 。的第 i ， ．f 元素分另0 为口≯’，口轳’，⋯，口扩’，即A t 一 口扩’ 足 一1 ，2 ，⋯，，z ．再用记号口嚣⋯k J 。和6 嚣⋯o 。分别表 示乘积矩阵／- [ E A P ”和Ⅱ E A i 。”的第 i 。J 。，⋯， 撕。 元素，则有 n 嚣喇。一∑∑⋯∑眈强⋯口0 I ；．．艺 } - k 。2t r l ⋯ 1 一 2 Z E a I l i ⋯口t ●⋯ F ，卜1 ” 一 “ ” E 口 r 2 r 1 ⋯a c 2 I 1L a t ；- 1 J l ⋯口I i l j 。， 6 善。⋯饥一∑∑⋯∑E 口鞠⋯眈0 k ⋯l X ⋯ k T - 1 ⋯ 1 ＆善2 ．．＆＆⋯ 一忙P⋯＆口n--l。Eak7。，眈孚1 』1 ⋯2 r 1 ⋯E 口口2 1E 口l f l 』1 ⋯ 乳。． 仿文献[ 1 2 ] 的方法可证明以下引理 引理1对于任意P 阶非负实随机矩阵A t 五 1 ，2 ，⋯，咒 ，矩阵ⅡE a ”和Ⅱ E A i 。“的元素 满足不等式口黔 ≥6 嚣伊 引理2 对于任意P 阶非负实随机矩阵An ， A ㈣⋯，A h 和q 阶非负实随机矩阵B ∽B t z ，⋯， B h 尼一1 ，2 ，⋯j r ，矩阵∑Ⅱ F A 村 。”o 量 1 』一1 Ⅱ E B 巧 。”的元素满足不等式 』一1 e ” n y 。r ⋯i m w 。⋯‰≤。≤叫≤m a x ≤嘱。{ 善z 黝y 觊 ， 式中 z X 铲 1 m 训 y 龆分别为Ⅱ E A 巧 。4 和 』一1 I I E B 蔚 。“的第 巧，⋯，巧 和 站，⋯，露 元素． J 一1 2 主要结果 定理1 对于任意P 阶非负实随机矩阵A 。和 口阶非负实随机矩阵B d i ，歹一1 ，2 ，如果它们的m 阶矩都存在，则有 p E a 管”矾霭”o 皿曾“助锓” Ⅸ蠹4 Ⅸ复”o 皿禽“功盆” ≥ I D E A l l 跏 F A l 2 o ”o E B l l 。珥 E B l 2 o ” E A2 1 跏 F A 2 2 o ”o E B2 1 跏 E B2 2 o ” ． 证明对任意固定的咒≥1 ，令 U 。一 E A 镥”E A 甓“o 功禽”皿雹“ 必翁“Ⅸ曼”o 皿舞”E B 复“ ”一 ∑⋯∑Ⅱ E A 汐E A 譬。邱秽邱秽 一 k I II 。1i I 22H ∑⋯∑ ⅡE A 秽融弦 0 Ⅱ功驴邱譬 ， V 。一 F A l l 跏 E A l 2 o ”o 功1 1 “ E B l 2 o ” F A2 1 。辨 E A2 2 o ”o 邱2 1 o ” 皿2 2 o ” “一 22” ∑⋯∑Ⅱ 臌 。” F A k i 2 铷o k 1 2 1 H 一1i 一1 E B ．1 o ” E B ．2 。m 一 2Z“ ∑⋯∑ Ⅱ E A k i l 跏 E Ak i 2 跏 o k 1 4 1 。2 1 i 2 1 Ⅱ E B k i I 跏 E B h i 2 跏 ． 由引理1 ，2 知，J l 【，。I l ≥I IL0 ，从而有 l i m | | 玑0 音≥l i mI IKI I ，故不等式成立． 证毕． 定理2 对于任意P 』阶非负实随机矩阵A 驰 i 一1 ，2 ，⋯，r ；j l ，2 ’．．，s ；悫一l ，2 ，⋯，￡ ，如果它 们的m 阶矩都存在，则有 l D ∑鱼Ⅱ融留 ≥P ∑壹Ⅱ 必驰 跏 ． 证明与定理1 的证明类似，略． 定理3 设函数 z 一∑口 z ’，g i z 一 ， o ∑b z ’的系数口 ≥o ，b ／ O i 一1 ，2 ，且均对于 万方数据 4 3 0中国矿业大学学报 第3 7 卷 zl R 收敛，A ；为P 阶非负实随机矩阵，B i 为q 阶非负实随机矩阵，如果它们的m 阶矩都存在，则 当p 厨p ” R ，p E B ” R i 一1 ，2 时，有 P f E 4 P ” og l E B P ” 融尹” og z E B 笋” ≥ 1 0 厂l E A 。 o “ o9 1 E B l o ” f 2 Ⅸ2 圆“ o9 2 E B2 跏 ． 证明利用谱半径的连续性及定理2 得 l D E A P ” Qg 。 E B P ” E ▲笋” og E B 尹” 一 i m p 一％ Ⅸ附。蚤钆 邱附 l i m p ∑∑口。删b 必p ” ’o 肋p ” 2 ’”。 Z 一0J O ∑∑口。删b 必尹” ’o 邱争” ‘ ≥ l 一0J 一0 ． 1 i m ．．p ∑∑口州b ， Ⅸ。 。” ’o E B 。 。” ‘ ，卜．。 f 一0 ，_ 0 P f l E A l o ” o9 1 E B l o ” F A2 o ” o9 2 E B 2 跏 ． 证毕． 下面将定理1 ～3 分别推广到分块矩阵的情 形． 定理4 对于由具有m 阶矩的任意P 阶非负 实随机矩阵A “和任意口阶非负实随机矩阵B i ，J 一1 ，2 所构成的2 阶分块矩阵，有如下不等式成立 f Ⅸ禽”o 邱管”Ⅸ霭4 国v 邱9 ．- ”1 P 【臌袅mo 皿禽m Ⅸ复mo 皿霪mJ ≥‘【臌袅”o 皿禽”Ⅸ复”o 皿霪”J ’ ／ E A 跏o E B l l 西 E A l 2 跏o E B l 2 跏、 。＼ E A 2 1 o 辨砭多 功2 1 o m E A 2 2 o m 砭多 。E 刀2 2 o 晰／ 证明对任意固定的咒≥1 ，记 f 融鲁“o 皿镥”融霞”国vE B 铲．- 1 “ 玑一【Ⅸ翁。o 皿翁。Ⅸ霆。o 邱复。J ’ f E A l l 。mo E B l l 勘 F A l 2 铷o 皿1 2 跏1 “ 【 E A 2 1 跏o E B2 1 铷 F A 2 2 跏o E B 2 2 跏J 则它们的第 i ，歹 元素分别为 f 厂。。 E 4 管” og 。。 E B 管” ‘【 。 融鲁4 og 。， E B 翁” f f 。1 F A ，1 o ” og 。。 E B 。， e m ‘【厂2 l F A2 1 跏 o9 2 1 E B2 1 跏 Ⅸ卑乏。邱2 笔 ⋯ E A 艺o 。oE B 咒t 。 F A 巴』oE B 咒j ] 一 ∑⋯∑F E A 掣融跪⋯ E A 氅‰E A 咒j o E B 掣助氍⋯E B 艺hE B 巴』 ] ， K i ，．『 一∑⋯∑[ 融艟。 。”o E B 谴。 跏 E A b b 跏o E B ，屯 o “ ⋯ E A ，l ，卜。 。”o E B ， ，卜， 。” Ⅸ女，，』 4o E B k n - 1 』 跏 ] 一 ∑⋯∑[ Ⅸ。。 跏 E A v 。 。‰ E A 一。 一， o “ E A ，卜，j p ” o ，卜Z ”一J⋯一 皿谴。 跏 E B ，l 。 。”⋯ E B ， ，。 。” E B k 一。』 。” ] ． 由引理1 ，2 知，I l 玑0 ≥I | V 。| | ，从而有 l i mI lU 。| | 吾≥l i ml Iv 。I I 丢，故不等式成立． ”∞H_∞ 证毕． 定理5 对于任意P j 阶非负实随机矩阵A 张， B 驰，C 砸，D 驰 i 一1 ，2 ，⋯，r ；j 一1 ，2 ，⋯，s ；k 一1 ，2 ， ⋯，￡ ，如果它们的m 阶矩都存在，则有 l D 』D ∑卤Ⅱ融寥 k 一1 J Ii ；1 ∑卤I I 即寥 lJ li 一1 ∑卤I I E B o 曼m 一1 J l i 一1 ∑囟ⅡE D o 盆“ k 1J lf 一1 证明与定理4 的证明类似，略． ≥ 定理6 设函数 z 一∑口驰z ‘，g i z 一 0 ∑6 驰z ‘的系数口驰≥o ，b 驰≥O i ，J 一1 ，2 ，且均 对于Izl R 收敛，A 。为P 阶非负实随机矩阵，B Ⅱ 为q 阶非负实随机矩阵，如果它们的m 阶矩都存 在，则当l D E A 9 ” R ，p E B 字” R i ，歹一1 ，2 时，有 基黧窭署；卜，z z E A 复” o g z z E B 复” J 7 f 1 2 E A l 2 跏 o9 1 2 E B l 2 跏 1 f 2 2 E A2 2 跏 o9 2 2 E B2 2 跏 J 晕 髓 Q 挈 ⅨK 。∑旷 一 。 。∑铲 I | ∥ QU 一 、，， y 眇 髓 助 。∑剐 o y 扩 Ⅸ 吼 。∑触 一 、l ， 、， 珥 严防，Loy 辨 户Ⅸ／k，L ％％ 。∑舢 。∑㈨ 跏 渤 叶 班 皿 国 ，Ⅱ㈦，Ⅱ川 ，o一，oH 。∑㈦。∑㈦ № № 驰 驰 Ⅸ 历 ，ⅡⅢ，ⅡH ，o倒，o闩 。∑㈦。∑H 万方数据 第3 期 李金玉等非负随机矩阵K r o n e e k e r 积的谱半径的不等式4 3 1 证明利用谱半径的连续性及定理5 得 ／f Ⅸ置” og - 。 皿置“ z Ⅸ霍“ og 。z 邱霭“ 、 广＼ ， Ⅸ鲁“ og 。。 邱舞“ 。 Ⅸ复” og 。。 E g g ” 厂 l i m p l i m p l i m p ∑n l l ， Ⅸ异” ’o ∑b Ⅲ 功禽” ’ l 一0i 一0 ∑口2 l 』 Ⅸ翁” 。o ∑b Ⅲ 船翁” ’∑口z 2 j E A 。。。” ’o ∑b 。。』 瑚复” ’ 』一0 j 一0 ∑∑口。巧b Ⅲ 融霭” ’o 衄露” ‘ 』一Oz 一0 ∑∑钇舢b 。 E A t 。。” ’o 功霪” ‘ ≥ ，，厂1 1 E A l l ” og l l E B l l o ” 2 E A l 2 o ” o9 1 2 E B l 2 o ” 、 ‘＼，2 - E A2 , 跏 0 9 2 。 E Bz ， 圆”厶 E A2 2 o ” o g z 2 E B2 2 o ” ，。 证毕． 3 应用实例 例1 对于任意P 阶非负实随机矩阵A ，A n ， A m A z ，，A z z ，任意g 阶非负实随机矩阵B ，B ⋯B 。。， B 2 l ，B 2 2 有 p e 融跏 ≥』D e 尉 跏 ， 』D e 髓。“oe 朋。“ ≥I D e F A t 。”oe 脚 。” ， f e 出嚣”e 尉雹”1f e E 1 1 。”e E A l 2 。”] P 【e 盥翁m e 班霪mJ ≥P 【e c 厨，，。m e 。厨。， mJ ’ P [ 兰薹蓦妻兰；蓦三 ] ≥ 。f e ㈣1 1 跏oe ／卫1 1 。4 e V M i z 户“oe ㈣1 2 跏1 r 【e F - A 2 1 。”oe 脚2 1 。” e E t 2 z 。”oe 庙2 2 。“J ‘ 例2 如果P 阶非负实随机矩阵A ，Au ，A 。。， A z ，，A z z 和9 阶非负实随机矩阵B ，B ⋯B ∽B 。。，B 。。 满足条件』D E o ” 1 ，则有 I D J 一点- A o ” 一1 ≥』D J 一 F A o ” 一1 ， I D I E A o “ 一1 砭多 J E B o ” 一1 ≥ I D J 一 E A o ” 一1 臣刁 I 一 E B o m 一1 ， f J E A 留“ _ 1 J E A 雹” - 1 ] 、f J 一 E A l l o “ _ 1 J 一 E A l 2 o ” - 11 P 【 J E ▲袅m 一- J 一必盆m 一1J ≥P 【 J 一 E A2 1 。m 一 J 一 Ⅸ2 2 。m 一1J ’ f J 一必置” _ 10 卜一皿禽” ．1 J 一必霭” 1Q J 一功雹” _ 1 1 ． ‘【 I 一Ⅸ翁” - 10 J 一肋异” - 1 J 一融霆4 。1o J 一皿复” 一1J 7 f I 一 E A l l o m 一1 眨多 J 一 E B l l o 辨 一1 J 一 Ⅸ。2 圆m 一1 砭多 J 一 E B 。2 o m 一11 ‘【 J 一 E A2 1 o ” _ 1o J 一 E B 2 1 o ” - 1 I 一 E A2 2 o ” - 1o J 一 E B2 2 o ” 一1J 。 例3考虑广义自回归条件异方差时间序列A ；一 模型G A R C H P ，q E 5 ] f t Z ；胆， h t a o 0 1 1 e p 21 ⋯ 口，e P 2p 【 f l l h ， ⋯ 岛 _ ， 其中{ 乙 是一列相互独立相同分布的随机序列， 且E Z 。一0 ，E Z ；一1 ，Z 与{ e ，，s 0 ，t 2 l I ，⋯，％，屈，⋯，岛≥0 ．记．7 C ，一e ；，e 。一Z ， y秒 窿，～ 巧 6 。∑舢 Q y 分 Ⅸ 巧 口 。∑舢 、， m n口，●、o 脚 o n Ⅸ 出 口 。∑㈨。∑舢 、，鼾 髓 o y鼾 Ⅸ 如眈 。∑㈤ 。∑舢 辨 户髓／L，Loy m 户 Ⅸ ，L 和 口 。∑㈨ 。∑舢 y m 户口 ，k，L ◇ y 肝 户融 高 口 。∑㈣ 。∑舢 、， m 户 拢髓o y m 尸 毖 Ⅸ／L 血％ 。∑㈨ 。∑舢 、， 孵 户口oy 卅 户 Ⅸ ／L 觑 眈 。∑㈨ 。∑舢 ，O；O疗H O ；O肛o；o岛o；o 岛d O ；O r O ；1 n o；o肛o；。 ～ ～ ～ ～ ～ ～ 伸O；O五1；O 艮o ；o n 1 ；o 卢O ；O ％O ；0 叩o ；o ％o ；o 仇 ● o O．．．1 p O ．．．0 ％o ；。 耻o ；o ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 伸1 ；O 毗O ；O 叩1 ；o 嘶o ；o 万方数据 4 3 2中国矿业大学学报第3 7 卷 因为A 。为非负随机矩阵，所以由定理1 有， p E A ， ” J D F A 。 o ” ≤I D Ⅸ9 ” ，因此，如果 pg P Ⅸ9 ” 1 ，则必有p E A ， 1 ，即∑q ∑岛 f 1 j 1 1 ，从而由文献[ s - I 知，模型存在惟一的严平稳解 { z 。 ，并且该平稳解还存在m 阶矩． 例4 考虑周期双线性时间序列模型P B L O ， ， o ，P ，1 E6 。X 。一∑b ； ￡ x ，妒，l 铂其中k } 是 函 一列相互独立相同分布的随机序列，且岛与{ X ，，5 t 相互独立，b t ￡ 一b f l I a ￡ b i z J - f ，A 一{ 0 ， 士2 ，士4 ，⋯⋯ ，A 一{ 1 ，3 ，⋯⋯ ，L ￡ ，坛 ￡ 分别表示厶和△的示性函数．假设b i ，≥0 ，b 挖≥0 ， e ，≥0 ，E e ；一以 0 0 ，k ≥1 ，并记 B 。一 0 b 2 ￡ P ，l 1O O 1 OO 6 卜1 ￡ e P l 0 O 1 b p ￡ 已p l O 0 0 因为E 为非负随机矩阵，所以由定理1 从p 有， I D E j E l 9 2 ”一』D E B 9 2 。” ≤』D E B 尹2 ” ，因此， 户户 如果卢z m a x ∑醵，∑配1 ，则必有l D 皿尹2 i 2i 2 ≥1 ，从而I D E B P 细 ≥1 ，由文献[ 6 ] 知，模型不存 在2 m 阶稳定解． 参考文献 E 1 ] 李金玉．关于矩阵K r o n e c k e r 积的谱半径的不等式 [ J ] ．工科数学，2 0 0 2 ，1 8 2 6 4 6 7 ． [ 2 ] [ 3 ] [ 4 J [ 5 3 [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 1 0 ] [ 1 1 ] L IJ i n - y u ．I n e q u a l i t i e so ft h es p e c t r a lr a d i u so fK r o - n e c k e rp r o d u c t sf o rm a t r i c e s [ J ] ．J o u r n a lo fM a t h e - m a t i c sf o rT e c h n o l o g y 。2 0 0 2 ，1 8 2 6 4 6 7 ． 李金玉．关于随机矩阵K r o n e c k e r 积的谱半径的不 等式[ J ] ．大学数学，2 0 0 6 ，2 2 2 8 5 8 8 ． L IJ i n - y u ．I n e q u a l i t i e so ft h es p e c t r a lr a d i u so fK r o n e c k e rp r o d u c t sf o rr a n d o mm a t r i c e s [ J ] ．C o l l e g e M a t h e m a t i c s ，2 0 0 6 ，2 2 2 8 5 8 8 ． 程云鹏．矩阵论[ M ] ．西安西北工业大学出版社， 1 9 8 9 ． H O R NRA ，J O H N S O NCR ．M a t r i xa n a l y s i s [ M ] ． C a m b r i d g e C a m b r i d g eU n i v e r s i t yP r e s s ，19 8 5 ． 安鸿志，陈敏．非线性时间序列分析[ M ] ．上海 科学技术出版社，1 9 9 8 ． B I B IA ，H 0M R ．P r o p e r t i e so fs o m eb i l i n e a rm o d e l s w i t hp e r i o d i c r e g i m es w i t c h i n g [ J ] ． S t a t i s t i c s ＆P r o b a b i l i t yL e t t e r s ，2 0 0 4 6 9 2 2 1 2 3 1 ． 李金玉．一类双线性时间序列的自相关函数的渐近 性质[ J ] ．中国矿业大学学报，2 0 0 0 ，2 9 6 6 5 4 6 5 8 ． L IJ i n - y u ．A s y m p t o t i cb e h a v i o u ro fs a m p l em e a na n d s a m p l ea u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n si n 丑b i l i n e a rm o d e l [ J ] ．J o u r n a l o fC h i n aU n i v e r s i t yo tM i n i n g T e c h n o l g y ，2 0 0 0 ，2 9 6 6 5 4 6 5 8 ． 严士健，王隽骧，刘秀芳．概率论基础[ M ] ．北京；科 学出版社，1 9 8 2 ． 王松桂，吴密霞，贾忠贞．矩阵不等式[ M ] ．北京 科学出版社，2 0 0 6 ． 蒋正新，施国梁．矩阵理论及其应用[ M ] ．北京北 京航空学院出版社，1 9 8 8 ． 陈景良，陈向晖．特殊矩阵[ M ] ．北京清华大学出 版社，2 0 0 1 ． 责任编辑邓群 万方数据