机加工表面轮廓的分形插值.pdf

中国矿业大学学报990 2 0 5 中国矿业大学学报 JO U RNA L O F CH I NA U NI VERSI T Y O F M I NI NG W i ，i 1, 2 , ⋯, N} . 其中W i 的压缩因子Si∈［0 , 1］，S m a x { Si，i 1, 2 , ⋯, N} 为I FS的压缩因 子. 设定义在完备度量空间 H X , h 上、压缩因子为S的一组压缩映射族组成的I FS为{ X; W i ，i 1, 2 , ⋯, N} 称其为双曲的I FS ，则下式 W H X →H X , 1 定义的变换是空间 H X , h 上压缩比为S的压缩映射，即 2 存在唯一的不变集A ∈H X ，满足 3 且A 可由任意一个B∈H X 迭代给出，即 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 0 5. h t m （第 2 ／9 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 0 3 中国矿业大学学报990 2 0 5 4 式中W 0 X X；W m W W m -1 X , m 1, 2 , ⋯⋯. 把此不变集A 称为其相应I FS的确 定性吸引子. IFS的吸引子一般都是分形，故也称为确定性分形. 对于一个给定的分形集 F∈H X ，如果能定义一个I FS{ X; W i ，i 1, 2 , ⋯, N} ，使得 5 成立，即F与IFS的吸引子A 之间的豪斯道夫距离足够小时，F就可由I FS{ X; W i ，i 1, 2 , ⋯, N} 获得很好的分形近似. 因此，选定由压缩映射族组成的I FS，就可确定一个吸引子分 形. 所以，IFS的不变集就可近似自然界中的分形几何图形. 这就是分形插值的理论基础. 1. 2 分形插值函数 对于用一定分辨率的仪器所测得的机加工表面轮廓的二维数集{ x i , y i ，i 0 , 1, ⋯, N} ∈R2，其分形插值函数是一插值于{ x i , y i ，i 0 , 1, ⋯, N} 的一个连续函数f ［x 0, xn ］ →R，并且其图形为一双曲迭代函数系统的吸引子. 现构造一个其吸引子等于插值函数f x 的图形的IFS{ R2; W i ，i 1, 2 , ⋯, N} ，其方法如下. 设IFS中每个函数W i 是仿射变换，其构造表示为 并且满足条件 由此可得4个方程式 a i x 0 ei x i -1 , 6 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 0 5. h t m （第 3／9 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 0 3 中国矿业大学学报990 2 0 5 a i x n e i x i , 7 c i x 0 di y 0 fi y i -1 , 8 c i x n d i y n f i y i . 9 为解得5个变量，必须先选定一个变量. 一般选d i ，且令0 ≤d i 1，i 1, ⋯, N，这是由于仿 射变换W i 的性质决定的. 相对一般的仿射变换，这里取b i 0 ，这使W i 总是把平行于y 轴 的线段映射为还是平行于y 轴的线段，而d i 正是反映了这种y 轴上的变换比例. 结合d i 值和 上面的4个方程可得 Ba r n s l e y 等人已经证明，由此定义求取的I FS总有唯一的吸引子，且该吸引子必定是 某个连续函数的图形，并同时通过各插值点，这个连续函数即为分形插值函数. 2 机加工表面轮廓的分形插值模拟及实验研究 本研究以车削加工的45钢表面和磨削加工的铸造青铜 ZQ Sn 6 -6 -3 表面为研究对 象，用T 10 0 0 型粗糙度测量仪对其进行测量，由计算机进行数据采集和处理，得到每种 加工表面的轮廓高度z 与采样点间关系的数据库{ i , z i , i 0 , 1, ⋯, N} . 通过比较T 10 0 0 型测量 仪所测得的粗糙度Ra值与用采集的z i i 0 , 1, ⋯, N 值计算所得的Ra值，对所采集的轮廓高 度值z i i 0 , 1, ⋯, N 进行标定；并通过对计算机采集数据的速度 即单位时间内采集的点 数 和粗糙度测量仪探头的匀速行驶段速度进行比较，得到所采数据点间的距离L 即分 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 0 5. h t m （第 4／9 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 0 3 中国矿业大学学报990 2 0 5 辨率 为0 . 2 m m . 在标定好的数据库中取一段 2 7 0 0 个点，即取样长度为2 7 0 0 0 . 2 540 μm 为研究对象，得到了实测轮廓 图1 . 同时，在此取样段内每隔30 个 点取1点得到相邻点间距离L为6 m m 的低分辨率轮廓 图2 . a 车削加工45钢表面轮廓 b 磨削加工ZQ Sn 6 -6 -3表面轮廓 图1 高分辨率实测轮廓 Fi g . 1 T h e m e a s u r e d p r o f i l e s w i t h h i g h r e s o l u t i o n f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 0 5. h t m （第 5／9 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 0 3 中国矿业大学学报990 2 0 5 a 车削加工45钢表面轮廓 b 磨削加工ZQ Sn 6 -6 -3表面轮廓 图2 低分辨率实测轮廓 Fi g . 2 T h e m e a s u r e d p r o f i l e s w i t h l o w r e s o l u t i o n 根据分形插值理论，通过选取适当的垂直尺度因子d i i 1, 2 , ⋯, N 值，分别对图2 中 的两低分辨率轮廓进行插值得图3所示的分形插值轮廓. 为了检验分形插值的有效性， 对图1和图3所示轮廓的粗糙度表征参数 Ra，D ，G 进行计算得到表1所示数值. 其中分 形参数D 和G 采用结构函数法［6 ］所得. 比较图1和图3中相应轮廓的形貌和表1中相应表 面的粗糙度参数值可以看出，分形插值轮廓与实测轮廓的形貌具有很好的统计相似 性，其表征参数值非常逼近. 这说明分形插值函数对具有分形特征的机加工表面具有很 好的模拟效果. 10 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 0 5. h t m （第 6 ／9 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 0 3 中国矿业大学学报990 2 0 5 a 插值于图2 a 的插值轮廓 b 插值于图2 b 的插值轮廓 图3 分形插值轮廓 Fi g . 3 T h e f r a c t a l i n t e r p o l a t i o n p r o f i l e s 表1 实测轮廓及插值轮廓的几种表征参数值 T a b l e 1 T h e v a l u e s o f s e v e r a l c h a r a c t e r i z i n g p a r a m e t e r s o f m e a s u r e d a n d i n t e r p o l a t e d p r o f i l e s 粗糙度 参数值 车削表面 45钢）磨削表面 ZQ Sn 6 -6 -3 实测表面轮廓 插值轮廓 实测表面轮廓 插值轮廓 Ra/ μm 1. 2 8 01. 2 540 . 48 00 . 47 8 D1. 40 71. 40 91. 57 41. 57 8 G / n m1. 541. 6 03. 13. 0 3 影响分形插值效果的因素分析 从分形插值过程可知，插值轮廓是以一定分辨率的原始轮廓为基础并通过选取合 适的d i 值而得到的. 因此，插值效果在很大程度上取决于原始轮廓和d i 值. 研究表明，原 始轮廓越接近于实际表面轮廓，则插值的效果越好，d i 值的选取也较为方便；原始轮 廓越是远离实际表面轮廓 即相邻点间的距离L值越大 时，则越难获得好的插值轮廓， 越不易选得合适的d i 值. 图4a 是由车削表面同一位置处的不同分辨率的轮廓且选取d i 0 . 0 6 所得的分形插值轮廓的结构函数对数关系. 由此可见，对于同样的d i 值，原始轮廓 的相邻点间距离L越大，所得分形插值轮廓的结构函数幂律关系越差，尤其是在较小的 插值尺度上，不具有分形特征. 在研究d i 值对插值效果的影响时发现，d i 值越大，插值 轮廓细微结构的粗糙度也越大，在较小的插值尺度上其分形特征与实际表面轮廓的分 形特征不一致，并且在较大尺度和较小插值尺度之间的某一尺度上不具有分形特征. 相 反，d i 值取得太小，同样也会出现在较小尺度上的分形特征不同于实际表面轮廓分形 规律的情况，如图4b 所示. 研究还发现，当被插原始轮廓的取样长度较大时，应分段插 值，每段的长度应小于轮廓线具有分形特征的最大尺度，这是因为在更长的轮廓段上 不具有分形规律. f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 0 5. h t m （第 7 ／9 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 0 3 中国矿业大学学报990 2 0 5 a 用不同低分辨率轮廓所得插值轮廓的结构函数对数图 b 用图2 a 且选取不同d i 值所得的插值轮廓的结构函数对数图 图4 结构函数对数图 Fi g . 4 T h e l o g -l o g p l o t s o f s t r u c t u r e f u n c t i o n 4 结 论 分形插值基于仿射变换的迭代函数系统，能充分反映自仿射相似结构，而且以实 际表面轮廓的低分辨率数据信息为基础. 因此，它对机加工表面轮廓的客观表征具有独 特的作用，进而对研究粗糙表面的接触、摩擦、磨损和润滑等摩擦学问题都具有积极 意义；而且，应用分形插值理论可大大降低粗糙度测量仪器的制作要求，压缩采集的 数据信息量. 从实验测得的轮廓与分形插值轮廓的形貌特征和表征参数的对比分析可以 看出，通过分形插值来表征机加工表面低分辨率轮廓微观尺度上复杂而精细的的自仿 射相似结构是有效和可行的. 分形插值的效果在很大程度上取决于垂直尺度因子d i 和被 插值的原始表面轮廓, 其中d i 的准确选取是关键，也是目前分形插值理论实用于加工表 面表征的困难所在. *国家自然科学基金资助项目 5930 50 40 作者简介 陈国安, 男, 196 3年生, 讲师 作者单位陈国安工程兵指挥学院 徐州 2 2 10 0 4 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 0 5. h t m （第 8 ／9 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 0 3 中国矿业大学学报990 2 0 5 葛世荣 张晓云中国矿业大学机械电子工程学院 徐州 2 2 10 0 8 参考文献 1 H e L, Zh u J. T h e f r a c t a l c h a r a c t e r o f p r o c e s s e d m e t a l s u r f a c e s . W e a r , 1997 2 0 8 17 ～2 4 2 索双富，葛世荣，强颖怀等. 磨削加工表面形貌的分形研究. 中国机械工程, 1996 , 7 1 41～42 3 葛世荣，T o n d e r K . 粗糙表面的分形特征与分形表达研究. 摩擦学学报, 1997 , 17 1 7 3 ～8 0 4 谢和平. 分形-岩石力学导论. 北京 科学出版社, 1996 . 11～15, 6 9～7 4 5 谢和平，薛秀谦. 分形应用中的数学基础与方法. 北京 科学出版社, 1997 . 17 0 ～17 8 6 Zh o u G Y, Le u M C. Fr a c t a l g e o m e t r y m o d e l f o r w e a r p r e d i c t i o n . W e a r , 1993 17 0 1～14 收稿日期1998 -0 7 -0 2 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 0 5. h t m （第 9／9 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 0 3