m次积分C-半群和相应抽象Cauchy问题的强解.pdf

第3 4 卷第2 期 2 0 0 5 年3 月 中国矿业大学学报 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g y V 0 1 ．3 4N o ．2 M a r ．2 0 0 5 文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 5 0 2 0 2 5 6 0 5 m 次积分C 一半群和相应抽象 C a u c h y 问题的强解 胡敏，宋晓秋，王晓燕 中国矿业大学理学院，江苏徐州2 2 1 0 0 8 摘要利用m 次积分G 半群的性质及抽象函数的微分与B o c h n e r 积分，对主算子为m 次积分C ． 半群的无穷小生成元的一类线性非齐次抽象C a u c h y 问题，证明了其强解存在的2 个充分必要条 件及判定强解存在的一些充分条件． 关键词m 次积分G 半群；无穷小生成元；抽象C a u c h y 问题；强解 中图分类号O1 7 7 ．1 文献标识码A 优一T i m e sI n t e g r a t e dC - S e m i g r o u p sa n dS t r o n g S o l u t i o no fA b s t r a c tC a u c h yP r o b l e m ’HUM i n ，S O N GX i a o q i u ，W A N GX i a o - y a n S c h o o lo fS c i e n c e ，C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y ，X u z h o u ，J i a n g s u2 2 1 0 0 8 ，C h i n a A b s t r a c t F o ra ni n h o m o g e n e o u sl i n e a ra b s t r a c tC a u c h yp r o b l e mw h o s ep r i n c i p a lo p e r a t o ri st h e i n f i n i t e s i m a l g e n e r a t o ro f a nm t i m e si n t e g r a t e dC s e m i g r o u p s ，t w os u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r y c o n d i t i o n sa n ds o m ej u d g i n gt h e o r e m sf o rt h ee x i s t e n c eo fi t ss t r o n gs o l u t i o n sw e r eo b t a i n e db y m e a n so ft h ep r o p e r t i e so fm - t i m e si n t e g r a t e dC s e m i g r o u p sa sw e l la st h ed i f f e r e n t i a la n dB o c h n e r i n t e g r a lo fa b s t r a c tf u n c t i o n s ． K e yw o r d s m - t i m e si n t e g r a t e dC s e m i g r o u p s ；i n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o r ；a b s t r a c tC a u c h yp r o b l e m ； s t r o n gs o l u t i o n 积分D 半群的概念是继C 。半群、积分半群和 C 半群之后，M i y a d e r aI 于1 9 8 8 年提出的[ ，它进 一步推广了前面三类半群，在研究和处理强连续算 子半群不能处理的不适定C a u c h y 问题方面显示了 强有力的作用．国内外的许多学者[ z - s ] 对积分C 一半 群的定义和性质作了进一步的研究工作．对于积分 C 一半群与相应C a u c h y 问题的研究更是方兴未艾， 文献[ 7 ] 中解决了序列完备的局部凸空间上，主算 子为咒次积分C 一半群的无穷小生成元的非齐次 C a u c h y 问题古典解的存在性与惟一性问题；文献 [ 8 ] 讨论了口次积分C 一半群与抽象C a u c h y 问题的 关系，得到了闭线性算子A 次生成口次积分c 一半 群等价于相应的口 1 次积分C a u c h y 问题是D 适 定的；文献[ 9 一i o ] 中引入了局部积分c _ 半群的有 关概念，讨论了主算子为局部积分C _ 半群的无穷 小生成元的C a u e h y 问题的积分解的存在性与惟一 性． 本文主要利用m 次积分c 一半群的定义与基本 性质，得出m 次积分C 一半群存在愚阶导数的条件 k E N ，并证明了非齐次C a u c h y 问题强解存在的 两个充要条件及一些充分条件． 1 | r n 次积分c 一半群 设X 是任一B a n a c h 空间，J 一[ o ，丁] 为有限闭 收稿日期2 0 0 4 0 5 1 7 作者简介胡敏 1 9 7 1 一 ，女，江苏省徐州市人，硕士研究生，从事泛函分析方面的研究 E m a i l h u m i n w e i 0 2 0 8 0 5 1 2 6 ．c o I x l ． 万方数据 第2 期胡 敏等m 次积分C 一半群和相应抽象C a u c h y 问题的强解 2 5 7 区间，B x 表示x 上的有界线性算子全体，在B x 上赋予算子范数后构成一个B a n a c h 空间．设 A 是x 上的线性闭算子，m 为非负整数，定义图像 范数| | Y | | 。一I | YI | x | lA y } | x I | A 2 Y | } x ⋯ 0A ”YI Ix ，则空间 D A “ ，I | I I 。 是一个 B a n a c h 空间．c [ o ， 。。 ，x 表示定义在E 0 ， o 。 上，取值于x 的强连续函数全体．c - “ E 0 ， o 。 ，x 一{ z ￡ ∈C E o ， ∞ ，X ，z ‘”’ ￡ ∈C E o ， o 。 ， X ，咒 1 ，2 ，⋯，m ． 定义1设m ∈N ，C E B X ，称B x 中的一 个强连续族{ S ￡ ；f ≥0 } 为x 上的一个m 次积分 c _ 半群，若下列条件满足 1 S 0 0 ； 2 对￡≥0 ，S ￡ 与C 可交换； 3 对x E X ，t ，s ≥O 有 1 s 。 s s z 一面两L ，咒一lJ ，l s t s t 一，． m - - 1 S r C x d r 一 、J t r ，＼ I s t 一，． m - - 1 S r C x d r I ． J0 ， 若对所有f ≥0 ，S f z 一0 蕴含．2 7 0 ，则称 { S f ；f ≥o 为非退化的．若存在M ≥0 ，∞∈R ，使 得| | S f l I ≤M e “对于所有f ≥o 成立，则称{ 5 f ； ￡≥o } 为指数有界的． 对于m 次积分C 一半群，当C I 时即为m 次 积分半群；当m 0 时即为c 半群．因而m 次积分 c - 半群是m 次积分半群和C 半群的推广． 定义2 设m E N ，定义算子A 如下 D A 一{ z z ∈X ，存在惟一的y ，使得 S t x m L - C x2J 。跏 y d r ’ A x y x E D A ， 称A 为优次积分c 一半群{ S ￡ ；￡≥0 } 的无穷小生 成元． 下面定理则给出了m 次积分C 一半群的一些基 本性质． 定理1c 6 1 设m e N ，A 为x 上的线性算子， { S ￡ ；￡≥o 为B x 中的一个强连续算子族，则下 列结论等价 1 { S ￡ ；￡≥o 为由A 生成的m 次积分C 一半 群； 2 c 为单射且与．s ￡ ￡≥o 可交换，A 闭且 满足C AcA C ；对Vt ≥0 ，S t AcA S t ， S r x d r ∈D A Vz ∈x ，进而 S t x 一三国一A Is r x d r ． 相对于1 和S t A C A S t 而言，A 是最大的． 定理2 c 6 3 设A 为优次积分C 一半群{ S ￡ ；￡≥ 0 的无穷小生成元，则A C ～A C ．若R c 又稠于 x ，则A 为x 上的闭稠线性算子． 定理3 设{ S ￡ ；￡≥0 } 为由A 生成的优次积 分c 一半群，则 1 对所有x E D A ‘ 点一1 ，2 ，⋯，优 ，S ￡ 存 在五阶导数，且有 ∥耵o k S k - ．o M 计蒜C x 1 2 对所有x E D A ‘ ，k m 且是∈N ，有 S ‘‘’ t z 5 ‘‘一 t A x ． 2 3 对每一个愚∈N ，且z ∈D ∥ ，S f z ∈ ∥ R ，X ，而且有 s 强’ ￡ z S t A ％ ∑ 暑A 件卜”C x ． 3 证明1 由定义2 ，当x E D A ‘ 志一1 ，2 ，⋯， m ，有 S t x IS r A x d r 三＆． 对上式两边求导 S ’ ￡ z 2 S t A x 氚C x 4 对式 4 再求是一1 次导，可得式 1 成立； 2 当z ∈D A ‘ ，k m 且五∈N ，由1 得 S ‘”’ ≠ z S ‘”一“ t A x C x ． 对上式两边求导 S ‘” 1 ’ ￡ z S ‘”’ t A x 。 5 继续对式 5 求m 一是一1 次导，可得式 2 成立； 3 由{ S ￡ ；f ≥o } 的强连续性及1 、2 中各式 可知，对每一个k ∈N 及z ∈D ∥ ，S ￡ z ∈C ‘ R ，x ；将1 、2 中各式逐次代入知式 3 成立． 证毕． 2 抽象C a u c h y 问题的强解 设x 是任一B a n a c h 空间，记如 x ，C ，M ，c c ， 表示满足IS ￡ l | B x ≤M e “ t ≥o 的m 次积分c 一 半群{ S z ；￡≥0 的无穷小生成元全体．考虑下列 非齐次抽象C a u c h y 问题 』警一似卅托№㈤， 6 【z o 一z 。． 定义3 设A ∈岛 X ，C ，M ，甜 ，函数．2 7 ￡ ∈ C I ，x 称为问题 6 的强解，如果有 万方数据 2 5 8中国矿业大学学报第3 4 卷 1 z f 在，上几乎处处可微，且警∈厶 J ， X o 2 z f 在，上几乎处处满足式 6 ． 定理4设A ∈k X ，C ，M ，∞ ，且{ S ￡ ；￡≥ 0 是相应的优次积分C 一半群，m 0 ，z 。∈X ，厂 ￡ ∈L l J ，X ．令 y f 一S t x o I5 z O f O d O ， 则问题 6 存在强解z ￡ 的充要条件是y ≠ ∈c m J ，X ，Y ‘柚 f ∈R C ，C 一1 Y ‘”’ ￡ 在，上几乎处处 可微，且j a f C 一1 Y ‘”’ f ∈厶 J ，x ，此时z f 一C 一1 Y ‘神 ￡ ，t e l [ o ，T 3 ． 证明必要性设z f 为式 6 的一个强解， 定义P s 一5 ￡一5 z s o ≤s ≤￡≤丁 ，则由定义3 和定理3 ，对于几乎所有的s E I d P j _ s 一7 t - - s j m 弋- _ 1 C 童 s 5 t - - s 厂 s ． d s ，挖一1 。“”7 。。、 7 。”” 将上式从0 到t 积分可得 y ∽一f 等着如∽以 两边对t 逐次求导 ∥m f 等着如∽“ ● ● Y ‘”’ ￡ 一C x t ． 从而，y ￡ ∈C ” J ，X ，Y ‘”’ f ∈R C ，z f C _ 1 y 抽’ f ，所以必要性成立． 充分性 定义口 f 一J ’t 。y r d ，．，则利用积分 交换次序的F u b i n i 定理可得 口 f - f s ，． z 。d ，． J ．d 吖5 r O f O d O f - s r z 。d r f d 町s r O f O d r 卜∽训r 胁刚静 r O d r p 咖o d r Jt 。厂 洲叫t t 。- - O 踯 出 令r o s 互换s 与0 胁加0 d r 脚≈掰 s d O ] d s ． 根据定理1 可知，IS r x 。d r ∈D A ， ●n f [ 卜㈣几 d O ] d s ∈刚 ，故有巾 ∈ D A ，t e l ．由算子A 的闭性和定理1 有 m c t ， y ∽一砉国。一c J 与茅，c 洲s ． 于是 y ∽ A a c t ， 着＆。 C J 与茅厂c 洲豇、 对上式两边关于t 求m 次导，可得 y ’ f A y t 孟丽C x 。 吖等崭几汕， ； Y ‘m f A y ‘一1 ’ ￡ C x o C If s d s ． 并且有Y ‘‘’ o 一0 愚 0 ，1 ，⋯，优一1 ，Y ‘”’ 0 C x o ． 由已知，C _ 1 Y 恤’ f 在j 上几乎处处可微，则 Y 伽’ ￡ 在J 上几乎处处可微，继续对t 求导得到 盖y 咖’ f A y 佃’ f c 厂 ￡ 7 因为Y m ’ ￡ ∈R C ，令甜 ￡ C _ 1 Y ‘神 ￡ ，得Y ‘神 f 仇 ￡ ，代人式 7 有 孟 国 ￡ 一A C u t C f t 由定理2 可知，C ．。A C A ，从而对任意z ∈D A ， C A x A C x ；所以有c 五d “ ￡ 一C A “ ￡ c 厂 ≠ ，又 因为c 为单射，得 五d 扰 f A “ ￡ ， ￡ ， 且 “ 0 一C 一1 Y ‘”’ O 一z o ． 所以矩 f C - 1 Y 咖’ t 是方程 6 的一个强解． 证毕． 推论1 设A ∈岛 x ，C ，M ，c c ， ，且{ S ￡ ；￡≥ 0 是相应的m 次积分c 一半群，x 。∈C D ∥ 1 ， ， ￡ E C I ，X ，定义z ￡ 一y z 一S t x o ，则问题 6 存在强解，当且仅当下列条件之一成立 1 Z f ∈C 魄 J ，X ；Z ‘”’ f ∈R C ，C 一1 Z ‘“’ ￡ 在I 上几乎处处可微，且面dc 一1 Z ‘m ’ ￡ EL - J ， X o 2 Z ￡ ∈C ” J ，X ；Z ‘“’ f ∈R C ，C 一1 Z ‘”’ ￡ 在J 上几乎处处可微，且C - 1 Z 拥’ t ∈D A ， A C 一1 Z ‘”’ t ∈L 1 j ，X ． 证明 1 对于z ￡ 一y ￡ 一S ￡ z o 两边取 C 一1 得C 一1 z f 一C 一1 y f 一C 一1 S ￡ z o ，由z o ∈C D A m 1 ，则存在Y 。∈D A 科1 ，使得X 。一C y 。，从而 C ～S t x o - - - - - S t y 。；因为Y 。∈D A m 1 ，则由定理 3 得S t y 。∈C ，，l 1 J ，X ，可知 C ～S t x 。∈C ” 1 J ，X ． 8 由定理4 及式 8 ，充要性成立． 2 必要性由已知得 万方数据 第2 期 胡敏等m 次积分C 一半群和相应抽象C a u c h y 问题的强解2 5 9 Z ‘“’ f y ‘”’ ￡ 一S ‘”’ f z o ． 9 由1 知，Z ‘神 f ∈R C ，两边取C _ 得 C 一1 Z ‘“’ ￡ C 一1 ．y ‘”’ ￡ - C 一1 S ‘”’ ￡ ．z o ． 由定理4 知，C _ 1 Y 佃’ f ∈D A ，再由z 。∈C D A ” 1 及定理3 中式 3 得C _ 1 S m ’ ￡ z 。∈D A ， 从而C 叫Z 伽’ z ∈D A ，所以必要性成立． 充分性由z ￡ ∈C ，，l J ，x ，得y ￡ ∈C “ j ， X ．因为C Z 咖’ z 在J 上几乎处处可微，所以 Z m ’ ￡ 在j 上几乎处处可微，由式 9 可得Y 咖’ f 在，上几乎处处可微，从而由定理3 ，4 ，得到 未z m ， f 未y 伽’ t 一叠s m ’ t z 。一 A y ‘”’ ￡ C 丁 f 一A S ‘”’ f z o A E y ‘”’ ￡ 一S ‘⋯ t s c o - l C f t 一 A Z 佃’ f C 丁 ￡ ． 由上式并仿照定理4 中充分性的证明过程，可知 盖c 叫Z 沏’ f A C 叫Z m ’ f 厂 ￡ 再由A C 一1 z ‘”’ ￡ EL l J ，x ，可侍夏1 2 1c 一1 Z ‘“’ ≠ ∈ L ， J ，X ，从而由1 知，充分性成立． 证毕． 推论2设A ∈岛 x ，C ，M ，御 ，且{ S ￡ ；￡≥ 0 是相应的m 次积分c - 半群，z 。∈C D A 卅1 ，若 下列条件之一成立，则问题 6 存在强解 1 ．厂 ￡ ∈C ‘ J ，X 忌 0 ，1 ，⋯，m ；，n 0 ∈ C D A ”“ i 0 ，1 ，⋯，k 一1 ；厂耵 ￡ ∈C D 4 m - - k ， A ’，‘“ f ∈C I ，X 歹 0 ，1 ，⋯，m k 一1 ，A m - - k C _ 1 f ‘‘’ ￡ ∈W 1 1 J ，X ； 2 ， f ∈C k J ，X 五 0 ，1 ，⋯，m ；f “’ O ∈ C D A ”一 i 0 ，1 ，⋯，k 一1 ；，n ’ ￡ ∈C D A “一件1 在，上几乎处处成立，A ’， 耵 ￡ ∈C J ，X 歹 0 ，1 ， ⋯，m 一是 ，且A “一‘ 1 C 一1 f ‘‘’ ￡ ∈L l j ，X ． 证明 1 由已知得Z f ∈C ，，l J ，X ，且有 z ￡ 一IS t O f O d O lS O f t 一0 d 0 ， J0J0 z ’ f 一5 z 厂 o IS t 一目 尸 0 d 0 ， Z ‘‘’ z S ‘6 1 ’ f ／ 0 S 一2 ’ z 尸 O ⋯ S t f ‘卜D o IS t 一目 ，他’ 0 d 0 ， Z ‘‘ l ’0 一5 ‘‘’ f 厂 O S ‘扣。1 ’0 尸 O ⋯ S 7 ￡ 厂‘卜D o IS 7 ￡一o f n ’ 0 d 0 ， ； Z ‘“’ f 一S ‘”一1 ’ ￡ ， 0 S ‘“一2 ’ ￡ 尸 O ⋯ s ‘”～‘’ ￡ ，‘‘一1 ’ o 十IS ㈣一4 ’ f o f n ’ 0 d 0 ∑i 0s ‘”一’一 ￡ 厂“’ 0 j 。s ‘”一” ￡一目 厂幢’ 口 d 口 因为f “’ o ∈C D A i i 0 ，1 ，⋯，k 一1 ，可知存 在y , E D A i ，使得f “’ o 一C y i i 0 ，1 ，⋯，k 一 1 ；又知厂伸’ ￡ ∈C D A m - - k ，所以Z m ’ f ∈R c ， 且 C 一1 Z ‘Ⅲ’ f 一∑S ‘州- D f y i lS m 一’ ￡～O C - 1 f 强’ 0 d 0 】7 f } S ‘“一的 ￡一护 c 一1 f 唯’ 汐 d 六 将式 3 代人上式可得 C - 1 z ㈤∽刮卅乳半旷P ④虮i 盟IJo ’ S t O A “一k C 一1 f ‘‘’ 0 d 0 ． 由Y i ∈D A i i 一0 ，1 ，⋯，k 一1 及定理3 可知， S 伽一D f ∞∈C 1 J ，X ，从而r l t ∈C 1 J ，X ；又 因为A m - - k C - 1 f 强’ ￡ ∈W 1 ’1 J ，x ，所以C 一1 Z m ’ ￡ 在J r 上可微，且 未c l z 佃 o 一未】7 ∽ 爱f煤矿㈣f，0d01 台Jo i 一 ～ S t A m - - k C 一1 f ‘‘’ O J ．。t 阢一口 缸A m - k C 。1 f ㈣ 伽姐 再根据已知得金c 一1 Z ‘m ’ f E L ， 』，x ，故由推论1 中的1 ，结论成立． 2 由已知，易得Z ￡ ∈C “ ，，X ，Z ‘神 z ∈R C ，且 C 一1 Z ‘”’ t 一r ／ t lS ‘”一舯 f O C 一1 ，‘的 0 d 0 ． 由，强’ ≠ ∈C D A 一蚪1 在，上几乎处处成立及定 理3 可知，C _ 1 z m ’ ￡ 在，上几乎处处可微；又根据 假设易知，C 叫z m ’ f ∈D A ，而且有 A C 一1 Z ‘”。’ z 一A 叩 z 乳半A , l - * f ㈨∽叭 lS t O A ”一6 1 C 一1 f 强’ 0 d 0 ． 由已知，A ”一 1 C 一1 f ‘肋 f ∈L l ，，X 及A J f 强’0 ∈ C J ，x ， 0 ，1 ，⋯，m 一是 ，得到A C - 1 Z ‘坍’ ￡ ∈ 厶 ，，X ，所以根据推论1 中的2 ，结论成立． 证毕． 当k m 时，推论2 可简化为 推论3 题设条件如推论2 ，若下列条件之一 万方数据 2 6 0 中国矿业大学学报第3 4 卷 成立，则问题 6 存在强解 1 厂 ￡ ∈C ” J ，X ；，“’ O ∈C D 4 “一 i 一0 ， 1 ，⋯，m 一1 ，f ‘刚 ￡ ∈R C ，且C 一1 f ‘“’ ￡ ∈W 1 1 ，，X ； 2 ， ￡ ∈C ” j ，X ；厂订 o ∈C D ∥一 i 一0 ， 1 ，⋯，m 一1 ，f m ’ f ∈C D A 在J 上几乎处处成 立，且A C _ 1 f 咖’ f ∈L l J ，X ． 当志 0 时，推论2 可简化为 推论4 在推论2 的条件下，若下列条件之一 成立，则问题 6 存在强解 1 ， f ∈C D A ” ，A ’， ￡ ∈C J ，X ，一0 ，1 ， ⋯，m 一1 ，A “C 叫， f ∈W 1 ’1 j ，X ； 2 厂 f ∈C D A ”“ ，A 7 厂 ≠ ∈C 』，X ．， 0 ， 1 ，⋯，m ，且A ” 1 C - 1 ， f ∈L 1 J ，X ． 参考文献 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] M i y a d e r aI ．Ag e n e r a l i z a t i o n o ft h eH i l l e Y o s i d a t h e o r e m [ J ] ．P r o c ．J a p a nA c a d ．，1 9 8 8 ，6 4 7 2 2 3 2 2 6 ． D e l a u b e n f e l sR ．E x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf a m i l i e sf o r t h ea b s t r a c tC a u c h yp r o b l e m 口] ．J ．L o n d o nM a t h ． S o c ．，1 9 9 1 ，4 4 2 3 1 0 - 3 3 8 ． H i e b e rM ，H o l d e r r i e t hA ，N e u b r a n d e rF ．R e g u l a r i z e d s e m i g r o u p sa n ds y s t e m so f l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s [ J ] ．A n n ．S c u o l aN o r md iP i s a ，1 9 9 2 ，1 9 3 6 3 3 7 9 ． W a n gSW ．M i l di n t e g r a t e dC e x i s t e n c ef a m i l i e s [ J ] ． S t u d i aM a t h ．，1 9 9 5 ，1 1 2 3 2 5 1 - 2 6 6 ． [ 5 3 郑权，雷岩松．关于积分C 一半群[ J ] ．华中理工大学 学报，1 9 9 2 ，2 0 5 1 8 1 1 8 7 ． Z h e n gQ ，L e iY S ．O nt h ei n t e g r a t e dC s e m i g r o u p s [ J ] ． J ．o f H u a z h o n gU n i v e r s i t y o fS c i e n c e T e c h n o l o g y ，1 9 9 2 ，2 0 5 1 8 1 1 8 7 ． [ 6 ]黄永忠，袁晖坪．关于n 次积分C 一半群和存在族的注 记[ J ] ．渝州大学学报，1 9 9 7 ，1 4 3 2 9 3 3 ． H u a n gY Z ，Y u a nHP ．N o t e so nn - 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