大位移非线性弹性理论的广义变分原理.pdf

中国矿业大学学报990 2 10 中国矿业大学学报 JO U RNA L O F CH I NA U NI VERSI T Y O F M I NI NG f i 为体力；τ为弹性体的体积；δi j为克氏符号， 2 非线性应力-应变方程 设A 表示应变能，B表示余能，则 2 a 2 b 并且有恒等式 A B e i j σi j . 2 c 方程 2 a , 2 b 和 2 c 是等价的. 3 大位移应力-位移方程 3 4 位移已知边界 4 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 10 . h t m （第 2 ／10 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 0 9 中国矿业大学学报990 2 10 式中 Γu为位移已知边界. 5 外力已知边界 5 式中Γσ为外力已知边界，设总边界为Γ，则 Γ Γu Γσ. 2 应用半反推法建立多变量广义变分原理 2 . 1 半反推法的基本思想 如何根据控制方程及边界条件构造变分原理，即变分反问题，一直受到人们的普 遍关注. 半反推法 凑合反推法，Se m i -I n v e r s e M e t h o d ［3～10 ］是适当构造一个能量试泛 函 En e r g y T r i a l -Fu n c t i o n a l . 如我们可以建立以下试泛函 6 式中σi j, u i 为独立变量；F，G ，H 均为待定函数. 构造试泛函有多种方法，具体请参考文献［3～10 ］. 选择上述形式的试泛函有一个 优点，即泛函式 6 对应于σi j的一阶变分的驻值条件满足控制方程 3 . 2 . 2 二类独立变量的广义变分原理 我们希望建立一个以式 2 作为变分约束的二类独立变量 σi j, u i 的广义变分原理， 试泛函可用式 6 . 令试泛函式 6 取驻值，注意到e i j 不是独立变量，我们可得以下驻值条 件 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 10 . h t m （第 3／10 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 0 9 中国矿业大学学报990 2 10 7 8 式中 称式 7 ， 8 为试欧拉方程 T r i a l -Eu l e r Eq u a t i o n s , 我们的目标是希望它们满足方程 3 和 1 ，因此，最简单的是令 9 10 应用约束关系 2 ，可识别F得 F f i u i -A e i j . 11 把式 11 代入式 6 得 12 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 10 . h t m （第 4／10 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 0 9 中国矿业大学学报990 2 10 下面可用同样的方法来识别边界上的待定函数G 和H . 在边界Γu上应用G r e e n 公式， 有 13 14 试欧拉方程 13 和 14 应满足边界条件 4 或为恒等式. 注意到待定函数G 应满足可积 性条件，即э2G / эu i эσi j э2G / эσi j‧u i , 于是最简单的方法是令 15 16 这样即可识别G 得 17 同理在边界Γσ上 18 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 10 . h t m （第 5／10 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 0 9 中国矿业大学学报990 2 10 19 识别H 得 2 0 从而可得以下二类独立变量的变分原理 2 1 这就是著名的H u -W a s h i z u 变分原理，可见它只是一个二类独立变量的广义变分原 理, 这和钱伟长的结论完全一致. 如果我们构造以下试泛函 2 2 则通过同样的方法可得以下泛函 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 10 . h t m （第 6 ／10 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 0 9 中国矿业大学学报990 2 10 2 3 这就是著名的H e l l i n g e r -Re i s s n e r 变分原理，式 2 3 分部积分，并应用约束关系 2 c ， H e l l i n g e r -Re i s s n e r 变分原理就转化为H u -W a s h i z u 变分原理，可见这个变分原量在相同的 约束条件 3 下是等价的，详细讨论见文献［11］. 2 . 3 三类独立变量的广义变分原理 构造以下试泛函 2 4 上述试泛函和式 6 完全相似，只是这里e i j 是独立变量，而式 6 中的e i j 却不是. 上述 试泛函对应于δu i 的驻值条件为 2 5 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 10 . h t m （第 7 ／10 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 0 9 中国矿业大学学报990 2 10 令 2 6 这样式 2 5 就变成了控制方程 1 . 由式 2 6 可以识别F得 2 7 式中λ为非零的任意常数；F1为待定函数. 把式 2 7 代入式 2 5 可得一个更新的试泛函，另外二个试欧拉方程可表示为 它们应满足其余的二个控制方程 2 和 3 ，于是，可设 识别F1得 F1 -A -λ A B . 于是可得以下广义泛函 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 10 . h t m （第 8 ／10 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 0 9 中国矿业大学学报990 2 10 这就是钱伟长得到的变分原理［1，2 ］. 如果构造以下形式的试泛函 式中e i j , σi j, u i 都是独立变量. 则通过同样的方法可得到和文献［1，2 ］一致的一个广义泛函 我们还可以通过构造不同的试泛函，得到各种不同形式的广义变分原理，这将在 以后的文章中作进一步讨论. f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 10 . h t m （第 9／10 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 0 9 中国矿业大学学报990 2 10 3 结束语 本文应用半反推法方便地推导并得到了大位移非线性弹性理论的广义变分原理， 其结果和文献［1，2 ］完全一致，这充分说明了半反推法的可行性和科学性. *上海市高等学校青年教师科学基金资助项目 98 Q N47 作者简介 何吉欢，男，196 5年生，讲师，工学博士 博士后 作者单位 上海大学应用数学与力学研究所 上海 2 0 0 0 7 2 参考文献 1 钱伟长. 大位移非线性弹性理论的变分原理和广义变分原理. 应用数学和力学，198 8 , 9 1 1～11 2 钱伟长. 广义变分原理. 上海知识出版社，198 5. 2 6 9～2 7 3 3 何吉欢. 凑合反推法流体力学变分原理建立的一条新途径. 工程热物理学报， 1997 , 18 4 440 ～444 4 H e J H . Se m i -i n v e r s e m e t h o d o f e s t a b l i s h i n g g e n e r a l i z e d v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s f o r f l u i d m e c h a n i c s w i t h e m p h a s i s o n t u r b o m a c h i n e r y a e r o d y n a m i c s , I n t e r n a t i o n a l J. T u r b o Je t - En g i n e s , 1997 , 14 1 2 3～2 8 5 H e J H . A g e n e r a l i z e d v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e f o r 3-D u n s t e a d y t r a n s o n i c r o t a t i o n a l f l o w i n r o t o r u s i n g Cl e b s c h v a r i a b l e s . I n t e r n a t i o n a l . J. T u r b o Je t -En g i n e s , 1997 , 14 1 17 ～2 2 6 H e J H . M o d i f i e d La g r a n g e m u l t i p l i e r m e t h o d a n d g e n e r a l i z e d v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s i n f l u i d m e c h a n i c s . J. Sh a n g h a i u n i v e r s i t y En g l i s h e d i t i o n , 1997 , 1 2 117 ～12 2 7 H e J H . A Fa m i l y o f v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s f o r c o m p r e s s i b l e r o t a t i o n a l b l a d e -t o -b l a d e f l o w u s i n g s e m i -i n v e r s e m e t h o d . I n t e r n a t i o n a l J. T u r b o Je t -En g i n e , 1998 15 95～10 0 8 H e J H . G e n e r a l i z e d v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s f o r c o m p r e s s i b l e S2 -f l o w i n m i x e d -f l o w t u r b o m a c h i n e r y u s i n g s e m i -i n v e r s e m e t h o d . I n t e r n a t i o n a l . J. T u r b o Je t -En g i n e s , 1998 15 10 1 ～10 8 9 H e J H . A v a r i a t i o n a l t h e o r y f o r 1-D u n s t e a d y c o m p r e s s i b l e f l o w A n i m a g i n e p l a n e a p p r o a c h . A p p l i e d M a t h e m a t i c a l M o d e l l i n g , 1998 2 2 395～40 3 10 H e J H . Eq u i v a l e n t t h e o r e m o f H e l l i n g e r -Re i s s n e r a n d H u -W a s h i z u p r i n c i p l e s . J. Sh a n g h a i U n i v e r s i t y En g l i s h e d i t i o n , 1997 , 1 1 36 ～41 收稿日期 1998 -0 5-17 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 2 / 990 2 10 . h t m （第 10 ／10 页）2 0 10 -3-2 3 15 57 0 9