电子束聚焦系统模型正椭圆周期解的存在性.pdf

第3 6 卷第6 期 2 0 0 7 年1 1 月 中国矿业大学学报 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y V 0 1 ．3 6N o ．6 N O V ．2 0 0 7 文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 7 0 6 0 8 6 4 0 5 电子束聚焦系统模型正椭圆周期解的存在性 章美月，刘文斌，张建军 0 ，y 7 0 ；Y ’ 2 Ⅱ 一0 2 下的周期解的存在性已有所研究，文献[ 3 ] 证明了 当n ≤告时有2 n 一周期解，文献[ 4 7 ] 对该结果进 行了进一步的改进． 收稿日期2 0 0 7 0 1 0 5 基金璃目国家自然科学基盒项目 1 0 7 7 1 2 1 2 ，1 0 6 7 4 1 7 7 作者俺开；章美月 1 9 6 7 一 t 女t 安徽省枞阳县 ，副教授，理学硕士．从事徽分方程、俯息与计算方面的研究． E - m a U Iz h m e i y u e 1 6 3 ．c o r t l T e l i1 3 9 5 2 2 0 8 2 9 2 万方数据 第6 期 章美月等电子柬聚焦系统模型正椭圆周期解的存在性 当行波管内的阴极不被完全屏蔽起来，其电子 束聚焦系统的模型方程为 j ，” f n 1 c 。s ‘ y f 一了％ ≯裔， 3 式中a 0 ，b 0 ，c ≥0 为常数． 阴极磁场 电 子 拖 图1 行渡管内周期磁场聚焦系统 F i g ．1D i a g r a mo ft h ef o c u s i n gs y s t e mf o r p e r i o d i cm a g n e t i cf i e l di nt r a v e l i n g - w a v et u b e 文献E 8 ] 用分析的方法讨论了方程 3 的正周 期解的存在性．本文主要利用上下解方法、F l o q u e t 理论、拓扑度理论和科学计算工具，对方程 3 在边 界条件 2 下的正椭圆周期解的存在性问题进行研 究，找到了正椭圆周期解存在性的条件，得到了一 个正椭圆周期解的存在性定理，从而完善和推广了 一些已有的结果． 1 主要定义及引理 设微分系统‘ Y ’一f t ，y J ∈R “，t ∈R ， 4 有周期为T 的周期解r y 。一y o ￡ ．方程 4 在r 处的变分方程为 z ’一A t x zC - R “，t ∈R ， 5 式中A ￡ 一 f ，y o 为连续的T 周期函数． 记o [ f ] 一Q [ t ] e “为式 5 的基本解矩阵，其 中Q [ t ] 为T 周期的可逆矩阵，且Q [ o ] ；I ，口为常 数矩阵．称中[ T ] 一，7 为变分方程 5 的M o n o d r o m y 矩阵，该矩阵的特征值称为方程 5 的F l o q u e t 乘子[ ””] ．若方程 5 的特征乘子不是1 ，但特 征乘子的模是I ，则称周期解r Y o Y o ￡ 是椭圆 的‘7 1 州． 为了后面定理证明的需要，考虑边值问题 ， t f t ，y ￡ 一0 ，⋯ ， O y 2 Ⅱ ，Y ’ 0 一Y ’ 2 Ⅱ ， 式中 f ∈c [ o ，2 Ⅱ] R ． 定义1 [ 7 1若y ￡ 是方程 6 的周期解，如果 其变分方程，十 f ，y ￡ z 一0 的解的F l o q u e t 乘子的模为1 ，但F l o q u e t 乘子本身不为士1 。则 v ￡ 是椭圆的． 定义2 [ 7 3若函数口∈c 2 [ o ，2 Ⅱ] 满足 i ， 幻 f t ，口 f ≥0 ，t ∈[ o ，2 “] ； 7 i i 口 0 ；a 2 Ⅱ ，口’ 0 ≥口’ 2 7 ； 8 则称口 f 是式 6 的一个上解． 若函数口∈C 2 [ o ，2 丌] 满足 i ∥ ￡ f t ，f l t ≤0 ，fC - [ o ，2 Ⅱ] ； 9 i i p o 觑2 Ⅱ ，卢‘ O ≤口’ 2 “ ； 1 0 则称p f 是方程 6 的一个下解． 引理1 [ ”对于H i l l 方程， w t x 一0 ，其 中“ f 是连续非常数2 n 周期函数．若w f ≤， 则H i l l 方程没有负的F l o q u e t 乘子；若0 l l z ／vb 塑。- { - 8 a c 一，月qa f ， f l t 是方程 3 的一对上、下解． 证明由觑t 一号√生上学，因为 ∥ f n 1 c o s ￡ 卢 ￡ 一未茜一声％一 [ 号乒孕j a 1 c o s t X 三胞 0 ，则当 t 。时，a ￡ 是方程 3 的上解．下面寻找k 。．因 为觑f ≤a f 0 ∈[ o ，2 Ⅱ] ，， ￡ f t ．d f ≥ 0 ，那么 矿 ￡ ， ￡，a t ； 万方数据 8 6 6 中国矿业大学学报第3 6 卷 以幻棚 1 “o s 加。卜志一南≥ - - C O St a 1 c o s ”任机o s 幻一南一南2 - - C O Sz 2 “s 甜专 2 a c o s t i n 2 号一2 印 f ≥o 所以 2 a f t t c o sf 一2 a c o s ￡s i n 2 姜 ≥■_ 』≥2a s i n 2 委 巡学flta 一1 一三Z a 一 ￡ 1 2／b f f 等豆 8 a c 特别地，取 ’一1 号 一1 一瓦1 ／b 豆 ～ a 当k k 。时，风f ≤d ￡ tC - L o ，2 Ⅱj ，而且n 0 口 2 “ 一1 k ，口7 O 一口’ 2 Ⅱ 0 ，即a ￡ 是 3 的上解，故口 ￡ ，a ￡ 就是 3 的一对上、下解． 证毕． 引理3 如果y f 丢√生L 譬是方程 3 关于式 2 的解，并且a ，b ，c 满足下面3 个条 件H 1 ，H 2 ，H 3 之一 H 1 0 0 ，f ≥o ； H 2 刍 0 ． 则 ，， f ，y ￡ a 1 c 。s ￡ 歹毒苦 于％ o ． 另一方面 Ⅳ幻 f 一棚 c ⋯ 嵩 南≤ z n ．尚 忐 2 口 ．_ 1 【2 通过计算可知，当n ，6 ，f 满足条件H 1 ，H 2 ，H 3 之 一时，有丁1 一／， t ，， f ≥o ，所以o - 丢√生筝互 理2 可知，口 f ，f l t 是方程 3 的上、下 { Y ∈c 2 R ＼2 x Z f l t ， f d f ，ly f 1 M } ， 其中M 为只依赖于a ￡ ，f l t 的常数． 对方程 6 进行修正．定义函数 似￡ y z ≤f l t ， a B Y ，口 { ， f p z ≤y z n ￡ ， 【口 f a ￡ ≤y f ， F t ，y 一f t ，d p ，，，a { y 一8 晟y ，口 - 下面考虑修正后的方程 ， F t ，y 0 ． 1 3 构造同伦方程 ， { ， A [ F z ，， 一{ y ] o ， 1 4 ∈[ o ，1 3 ． 万方数据 第6 期章美月等电子柬聚焦系统模型正椭圆周期解的存在性8 6 7 令 蹦￡ 一 弛，即小枷一{ 郇，，，a ． 显然，只 ￡ 不依赖于A 是有界的，由于式 1 4 的齐次方程没有2 Ⅱ一周期解，那么方程 1 4 惟一的 2 Ⅱ一周期解为 y ∽一f 。G f ，s B ㈤“ 1 5 式中G t ，s 是关于周期边值的G r e e n 函数．显 然G t ，s 不依赖于 而且是有界的，所以， f 是 有界的．即存在只依赖于a ￡ ，f l t 的正数M ，使得 fj ， f f ≤M 令 。一{ Y ∈c 2 R ＼2 Ⅱz Iy t I ≤M } ． 由拓扑度的同伦不变性知 d e g I P ，o ，O 一d e g I P 1 ，n ，0 一 d e g I P 。，n ，0 d e g f ，n ，O 1 ． 这就证明了方程 1 3 在[ o ，2 “] 上存在满足 2 的2 Ⅱ一周期解，从而方程 3 有满足 2 的2 n 一 周期解．下面证明方程 1 3 满足边界条件 2 的 所有解都在n f 和f l t 之间． ， F ￡，y 一， { y 一厂 f ，8 y ，a ，印 一 d y ，口，p 一0 由条件H 1 ，H 2 或H 3 知i 1y f t ，， 关于y 单调 增加，于是得 ， { ， 三4 a y ，a ，卢 ， f ，a y ，a ，卢 ≥ 去9 一m ，鄹≥鼍。 口， ，一∥ { y 一印≥0 ． 令” Y 一卢，则 』∥ { “≥o ， 【H o “ 2 Ⅱ ，“7 o ≥u 2 n ． 不妨设 f 扩 { “ g 吼 g f ≥o ， 1 【“ 0 一“ 2 Ⅱ ，“ O 一∥ 2 Ⅱ g q ≥0 ． 由常数变易法求得 ” ￡ 』；。s i n 丢 s 一} g s 山 』s i n 丢c 一 g 洲s 协i n 号． 由于0 ≤ s - - t ≤Ⅱ，0 ≤ t - - s ≤Ⅱ， g 5 ≥0 ，q ≥0 ，告∈ o ，Ⅱ ．所以“ ￡ ≥0 ，t ∈[ o ，2 R ] ，即Y ≥觑f ，同理Y ≤口 ￡ ，也就是口 ￡ ≤Y ≤a f ，故知方程 1 3 关于方程 2 的所有 2 Ⅱ一周期解都在口 ￡ 和f l t 之间． 由于方程 1 3 在口 f 和口 ￡ 之问的2 Ⅱ一周期 解， f 也是方程 6 的2 “一周期解，实际上是方程 3 满足方程 2 的2 Ⅱ一周期解，再由引理3 知， f 是椭圆型2 Ⅱ一周期解． 证毕． 实例考虑方程 ， 0 ．0 4 7 2 7 1 c o s 珈一号 半， 1 6 y 0 一y 2 Ⅱ ，Y ’ O 一Y 7 2 Ⅱ ， 的椭圆周期解的存在性． 易知在方程 1 6 中，口 0 ．0 4 7 2 7 ，b 1 ，c 1 ．儿1 1 符合定理l 的条件，用同伦算法进行数值计 算，得到数值解的数据，根据数据画出周期解曲线 如图2 所示；利用数据拟合生成近似函数，用参数 法画出相图如图3 所示． 参考 [ 1 ] [ 2 3 [ 3 3 n 0 4 加0 2 里 o0 2 0 0 4 图3 相图z y ’ f ，y 一， f F i g ．3 P h a s eo f z y ’ 1 。y y f 文献 陆钟祚．行波管[ M ] ．上海t 上海科技出版社，1 9 6 2 ． 何周柱．永久磁铁周期性聚焦电子柬E J ] ．物理学报， 1 9 5 9 1 5 5 3 5 5 4 9 ． H EG u o - z h u ．P e r i o d i cf o c u s i n ge l e c t r o nb e a mo fp e r - m a n e n tm a g n e t [ J ] ．J o u r n a lo fP h y s i c s ，1 9 5 9 1 5 5 3 55 4 9 ． 丁同仁．关于周期性B r i l l o u i n 电子柬聚焦系统的一 个边值问题[ J ] ．北京大学学报，1 9 6 5 ，1 l 1 3 1 3 8 ． D I N GT o n g - r e n ．Ab o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h e p e r i o d i cB r i l l o u i nf o c u s i n gs y s t e m [ J ] ．J o u r n a lo fP e k i n gU n i v e r s i t y ，1 9 6 5 ，1 1 1 3 1 3 8 ． 万方数据 8 6 8中国矿业大学学报第3 6 卷 [ 4 ] 叶彦谦，王现．电子注聚焦理论中所出现的非线[ 7 ] T O R R E SPJ ．E x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fe l l i p t i c 性方程[ J ] 应用数学学报，1 9 7 8 ，1 1 1 3 4 1 ． s o l u t i o n so ft h eB r i l l o u i ne l e c t r o nb e a mf o c u s i n gs y s Y EY a n - q i a n ，W A N GX i a n ．N o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le t e m [ J ] ．M a t h e m a t i c a lM e t h o d si nT h eA p p l i e dS C i q u a t i o n i ne l e c t r o nb e a mf o c u s i n gt h e o r y [ J ] ．A c t s t n o e s ，2 0 0 0 2 3 1 1 3 9 1 1 4 3 ． M a t h e m a t i c a eA p p l i e a t a eS c i n i c a ，1 9 7 8 ，“1 1 3 4 1 ． [ 8 ] Z H A N GM e ty u e ，C H E NT a t y o n g ，I A UW e n - b i m [ 5 ] 周钦德，王怀中．电子聚焦理论中的一个周期解同 E x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n f o r t h ee l e c t r o n 题[ J ] ，应用数学学报，1 9 8 8 ，1 l 4 ；4 3 3 4 4 3 ． b e a m sf o c u s i n gs y s t e m [ J ] ．M a t h e m a t i c a lM e t h o d si n Z H O UO i n g - d e ，W A N GH u a i z h o n g ．Ap e r i o d i cs oThe A p p l i e dS c i e n c e s ．2 0 0 5 2 8 7 7 9 7 8 8 ． 1 u t i o np r o b l e mi ne l e c t r o nb e a mf o c u s i n g “ t h e o r y [ J ] ． [ 9 ] 韩茂安，顾圣士．非线性系统理论和方法[ M ] ．北 A c t aM a t h e m a t i c a eA p p i i c a t a eS c i n i c a ．1 9 8 8 ，1 1 4 。 京科学出版杜，2 0 0 4 ． 4 3 3 4 4 3 ， [ 1 0 3 L I UC h u n - g e mT h es t a b i l i t yo fs u bh a r m o n i cs o l u 一 [ 6 ] Z H A N GM e i - r o n g ．P e r i o d i cs o l u t i o no f1 ．i e r m r detionsf o rh a m i l t o n i a ns y s t e m s [ J ] ．J o u r n a lo fM a t h e q u a t i o n sw i t hs i n g u l a rf o r c e s o fr e p u l s i v et y p e E J ] ． m a t i e a lA n a l y s i sa n dA p p l i c a t i o n s ．1 9 9 9 2 4 0 4 9 1 一 J o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n dA p p l i c a t i o n s ， 5 4 0 ． 1 9 9 6 2 0 3 2 5 42 6 9 ． 责任编辑邓群 上接第8 2 5 页 [ 4 3 程久龙，王玉和．巷道掘进中电阻率法超前探测原 理与应用[ J ] ．煤田地质与勘探，2 0 0 0 ．2 8 1 6 0 6 2 ． C H E N GJ i t r l o n g tW A N GY u - h e ．T h ep r i n c i p l ea n d a p p l i c a t i o no fa d v a n c es u r v e y i n gi nr o a d w a y ￡x e a v a t i o nb yr e s i s t i v i t ym e t h o d [ J ] ．C o a lG e o l o g ya n dE x p l o r a t i o n ，2 0 0 0 ，2 8 1 6 0 6 2 ． [ 5 ] 刘青雯．井下电法超前探测方法及其应用[ J ] ．煤田 地质与勘探，2 0 0 1 ，2 9 5 6 0 6 2 ． I 。l UQ i n g w e n ．U n d e r g r o u n de l e c t r i c a ll e a ds u r v e y m e t h o da n di t sa p p l i c a t i o n 口] ．C o a tG e o l o g ya n dE x p | o r a t i o n ，2 0 0 1t 2 9 5 , 6 0 一S 2 。 [ 6 ] 李貅，瞬变电磁测深的理论与应用[ M ] ．西安陕 西科学技术出版社，2 0 0 2 ． [ 7 ] 曰述，陈明生。傅君眉．瞬变电磁场的直接进域数 据分析口] ．地球物理学报，2 0 0 2 ．4 5 2 2 7 5 2 8 4 ． Y A NS h u 。C H E NM i n gs h e n g ，P UJ u n - m e i ．D i r e c t t i m e - d o m a i nn u m e r i c a la n a l y s i so ft r a n s i e n te l e c t r o m a g n e t i cf i e l d s [ J ] ．C h i n e s eJ o u r n a lo fG e o 曲y s i e s ， 2 0 0 2 ．{ 5 2 t 2 7 5 2 8 4 ． [ 8 ] 刘志新，于景哪．矿井瞬变电磁法在水文钻孔探测 中的应用[ ．刀．物探与化操，2 0 0 6 ，3 0 1 5 9 6 1 ． L I UZ h i - x i n Y UJ i n g - c u nT h ea p p l i c a t i o no ft h e m i n i n gt r a n s i e n te l e c t r o m a g n e t i cm e t h o dt ot h ee x p l o r a t i o no fh y d r o l o g i c a lb o r e h o l e [ J ] ．G e o p h y s i e a la n d G e o c h e m i e a lE x p l o r a t i o n ，2 0 0 6 ，3 0 1 t5 9 - 6 1 ． [ 9 3 李貅，郭文渡．瞬变电磁法在煤田矿井涌东通道 勘察中的应用口] ．西安工程学院学报，2 0 0 0 ，2 2 3 ； 3 5 3 8 ． L IX i u ，C U OW e n - b o ．A p p l i c a t i o nT E Mt oe x p l o r a l i o no fw a t e rg u s h i n gc h a n n e lw a yi nc o a lf i e l d [ J ] ． J o u r n a lo fX I ’A NE n g i n e e r i n gU n i v e r s i t y 。2 0 0 0 ．2 2 3 一8 5 - 3 8 ． [ i 0 3 刘树才。剂志新，姜志海．氍变电磁法在煤矿采区 水文勘探中的应用[ J ] r 中国矿业丈学学报，2 0 0 5 ， 3 4 4 1 4 1 44 1 7 ． L l US h u - e a i ，L I UZ h i x i n ．J 1 A N GZ h i h a l ．A p p l i c a t i o n o fT E Mi nh y d r o g e o l o g i e a lp r o s p e c t i n go f m i n i n gd i s t r i c t [ J ] ．J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo f M i n i n g ＆T e c h n o l o g y ，2 0 0 5 ，3 4 4 4 1 4 4 1 7 ． [ 1 l 】Y UJ i n g - c u n ．L 1 UZ h i x i n ，T A N GJ i r r y u n ．R e s e a r c hO i lf u l l s p a c et r a n s i e n te l e c t r o m a g n e t i s m t e c h n i q u ef o rd e t e c t i n gw a t e rd a m a g ei nc o a lm i n e s [ J ] ．J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆ T e c h n o l o g y ．2 0 0 7 ．1 7 1 5 8 6 2 ． 责任编辑姚志昌 万方数据