非Lipschitz条件下基于g-期望的Jensen不等式.pdf

第3 7 卷第1 期中国矿业大学学报 V 0 1 ．3 7N o ．1 2 0 0 8 年1 月 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g y J a n ．2 0 0 8 非L i p s c h i t z 条件下基于g 一期望的J e n s e n 何娇，江龙，刘坤，高杰，高伟 中国矿业大学理学院，江苏徐州2 2 1 1 1 6 不等式 摘要研究了一类具有非I 。i p s c h i t z 生成元的g 一期望的J e n s e n 不等式，利用g 一期望的定义，严格 单调性以及一个生成元表示定理，证明了一类非L i p s c h i t z 生成元的惟一性．对于线性凸函数 磁 z 一a ．T c b ，Vz ∈R ，定义了一个新的生成元g 。 t ，y ，z 一g t ，Y C ，z ，利用生成元惟一 性，B S D E s 解的存在惟一性，证明了基于g 一期望的J e n s e n 不等式对单调增加的凸函数成立的充 分必要条件是g 不依赖于变量y 并且g 关于变量z 是正齐次的． 关键词倒向随机微分方程；g 一期望；J e n s e n 不等式；非L i p s e h i t z 生成元 中图分类号O2 1 1 ．6 3 ；O2 1 1 ．6文献标识码A文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 8 0 1 0 1 4 2 0 5 Je n s e n ’SI n e q u a l i t yf o r N o n I 。i p s c h i t z H E S c h o o lo fS c i e n c e s 。 g E x p e c t a t i o nw i t h G e n e r a t o r J i a o ，J I A N GL o n g ，L I UK u n ，G A OJ i e ，G A OW e i C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g y ，X u z h o u ，J i a n g s u2 2 1 1 1 6 ，C h i n a A b s t r a c t J e n s e n ’Si n e q u a l i t yf o rg e x p e c t a t i o nw i t hn o n L i p s c h i t zg e n e r a t o rw a ss t u d i e d ．B a s e d o nt h ed e f i n i t i o no fg e x p e c t a t i o n ，s t r i c tm o n o t o n i c i t ya n dag e n e r a lr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mf o r g e n e r a t o r so fB S D E s ，au n i q u e n e s st h e o r e mf o rg e x p e c t a t i o nw i t hn o n L i p s c h i t zg e n e r a t o rw a s p r o v e d ．F o ral i n e a rc o n v e xf u c t i o n 税 z 一船 b ，V z ∈R ，an e wg e n e r a t o rg 。 f ，Y ，z 一 g t ，Y C ，z w a sd e f i n e d ．A c c o r d i n gt ot h eu n i q u e n e s st h e o r e mf o rg e x p e c t a t i o na n dt h eU n i q u e n e s so ft h es o l u t i o no ft h eB S D E s ，i ti sp r o v e dt h a tJ e n s e n ’Si n e q u a l i t yf o rg e x p e c t a t i o n w i t hn o n I ．i p s c h i t zg e n e r a t o rh o l d sf o rm o n o t o n i c ，i n c r e a s i n ga n dc o n v e xf u n c t i o ni fa n do n l yi f t h eg e n e r a t o rgi si n d e p e n d e n to fYa n dp o s i t i v e l yh o m o g e n e o u sw i t hr e s p e c tt oz ． K e yw o r d s b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；g - e x p e c t a t i o n ；J e n s e n ’Si n e q u a l i t y ；n o n L i p s c h i t zg e n e r a t o r 由文献[ 1 ] 可知，对如下形式的倒向随机微分 方程 简记为B S D E r _ rr T y ，一手 lg s ，Y 。，‰ d s Iz ，d B ，， 1 Jt√t 0 ≤t ≤T ． 只要g 关于∥，z 是L i p s c h i t z 的，拿与随机过程 g ，0 ，0 是平方可积的，那么式 1 有惟一的一对 平方可积的适应解．将式 1 的惟一解记为 y g ， 丁，S ，互 g ，丁，车 。∈[ 岍] ．若对任意 f ，y ，g 还满 足g ￡，y ，o 熹0 ，那么将y 。 g ，丁，亭 记为￡。[ 钼，并 称之为随机变量∈的g 一期望；将y 。 g ，T ，∈ 记为 ￡。[ 亭} E ] ，并称之为S 的条件g 一期望[ 2 ] ． 舻期望可以看成是G i r s a n o v 变换的非线性推 广．自从g - 期望的概念提出以来，得到了关于g _ 期 望的很多性质．文献[ 3 7 ] 研究了基于乎期望的 J e n s e n 不等式，文献E 7 3 完整地给出了L i p s c h i t z 条 件下基于g - 期望的J e n s e n 不等式成立的充分必要 条件．近年来，关于非L i p s c h i t z 生成元的倒向方程 收稿1 3 期2 0 0 7 一0 1 3 0 基金项目国家自然科学基金项目 1 0 6 7 1 2 0 5 ；中国博后科学基金项目 2 0 0 6 0 4 0 0 1 5 8 ；中国矿业大学博士预研基金项目 作者简介何娇 1 9 7 9 一 ，女，江苏省徐州市人，助教，理学硕士，从事倒向随机微分方程方面的研究． E - m a i l m a s a k i h e y e a h ．n e t T e l 13 7 0 6 2 6 2 8 2 2 万方数据 第1 期何娇等非L i p s c h i t z 条件下基于g 一期望的J e n s e n 不等式 的研究始终是倒向方程研究中的一个重点．文献 E 8 ] 将文献[ 1 ] 的工作推广到非L i p s c h i t z 的情形， 给出了一类非L i p s c h i t z 生成元的式 1 解的存在 惟一性定理．很自然地，g _ 期望与条件g 一期望的概 念也可以推广到相应的框架下． 1 基本假设与引理 设 9 2 ，F ，P 是一个概率空间， B ， 脚是d 维 标准布朗运动，B 。一0 ，设 F f 伽是由此布朗运动 生成的自然伊域流 F 。一d { B ，，SE [ o ，f ] } VN ￡∈E o ，T ] ， 式中N 为由所有的P - 零测集所组成的子集类． 设T 0 是一个给定的正实数．本文仅考虑时 间参数tE [ o ，明的过程．对任意正整数咒以及z ∈础，1zl 表示z 的E u c l i d 范数． 定义如下常用的过程空间 S ； o ，T ；R 一{ 驴是实值的、连续的循序可 测过程；E [ s u p 。≤。≤丁I 以I2 ] 0 时，1 0 M 、I d u 0 ’j0 而一”’ 注1 A 1 包含了L i p s c h i t z 条件．事实上， 令l D “ 一K u ，K 0 ，即为L i p s c h i t z 条件． A 2 过程 g ￡，0 ，O ，∈[ o ，T ] EH ； 0 ，了、；R ． A 3 d P d t - a ．S ．，Vy ∈R ，g t ，y ，O 墨0 ． 设g 满足假设 A 1 与 A 2 ，那么对任意亭E L 2 n ，F ，，P ，由文献E 8 ] 可知存在S ； 0 ，T ；R 砩 o ，T ；R 。 中的一对循序可测过程，记为 y ， g ， 丁，9 ，Z g ，T ，手 ，∈[ 0 ，印是式 1 的解． 在以下定义1 和2 中，均假设生成元g 满足 A 1 与 A 3 ． 定义1 ‘2 3 g - 期望￡。[ ] L 2 n ，F T ，P 一R 定义为i f - 。[ 朗一Y 。 g ，T ，掌 ． 定义2 [ 2 ] 条件g - 期望拿关于F ，的条件 g 一期望定义为￡。[ SF ，] 一Y g ，T ，亭 ． 在以下引理1 ～4 中，均假设g 满足 A I 与 A 3 ． 引理1 [ 2 ]1 保常数性e 。[ c ] 一c ，VC ∈R ； 2 单调性￡。[ x ，] ≥￡。[ X 。] ，如果X ．≥X ， a ．s ． 3 严格单调性e 。[ X 。] ￡。[ x ] ，如果X 。≥ X 2 ，a ．s 一且P X 1 X 2 0 ． 引理2 [ 2 ]1 如果X 是F ，一可测的，那么 e 。[ XF ，] 一X ； 2 ．对任意t ∈E o ，T ] ，有￡。[ ￡。[ x F ，] ] 一 ％[ X ] ． 引理3 L2 ] e 。[ XE ] 是L 2 n ，E ，P 中满足 下式的惟一的随机变量叩， e 。[ X 1 A ] 一e 。[ 叩1 A ] ，V AEF ，． 如果生成元g 定义在n [ o ，T ] R 4 ，则称g 不依 赖于Y ，通常把这种生成元g 记为g f ，2 ． 引理4 [ 2 3 设g 满足 A 1 与 A 3 ，如果g 不 依赖于Y ，则 e 。I X 叩lF 。] 一e 。[ XF ，] 7 ， V 刁∈L 2 n ，F 。，P ，VXEL 2 S 2 ，F T ，P ． 注2在L i p s c h i t z 条件下，文献[ 2 ] 给出了引 理1 ～4 ．利用文献E g ] 与[ 1 0 ] 得到的非L i p s c h i t z 条件下的比较定理与严格比较定理我们知道在本 文的非L i p s c h i t z 条件下，引理1 ～4 仍然成立． 引理5 ‘1 1 3 设g 满足 A 1 与 A 2 ，且1 ≤P e 。，[ x F ，] ，则显然A 。∈F ，．由式 2 及g _ 期望的定义， 可以得到 e g 。[ 1A 0s 。，[ XF ，] ] 一％。[ 1 A o ￡。。[ X F r ] ] ． 由A 。的定义可知 1 A 。e 。，[ XF ，] ≥1 n 。￡。。[ X F ，] ． 由严格比较定理凹。1 叼得 P A 。 一P { 1 A 。￡。，[ X F 。] 1 A 。￡，[ X F ，] } 一0 ． 4 类似的，可以证明 ， P e 。。[ X 【F 。] ￡。、[ XF 。] } 0 ． 5 由式 4 与式 5 可知式 3 成立． 对任意tES ； g - nS ； 9 2 ，有 “㈨yz 一L L 塑竹M 骱汁丢， “ - 。。I ，￡ y z B 斗丢一B r 一y } ， i 一1 ，2 ． 所以对任意Y ∈R ，zER “，t ∈S ； g 。 F 1s ； g z ， 存在{ 咒 器，的子列{ 咒。 器，使得P a ．s ．， “￡，y ，z 一罂咒tY ， 跏￡ 去，￡ 。。 ，‘女 Y z 。 B 斗毒一B r 一Y J ， 6 i 一1 ，2 ． 注意到 e 岛[ y z B 斗一B r IF r ] y ，g 。，￡ 。1 ，y z B 卧去一B ， ， 船5 “ i 一1 ，2 ． 所以对任意Y ∈R ，z ∈掣，tES ； g ， nS ； g z ， 由式 3 和式 6 可知 p - a ．s ．，g l ￡，y ，z 一9 2 ￡，y ，z ． 对任意给定的y ∈R ，zER “，由引理5 可知 A [ o ，明＼s ； g ， nS ； g 一0 ，所以对任意yE R ，zER 。，有 d P d t - a ．s ．，g l t ，y ，z 一9 2 t ，y ，z ． 由于g 满足 A 1 的条件，且l D 连续，1 0 “ 一o ，所以 生成元g 关于变量y ，z 连续．故有 d P d r - a ．s ．，Vy ∈R ，z ∈R “， g l ￡，Y ，z 一9 2 ￡，Y ，z ． 证毕． 对任意a ，b ∈R ，定义相应的线性凸函数税R R ，使得税 z 一纰 b ，Vz ∈R ． 定理1设g 满足 A 1 与 A 2 ． i 如果对V0 ≤t T ，0 i i 成立即可． 设g 满足i i i ．首先证明g 不依赖于y ．对任意 cER ，将凸函数张带人i i i ，可得 ￡。[ X c ] 一￡。[ X ] c ， 1 1 Vc ∈R ，X ∈L 2 n ，F T ，P ． 对c ∈R ，定义一新的生成元 g ‘ t ，Y ，z 一g t ，y c ，z ， Vt ∈[ o ，丁] ，y ∈R ，z ∈R 4 ． 显然g ‘仍然满足条件 A 1 ， A 2 和 A 3 ． 对任意X ∈L2 n ，F 1 ，，P ，令 y ，，2 。 r E [ o ．丁] 为 下式的解 r 丁r 丁 y ，一X Ig 5 ，y ，，z ， d s l 2 。d B ，， 1 2 0 ≤t ≤T ． 即 r 丁r T y ， 口一x f lg s ，y ，，麓 d s l Z s d B ，， 0 ≤t ≤T ． 令只一y ， c ，五一z 。，Vt ∈[ o ，丁] ．得到 r 丁r T 罗，一X c lg ‘ 5 ，歹。，乏， d s ～l 牙。d B ，， 1 3 0 ≤t ≤T ． 由式 1 3 解的惟一性，可以得到 ￡。c [ X cF ，] 一只一 y 。 c 一￡。I XF ，] c ， 1 4 V tE [ o ，T ] ． 由式 1 4 和 1 1 ，有 ￡。rE X f ] 一e 。[ X c ] ，V x ∈L 2 n ，F T ，P ． 因为c 为任意实数，所以得到 e 。r [ 朗一e 。[ 朗，Ve ∈L 2 n ，F r ，P ． 利用命题1 得g 。 f ，Y ，z 一g t ，y ，2 ．所以 p - a ．s ．，g ‘ ￡，0 ，z 一g t ，0 ，2 ． 即P - a ．s ．，g t ，～f ，z 一g t ，0 ，z ．对任意c ∈R ， zER 。，由引理5 ，可以得到 d P d t - a ．s ．，g t ，一c ，z 一g t ，0 ，z ． 由于g 满足 A 1 ，且l D 连续，1 0 “ 一o ，所以g 关于 变量y 连续．所以对任意zER 。，有 d P d b a ．s ．，V Y ∈R ，g t ，0 ，z 一g t ，Y ，z ． 所以g 不依赖于Y ． 因为g 不依赖于Y ，此时非L i p s c h i t z 条件 A 1 与通常的L i p s c h i t z 条件是一样的，故借助于 文献[ 6 ] 与[ 7 ] 的讨论方法可以完成本定理的证明． 具体地，对任意o a ∈R ，由i i i 可知 ≮[ 以x ] 一a 8 正x ] ，V X ∈L 2 力，F r ，P ． 1 5 定义一新的生成元 o ￡，z 一n g f ，詈 ，V ￡E [ o ，T ] ，zER 。． 则岔“满足 A 1 ， A 2 和 A 3 ． 对任意X ∈L 2 n ，F r ，P ，令 y 。，z 。 r E [ 岍] 为 万方数据 14 6中国矿业大学学报第3 7 卷 下式的解 r 1 1r l 、 Y ，一X lg s ，z 。 d s I z ，d B ，， 1 6 0 ≤t ≤丁 ． 即 a y ，一以x Ia g s ，蔬 d s Ia z ，d B ，， O ≤t ≤丁 ． 令夕，一a y ，，未，一a z ，，Vt ∈[ o ，T ] ．得到 夕，一n x I 岔。 s ，2 ， d s l 乏，d B ，， 0 ≤t ≤T ． 则由B S D E 解的惟一性定理，可以得到 8 矿[ a XF ，] 一夕，一a y ，一弧。[ X F ，] ， Vt ∈[ o ，T ] ． 则 咚“[ d X ] 一a E 。I x ] ，Vt ∈[ o ，丁] ． 结合式 1 5 ，有 ￡。[ X ] 一6 扩[ X ] ，V X ∈L 2 n ，F 丁，P ． 利用命题1 ，得 d P d t - a ．S ．，Vz ∈R “，g t ，z 一虿。 t ，z ． 即 d P d r - a ．s ．，Vz ∈R d 如，z 一n g ￡，詈 ． 考虑到g t ，O 一0 ，所以对任意的0 ≤a ∈R ， 有 d P d r - a ．s ．，Vz ∈R “，g t ，a z 一a g t ，名 ． 因为g t ，a z 和盘g 关于a 都连续，则有 d P d r - a ．s ．，Va ≥0 ，z ∈R 4 ， g ≠，a z 一a g ￡，z ． 证毕． 注3类似的，对于一般的凸函数，可以得到 使得基于g - 期望的J e n s e n 不等式成立的 相应的 充分必要条件． 注4 本文结果表明对于L i p s c h i t z 框架下 的乎期望与非L i p s c h i t z 框架下的g - 期望来说，要 使得基于g _ 期望的J e n s e n 不等式成立，那么生成 元g 均不依赖于变量Y ，此时这两个框架事实上是 一样的． 参考文献 [ 1 ] P A R D U XE ，P E N GS h i g e ．A d a p t e ds o l u t i o no f3 b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n [ J ] ．S y s t e m s C o n t r o lL e t t e r s ，1 9 9 0 ，1 4 1 5 5 6 1 _ ． [ 2 ] P E N GS h i g e ．B S D Ea n dr e l a t e dg e x p e c t a t i o n s E c ] ／／E I ．K A R 0 u IN ，M A Z I 。I A KI 。．P i t m a nR e s e a r c hN o t e si nM a t h e m a t i c sS e r i e s ，N o ．3 6 4 ， “B a c k w a r dS t o c h a s t i cD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s ”．H a r l o w A d d i s o nW e l s e yL o n g m a n ，1 9 9 7 1 4 1 - 1 5 9 ． [ 3 ] B R I A N DP ，c Q U E TF ，H UY i n g ，e ta 1 ．Ac o n v e r s ec o m p a r i s o nt h e o r e mf o rB S D E sa n dr e l a t e d p r o p e r t i e so fg e x p e c t a t i o n [ J ] ．E l e c t r o n i cC o m m u n i c a t i o n si nP r o b a b i l i t y ，2 0 0 0 5 1 0 卜11 7 ． [ 4 3 C H E NZ e n g j i n g ，K U I 。P E R G E RR ，J I A N GL o n g ． J e n s e n ’Si n e q u a l i t yf o rge x p e c t a t i o n p a r t1 [ J ] ． C o m p t e sR e n d u sd eI ’A c a d e m i ed e sS c i e n c e s ，P a r i s ， S 6 r i eI ，2 0 0 3 ，3 3 7 1 1 7 2 5 - 7 3 0 ． [ 5 ] C H E NZ e n g j i n g ，K U I 。P E R G E RR ，J I A N GL o n g ． J e n s e n ’Si n e q u a l i t yf o rg e x p e c t a t i o n p a r t2 [ J ] ． C o m p t e sR e n d u sd eI ’A c a d e m i ed e sS c i e n c e s ．P a r i s ， S 6 r i eI ，2 0 0 3 ，3 3 7 1 2 7 9 7 - 8 0 0 ． [ 6 ] J I A N GL o n g ，C H E NZ e n g j i n g ．O nJ e n s e n ’Si n e q u a l i t yf o rg - e x p e c t a t i o n [ j ] ．C h i n e s eA n n u a lo f M a t h e m a t i c s ，2 0 0 4 ，2 5 B 3 4 0 14 1 2 ． [ 7 ] J I A N GL o n g ．J e n s e n ’SI n e q u a l i t yf o rb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a lw q u a t i o n s [ J ] ．C h i n e s eA n n u a lo f M a t h e m a t i c s ，2 0 0 6 ，2 7 B 5 5 5 3 5 6 4 ． [ 8 ]M A OX u e - r o n g ．A d a p t e ds o l u t i o n so fB S D Ew i t h n o n I 。i p s c h i t zc o e f f i c i e n t s [ J ] ．S t o c h a s t i cP r o c e s s e s a n dT h e i rA p p l i c a t i o n s ，1 9 9 5 5 8 2 8 1 2 9 2 ． [ 9 ] 林清泉．一类倒向随机微分方程比较定理[ J ] ．华中 科技大学学报，2 0 0 1 ，2 9 增刊I 1 - 3 ． I 。I NQ i n g q u a n ．Ac o m p a r i s o nt h e o r e mf o rB S D E s [ J ] ．J o u r n a lH u a z h o n gU n i v e r s i t yo fS c i e n c ea n d T e c h n o l o g y ，2 0 0 1 ，2 9 S u p ．I 卜3 ． r 1 0 ]S U NX i n x i u ．C o m p a r i s o nt h e o r e m sf o rB S D E sw i t h n o n l i p s c h i t zc o e f f i c i e n t s [ J ] ．J o u r n a lo fX u z h o u N o r m a lU n i v e r s i t y ，2 0 0 5 ，2 3 4 3 7 4 0 ． [ 1 1 ] 刘玉春．毛氏条件的倒向随机微分方程及其g 期望 的性质[ D ] ．徐州中国矿业大学理学院，2 0 0 7 ． [ 12 ]J I A N GL o n g ．L i m i tt h e o r e ma n du n i q u e n e s st h e o r e mo fb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s [ J ] ．S c i e n c ei nC h i n aS e rA M a t h ，2 0 0 6 ，4 9 1 0 】3 5 3 一】3 6 2 ． 责任编辑邓群 万方数据