断层粗糙表面的分形模拟.pdf

中国矿业大学学报990 50 6 中国矿业大学学报 JO U RNA L O F CH I NA U NI VERSI T Y O F M I NI NG 运用多元统计分析原理, 以观测数据一次趋势面的 偏差值来确定分形插值中的纵向压缩比, 从而使得模拟结果更加符合真实断层面的特 征. 研究结果表明, 分形插值曲面的理论与方法比传统的插值方法更加精确地反映断层 表面的粗糙特征, 它的应用为研究断层面的粗糙程度对工程的影响提供了一套新的方 法. 关键词 分形插值曲面，断层表面，粗糙程度，分形模拟 中图分类号 O 157 ； P 6 18 Fractal Simulation of the Fault Surface Sun Hongquan College of Mineral Resource and Environment Sciences, CUMT, Xuzhou, Jiangsu 221008 Xie Heping China University of Mining and Technology, Xuzhou, Jiangsu 221008 Abstract Based on the theory of the bivariate fractal interpolation, by using the data obtained from the fault surface by physical exploring, the roughness shape of the fault is simulated. As rock fracture surfaces have the feature of statistical self-similarity, the improved s of the fractal interpolation surface, the partition of a local area and determination of the vertical scaling, are posed. The local areas are partitioned according to the range of variogram in geostatistics and the vertical scaling is determined based on the deviation values of one order trend surface which comes from the principles of multivariate statistical analysis. The result indicates that the fractal interpolation surface is better than the traditional interpolation in simulating the roughness of the fault surfaces. So the theory and the of fractal interpolation surface provide a new way for studying the influence of the roughness of the fault on the practical projects. Key words Fractal interpolation surface, Fault surface, Roughness, Fractal simulation 在采矿工程和土木工程的实践中, 经常出现边坡失稳、顶板垮落等一系列事故. 这 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 5/ 990 50 6 . h t m （第 1／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 10 中国矿业大学学报990 50 6 些事故的发生与岩体内存在大量的断层、节理的影响紧密相关. 断层的表面形态及粗糙 度的不同, 将直接影响岩体的滑移和运动, 也直接影响边坡稳定与顶板冒落事件的发生. 多年来, 研究断层和节理表面的粗糙形态, 一直受到岩石力学专家、地质专家和采矿专 家的关注. 然而, 断层面深埋于地表以下, 是看不见摸不着的, 在工程实践中, 很难直接测量出 深埋地下的断层表面形态和粗糙程度数据. 因此, 为了研究断层表面的粗糙程度对采 矿、土木工程事故发生的影响, 迫切需要从理论上建立数学模型, 从有限的数据中, 能够 模拟出与实际断层表面相接近的形态来, 进行分析、研究和预测. 法国数学家Be n o i t B. M a n d e l b r o t 在197 3年首次提出了分维和分形几何的设想, 创造 了 “分形 Fr a c t a l ” 这个新术语, 为自然界中的不规则现象提供了一种定量描述手段， 为人们从局部认识整体、从无限认识有限提供了新的方法［1，2 ］. 在此基础上发展起来 的分形插值曲面的理论, 近年来不论在理论研究上, 还是在实际应用上都得到了迅速的 发展［3～6 ］. 谢和平教授详细研究了断层表面的粗糙程度对开采沉陷的影响，指出 断层面是分 形的, 它具有良好的统计自相似性的分形特征. 断层表面的粗糙形态与岩石本身的岩 性、形成时的构造地质应力特征等因素有关. 于广明博士［7 ］比较深入地研究了断层表 面的粗糙形态对采动岩体的地表面下沉的影响, 并得出了分形维数与下沉量和沉陷速度 的定量关系式. 本文运用分形插值曲面的理论, 对物探中的地震手段获得的部分断层面标高的数 据, 进行分形插值研究, 模拟出断层面的粗糙形态, 提出了纵向压缩比和局部邻域划分的 思想和计算步骤, 改进了自仿射分形插值的方法, 从而得到了精度较高的断层表面的粗 糙形态. 1 改进的自仿射分形插值曲面方法 根据矩形区域上分形插值曲面原理, 可以求得自仿射分形插值曲面的显函数［8 ］ 其中 e n , m, fn , m, gn , m, kn , m由下列方程组求得 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 5/ 990 50 6 . h t m （第 2 ／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 10 中国矿业大学学报990 50 6 n ∈{ 1, 2 , ⋯, N} , m ∈{ 1, 2 , ⋯, M } . s n , m n ∈{ 1, 2 , ⋯, N} , m ∈{ 1, 2 , ⋯, M } 为自由参数，且满足| sn , m| 1, 称为垂直比例因子. 式 1 即为在区域D { x , y a ≤x ≤b , c ≤y ≤d } 上定义的分形插值曲面函数，且满足 f x i , y j z i , j , i 0 , 1, ⋯, N; j 0 , 1, ⋯, M . 5 严格自仿射分形插值公式插出的分形曲面, 在任意小的局部都与整体的结构相似, 它反映了理论上的严格的自相似分形特征［9，10 ］. 自然界中严格的自相似的分形事物 几乎是不存在的. 人们所研究的自然界中的分形具有普遍的统计分形的规律. 同样岩石 断裂表面具有分形特征, 但又不是严格自相似的. 显然, 用严格自相似的分形插值公式, 来模拟自然界中的分形物体, 是得不到理想的精度的. 在一定的信息量的基础上, 如何插 出比较精确的, 满足工程实际需要的断裂表面形态, 是分形理论和分形应用研究的热点. 笔者在本课题的研究中, 根据断层表面的粗糙特征, 提出了局部邻域的划分和纵向 压缩比确定的方法, 从而大大地提高了插值精度, 使得插值结果更加符合实际断裂表面 的特征. 1. 1 局部邻域的划分 由于自然界中严格的自相似分形是不存在的, 但是它们具有统计自相似性. 这种特 征反映在统计上, 是具有良好的局部相关性. 经研究证明断层表面的标高数据是一种区域化变量［8 ］. 在其相关性邻域内具有较 好的分形特征. 因此在这个分形特征较好的局部邻域内, 运用分形插值曲面的计算公式, f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 5/ 990 50 6 . h t m （第 3／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 10 中国矿业大学学报990 50 6 就可以模拟出比较真实的断层粗糙表面. 地质统计学中的变差函数是确定这个局部邻域 的有效工具［11］. 球状模型的理论变差函数为 式中 a 为变程; c 0为块金值; c0 c 为基台值；h 为两观测点间的距离. 理论变差函数的几何图形如图1所示. 图1 球状模型理论变差函数曲线 Fi g . 1 T h e v a r i o g r a m o f s p h e r i c a l m o d e l 从图1可以看出, 两数据点之间的距离在0 ～a 之间, 其变化性随距离的增加呈指数规 律增加. 这种特征反映了数据点间的相关性. 当两点间的距离超过a 以后, 其变化性就不 再随距离的增大而增加了, 而是稳定在某个值 c 0 c 上, 这种变化特征反映了数据的随机 性. 所以通常称a 为 “变程”，即数据相关变化的范围. 在分形插值的过程中变程a 将作为 局部邻域划分的依据. 在实际应用中, 首先是根据观测数据, 求出实验变差函数γ* h , 即 式中 z x i 为在点x i 处的岩石断裂表面高度；N h 为间隔为h 的数据对数目. 再用球状模型的理论变差函数对实验变差函数进行拟合, 求出变程a , 取a 为局部邻 域 矩形 的边长. 若求得某组数据的变程a 0 . 7 , 数据点间隔约为0 . 2 2 . 故取44个插值点 33个区间 为局部邻域, 如图2 所示. f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 5/ 990 50 6 . h t m （第 4／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 10 中国矿业大学学报990 50 6 图2 局部邻域划分 Fi g . 2 Sk e t c h m a p o f t h e l o c a l a r e a p a r t i t i o n 1. 2 压缩比的选取 从分形插值曲面函数的计算式 1 可以看出, 函数中的有关系数g n , m, en , m, fn , m和kn , m 是根据已知的插值点, 运用式 4 唯一确定的, 只有纵向压缩比s n , m是一个自由参数, 它决 定着分形插值曲面的形态. 在同样的插值条件 插值函数模型和插值点给定 下, 不同的纵 向压缩比, 可以得到不同的分形插值结果. 在研究工作中, 主要依据的就是插值点上的数据. 要提高插值精度, 得到比较真实的 插值结果, 就必须充分利用插值数据提供的信息. 事实上, 插值点数据本身就包含着断裂 表面变化的局部特征. 如果材料的质地是均一的, 则断裂表面应是平整光滑的. 岩石断裂 面的粗糙不平, 岩石中成分的非均一性起了决定性的作用. 插值点数据是在断层表面上 取得的, 它在一定程度上反映了岩石断裂表面粗糙程度的变化特征. 在此前提下, 提出下 列压缩比的确定方法、步骤为 1 根据观测值数据 插值数据 x l , y l , z l l 1, 2 , ⋯, n , 运用最小二乘原理, 拟合出一次趋 势面方程 b 0 b1x b2y ; 2 利用一次趋势面方程, 求出每个插值点位置上的趋势值 l b 0 b1xl b 2yl l 1, 2 , ⋯, n ; 3 用各点上的观测值减去相应的趋势值, 得到偏差值 e l z l - l l 1, 2 , ⋯, n ; 4 以偏差值作为纵向压缩比的依据. 趋势面反映了观测值变化的平均平面. 偏差值的大小则反映了观测值偏离平均平面 的程度. 偏差值大于零, 称为正偏差, 表示观测值大于平均变化水平；偏差值小于零, 称为 负偏差, 表示观测值小于平均变化水平. 用一元回归直线给出观测值、趋势值和偏差值之间的关系 见图3 . f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 5/ 990 50 6 . h t m （第 5／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 10 中国矿业大学学报990 50 6 图3 观测值、趋势值、偏差值的关系 Fi g . 3 T h e r e l a t i o n s h i p a m o n g g i v e n v a l u e s , t r e n d v a l u e s a n d d e v i a t i o n v a l u e s 在矩形区域的分形插值中, 规则网格点数据的表示形式为{ x i , y j , z i , j } i 0 , 1, ⋯, N; j 0 , 1, ⋯, M . 类似地将趋势值、偏差值分别表示为 i , j 和e i , j . 令 则取压缩比s n , m为 s n , m en , m/ e ， 9 n ∈{ 1, 2 , ⋯, N} ; m ∈{ 1, 2 , ⋯, M } . 根据局部邻域相关性原理, 在偏差值较大点的邻域中, 应该有较大偏差的数据; 在偏 差值较小点的邻域中, 应该有较小偏差的数据. 故根据式 9 来确定压缩比能够比较真实 地反映断层表面粗糙程度的真实情况. 2 实例研究 从我国南方某一煤田中的一条断层面上收集到的2 8 个点的断层面标高数据, 这些数 据是用地震勘探方法获得的. 为了运算上的方便, 特将X，Y坐标平移至原点 0 , 0 . 运用改进的自仿射分形插值的方法, 根据2 8 个断层面的标高数据, 对断层面的粗糙 形态进行了分形插值模拟，插值结果见图4. 从图4可以看出, 分形插值的断层面具有明显的凸凹不平的局部区域, 给人以直观的 粗糙程度的感觉. 与传统的插值方法相比较, 分形插值可以插出任意相邻两已知点之间 的局部变化性, 而传统的插值方法的插值结果是任意相邻两已知点之间的插值只能用 直线或光滑的曲线连接. 因此, 传统方法不能得到断层面的粗糙程度, 故通常只能将断层 面近似地看作平面. 分形插值方法为定量研究断层表面的粗糙程度, 进一步提高采矿工 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 5/ 990 50 6 . h t m （第 6 ／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 10 中国矿业大学学报990 50 6 程、土木工程的稳定性和可靠性，提供了一种全新的方法. 图4 分形插值的断层面 Fi g . 4 Fa u l t s u r f a c e s i m u l a t e d w i t h f r a c t a l i n t e r p o l a t i o n 用盒维数的方法可以求得断层面的分形维数为 2 . 1993. 由于篇幅所限, 根据分形插值精度分析原理［8 ］, 可得到断层插值曲面的维数精度 和偏差精度. 由于已知数据点的数目为2 8 , 分形插值曲面上的数据点数为4 18 6 , 则信息含 量为 k 2 8 / 4 18 6 0 . 6 7 . 可得到维数精度和偏差精度分别为97 . 95和92 . 0 6 . *国家杰出青年科学基金资助（5942 50 0 3） 第一作者简介 孙洪泉, 男, 1954年生, 工学博士, 副教授 作者单位孙洪泉 中国矿业大学资源与环境科学学院 江苏徐州 2 2 10 0 8 谢和平 中国矿业大学 江苏徐州 2 2 10 0 8 参 考 文 献 1 Be n o i t B, M a n d e l b r o t . T h e Fr a c t a l G e o m e t r y o f Na t u r e . W . H . Fr e e m a n a n d Co m p a n y , Sa n Fr a n c i s c o , 198 2 . 36 1～36 6 2 M i c h a e l Ba r n s l e y . Fr a c t a l s Ev e r y w h e r e . O r l a n d o FL A c a d e m i c Pr e s s . 198 8 . 17 2 ～ 2 47 3 Pe t e r R M a s s o p u s t . Fr a c t a l Fu n c t i o n s , Fr a c t a l Su r f a c e s , a n d W a v e l e t s . A c a d e m i c Pr e s s , 1994. 135～355 4 M i c h a e l F Ba r n s l e y . Fr a c t a l Fu n c t i o n s a n d I n t e r p o l a t i o n s . Co n s t r u c t i v e A p p r o x i m a t i o n 2 . 198 6 . 30 3～32 9 5 K e n n e t h Fa l c o n e r . Fr a c t a l G e o m e t r y . M a t h e m a t i c a l Fo u n d a t i o n s a n d A p p l i c a t i o n s , Ne w Yo r k , 1990 . 92 ～10 0 6 Xi e H P， Su n H Q . T h e St u d y o n Bi v a r i a t e Fr a c t a l I n t e r p o l a t i o n Fu n c t i o n s a n d Cr e a t i o n o f Fr a c t a l In t e r p o l a t e d Su r f a c e s . Fr a c t a l s . 1997 , 5 4 6 2 5～6 34 7 于广明. 分形及损伤力学在开采沉陷中的应用. ［博士学位论文］. 徐州 中国矿业大 学应用数学力学系. 1997 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 5/ 990 50 6 . h t m （第 7 ／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 10 中国矿业大学学报990 50 6 8 孙洪泉. 分形插值曲面理论与岩石断裂表面的分形插值. ［博士学位论文］. 徐州 中国 矿业大学应用数学力学系, 1998 9 孙洪泉, 谢和平. 分形插值曲面及其维数估计. 中国矿业大学学报, 1998 , 2 7 2 2 17 ～ 2 2 0 10 孙洪泉, 谢和平, 于广明. 分形插值曲面的生成方法. 阜新矿业学院学报 自然科学版 , 1997 , 16 6 6 6 2 ～6 6 5 11 孙洪泉. 地质统计学及其应用. 徐州 中国矿业大学出版社, 1990 . 59～8 0 收稿日期1999-0 3-0 8 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 5/ 990 50 6 . h t m （第 8 ／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 10