菲波那契类准晶结构马德隆常数的研究.pdf

第3 6 卷第5 期中国矿业大学学报 V 0 1 ．3 6N o ．5 2 0 0 7 年9 月 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g yS e p ．2 0 0 7 文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 7 0 5 0 7 0 7 0 4 菲波那契类准晶结构马德隆常数的研究 唐芙蓉，杨先清，孙大鹏，徐文涛，任林 中国矿业大学理学院，江苏徐州 2 2 1 1 1 6 摘要利用马德隆常数的定义，计算了一维、二维单原子F C 2 ，F C 3 4 种菲波那契 F i b o n a c c i 类准晶的马德隆常数．结果表明准周期晶体的马德隆常数随着原子离参考点的距离的增加 呈振荡式快速收敛，证实了一维、二维F i b o n a c c i 准晶的电子能谱是套层结构，得到准晶原子间 的结合能随着维数的增加而增大、比同维数的晶体问的结合能弱的结论．其结果对于研究含离子 键成份的准晶态物质有非常重要的理论意义． 关键词菲波那契类；准晶；马德隆常数；准周期；电子能谱；单原子链 中图分类号O4 8文献标识码A S t u d yo ft h eM a d e l u n gC o n s t a n to fF i b o n a c c i - c l a s sQ u a s i c r y s t a l s T A N GF u r o n g 。Y A N GX i a n q i n g ，S U ND a p e n g ，X UW e n - t a o ，R E NL i n ， S c h o o lo fS c i e n c e s 。C h i n ao fU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y ，X u z h o u ，J i a n g s u2 2 1 1 1 6 ，C h i n a A b s t r a c t T h eM a d e l u n gc o n s t a n to ff o u rk i n d so fF i b o n a c c i c l a s sq u a s i c r y s t a l sF C n i n c l u d i n g o n ea n dt w o d i m e n s i o n a lF C 2 a n dF C 3 w a sc a l c u l a t e da c c o r d i n gt oi t so r i g i n a ld e f i n i t i o n ． T h er e s u l t ss h o wt h a tt h eM a d e l u n gc o n s t a n to fF i b o n a c c i _ 。c l a s sq u a s i c r y s t a l sc o n v e r g ea tc e r ’ t a i np o i n t sr a p i d l ya st h ed i s t a n c ef r o mt h er e f e r e n c ep o i n t si n c r e a s e s ．O s c i l l a t o r yc h a n g e so f t h eM a d e l u n gc o n s t a n td e m o n s t r a t et h a te l e c t r o n i ce n e r g ys p e c t r u m sf o ro n ea n dt w o ‘。d i m e n ‘。 s i o n a lF i b o n a c c i c l a s sq u a s i c r y s t a l sh a v es o m eh i e r a r c h i c a ls t r u c t u r e s ，t h eb i n d i n ge n e r g yo fF i b o n a c c i c l a s sq u a s i c r y s t a l si n c r e a s e sw i t ht h ei n c r e a s eo ft h ed i m e n s i o n ，w h i l ei Sl o w e rt h a n t h a to ft h ec r y s t a l sc o r r e s p o n d i n gt ot h es a m ed i m e n s i o n ．T h e s et h e o r e t i c a lr e s u l t sa r ev e r yi m p o r t a n tt os t u d yt h eq u a s i c r y s t a l l i n em a t t e r sw h i c hi n c l u d e si o n i cb o n d s ． K e yw o r d s F i b o n a c c i c l a s s ；q u a s i c r y s t a l s ；M a d e l u n gc o n s t a n t ；q u a s i p e r i o d i c ；e l e c t r o n i cs p e c t r a ；m o n o a t o m i cc h a i n S c h e c h t m a n 等[ 1 3 于1 9 8 4 年发现准晶以来，准 晶的许多物理特性得到了广泛研究．F i b o n a c c i 准 晶结构相对简单，具有丰富的物理内容，得到了广 泛的研究．U e d a 和A s h r a f f 等口一] 分析了一维和二 维单原子F i b o n a c c i 准晶格的电子能谱、导电性、电 子态密度及动力学响应函数的性质，并用数值解进 行验证．傅秀军、刘有延等[ 5 3 构造了一种包括一维 F i b o n a c c i 准晶模型 记为F C 1 和互生长模型 记为F C 2 在内的一类、能够用严格的高维投影 法得到的准晶链模型，他们称之为F i b o n a c c i 类准 晶 记为F C 以 ，并发现了许多重要的性质． 马德隆常数是晶体结构的一个重要特征参数， 是离子晶体中以参考离子为原点的无量纲的静电 自势，仅决定于晶体的结构[ 6 _ 8 ] ．若得知马德隆常数 便可计算晶格能和表面能等．因此，马德隆常数在 离子晶体的理论研究和科学实验中占有十分重要 收稿日期2 0 0 6 1 0 一1 1 基金项目江苏省高校自然科学研究指导性计划项目 Z X L 0 5 0 3 1 7 ；江苏省博士后科研计划项目 0 4 0 1 0 4 3 C 作者简介唐芙蓉 1 9 7 2 一 ，女，江苏省响水县人，讲师，硕士，从事理论物理方面的研究． E - r a i l j c r a n c u m t ．e d u ．c n fm e n g l i d i g u s h i 3 3 4 7 s i n a ．c o r n T e l 0 5 1 6 8 3 8 8 3 1 4 9 万方数据 7 0 8中潮矿业大学学报第3 6 卷 的地位，人们一点尝试用不同方法计算各种晶体的 舄德隆常数，但楚对准晶结梅酶马德隆常数还寒涉 及． 尽管目前还没有发现准晶材料中属离子晶体 的材料，但一般来讲，准晶材料大多由金属合金组 成，瑟金属键中禽有离子键成份，鉴于此，本文具体 计算了几种F i b o n a c c i 类准晶舄德隆常数，探讨各 种结构类型对准隔体结合能的影响． 1 马德隆常数定义 在露俸物理学中通常定义玛德隆常数鼗是黻 参考离子为原点，其值为嘲 窿；一R 。只型， 1 ■■ r i 式中t 为第i 个离子和参考离子之闯的距离；R 。 为鑫俸中最近邻正受离子熬麓鼯．当第i 个离子与 参考离子电荷同号时取正，异号时取负． 对于一维情况，如两种一价离子组成的一维晶 格，利用式 1 很容易计算出搿一2 1 n2 ．但对于二 维、三维情瑟，式 1 级数收敛很慢，因戴，大多莱溺 其他方法计算，如E v j e n 晶胞法、晶格静电能法 等[ 8 ’引． 2 F i b o n a c c i 类准晶的一维、二维结构模型 F i b o n a c c i 类准晶体叠前研究最多的是一续和 二维结构．对～维F i b o n a c c i 类准晶体结构， F C 行 准周期链可以采用直接投影方法得到[ 1 引， 其点阵位置为 以 ／c o s 张[ ／t a n ％] s i n 魏， 2 式中田为取最大整数；以为F C n 各个原子的位 鬣到原点的距离；帆为投影角；i 为原子序数． 由上述方法得到的准晶链可用下述生成法则 8 一器”1 A 。建一露”1 矗8 生成的准晶链燕一致的，酱为 S 1 一B ，S 2 B ”1 A ， S 3 B ”1 A B ”1 A ⋯ B ”1 A B 一1 A B ， S 。一S ，i S ，2 嚣≥3 ， 式中；A ，B 分别为长和短的两种原子间隔；以为 F C n 的序列代数；S i i 一1 ，2 ，⋯ 为第i 代序列． 从式 1 可知，计算F i b o n a c c i 类准晶的马德隆常数 荚键是确定各个獗子的位置到参考点鳃距离 。 F C 嚣 准周袭链也可以采用闻接投影方法得到， 其中各个原子的位置到原点的距离为n 0 ] 以 i 土9 ．1 L g 量．] ， 3 } 式中 [ 蕃i 。』，⋯, 一。一 五i 的最大整数，且％满 足 ％z 1 一血学， 4 是方程 ，一舸一l 0 5 的正根．由该方法得劐的准晶链与用上述生成法则 生成的准晶链是一致的． 相应地，对于二维单原子F i b o n a c c i 类准晶， 各拿原予麓位置到参考点的距离 满足 i r i 一 ／巧 ， 6 式中“为横向到原点的距离；■为纵向到原点的 距离．“，‰满足式 3 ， 4 和 5 ． 耄该方法褥到的撵晶链与鼹下述生成法则生 成戆准晶链是一致酶。对予二维单原子F i b o n a c c i 类准晶，每种都是由相应的一维F i b o n a c c i 类准晶 链F C 押 按纵横两个方向拼砌而成的网状结构， 具体规则如下嘲 1 按照F i b o n a c c i 类准鑫翡生藏规磷 S l B ， B B ”1 A ，A B ”1 A B ． 7 得到一条横向F i b o n a c c i 类准晶格中的某种 F C 瓣 链 B ⋯B A ⋯B ⋯B A ⋯． 、。。‘。1 一h 。’v ’一 n - - l 。p H 个 2 设定上述用生成规则得到的式 7 中的 “B ”单元决定该种二维单原子准晶格的横向链的 添子麓距为“短”，式 7 中“A ”单元决定萁藏子阕 距为“长”． 3 按照2 步骤中的横向链相同的序列得出纵 向链，则可得到该种二维单原子准晶格． 3 F i b o n a c c i 类准酯的马德隆常数计算 3 ．1 一维单原子F C 2 点阵 图1 为标准的一维F i b o n a c c i 点阵[ 1 。对于一 维F i b o n a c c i 类准晶格，擞据式 3 穰 4 霹以直接 求出第i 个离子蓟参考原子懿距离“ LsLLSLsLLSLLSLs 。气声仁专 邦暑等訇 等辞 图1 一继F i b o n a c c i 点阵 F i g ．1 O n ed i m e n s i o nF i b o n a c e il a t t i c e 将以代入式 1 ，弗取i 一1 ，2 ，3 ，．．和嚣- - - - 2 ， 计算～维F i b o n a c c i 点阵F C 2 的马德隆常数．如 图1 所示，马德隆常数照振荡式收敛，且收敛速度 很快．当i 一2 0 时，马德隆常数已经基本收敛，O t ≈ 万方数据 第5 期唐芙蓉等菲波那契类准晶结构马德隆常数的研究 7 0 9 0 ．6 6 3 R 。．与一维晶体情况相比，一维准晶体的马 德隆常数值较小． 3 ．2 一维单原子F C 3 点阵 这种类型的点阵计算与一维单原子F C 2 点 阵基本相同，将式 3 ， 4 代入式 1 ，并取n 一3 和i 1 ，2 ，3 ，⋯，得到一维单原子F C 3 点阵的马 德隆常数．如图1 所示，当取到i 2 0 时，马德隆常 数已经基本收敛，且得到收敛结果口 0 ．7 1 1 R 。． 一维F C 3 的马德隆常数收敛情况与F C 2 相似，如图2 所示．一维准周期链的马德隆常数呈 振荡式收敛，且收敛速度很快；其值小于一维晶体 马德隆常数 口 2 I n2 R o 1 ．3 8 6 R 。 ．说明准 晶原子间的结合能要比同维数的晶体的小；存在震 荡证实了一维F i b o n a c c i 准晶的电子能谱是套层结 构． 1 ．O O ．9 0 ．8 ≈ 0 ．7 0 ．6 0 ．5 051 01 52 0 f 图2一维F i b o n a c c i 准周期链的马德隆常数收敛曲线 F i g ．2 T h ec o n v e r g e n c ec u r v eg r a p ho foned i m e n s i o n a l F i b o n a c c iq u a s i p e r i o d i cc h a i n ’sM a d e l u n gC o n s t a n t 3 ．3 二维单原子F C 2 准晶格 图3 为二维单原子F C 2 准晶格的结构图[ 5 ] ． 将竹 2 和 一 ／蠢 瑶代入式 1 中，当P 和q 分别取P q 一1 1 ，1 2 ，1 3 ，2 3 ，⋯，可以 计算二维的马德隆常数．通过计算发现，当取值到 PXq 2 9X2 9 时，口收敛于1 ．2 7 5 R o ． 0 0K Y 0 1O O OO OO O OO o OK K ⅪO O OO OO O OO O OO O8 醋杼o0 0 00 o oo oo o oO oO o oo o oo ol O oo | O oO o oo o oo ol O oo IO OO O oo o o0 0b o0 10 00 0 00 o oo o0 0 0 将铐弓oo o oO oo o oo oo o OO 8 8 窿引8 8 88 88 8 80 0 o o | oo | o o oo O 舀舀石o o o 匣剑0 0 00 06 0 00 ∞磊鼗移‰o o oo 图3 二维单原子F C 2 准晶格 F i g ．3Q u a s i c r y s t a l l i n el a t t i c eo f 3 ．4 二维单原子F C 3 准晶格 图4 为二维单原子F C 3 准晶格的结构图嘲． 同样将式 3 ， 4 代人式 1 ，取以一3 r f 一 ∥研，PXq 1X1 ，1X2 ，1X3 ，2X3 ’．． ，通 过计算，当取值到P q 一2 9 X2 9 的方阵时，得到 口收敛于1 ．3 2 2 R 。． B 口一 o o o o o o o o o o o o o o o 0 0 0 o o o o o o o o o o o o o o O o o o o o O o o o O o o o o o o o o o o o o o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o oo o oo o oo o o oo 图4二维单原子F C 3 准晶格 F i g ．4Q u a s i - c r y s t a l l i n el a t t i c eo ft W O d i m e n s i o n a lm o n a t o m i cF C 3 此时我们可以作出与图2 相类似二维准晶格 马德隆常数收敛曲线，如图5 ．从收敛曲线同样可 以看出二维准周期链的马德隆常数呈振荡式收 敛，且收敛速度很快；值小于二维晶体马德隆常数 a 一1 ．6 1 4 R 。 [ 12 | ，说明准晶原子间的结合能要 比同维数的晶体的小；存在震荡证实了二维F i - b o n a c c i 准晶的电子能谱是套层结构． f 图5二维F i b o n a c c i 准晶格的马德隆常数收敛曲线 F i g ．5 T h ec o n v e r g e n c ec u r v eg r a p ho ft W Od i m e n s i o n a l F i b o n a c e iq u a s i c r y s t a l l i n el a t t i c e ’SM a d e l u n gC o n s t a n t 4 结论 本文运用了马德隆常数的定义分别计算了一 维单原子F C 2 ，F C 3 点阵，二维单原子F C 2 ， F C 3 等4 种F i b o n a c c i 类准晶的马德隆常数．计 算结果表明1 一维、二维准周期晶体的马德隆 常数随着原子离参考点i 的距离的增加呈振荡式 收敛，且收敛速度很快，振荡证实了二维F i b o n a c c i 准晶的电子能谱是套层结构，收敛速度快表明结果 有较高的精确度；2 F i b o n a c c i 准晶格的马德隆常 数和晶体马德隆常数一样随着维数的增加而增大， 但是其值与同维数晶体的马德隆常数相比要小很 o o o o o o o o o o 0 0 0 o o o o 搿∞∞丽∞∞∞∞∞∞ ㈠ooo萨oo垒3fo箦∞∞懒∞∞骼∞∞蛐图133潞黜强一圈慧 00Q‘，Ooooooo仆2。ooo00C蛹酲。oooooo鸯oooooo孝oooooo一．|。oOo 万方数据 7 1 0中国矿业大学学报第3 6 卷 多，说明准晶原子间的结合能和晶体间的结合能一 样随着维数的增加而增大，但准晶原子间的结合能 要比同维数的晶体间的结合能弱．这个结果对于研 究含不同种结合能成份的准晶态物质中离子键成 份对整个能量的贡献有重要的理论意义． 参考文献 [ 1 3S C H E C H T M A ND 。B L E C HI ．G R A T I A SD 。e ta 1 ． M e t a l l i cp h a s ew i t hl o n g r a n g eo r i e n t a t i o n a lo r d e ra n d n ot r a n s l a t i o n a ls y m m e t r y [ - J - ] ．P h y s i c a lR e v i e wL e t t e r s ，1 9 8 4 5 3 1 9 5 1 - 1 9 5 3 ． [ 2 ] Y L I UY ，R I K L U N DR ．E l e c t r o n i cp r o p e r t i e so fp e r f e e ta n dn o n p e r f e c to n e - d i m e n s i o n a lq u a s i c r y s t a l s E J ] ．P h y s i c a lR e v i e wB ，1 9 8 7 3 5 6 0 3 4 6 0 4 2 ． [ 3 ]U E D AK ，T S U N E T S U G UH ．E n e r g ys p e c t r u ma n d c o n d u c t a n c eo fat w o - d i m e n s i o n a lq u a s i c r y s t a l [ J ] ． P h y s i c a lR e v i e wL e t t e r s ，1 9 8 7 5 8 1 2 7 2 1 2 7 5 ． [ 4 ] A S H R A F FJA ，L U C KJM ，S T I N C H C O M B ERB ． D y n a m i c a lp r o p e r t i e so ft w o - d i m e n s i o n a lq u a s i c r y s t a l s 口] ．P h y s i c a lR e v i e wB ，1 9 9 0 4 1 4 3 1 4 4 3 2 9 ． [ 5 ] 杨湘波，刑达，刘有延．二维单原子菲波那契类准 晶电子能谱特性研究[ J ] ．物理学报，2 0 0 1 ，5 0 1 0 2 0 3 2 2 0 3 7 ． Y A N GX i a n g b o ，X I N GD a ，L I UY o u y a n ．S t u d i e s o nt h ep r o p e r t i e so fe l e c t r o n i ce n e r g ys p e c t r af o rt W O d i m e n s i o n a lF i b o n a c c i c l a s s q u a s i c r y s t a i s w i t hone k i n do fa t o m s [ J ] ．A e t aP h y s i c aS i n i e a ，2 0 0 1 ，5 0 1 0 2 0 3 2 - 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