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第3 7 卷第5 期 中国矿业大学学报V 0 1 ．3 7N o ．5 2 0 0 8 年9 月J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g y S e p ．2 0 0 8 ； ≈ ≈ ； ≈ { 一 广义变系数K d V 方程的P a i n l e v f i 分析和自B ／i c k l u n d 变换 许晓革h 2 ，魏光美1 1 ．北京航空航天大学理学院，北京1 0 0 0 8 3 ；2 ．北京信息工程学院，北京1 0 0 1 0 1 摘要利用符号计算对系数函数是z 和t 的函数的广义变系数K d V 方程进行了P a i n l e v 6 分析， 将方程解的广义L a u r e n t 展开式u x ，￡ 妒 z ，￡ 芝“j ￡ ∥ z ，￡ 代入方程，整理1 5 的各次幂 j 0 的系数并令其为零，得到P 的值以及关于U ，的递推关系及共振点，由其相容条件恒成立知原方 程具有P a i n l e v 6 性质．同时利用P a i n l e v 皂截断法给出了广义变系数K d V 方程的一个自 B ／i c k l u n d 变换，自B ／i c k l u n d 变换是联系同一个偏微分方程的解的变换，通过方程的一个解可以 求出方程的另一个解，作为例子根据得到的自B ／i c k l u n d 变换给出了方程的两组精确解． 关键词广义变系数K d V 方程；P a i n l e v 6 分析；自B ／i c k l u n d 变换；符号计算 中图分类号01 7 5 ．2 9 ；O4 1 1 ．2文献标识码A文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 8 0 5 0 7 2 5 ．0 4 P a i n l e v 6A n a l y s i sa n dA u t o B ／i c k l u n dT r a n s f o r m a t i o n s f o rt h eG e n e r a lV a r i a b l eC o e f f i c i e n tK d V E q u a t i o n X UX i a o g e l ．- ．W E IG u a n g m e i l 1 S c h o o lo fS i c e n c e ，B e i j i n gU n i v e r s i t yo fA e r o n a u t i c sa n dA s t r o n a u t i c s ，B e i j i n g1 0 0 0 8 3 ，C h i n a l 2 ．B e i j i n gI n f o r m a t i o nT e c h n o l o g yI n s t i t u t e ，B e i j i n g1 0 0 1 0 1 。C h i n a A b s t r a c t W i t hs y m b o l i cc o m p u t a t i o n ，aP a i n l e v 6a n a l y s i sf o rt h eg e n e r a lv a r i a b l ec o e f f i c i e n t K d V g v cK d V e q u a t i o ni sc a r r i e do u t ．T h eL a u r e n te x p a n s i o ne q u a t i o nu x ，￡ 矿 z ， ￡ ∑U j ￡ ∥ z ，￡ i ss u b s t i t u t e di n t ot h eg v c K d Ve q u a t i o na n dr e c u r s i v er e l a t i o n sa n dr e s o n a n t J 一0 p o i n t sa r eo b t a i n e d ．S i n c ei t sc o n d i t i o n sa r ec o n s i s t e n t ，t h ee q u a t i o nm e e t st h ec o n d i t i o n sf o ra P a i n l e v 6a n a l y s i s ．U s i n gt h eP a i n l e v 6t r u n c a t i o nm e t h o d ，a na u t o B i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o ni s p r e s e n t e d ．T h ea u t o - B a c k l u n dt r a n s f o r m ．a t i o ni sas y s t e mo fe q u a t i o n sr e l a t i n gt h es o l u t i o no fa g i v e ne q u a t i o nt oa n o t h e rs o l u t i o no ft h es a m ee q u a t i o n ．U n d e rt h ea u t o B ／i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，a n a l y t i cs o l u t i o n sc a nb eo b t a i n e d ，i n c l u d i n gs o l i t o n i cp r o f i l e s ．T oi l l u s t r a t e ，t w of a m i l i e s o fa n a l y t i cs o l i t o n i es o l u t i o n sa r ep r e s e n t e dv i at h ea u t o B 苴c k l u n dt r a n s f o r m a t i o h ． K e yw o r d s g e n e r a lv a r i a b l e c i e f f i c i e n tK d Ve q u a t i o n ；P a i n l e v ∈a n a l y s i s ；a u t o B a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ；s y m b o l i cc o m p u t a t i o n 近年来，随着现代科学技术的发展和非线性理 论研究的日趋完善，非线性理论的研究在自然科学 的所有领域，也包括一些社会科学，正在蓬勃发 展Ⅲ，一大批具有孤立子解的非线性发展方程在物 理学的众多领域中出现，其研究内容的不断丰富和 发展对解决实际物理问题有着重大的意义‘2 。引．人 收稿日期2 0 0 7 1 1 2 8 基金项目北京市优秀人才资助项目 2 0 0 6 1 D 0 5 0 0 7 0 0 1 7 1 作者简介许跷2 9 ] 9 6 6 一 ，女，河南省郑州市人，教授，博士研究生，从事非线性发展方程与计算符号方面的研究． E - m a i l x x g ’ b i t i ．e d u ．c a T e l 0 1 0 8 2 4 2 6 8 3 1 万方数据 7 2 6中国矿业大学学报第3 7 卷 们以往的兴趣主要限于研究不明显依赖于时空坐 标的常系数非线性发展方程，由于变系数模型能更 好地描述实际问题，近年来，变系数非线性发展方 程的研究引起了人们的极大兴趣，它已成为孤子理 论的热点之一[ 7 ‘1 1 | ． P a i n l e v ∈分析在检测非线性系统的可积性领 域中是公认的有效的方法[ 1 Z - l S ] ，同时P a i n l e v 6 截 断法为人们得到非线性发展方程的B i i c k l u n d 变 换、双线性形式和一些特殊解析解提供了一种有效 和直接的途径[ 1 3 - 1 s 3 ． 本文将研究具有扰动、损耗、和非均匀、项的广 义变系数K d V 方程叭1 7 。1 8 J U ， 2 ／3 t u I - a t 卢 t x - l u 。一 3 c r ￡ U U ， r ￡ “。，一0 ， 1 式中口 ￡ ，卢 ￡ ，r ￡ 为t 的I I r 微函数；c 为一给定 常数． ． 方程 1 有以下特殊形J ℃ 1 变系数非均匀谱K d V 方程J 7 3 U ， 七o ￡ [ “一 6 u u 。] 4 k 1 ￡ 如一．1 l ￡ [ Z u 剃，] 0 ． 2 相应于r ￡ 愚o ￡ ，f 一2 ，a f 4 k l ￡ ，p ￡ 一 ￡ ． 2 具有驰豫效应非均匀介质的K d V 方 程‘1 ，1 7 ] U ， r t u E c o r t x - l u ， 6 u ， “～；0 ． 3 相应于卢 ￡ 一r ￡ ，r ￡ 1 ，c 一2 ，口 ￡ f o ． 3 标准K d V 方程 U 。 6 姒， “。，一0 ． 4 相应于r ￡ 一1 ，f 一一2 ，口 ￡ 一卢 ￡ 0 ． 本文首先对广义变系数K d V 方程进行 P a i n l e v 6 分析，然后利用P a i n l e v 6 截断法给出该方 程的一个自B a c k l u n d 变换，最后作为例子根据得 到的自B a c k l u n d 变换给出了两组解． 1 P a i n l e v 6 分析 本文利用K r u s k a l 对流形的简化形式[ 16 。，设 方程 1 的解的广义L a u r e n t 邑展开式为 u x ，￡ ≯’ j c ，f ∑“j ￡ 拳’ j [ ，￡ ，，。、 J 0 L 0 ， 庐 z ，￡ 一z 妒 ￡ ， 式中妒 ￡ 为关于t 的一个任意函数；U 』 f ．『 0 ，1 ，2 ，⋯ 为在由拳 z ，f 0 决定的非特征流动 奇异流形的邻域的解析函数． 将展开式 5 代入方程 1 ，整理乒的各次幂的 系数并令其为零，可以决定P 的值以及关于U j 的 递推关系，P a i n l e v 邑的性质要求P 是一个负整数， 同时相容条件恒成立‰1 3 ] ． 由于方程 1 的系数函数同时含有z 和t ，为 了能使用展开式 5 ，我们将方程 1 改写成以下的 形式 U ， 2 卢 ￡ “ a t u 卢 ￡ [ z 驴 ￡ ] “，一 p ￡ 妒 ￡ U 一3 c r t u u ， r t u 。， 0 。 6 对方程 6 进行主项分析得到 P 一2 ，“o ． 7 将展开式 5 代入方程 6 可得关于U j 的递推 关系 歹 1 歹一4 ．『一6 r t u i 一一E ， 8 其中 E U j - - 3 ，， ．『一4 u 卜2 以 f 2 卢 f 雌3 口 ￡ _ 『一4 u j 一2 卢 ￡ 歹一5 哟一3 一 风≠ ．『一4 妒 ￡ 乱坤一 j l 3 c r t ∑ 七一2 u 乱，．。． 9 1 ．『≥0 定义当歹 0 时U j 一0 ． 从式 8 可看出，当歹一一1 ，4 ，6 时，U 』不能确 定，这些J 的值称为递推关系的“共振”值，对应地 在展开式中可以引入任意函数，- 『 一1 对应于函 数妒 ￡ 的任意性． 由式 7 和 8 经符号计算可得 歹一1 U l 一0 ， 1 0 歹 2 U 22 瓦焉[ 8 口 f ～3 c z u im 一 8 p ￡ 妒 f 8 0 , ￡ ] ， 1 1 歹 3 U 32 高丽[ 郴 ￡ 一 3 c u lU 2 r f 一U l 仪￡ 驴 ￡ U l 以 ￡ ] ， 1 2 歹 4 o 纵，． ￡ 一一[ “1 ．f U l p f ] ， 1 3 J 一5 “5 一i [u2，。U3口￡2“2卢￡一6 ．7 3 “5 4r i t L2 ，I 十口‘‘ 十z “2 p ‘‘J 一 3 0 “ ￡ U 2 U 3 U l U 4 一 U 3 p ￡ 驴 ￡ 甜。办 ￡ ] ， 1 4 ．f 一6 o U 6 r ￡ 一[ 砒．， 2 u t a f 3 u 3 卢 ￡ 一3 c r ￡ “； 2 u 2 U 4 2 u lU s 一2 u 4 ．| 9 ￡ ≯ ￡ 2 蝴以 ￡ ] ． 1 5 由式 1 0 ，易知在歹 4 时相容条件恒成立，将式 1 0 ～1 4 代入式 1 5 可知在歹一6 时的相容条件 恒成立． 故方程 1 具有P a i n l e v ∈性质或称通过 万方数据 第5 期许晓革等广义变系数K d V 方程的P a i n l e v ∈分析和自B 盖c k l u n d 变换7 2 7 P a i n l e v ∈试验． 2 自B i i c k l u n d 变换 B ；i c k l u n d 变换是联系两个偏微分方程的解的 变换，通过已知方程的解可以求另一个方程的解， 如果是联系同一个方程的两个解，则称为该方程的 自B 矗c k l u n d 变换．利用P a i n l e v 6 截断法和符号计 算求方程 1 的自B i i c k l u n d 变换，并由此变换给出 方程 1 的两组解． 为了求方程 1 的B { i c k l u n d 变换，这里用普通 形式的≯ z ，￡ ，而不是展开式 5 中的特殊形式 乒 z ，￡ 一z 驴 ￡ ． 根据主项分析，可得到方程 1 在常数水平的 P a i n l e v 6 截断 2 u x ，￡ ≯一2 z ，f ∑“， z ，f ∥ z ，￡ j } o U o z ，￡ 壬- 2 z ，f “1 z ，f r 1 z ，￡ U 2 z ，￡ ． 1 6 将式 1 6 代入方程 1 ，通过符号计算并令拳 的各次幂的系数为零，可得 扩5 ‰ { 乒， 1 7 l l 一U l 一一生庐。， 1 8 r 3 九[ 庐，拳， n f 鲑 筇 f 鲑一 3 c r t u 2 髭 4 r t 庐。≯一一 3 r t 珐] 0 ， 1 9 r 2 ≯。[ ，I 。。 n f 声。 筇 z 乒。一 ‘ 3 c r t u 2 庐。 风￡ 丸 r f 庐一] 羞[ ≠t 声r 口 ￡ 旌 卢 ￡ 捌 一 3 c r ￡ “2 拳 4 r t 拳，庐一一 3 r t 照] 0 ， 2 0 扩1 吕[ 乒。 口 ￡ 庐。 印 ￡ 拳。一 3 c r ￡ 甜2 拳。 风￡ 乒， r ￡ ≯一] 一0 ， 2 1 妒2 J 9 ￡ ”2 U 2 ．。 a t u z ．， 印 ￡ “2 。，一 3 c r ￡ “ 2 U 2 ，。 r ￡ U 2 ．一 0 ． 2 2 易知只要以下两个等式成立 乒。l l ， 口 ￡ 鲑 邵 ￡ 鲑一3 c r t u 。鲑 4 r t 拳，，I 一～3 r t 乒笔 0 ， 2 3 九， 口 ￡ 虹 筇 f 虹一 3 c r t u 2 ，l 。 卢 ￡ 九 r ￡ 拳一， 0 ． 2 4 则式 1 9 ～2 1 恒成立． 于是得到方程 1 的一个自B a c k l u n d 变换 H 一一睾笔l n 庐 z ，￡ U 2 ， 2 5 H 一一了孬1 n 尹【z ’‘ 十 ’【趵’ 其中 z ，￡ 满足方程组 2 3 和 2 4 ，并且U z ，￡ 是方程 1 的一个解． 根据B a c k l u n d 变换式 2 5 ，通过选取不同的 ，I z ，￡ 和U 。，可以求得方程 1 的各种不同的精 确解 1 取U 一0 ，它显然是方程 1 的解，令乒 z ， ￡ 具有如下的形式 咖 z ，f 1 e 玎‘‘’ g ‘”． 2 6 将式 2 6 代人方程组 2 3 和 2 4 ，可求出， ￡ 和 g z 分别为 ， ￡ 一f l e J 麒舢， g ￡ 一一f l f a ￡ e 一灿山d z 一 2 7 c { Ir t e - 3 J M 出d t c 2 ， 式中f 。≠o ；f 。为任意常数． 于是，将得到方程 1 的一组孤子型的精确解 础∽一一象l n 如∽一 ～d fe - 4 耳t s e e h 2 丢[ f ，小。屹一fZL f 。，础 小。地一 f iJ _ r ￡ e - 3 忙。出出 c z ] ． 2 8 2 取u f 。e - 2 j M 出，它显然是方程 1 的解． 令拳 z ，￡ 具有如下的形式 拳 z ，￡ A z z B ￡ ． 2 9 将式 2 9 代入方程组 2 3 和 2 4 ，可分别求出 A ￡ 和B ￡ ，即 A ￡ f 2 e J 觑‘岫， 3 0 r， B ￡ 一c 2I 口 ￡ e - J 觑删‘d t J r， 3 c c l c 2I r t e - 3 j 庳。出d t f 3 ， 3 1 J 式中c 2 ，C 3 ≠0 ；f 。为任意常数． 这样，将得到方程 1 的又一组有理形式的精 确解 万方数据 7 2 8中国矿业大学学报第3 7 卷 u x 。￡ 3 结论 4 c ；e 一2 J 剐出 c [ c z e o 觑t d t x _ _ C 2 如 e 十舢蚀- 4 - 3 c c m 弘 e - 3 灿b ] 2 LJJ J 2 4 8 ． 1 利用符号计算，首先将P a i n l e v 6 分析应用 到变系数方程 1 ，利用K r u s k a l 的简化形式对方 程顺利实施P a i n l e v 6 分析，将方程变形成式 6 的 形式，证明了该方程具有P a i n l e v 6 性质． 2 利用P a i n l e v 6 截断法得到了方程 1 的一 个自B i i c k l u n d 变换 2 5 ，通过自B a c k l u n d 变换可 以求得原方程的许多精确解．作为例子本文提供了 方程 1 的两组解 2 8 和 3 2 ． 3 方程 2 ～4 作为方程 1 的特殊情况，由方 程 1 结论，易得它们具有P a i n l e v 6 性质． 参考文献 [ 1 ] 张解放，陈芳跃．截断展开方法和广义变系数K d V 方程新的精确类孤子解[ J ] ．物理学报，2 0 0 1 ，5 0 9 1 6 4 8 1 6 5 0 ． Z H A N GJ i e - f a n g ，C H E NF a n g - y u e ．T r u n c a t e de x p a n s i o nm e t h o da n dn e we x a c ts o l i t o n - l i k es o l u t i o no f t h eg e n e r a lv a r i a b l ec o e f f i c i e n tK d Ve q u a t i o n [ J ] ．A e t aP h y s i c aS i n i c a ，2 0 0 1 ，5 0 9 1 6 4 8 1 6 5 0 ． [ 2 ] 刘式适，刘式达．物理学中的非线性方程[ M ] ．北 京北京大学出版社，2 0 0 1 2 9 4 3 0 4 ． [ 3 ] 郭柏灵．非线性演化方程[ M ] ．上海上海科技教育 出版社，1 9 9 8 ． [ 4 ]范恩贵．可积系统与计算机代数[ M ] ．北京科学出 版社，2 0 0 4 6 8 7 3 ． [ 5 ] 谷超豪，胡和生，周子翔．孤立子理论中的达布变换 及其几何应用[ M ] ．上海上海科学技术出版社， 2 0 0 5 I - 1 1 ． [ 6 ] 陈登远．孤子引论[ M ] ．北京科学出版社，2 0 0 6 1 4 - 4 4 ． [ 7 ] T I A NB ，G A OYT ．V a r i a b l e _ c o e f f i c i e n tb a l a n c i n g a c tm e t h o da n dv a r i a b l e - c o e f f i c i e n tK d Ve q u a t i o n f r o mf l u i dd y n a m i c sa n dp l a s m ap h y s i c s [ J ] ．T h eE u r o p e a nP h y s i c a lJ o u r n a l ，2 0 01 ，B 2 2 3 51 3 6 0 ． [ 8 ]F A NEG ，A u t o - b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o na n ds i m i l a r i t yr e d u c t i o n sf o rg e n e r a lv a r i a b l ee o e f f c i e n tK d V e q u a t i o n s [ J ] ．P h y s i c sL e t t e r sA ，2 0 0 2 2 9 4 2 6 3 0 ． [ 9 ] T I A NB ，G A OYT ，V a r i a b l e - c o e f f i c i e n th i g h e r - o r d e rn o n l i n e rs c h r o d i n g e rm o d e li no p t i c a lf i b e r s E e w t r a n s f o r m a t i o nw i t hb u r s t o n s ，b r i g h t o n sa n ds y m b o l i c c o m p u t a t i o n [ J ] ．P h y s i c sL e t t e r sA ，2 0 0 6 ，3 5 9 2 4 1 一 c le 一和舢． 3 2 [ 1 0 ]魏光美，许晓革．一类变系数K d V 方程的P a i n l e v 6 分析和自l 掘c k l u n d 变换[ J ] ．数学的实践与认识， 2 0 0 6 ，3 6 6 3 0 8 3 1 2 ． W E IG u a n g - m e i 。X UX i a o - g e ．P a i n l e v 6a n a l y s i sa n d a u t oB { i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nf o rav a r i a b l ec o e f f i c i e n tK d Ve q u a t i o n [ J ] ．M a t h e m a t i c si nP r a c t i c e a n dT h e o r y ，2 0 0 6 ，3 6 6 3 0 8 3 1 2 ． [ 1 1 ] G A OYT ，X UXG ，T I A NB ．V a r i a b l e - c o e f f i c i e n t f o r c e dB u r g e r ss y s t e mi nn o n l i n e a rf l u i dm e c h a n i c s a n di t sp o s s i b l yo b s e r v a b l ee f f e c t s [ J ] ．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a lo fM o d e r nP h y s i c sC ，2 0 0 3 ，1 4 9 1 2 0 7 1 2 2 2 ． [ 1 2 ] A B I 。O W l T ZMJ ，C L A R K s NPA ．S o l i t o n s ， n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa n di n v e r s es c a t t e r i n g [ M ] ．C a m b r i d g eU n i v e r s i t yP r e s s ，1 9 9 1 3 7 3 3 7 5 ． [ 1 3 ] W E I S SJ ，T A B O RM ，C A R N E V A A L EG ．T h e p a n i n l e v ep r o p e r t yf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s [ J ] ．J o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lP h y s i c s ，1 9 8 3 ，2 4 3 5 2 2 5 2 6 ． [ 1 4 ] S T E E BWH ，E U L U RN ．N o n l i n e a re v o l u t i o ne ． q u a t i o n sa n dp a i n ／e v et e s t [ M ] ．S i n g a p o r e W o r l d S c i e n t i f i c ，1 9 8 8 1 8 9 一1 9 2 ，2 2 0 2 2 1 ． [ 1 5 ] W E I S SJ ．T h ep a i n l e v ep r o p e r t yf o rp a r t i a ld i f f e r e n 一 t i a le q u a t i o n s ，i i b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，l a xp a i r s a n dt h es c h w a r z i a nd e r i v a t i v e [ j ] ．J o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lP h y s i c s ，1 9 8 3 ，2 4 6 1 4 0 5 - 1 4 1 3 ． D 6 ]R A M A N IA ，G R A M M A T l c o sB 。B O U N T I ST ． T h ep a i n l e v ep r o p e r t ya n ds i n g u l a r i t ya n a l y s i sf o r i n t e g r a b l ea n dn o n - i n t e g r a b l es y s t e m s [ J ] ．P h y s i c s R e p o r t s ，1 9 8 9 ，1 8 0 3 1 5 9 2 4 5 ． [ 1 7 ]李德生。张鸿庆．改进的t a n h 函数方法与广义变系 数K d V 和M K d V 方程新的精确解[ J ] ．物理学报， 2 0 0 3 ，5 2 7 1 5 6 9 - 1 5 7 2 ． L ID e - s h e n g ，Z H A N GH o n g - q i n g ．I m p r o v e dt a n h - f u n c t i o nm e t h o da n dt h en e we x a c ts o l u t i o n sf o rt h e g e n e r a lv a r i a b l ec o e f f i c i e n tK d Ve q u a t i o na n dM K d V E q u a t i o n [ J ] ．A c t sP h y s i c aS i n i c a ，2 0 0 3 ，5 2 7 l 1 5 6 9 一1 5 7 2 ． [ 1 8 ] L I UXQ ．E x a c ts o l a t i o n so ft h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t K d Va n dS Gt y p ee q u a t i o n s [ J ] ．A p p l i e dM a t h e m a t i c sJ o u r n a lC h i n e s eU n i v e r s i t i e s ，1 9 9 8 ，1 3 1 2 5 3 0 ． 责任编辑邓群 万方数据
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