高维有噪频谱有限函数的外推.pdf

第 “卷 第期中国矿业大学学报 2 . 9/ 9 文章编号 A B A “ C D E F B “ B D 高维有噪频谱有限函数的外推 杨德运 E南开大学 数学所G天津 H A I泰安师范专科学校数学系G山东 泰安 H A A “ F 摘要给出的定理既适合于一维与高维G又适合于有噪与无噪的频谱有限函数的外推G是对J / . K B L, / . ;两个猜想的改进G 同时讨论了外推函数与真函数的逼近关系’对于一个一维或高维M频 谱有限函数N G如果仅知道它在局部区域O上的有噪测量值N P G用集合Q R R是M频谱有限函数G 在O上S R E T F UN P E T F S VW X E W Y F中Z 范数最小的元素 [W G N P作为外推函数G给出了关于它的逼近 定理及其范数逼近公式G并且给出定理说明这一外推函数[ W G N P与真函数 N的逼近主要取决于误 差W \ 关键词频谱有限函数I外推函数I正规簇 中图分类号]A H D文献标识码 _ 引言及主要结果 设N ‘Z E ab F G它的c , - 3 6 -变换N d为 N d E e Ffg abN E T F 6 h i E U j 3 T ke F l T E e‘ a b F ’ 对于M mn E m fA G G oG b F G 记 M fpUMA G MAq r orpUMbG Mbq ’若e不属于M时G N d E e F f G则 称N为M频谱有限函数’我们固定M G记s为一切 M频谱有限函数所成的集合’ 若 N ‘s G则在Z E abF 上N E T Ffg MN d E e Fr 6 h i E j 3 T ke F l e G把它扩充为t b上的函数 N E u Ffg MN d E e F 6 h i E j 3 u ke F l e GE A F 则 N E u F是t b上的解析函数’ 因此G N可以看作a b 上的函数G也可以看作t b上的函数G 那么N在a b 的任何一个子集Ofp UOAG OAq rorpUObG Obq E Omn G m fA G oG b F 上的值N O便确定了整个N ’ 有噪频谱有限函数的外推是指给定 s中函 数N在O上的有噪函数N P G来确定s中某个函数 N P sE 称为外推函数F G而当有噪函数N P在 O上逼近 真函数N时G外推函数N P s应当逼近真函数N ’ 设N是s中一个固定的函数G O固定’ O上的 函数N P满足 S NP E T FUN E T F S Vv E T ‘O G v Y F G对于W Yv G记sW G N PfQ R R ‘s且7 , i T ‘OS R E T F UN P E T F S VW X G注 意到它是Z 中的一个非空闭凸子集G 因此G其中必 有唯一的使得Z 范数最小的元素 [W G N PG我们把它 作为由N P的外推函数’ v f或 v n的种情形G则 对应有噪和无噪种情形’ 下面给出本文的定理A G将说明上述外推函数 的求法G文献p A q中J / . K B L, / . ;的个外推猜想仅 为该定理的特殊情况’而定理则说明了外推函 数与真函数的逼近关系G指明了外推函数的合理 性’为了避免符号的繁杂G不失一般性G我们仅讨 论二维的情形’ 为了叙述本文的主要定理G首先给出下面的D 个条件 A Fv Y G W Yv I FN‘ s G O上 函 数N P满 足对 wT ‘ O G有 S N P E T F UN E T F S Vv I FQ xymX E m fA G F 是两列趋于零的整数列G数 列Q zy mX 满足 {ymf p Om| xymqV p Mmzymxymqf }ymI D F记 AG 为 }y A AfU}yA }y fU}y G设Q “ W yAyE AG F X AG 是下面优化问题的解 收稿日期 A “ “ “ B A A B 作者简介杨德运E A “ C B F G男G山东省郓城县人G泰安师范专科学校副教授G理学硕士G从事信号分析计算机程序设计等应用数学方面 的研究’ 万方数据 “ “ 0 Y - k HlB G m k B A ; Y - k HlB G k4GkB 我们取一个整数 H R ’ *以及正数n 使 4 ll* 2 n o’ 因为N 7 8H‘ 那么当 p ql时 N r 7 8 p * AS 由于连 续函数在a l * 中稠密存在l上的非零连续函数 s 使得 t lB N r 7 8 p *6 s p * B uv w p 2 o n 而当p ql时定义s p * AS 取 x ] *At ls p * , - / 0 ] yp * w p ] H M * 则 B N 7 8 ] *6x ] * BA t l. N r 7 8 p *6s p * 5z , - / 0 ] yp * w p t lB N r 7 8 p *6s p * B w p t lB N r 7 8 p *6s p * B .5 w p 2 E ll* 2 ll* 2 n 由上式及B N 7 8 ] * 67 8 ] * B 当] H{ * 得 B 7 8 ] *6x ] * Bo 4 ll* 2 no ’ | * 由x的取法及s在l上连续下式在{上一致成 立 SEd 中国矿业大学学报第 }卷 万方数据 “ 1 由 A B C 3 D 3 定理 “ G, G’; G G’ - H 1 由式- I 1 J- H 1得 E* X - WW’1 . ’GSR ’G- /0/’0’1 . ’2 3 4 5 - ’ 7 GU GV1K X - WW’1 . ’ - L G, G’1 . ’ 3 4 5 - ’ 7 GU GV1; Y - WW’1 . ’ G, G3 4 5 - ’ 7 GU GV1 因此\ R “ 6 N/0. ’ GSR ’G ’/ 0/’0’- ’ 1 由式- H 1 6 NS “ “ “ G G’- X 1 由,的定义及上式得 G\ GKG G;G, GKG\d \ R “ “ “ \ R “ g 我们仅证明k l 5 m ]WE U nm E ; k l 5 m ]WE U m9U’m’E 其它的证明过程与情形类似 事实上 “ G\ g 9 * 5 , -0 2, 0 2 AB C D E 0 gA 3s n n ne o \ ] h 3gi f c h j 3 [ E C C i t [ G d ] \ W u o f i C h h G ] d v w x g[ [ u m x Z K v / - Z2 \ ] I m W G XG j C Ik c ] i j G f ] h *C D j o \ E f W \ j G f ] *] f o X\ W k \ XG W Kx 中国矿业大学学报第 v卷 万方数据