广义协调厚薄板通用单元TMT的固有振动分析.pdf

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第3 6 卷第1 期 中国矿业大学学报 v 0 1 .3 6N o .1 2 0 0 7 年1 月J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g &T e c h n o l o g y J a n .2 0 0 7 文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 7 0 1 0 0 9 1 0 6 广义协调厚薄板通用单元T M T 的固有振动分析 曹金凤1 ,姜耀东1 ”,医囹1 ,赵春蕾3 ,曹本欣4 1 .中国矿业大学力学与建筑工程学院,北京1 0 0 0 8 3 ; 2 .中国矿业大学煤炭资源与安全开采国家重点实验室,北京1 0 0 0 8 3 ; 3 .核工业部第二研究设计院,北京 1 0 0 8 4 0 ;4 .石家庄铁道学院土木工程学院,河北石家庄0 5 0 0 4 3 摘要研究了广义协调三角形厚薄通用板单元T M T 的固有振动特性.通过编制程序,采用子空 间迭代法求得不同板厚的基频值,将计算结果与理论解和有限元软件A B A Q U S 的结果进行比 较.结果表明广义协调三角形厚薄板通用单元T M T 在固有振动分析方面有良好的收敛性,较 高的数值稳定性,很好的实用性 无需区分厚板和薄板 ,为板的固有振动分析提供了一个新的思 路,且用广义协调厚薄板通用单元进行了动力分析. 关键词有限单元法;广义协调元;固有振动;固有频率;A B A Q U S 中图分类号T U3 1 1 .4文献标识码A F r e eV i b r a t i o nA n a l y s i so fP l a t eU s i n ga G e n e r a l i z e dC o n f o r m i n gT h i c k /T h i nE l e m e n tT M T C A OJ i n - f e n 9 1 ,J I A N GY a o d o n 9 1 ’2 ,I Z H A OO u o - j i n g [ 1 , Z H A OC h u n l e i 3 .C A OB e n x i n 4 1 .S c h o o lo fM e c h a n i c s C i v i lE n g i n e e r i n g ,C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g &T e c h n o l o g y ,B e i j i n g1 0 0 0 8 3 ,C h i n a ; 2 .S t a t eK e yL a b o r a t o r yo fC o a lR e s o u r c e sa n dS a f eM i n i n g ,C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g8 LT e c h n o l o g y , B e i j i n g1 0 0 0 8 3 ,C h i n a ;3 .B e i j i n gI n s t i t u t eo ft h eS e c o n dN u c l e a rE n g i n e e r i n g ,B e i j i n g1 0 0 8 4 0 ,C h i n a ; 4 .S c h o o lo fC i v i lE n g i n e e r i n g ,S h i j i a z h u a n gR a i l w a yI n s t i t u t e ,S h i j i a z h u a n g ,H e b e i0 5 0 0 4 3 ,C h i n a A b s t r a c t T h ef r e ev i b r a t i o np r o p e r t yo ft h eg e n e r a l i z e dc o n f o r m i n gt h i c k /t h i ne l e m e n tT M T w a ss t u d i e di nt h i sp a p e r .B yp r o g r a m m i n g ,t h eb a s i cn a t u r a lf r e q u e n c yw i t hd i f f e r e n tt h i c k n e s so fp l a t ew a sa c q u i r e db yas u b s p a c ei t e r a t i o nm e t h o d .B yc o m p a r i n gt h en u m e r i c a lv a l u e o fA B A Q U Sa n dt h et h e o r e t i c a ls o l u t i o n ,t h er e s u l t ss h o wt h a tt h eT M Te l e m e n th a sag o o d c o n v e r g e n c e ,h i g hn u m e r i c a ls t a b i l i t ya n de x c e l l e n ta p p l i c a b i l i t y u n n e c e s s a r yt op r e d i c tt h i c k o rt h i np l a t e i na n a l y z i n gf r e ev i b r a t i o no fp l a t e .An e wm e t h o df o rf r e ev i b r a t i o na n a l y s i sw a s p r o v i d e d . K e yw o r d s f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ;t h eg e n e r a l i z e dc o n f o r m i n ge l e m e n t ;n a t u r a lf r e q u e n c y ;f r e e v i b r a t i o n ;A B A Q U S 收稿日期2 0 0 5 1 1 一0 7 基金项目国家自然科学基金重大项目 5 0 4 9 0 2 7 2 ;国家重点基础研究发展规划 9 7 3 项目 2 0 0 2 C B 4 1 2 7 0 5 ;国家自然科学基金项目 1 0 5 7 2 1 4 7 ;教育部创新团体计划项目 I R T 0 4 0 8 ;教育部重大科技基金项目 1 0 4 2 7 作者简介曹金凤 1 9 7 8 一 ,女,山东省青岛市人,博士研究生,从事动力分析以及数值方法方面的研究. E - m a i l b o n n y .c j f 1 6 3 .c o r n T e l 1 3 5 2 0 4 3 7 8 9 2 万方数据 中国矿业大学学报第3 6 卷 现代工程设计的一个重要部分是分析和预测 结构物的动力特性,系统的固有振动特性 固有频 率与固有振型 是结构中重要的动力特性之一. 板的固有振动分析历来是研究者们非常关心 的问题.但是,由于厚板和薄板力学特性不同,求解 固有振动时不得不分成厚板和薄板分别计算,且二 者之间没有明确划分界限,固有特性的分析受到限 制.本文通过构造单元剪应变场的编程,对文献E I - I 中新型广义协调三角形厚薄板通用单元T M T 以 下简称T M T 单元 进行动力分析,克服了区分厚 板和薄板的缺陷,使得此单元在求解固有特性上具 有通用性,将其计算结果与理论解及大型有限元软 件A B A Q U S [ 2 1 的结果进行比较,结果表明T M T 单元在固有振动分析中有很好的收敛性和较高精 度,为板的固有振动分析提供了一种新的思路. 1 理论背景 按照克希霍夫 K i r c h i h o f f 经典理论建立的薄 板单元忽略了剪切变形及截面转动惯量对弯曲的 影响,在求高阶频率时,计算所得的固有频率及振 型将有很大的误差. 与薄板理论相比,基于M i n d l i n - R e i s s n e r 中厚 板理论的主要特点是考虑横向剪切变形的影响, 且在动力计算中需要考虑转动惯量的影响.厚板单 元经常会出现剪切闭锁现象,文献[ 1 ] 在构造单元 的剪应变场时,实现板在由厚变薄的过程中,剪切 变形自动变为零,从而实现厚薄通用[ 3 ] .而且 T M T 单元能够较好地处理有限元分析中常见的 网格畸变、剪切闭锁、奇异性等问题,在静力分析中 显示出优越的求解性能.本文在此单元的基础上进 行动力分析,求解固有频率与固有振型. 2 有限元方法求解固有振动 2 .1运动方程的建立 用有限元方法进行动力分析时,首先将物体离 散成许多单元,导出单元体的运动方程式,然后在 此基础上建立离散物体的整体有限元方程式. 哈密尔顿 H a m i l t o n 原理中,拉格朗日泛函 定义为H o L T ~U ~w d W 。, 1 胛1 式中T 为物体的动能,T 一⋯寺I D 五 T { 口 d V ;U 恻厶 胛1 为物体的应变能,U ⋯寺{ 8 T { D { s d V ;w a 为 掣厶 r r r1 阻尼力势能,W 。一⋯寺c { a T { 口 d V ;w 。为外力势 掣二 能,W 。一Ⅲ{ n T { F v d V 川{ 口 T { F s d S ;{ 口 为位 移列向量;{ s ,[ D ] 分别为结构应变列向量和结构 弹性常数矩阵;C 为黏性阻尼系数;{ F y ,{ F s 分别 为物体体积域内沿坐标z ,Y ,2 方向单位体积的体 积力和物体表面域内沿3 个坐标轴方向单位面积 的表面力分量. 由哈密尔顿原理可知,使拉格朗日泛函为极小 的位移才是真实解,故有 艿屺 2 L d t 一。. 2 首先对一个单元建立运动微分方程式,等参元 分析中 { a 一[ x - i { n 。 ; { a 一[ N ] { a 。 ; { 8 一E B - ] { 矗。 . 3 将式 3 代入式 1 中,应用哈密尔顿原理,在 时间 £。.t 。 上对L 积分并使其变分等于零,利用 矩阵[ D ] 的对称性,有 耻肌6 { n e T 驴] T [ D ] [ 明Ⅳ { a e 一 a { a 。 T m l D [ N ] T E N ] d V { 口。 一 艿 矗。 T 限[ Ⅳ] T E N ] d V { a e 一 8 { a e T m [ N ] T { F v } d V 一 删a e T f 『[ N ] T { F s d S 卜 利用分部积分公式,化简后可得 l ‘ 8 { n 。 T [ 玉,e ] { n 。 [ M 。] { 五。 J 。l [ C e ] { a 。 一{ R 。} d t 0 , 4 式中[ K e ] ,[ M 。] ,[ C ] ,{ R e } 分别为单元的刚度矩 阵、质量矩阵、阻尼矩阵和瞬变结点力列向量. 故得到动态的单元运动方程式 [ M 。] { a 。 [ C e ] { a 。 [ K e ] { a 。 一{ R 。 . 5 对单元运动方程式进行组合和叠加可得到整 体运动方程式.本文考虑结构固有振动分析,因此, 运动方程简化为 [ M 。] { 五。 [ K e ] { n 。 { 0 . 6 此时,转化为求特征值问题.考虑刚度矩阵与 质量矩阵的正定性及对称性,本文采用子空间迭代 法[ 5 3 进行特征方程的求解. 2 .2单元刚度矩阵和质量矩阵的求解 三角形厚薄通用板单元T M T 如图1 所示[ 6 ] . 万方数据 第1 期曹金凤等广义协调厚薄板通用单元T M T 的固有振动分析 9 3 图1三角形厚薄通用板单元 F i g .1 T h et r i a n g u l a re l e m e n to ft h et h i c k /t h i np l a t e 其结点位移向量 { a 。 一[ w 1 亿1 以1W 2 以2 以2 训3 亿3 丸3 ] T . 2 .2 .1 单元剪应变场构造 1 单元各边的剪应变 据厚梁基本公式,可以确定单元各边横向剪应 变如下 苁。一一粤[ 2 ∞一W 3 c l 识。一b x 丸 ‘1 c 。也。一b z 儿3 ] , 兀。一誓[ 2 叫。一硼, c z 虹一b 2 虹 ‘2 c 2 亿,一b z C y l ] , %一一譬[ 2 训。一w 。 c 。识。一b 3 丸, ‘3 c 。也。一b 。丸z ] . 式中以,,以。,‰分别为图1 中边2 3 ,3 1 ,1 2 的横向 剪应变;l 。,1 2 ,l 。分别为图1 中边2 3 ,3 1 ,1 2 的边长; b l 3 ,2 一Y 3 ;b z Y 3 一Y 1 ;6 32y l y z ;c 1 。z 3 一 .Z 2 ;C 22z 3 一z 1 ;c 3 。z l z 2 ;z 1 ,3 2 2 z 3 ’Y a ,岁2 Y 3 分别为3 个角点的坐标值 如图1 ; 壮g 1 - - 斋忙Ⅵ渤, 2 蚪2 寺 2 、 ~~ 式中h 为板厚;u 为泊松比. 可见,当h 一0 时,文一0 ,进而以一0 . 令髭一f 。y i i l ,2 ,3 ,则 { y 一[ 碟圪坞] T . 则有 式中r ’一 { ∥ r ‘{ a 。 , 0 2 8 22 8 3 0 一c z 如一f 3 炙 0 b 2 龟b 3 8 3 2 8 1 0 2 8 3 一c 1 岛0一C 3 良 b 1 艿l 0 b 3 国 2 8 1~2 疋0 一c 1 蠡一f 2 龟0 b l 艿1b 2 赴0 T 7 fC O c o s 一争,1 ,z 一≠, l c 。s s ,,了 一百h i ; I c 0 S b z 珂 等, Jc 。s 锄,y 一争5 『c o S ‰,西一詈, C O S S 3 ,y 一一F b 3 . { ≥ 一2 I _ 1 A _ F 。- 一b 。3 竺] { 嚣} .、 { 薹} 去f L - - b 兰一b i 一三0 ] { 蒌} ,。8 , l ‰J 2- _ | 【圪J { 蒌;} 一去L 兰一≥一蔷] { 篓 . f 以 以L 以z L z 以。L 。, 9 - r 2 1 A _ 。F b f 。3 上L ,z - f b z I L ,。3 ,1 上L ,。3 - f b 。3 L L ,1b f e L L l ;- - c b ,1 . f ] ; 呱,一去[ 瑟;笠二差;;二蓑;篙| 二兰; 匕匕 万方数据 9 4 中国矿业大学学报 第3 6 卷 i ,J ,m 1 ,2 ,3 . 2 .2 .2单元转角场构造 1 各边法向转角以和切向转角妒,的插值公 式 各边法向转角以设为线性分布,单元3 条边 2 3 ,3 1 ,1 2 的转角式为 以2 3 以2 3 2 L 2 以2 3 3 L 3 , 以3 1 以3 1 3 L 3 以3 1 1 L 1 , 以1 2 一 以1 2 1 L 1 以1 2 2 L 2 . 各边的切向转角以为 , 以3 一 妒m 2 L 。 识2 。 3 L 3 3 1 2 岛 n L z L 。, 似。1 以s , 。L 。 以3 。 1 L 。 3 1 2 赴 n L 3 L 1 , 以1 2 以。z 1 L 。 戗。z 2 L 2 3 1 2 良 1 1 3 L l L 2 , 式中n 一[ 2 一“ f .U i 硼。 一a % 儿 b i b 。 儿 纵 ] i ,J ,k 1 ,2 ,3 . 2 各边转角以和驴,的插值公式 利用各边 以,以 和 亿,丸 之间的关系,可 求得各边转角以,以的表示式 以。。一以。L 。 啦。L 。 兰9 1 2 艿。 r l L L 。, 九3 1 一以3 L 3 以1 L 1 也1 2 一亿1 L 1 识2 L 2 F 一一立 1 2 A 暑 6 2 L s 6 3 L z 一等 c 2 L 。 c 3 L 2 M 1 以,。一以1 L 。 儿。L 2 一学 1 2 如 r 3 L 1 L 2 . 3 单元域内转角以和驴,的插值公式 根据各边转角的表示式,进行插值可得到单元 域内转角的插值表示式 以 以1 L l - 4 - 以2 L 2 以3 L 3 _ , 3 C 1 1 2 艿1 r 1 L 2 L 3 ●1 1 3 c z 1 2 艿2 / 2 L 3 L 1 毒堕 1 2 允 F 3 L l L 2 , ‘2 ‘3 以丸。L , 以2 L 丸。L 。一号翌 1 2 艿, r ,L 2 L 。一 _ 3 b 2 1 2 艿2 F z L 3 L l 一学 卜2 d s F s L m L ‘2t , 3 2 .2 .3T M T 单元的刚度矩阵 单元曲率和扭率为 一憾, 利用微分公式 熹一l b 击 6 z 毫 6 s 老 , 未一去 c 击 c z 壶 Q 击 .瓦一砑I q 石州2 面“ 3 函卜 可得K 一[ 曰。] { a 。 , 式中[ B b ] 一[ B 2 ] F A G , 严b ,o o 6 z o o6 3 o ] [ 曰2 ] 一一去I o o f l oo c z oo f 3 { 5 詈 吼 6 1 L 。 一鲁‰L ,托L 3 M z 嚣 6 1 L z 6 2 L 一等‰L z 托L 1 M 3 r0 002 一c 1b l2 一C 1b 1 ] G I2 一c 2b 2 0 0 02 一C 26 2I . L _ 2 一c 3b 3 2 一C 3b 3 000j 单元刚度矩阵K e 由两部分组成 [ K e ] 一[ K e ] [ K e ] , 式中[ 茂] 为弯曲刚度矩阵, [ K e ] 一 I f 曰吾D 。B 。d A ;[ 蜒] 为剪切刚度矩阵,[ 蜒] 从构造过程中可以看到,当板厚h 一0 时, L L L L n n 如 玉 2 2 一 一 2 3 一 乳一如弘一如 L L L L n n 函 南 2 2 一 一 1 2 一 曲一厶站一易 一 一 L L 丸 以 L L 以 以 一 一 孙 ;; 以 以 AdBD R肛以 L L L 巩 玩 玩]111J 尻 阢 阮 涵 叫 叫 一 o o 圯 l ●- 3 一 笳 3 ● 0 0 一 O L L L 一 6 6 6 岛 一 一 一 心 O O Q Q 白 一 一 [ [ [ 扣扣扣 忙 一 l I 尬 心 呱 万方数据 第1 期曹金风等广义协调厚薄板通用单元T M T 的固有振动分析 T M T 单元自动退化为薄板单元,实现厚薄通用.划分单元数目动态分配数组空间,合理利用内存, 2 .2 .4 T M T 单元的质量矩阵具有很好的通用性,且所有结果的计算只需修改板 T M T 单元采用一致质量矩阵厚一个变量即可求得结果,实现厚薄通用.一方面 [ M 。] 一%[ N T ] [ N ] d A , 比有限元软件A B A Q U S 要方便,A B A Q U S 软件 性中板单元类型分薄板 壳 单元、一般板 壳 单元和 式中l D 为单元的密度.[ Ⅳ] 为单元的形函数矩阵,厚板 壳 单元,计算时不仅要改变板厚值,而且要 [ N ] 一[ L ,00L 。00L 。0o ] .更改单元类型和数值积分参数,十分不便. z 3 ,.黧景苎竺.之妻妻警- 有频率睡目忙睹 3 数值算例1 凿- W 将求得的单元刚度矩阵[ K eJ 、干/。- 质量矩阵 。 一一一~ [ M e ] ,根据约束条件,组集口3 总体刚度矩阵和总体计算边长为1m 各向同性均质固支方板的固 质量矩阵,代人结构运动方程式 6 ,进行特征值的有频率.泊松比u 一0 .3 ,密度为78 0 0k g /m 3 ,弹性 求解.模量E 一2 0 6G P a .板的厚度从0 .0 0 1I T I 变化为 为了验证上述算法效果,本文采用动态数组和0 .3I n ,本程序算得的基频值与理论解和大型有限 f o r t r a n 9 5 [ 8 3 编程计算,算例表明本算法可以根据元软件A B A Q U S 的结果比较如表l 昕示. 表1方板在不同网格、不同板厚下固有频率值 四边固支 T a b l e1B a s i cn a t u r a lf r e q u e n c yo fs q u a r ep l a t eu s i n gd i f f e r e n tm e s h s a n dd i f f e r e n tt h i c k n e s so fp l a t e e d g e sf i x e d - s u p p o r t H z 注1 薄板理论解参考文献[ 9 ] ,厚板理论解参考文献[ 1 0 ] ;2 A B A Q U S 求解结果,薄板采用S T R l 3 单元,中厚板、厚板采用S 3 R 单元 图2 分别绘出T M T 单元以及A B A Q u s 中针可以看出计算结果跟理论解的吻合情况. 对板厚度不同采用不同单元得出基频值,从图2 中 基 皇 巢 螭 受 鬓 埔 单元数 a 板厚为0 .0 0 1m 05 01 0 0 1 5 02 0 0 2 5 0 单元数 d 板厚为0 .2 m 单元数 b 板厚为0 .0 1m } A B A Q U S .- T M T .- 理论解 受 冀 嚼{ 1 9 N1 .8 要 塞1 .7 蝴 1 .6 1 .5 单元数 c 板厚为0 .1 m 05 01 0 0 1 5 02 0 0 2 5 0 单元数 e 板厚为0 .3 m 图2不同板厚的基频值 F i g .2 B a s i cn a t u r a lf r e q u e n c yo fd i f f e r e n tp l a t et h i c k n e s s 从表1 和图2 中可以看出,在固支方板分析 中,T M T 单元得到了较高精度的基频数值解答 尤其对于薄板 ,结果优于或接近大型通用有限元 软件A B A Q U S 的结果,且表现出较高的收敛性和 万方数据 中国矿业大学学报第3 6 卷 数值稳定性;在厚板中,收敛性稍差的原因可能是 由于在程序中未考虑板在振动过程中单元间相互 的挤压变形所致. 4 结论 通过构造单元剪应变场的F o r t r a n 9 5 编程对 T M T 的动力特性进行了分析,数值算例表明 T M T 单元在板的固有振动方面有较高的收敛性 和很好的实用性. 1 通过构造单元的剪应变场[ 1 1 | ,求得单元的 剪切刚度矩阵,进而求得板单元的刚度矩阵,使得 板由厚变薄过程中,剪切变形能够自动减小,直至 为零,无需区分厚板和薄板,实现厚薄通用. 2 数值算例结果表明T M T 单元具有较好的 收敛性和数值稳定性,可作进一步推广,比如加入 到A B A Q u s 单元库中,填补大型有限元软件无厚 薄通用板壳单元的空白. 3 广义协调理论构造的新型单元在静力分析 中取得了较好的精度和收敛性,本文在动力分析中 予以尝试,分析结果接近或优于大型有限元程序 A B A Q U S 的结果. 致谢感谢北京市岩石混凝土重点实验室对本文研 究的支持与帮助 参考文献 E l } 岑松,龙志飞.对转角场和剪应变场进行合理插 值的厚板元[ 刀.工程力学,1 9 9 8 ,1 5 3 1 - 1 4 . C E NS o n g ,L O N GZ h i f e i .T h i c kp l a t ee l e m e n tb a s e d o np r o p e ri n t e r p o l a t i o no fr o t a t i o na n g l ea n ds h e a r s t r a i nf i e l d sE J ] .E n g i n e e r i n gM e c h a n i c s ,1 9 9 8 ,1 5 3 1 一1 4 . [ 2 ] 庄茁,张帆,岑松,等.A B A Q U S 非线性有 限元分析与实例[ M ] .北京科学出版社,2 0 0 5 1 6 7 - 1 7 5 . [ 3 3 B U XM ,L O N GYQ .Am e t h o df o rd e r i v a t i o no f r e c t a n g u l a rd i s p l a c e m e n t b a s e de l e m e n to ft h i c k /t h i n p l a t e s [ J ] .A c t aM e c h a n i c sS i m i c a ,1 9 9 3 ,9 2 1 6 3 1 7 0 . [ 4 ]刘 更.结构动力学有限元程序设计[ M ] .北京国 防工业出版社,1 9 9 3 4 - 9 . [ 5 ]巴特KJ ,威尔逊EL .有限元分析中的数值方法 [ M 3 .林公豫,罗恩,译.北京科学出版社,1 9 8 5 5 1 1 - 5 1 4 . [ 6 3 龙志飞,岑松.有限元法新论原理一程序一进展 [ M ] .北京中国水利水电出版社,2 0 0 1 】4 3 1 4 7 . [ 7 ] 吴鸿庆,任侠.结构有限元分析[ M ] .北京中国 铁道出版社,2 0 0 0 4 4 6 6 . [ 8 ] W H I H E L MG .F o r t r a n9 5l a n g u a g eg u i d e [ M ] .L o n d o n S p r i n g - V e r l a gL o n d o nL i m i t e d ,1 9 9 6 4 3 1 4 7 . 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