基于广义协调条件的通用矩形平板壳元.pdf

第3 4 卷第1 期 2 0 0 5 年1 月 中国矿业大学学报 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆．T e c h n o l o g y V 0 1 ．3 4N O ．1 J a n ．2 0 0 5 文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 5 0 1 0 0 6 7 0 4 基于广义协调条件的通用矩形平板壳元 龙志飞，刘学林 中国矿业大学力学与建筑工程学院，北京1 0 0 0 8 3 摘要构造了一种新的厚壳和薄壳通用的矩形平板壳元G C T T R S 2 4 ．其膜元部分采用具有旋转 自由度的广义协调矩形膜元G R l 2 ，弯曲部分采用增补挠度场和剪应变场的厚板和薄板通用矩 形单元A D S l ．算例表明，此种单元列式简单、精度高、效率高、收敛性好． 关键词有限元；平板壳元；剪切闭锁；广义协调；板弯曲单元A D S l ；膜元G R l 2 中图分类号o3 4文献标识码A R e c t a n g u l a rF l a t S h e l lE l e m e n tf o rT h i c k a n dT h i nS h e l l sB a s e do nG e n e r a l i z e dC o n f o r m i n gC o n d i t i o n s L O N GZ h i f e i ，L I UX H e l i n S c h o o lo fM e c h a n i c sa n dA r c h i t e c t u r e ，C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g y ，B e i j i n g1 0 0 0 8 3 ，C h i n a A b s t r a c t An e wk i n do fr e c t a n g l ef l a t s h e l le l e m e n t ，G C T T R 2 4 ，f o rt h i c ka n dt h i ns h e l l sw a s c o n s t r u c t e d ．T h eg e n e r a l i z e dc o m p a t i b i l i t yr e c t a n g l em e m b r a n ee l e m e n tG R l2w i t hr o t a t i o n a I m o t i o nw a su s e da sm e m b r a n ee l e m e n t s ，a n dt h eb e n d i n ge l e m e n tA D S lf o rt h i c ka n dt h i np l a t e s w i t hc o m p l e m e n t a r yd e f o r m a t i o na n ds h e a rs t r a i nf i e l d sa st h eb e n d i n gp a r to fe l e m e n t s ．N u m e r i c a l e x a m p l e ss h o wt h a tt h i sk i n do fe l e m e n ti sr e l a t i v e l ys i m p l ei nf o r m u l a t i o n ，h i g hi nc o m p u t a t i o n a c c u r a c ya n de f f i c i e n c y ，a n de x c e l l e n ti nc o n v e r g e n c e ． K e yw o r d s f i n i t ee l e m e n t ；f l a t - s h e l le l e m e n t ；s h e a rl o c k i n g ；g e n e r a l i z e dc o n f o r m i n g ；b e n d i n g p l a t ee l e m e n tA D S l ；m e m b r a n ee l e m e n tG R l2 高性能的有限元模型对于壳体结构的分析是 非常重要的，平板壳元是应用最广的壳体单元，其 构造由平面膜元和平板弯曲单元组合而成．平板壳 元具有方法直观、列式简单、易于处理复杂荷载和 边界条件等优点，因此在工程计算中得到广泛应 用．但常规平板壳元也有不足1 当相邻单元共面 时，可导致总刚发生奇异；2 中厚壳体单元当计算 薄壳问题时发生剪切闭琐现象．本文采用具有旋转 自由度的广义协调矩形膜元G R l 2 E 1 ] 和增补挠度 场、剪应变场的厚薄板通用矩形单元A D S I [ 2 | ，旨 在进一步构造新型的厚薄通用的矩形平板壳元，消 除常规平板壳元的弱点． 1单元列式 图1 为局部坐标系下矩形平板型壳体单元，由 平板弯曲单元和平面膜元组合而成．其结点自由度 定义为 a e 一[ 口ia 。ea e 。口；] T ， 1 a ，e - - [ 乳i V iW i 如如如] T ， i 1 ，2 ，3 ，4 ． 用口基表示和平面膜元相关的结点位移矢量，用n ； 表示和平板弯曲单元相关的结点位移矢量，即 口i [ 口；1口盖2口备3口量4 ] T ， 口嘣e u ，口i 如] T ， 收稿日期2 0 0 4 ～0 2 2 9 基金项目国家自然科学基金项目 1 0 2 7 2 0 6 3 作者简介龙志飞 1 9 5 7 一 ，男，湖南省安化县人，教授，工学硕士，从事结构数值计算方面的研究 万方数据 6 8 中国矿业大学学报 第3 4 卷 一 一。 2 J 平板弯曲单元A D S l 矩形膜元G R l 2 图1 局部坐标系下的矩形平板壳元组合示意图 F i g 1 C o m b i n a t i o no fr e c t a n g l ep l a t s h e l le l e m e n ti nl o c a lc o o r d i n a t e n ；一[ 口；1 口；2n ＆谎4 ] T ， 口￡产№i 以，如] T ， i 一1 ，2 ，3 ，4 ． 1 ．1 增补挠度场和剪应变场的厚薄板通用矩形单 元A D S l 厚薄通用矩形单元有1 2 个自由度 见图1 { a b } 。一[ 口南a 。e 2a 。e 3n ；4 ] T ， 2 每个角点含有3 个位移 吼e i w 。以以门1 净1 ，2 ，3 ，4 ， 3 式中W i ，如，％分别为角点i 滓1 ，2 ，3 ，4 的挠度 和转角． 根据厚梁理论嘲导出单元内剪应变场 y } [ 以以] T [ 曰。] { 口b 。一∑[ 曰。l { 口；， ， 4 式中[ 胰] 一E s 。。B 。B 。。B 。。] 一 式中[ 础] 一号 [ 聪] 一 『一艿1 N 1 Ⅳ2 ／a 0 d 1 Ⅳ1 Ⅳ2 L 一如 Ⅳ1 Ⅳ4 ／b一艿2 Ⅳ1 Ⅳ4 0 ～艿l N l N z ／a 0 一d 1 Ⅳ1 Ⅳ2 ～d 2 Ⅳ2 Ⅳ3 ／b一艿2 Ⅳ2 Ⅳ3 0 乱 Ⅳ3 Ⅳ4 l a0 3 l Ⅳ3 Ⅳ4 艿2 N 2 十N 3 ／5- 3 2 N 2 N 3 0 ～艿l N 3 N 4 ／a 0 艿I Ⅳ3 Ⅳ4 ] 艿2 Ⅳ2 Ⅳ3 ／b 一3 2 N l Ⅳ4 oj5 ∞’ 6 M i 1 1 ￡拿 1 卯 浮1 ，2 ，3 ，4 ． 7 单元的曲率场h 5 3 由两部分组成 4 { J c 一{ 心b 心， T ∑[ 曰＆] { 瓯， f 1 学 1 Ⅷ一知拿鲁 1 城钒l r ／N 3 铲7 i r 、．1 ￡乒 穹3手23724ao 一罟 1 ￡手 1 3 r a t ／ 劳￡研7 一鲁 3 卅2 7 ／_ 1 芝 3 针2 ；e i 川 一募姒1 r ／i t ] 。 一喾 1 切 ～万3 3 z 玑7 1 ￡拿百3 3 z r ] 1 锚 。 警m 2 m 2 - 3 r ] z ] 一学 2 嘲z 磐 2 z 单元刚度矩阵 『x 。鬈。x 。K 2 。] 鼢一憾‰b 2 慧甜 k ；。K 。置。K 。j 式中[ 鹛] 。一I j 计[ 曰n 门T [ D b ] [ 曰w I d A 忆。E B 。] T I - D 。] E B 即I d A ； [ B K ] 一[ 曰＆] [ 曰毒] ； 1 1 1 2 1 3 8 i l ，2 ，3 ，4 ； 9 i 一1 ，2 ，3 ，4 ． 1 0 阻， 赫㈠L 00 ，甜／2 J ⋯， [ D b ] 蒜与| V ， 。} 一4 ， 】一y E D s ] 一西S E t E ㈡； Ⅲ， E 为弹性模量；v 为泊松比；t 为单元厚度． 1 ．2 具有旋转自由度的广义协调矩形膜元G R l 2 矩形膜元共有1 2 个自由度，每个角点含有3 个位移 ⋯～一川～一 羹 仃 ] J * h曰 [ 。∑Ⅲ 万方数据 第1 期龙志飞等基于广义协调条件的通用矩形平板壳元 n 。e 一[ 碥V 如] T i 一1 ，2 ，3 ，4 ， 1 6 式中％口i 为线自由度；如为附加平面内刚体旋转 自由度． 单元位移场为 u - N a 备- yN ，口。e ， 1 7 百 式中Ⅳ一I N ，N 2N 3N 4 ] ， 1 8 F N 0N 删] N i L0 Ⅳ0 Ⅳ砌j ‘剐 2 ’3 ，4 ’； Ⅳ 一 1 鼻拿 1 研7 ； 1 9 N u 。f 一詈 1 7 2 1 ￡手 研； 2 0 N ，＆一詈 1 一手2 1 玩7 ￡； 亭，j 7 为无量纲坐标，手一x ／a ，7 一y ／b ；车，玑 i 一1 ，2 ， 3 ，4 分别为单元结点的无量纲坐标． 进一步导出单元刚度矩阵为 繇一| f 。B T m D m B m d A ， 2 1 ’ 式中B 。为膜元应变刚度矩阵；D 。为膜元的弹性 矩阵． 1 ．3 平板壳元G C T T R S 2 4 在局部坐标下的单元 刚度矩阵 壳体面内作用产生的位移变形和弯曲作用产 生的位移变形两者之间互不影响，本文构造的平板 壳元G C T T R S 2 4 引入了旋转自由度，每个结点含 有3 个线自由度和3 个转角自由度；此单元由平面 膜元G R l 2 单元刚度矩阵和平板弯曲单元A D S l 单元刚度矩阵组合而成，根据式 1 所定义的自由 度的表达式，局部坐标下的单元刚度矩阵为 I 忌器是恐0 0 0 五器I l 蝴五易0 00 五器I e j 。0 。0 糍l b ㈡b31 0K j ，c 2 2 ， 。一I1I ， } o o殇如正3 o J 0 0砧，砖砧。0 瞻器量曼0 00 矗器_ J 式中四 i ，J 一1 ，2 ，3 为平面膜元G R l 2 单元刚度 矩阵中的元素；砖 ，J 一1 ，2 ，3 为平板弯曲单元 A D S l 的单元刚度矩阵中的元素． 2 单元刚度矩阵由局部坐标系向整体坐标 系转化 整体坐标下的单元刚度矩阵和等效结点力向 量分别为 髟，e r T K e T ， 2 3 R “一T 1 R 8 。 2 4 式中r 为2 4 2 4 的正交矩阵；K 。为局部坐标系下 的刚度矩阵；露为局部坐标系下的等效结点向量． 3 利用算例验证单元G C T T R s 2 4 的性能和 计算精度 例1S c o r d e l i s L o 屋顶 图2 所示为圆柱壳屋顶，两端由刚体隔板支 撑，受自重荷载作用．几何参数和材料参数在图2 中给出．由于结构的对称性，取1 ／4 进行计算．本文 采用深壳理论[ 6 3 解做为比较值，表1 中列出了几种 单元计算结果，可以看出，本文单元具有更好的收 敛性和计算精度． 刚体隔板 胄t 之。乏} ”g 。0 9 ‘0 7 0 ／单位面积 ．2 5．早伍皿税 图2S c o r d e l i s L o 屋顶 F i g ．2 S c o r d e l i s - L or o o f 表1 ’自由边中点竖直位移 矩形元 T a b l e1T h ev e r t i c a ld i s p l a c e m e n ta tt h em i d d l e p o i n to ff r e es i d e s r e c t a n g l ee l e m e n t 注A Q R 8 为应力杂交． 例2 下面就1 6 1 6 网格重新计算S c o r d e l i s L o 屋顶问题，使壳体厚度由薄逐渐变厚，来考虑单 元对厚度变化的适应性．表2 给出了A B A Q U S 中 3 个单元的计算结果随厚度的变化，其中比较值以 以下方法确定 如果t ／R 1 0 ～，比较值取为通用壳单元S 3 R 在6 4 x6 4 网格下的解． 万方数据 7 0中国矿业大学学报 第3 4 卷 表2自由边中点挠度随壳体厚度的变化 T a b l e2T h ed e f o r m a t i o nc h a n g ew i t hs h e l lt h i c k n e s sa tt h em i d d l ep o i n to ff r e es i d e s t ／R S T R l 3S 3 RG M S T l 8 [ 9 3 比较值 G C T T R S 2 4 本文毹 例3四边固支方板在均布荷载作用下板的 厚度从1 0 - 1 1 到0 ．3 5 ，取泊松比为0 ．3 ．计算结果见 表3 ． 表3 四边固支方板在均布荷载作用下 的中心挠度系数 q l4 ／1 0 0 D T a b l e3T h ed e f o r m a t i o nc o e f f i c i e n tf o rf u l l yc l a m p e d s q u a r ep l a t eu n d e ru n i f o r mI o a d q 1 4 ／1 0 0 D 厚跨比f ／z解析解文献E l O ]G C T T R S 2 4 本文解 1 0 1 10 ．1 2 650 ．1 2 900 ．1 2 63 1 0 30 ．1 2 650 ．1 2 930 ．1 2 63 1 0 一20 ．1 2 650 ．1 2 930 ．1 2 64 0 ．10 ．1 4 990 ．1 5 210 ．1 4 82 0 ．1 50 ．1 7 98 0 ．1 8 01 0 ．1 7 65 0 ．2 00 ．2 1 670 ．2 1 810 ．2 1 52 0 ．2 50 ．2 6 750 ．2 6 580 ．2 6 4l 0 ．3 00 ．3 2 270 ．3 2 290 ．3 2 33 0 ．3 50 ．3 9 510 ．3 8 960 ．3 9 29 4 结论 本文构造出的新型厚薄通用矩形平板壳元 G C T T R S 2 4 ，具有以下特点单元列式简单、计算精 度高、收敛性好、适用于薄板、厚板和壳体，是一种 高效实用的高性能单元，可应用于实际工程中．平 板壳体单元是用板单元近似描述曲面壳，当曲面曲 率较大时，粗分网格时，存在一定误差，但是随着网 格的细化，平板壳体单元的精度能满足工程的需 要． 参考文献 [ 1 ] 龙驭球，须寅．广义协调平板型矩形壳元[ J ] ．计算 力学学报，1 9 9 4 ，1 1 2 1 5 4 1 6 0 ． L o n gYQ ，X uY ．G e n e r a l i z e dc o n f o r m i n gf l a t r e c t a n g u l a rt h i ns h e l le l e m e n t [ J ] ．C o m p u t a t i o n a l S t r u c t u r a lM e c h a n i c sa n dA p p l i c a t i o n s ，19 9 4 ，11 2 】5 4 一】6 0 ． [ 2 ] 龙志飞，王海霞．将薄板矩形单元扩展为厚薄板通用 单元的一般方法[ J ] ．工程力学，2 0 0 0 ，1 7 4 3 7 4 3 ． L o n gZF ．W a n gHX ．Au n i v e r s a lm e t h o d f o r c o n s t r u c t i n gr e c t a n g u l a re l e m e n t sf o rt h i na n dt h i c k p l a t e s [ J ] ．E n g i n e e r i n gM e c h a n i c s ，2 0 0 0 ，1 7 4 3 7 4 3 ． [ 3 ] 胡海昌．弹性力学的变分原理及其应用[ M ] ．北京科 学出版社，1 9 8 1 ． [ 4 ] 龙志飞，王海霞．增补转角场和剪应变场的厚薄板通 用矩形单元[ J ] ．中国矿业大学学报，2 0 0 1 ，3 0 1 7 7 8 1 ． L o n gZF 。W a n gHX ．T h i c k ／T h i nr e c t a n g u l a rp l a t e e l e m e n tw i t hc o m p l e m e n t a r yr o t a t i o na n ds h e a rs t r a i n f i e l d s [ J - I ．J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g y ，2 0 0 1 ，3 0 1 7 7 8 1 ． [ 5 3 龙驭球，龙志飞，岑松．新型有限元法论[ M ] ．北京 清华大学出版社，2 0 0 4 ． [ 6 ] 黄克智．板壳理论[ M ] ．北京清华大学出版社，1 9 8 7 ． [ 7 3M a c n e a lRH ，H a r d e rRL ．Ap r o p o s e ds t a n d a r ds e t o fp r o b l e m st ot e s tf i n i t ee l e m e n ta c c u r a c y [ J ] ．F i n i t e E l e m e n ti nA n a l y s i sa n dD e s i g n ，19 8 5 1 3 - 2 0 ． [ 8 3A m i n p o u rMA ．A na s s u m e d s t r e s sh y b r i d4 - n o d e s h e l le l e m e n tw i t hd r i l l i n gd e g r e e so ff r e e d o m [ J ] ． I n t ．J ．N u m e r ．M e t h ．E n g n g ，1 9 9 2 3 3 1 9 3 8 ． [ 9 ] 陈永亮，岑松，姚振汉，等．厚薄通用三角形三结点 平板壳元T S L T l 8 [ J ] ．清华大学学报 自然科学版 ， 2 0 0 3 ，4 3 8 1 0 6 9 1 0 7 3 ． C h e n gY L ．C e nS 。Y a oZH ，e ta 1 ．T r i a n g u l a rf l a t s h e l le l e m e n tT S L T l 8f o ra n a l y s i so ft h i c ka n dt h i n s h e l l sE J ] ．J ．T s i n g h aU n i v S c i ＆．T e c h ，2 0 0 3 ，4 3 8 1 0 6 9 1 0 7 3 ． [ 1o ] L o n gYQ ，X iF ．Au n i v e r s a lm e t h o df o ri n c l u d i n g s h e a rd e f o r m a t i o ni nt h et h i np l a t ee l e m e n t [ J ] ．I n t ． J ．N ．u m ．M e t h ．E n g ，1 9 9 2 3 4 1 7 1 1 7 7 ． 责任编辑邓群 万方数据