基于几何信号小波分析的网格编辑.pdf

第3 7 卷第2 期中国矿业大学学报 V 0 1 ．3 7N o ．2 2 0 0 8 年3 月J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y M a r ．2 0 0 8 基于几何信号小波分析的网格编辑 赵向军1 ’2 ，夏士雄1 1 ．中国矿业大学计算机科学与技术学院，江苏徐州2 2 1 1 1 6 ； 2 ．徐州师范大学计算机科学与技术学院，江苏徐州2 2 1 1 1 6 I 摘要提出了基于几何信号频谱分析的网格编辑新方法；该方法结合了自由变形 F F D 、层次细 节编辑、几何信号处理以及小波变换等方法的优点，用简化模型作为几何代理，可以用较少操作 完成编辑；将几何代理上的形变量作为几何信号进行小波分析，可以很好地分离出局部细节信 息，方便进行分区信号处理工作；提出了允许修改代理模型拓扑结构的基于一致性参数化的网格 编辑方法，以及保频谱自适应采样方法；并将基于小波变换的编辑方法进行了推广，将其应用于 球面小波编辑之中，获得了较为满意的效果． 关键词网格编辑；球面小波；自适应采样；数字几何处理 中图分类号T P3 9 1 ．4 1 文献标识码A文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 8 0 2 0 1 8 6 一0 6 M e s hE d i t i n gB a s e do nG e o m e t r i cS i g n a lW a v e l e tA n a l y s i s Z H A O X i a n g - j u n l ．X I AS h i x i o n 9 1 1 ．S c h o o lo fC o m p u t e rS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y 。C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g8 LT e c h n o l o y ， X u z h o u ，J i a n g s u2 2 1 1 1 6 ，C h i n a } 2 ．S c h o o lo fC o m p u t e rS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y ，X u z h o uN o r m a lU n i v e r s i t y ，X u z h o u ，J i a n g s u2 2 11 1 6 ，C h i n a A b s t r a c t An o v e ls c h e m eo fm e s he d i t i n gb a s e do nw a v e l e ta n a l y s i si sp r o p o s e d ．O u ra p p r o a c h h a s t h em e r i t so fan u m b e ro ft e c h n i q u e s ，s u c ha sF F D ，L o D ，D G Pa n dw a v e l e ta n a l y s i s ．W i t h s i m p l i f i e dm o d e l sf r o mo r i g i n a lm e s h e su s e da sg e o m e t r i cp r o x i e s ，e d i t i n gt a s k sc a nb ec o m p l e t e dw i t hf e w e ro p e r a t i o n s ．D e t a i l e dl o c a li n f o r m a t i o nc a nb ed e r i v e de l e g a n t l y , - w h i l eu s i n g s h a p ev a r i a b l e sa sg e o m e t r i cs i g n a l so nw h i c hw a v e l e ta n a l y s i si sc o n d u c t e d ．T h i sp r o v i d e sa c o n v e n i e n tm e t h o dt od i v i s i o n a ls i g n a lp r o c e s s i n g ．I t sc r u c i a ln o v e l t yl i e s i nt h ep r o p o s a lo f m e s he d i t i n gb a s e do nc o n s i s t e n tp a r a m e t e r i z a t i o n ，w h i c ha l l o w sf o rm o d i f i c a t i o no ft h et o p o l o g i e a ls t r u c t u r eo ft h ep r o x ym o d e l ．W ea l s op r o p o s ean e wa d a p t i v ea p p r o a c hf o rb e t t e rs a m p i i n go ft h eg e o m e t r i cs i g n a l so ft h eo r i g i n a lm o d e l ．A sa ne x t e n s i o no fo u rs p e c t r u me d i t i n g s c h e m e ，w ea p p l i e da ne d i t i n gp r i n c i p l et om e s he d i t i n g ，b a s e do ns p h e r i c a lw a v e l e t sw i t hs a t i s f a c t o r yr e s u l t s ． K e yw o r d s m e s he d i t i n g ；s p h e r i c a lw a v e l e t ；a d a p t i v es a m p l i n g ；d i g i t a lg e o m e t r i cp r o c e s s i n g 网格曲面是几何造型领域使用频率最高的形 体表示方法之一，因其数学原理简单，表示直观而 深受使用者青睐．但是，由于网格曲面的分片线性 等离散特点，使得在对其编辑过程中宏观特征和局 部细节的控制常常难以兼顾，光滑性不易保持．因 此，形体变形和编辑方法作为网格曲面的核心技术 之一，成为近年来图形学研究前沿的热门课题．几 何造型中一类典型的形体编辑思路是从原始稠密 收稿日期2 0 0 7 0 3 1 4 基金项目国家自然科学基金项目 6 0 3 7 3 0 3 4 作者简介赵向军 1 9 7 4 一 ，男，河南省林州市人，副教授，工学博士，从事数字几何处理、虚拟现实与可视化、虚拟地理环境与三维G I S 等方面的研究． E - m a l l x j z h a o c a d ．z j u ．e d u ．c l l T e l 0 5 1 6 8 3 4 0 3 5 3 1 万方数据 第2 期赵向军等基于几何信号小波分析的网格编辑 1 8 7 网格中生成一个逼近自身的简单形体，通过对这个 具有较少细节特征的几何代理实施一系列编辑操 作后，自动将形变信息传递到原始网格上，从而完 成原始模型的编辑操作．传统的几何自由变形方 法，如自由变形 f r e e - f o r md e f o r m a t i o n ，F F D [ 1 { ] 及多分辨率编辑[ 3 { 1 等，即为该方法的典型代表．随 着三维几何获取设备的广泛使用，为有效对获取数 据进行处理，文献[ 5 3 提出了基于多分辨率模型的 信号处理概念，文献[ 6 - 7 ] 分别提出了平面和球面 参数化基础上的频谱分析方法．本文将几何信号处 理用于网格编辑之中，提出了基于几何信号小波分 析的网格编辑框架． 利用分治策略分解封闭模型为局部开网格，是 几何处理较为常用的手段，又由于三角网格曲面是 多边形网格曲面的最基本形式．因此，本文主要围 绕与单位圆盘同胚的三角网格曲面展开讨论． 1 网格曲面小波编辑框架 基于几何信号小波分析的网格编辑将几何形 体的编辑分为空域编辑和频域处理两部分．在空域 内完成对简化模型代理的编辑，并将简化模型的形 变量作为数字几何信号，放到频域内进行处理，如 滤波、增强，以及与原始模型位置几何信号频谱的 融合等；而后合成频谱信号逆向变换到空域内，从 而完成原始模型的编辑．按照网格曲面小波编辑的 总体构思，可构造网格曲面小波编辑方法的主要步 骤如下 1 构造原始网格模型M 的参数化网格P ； 2 利用网格简化算法将网格M 简化为M t ，参 数化网格P 同步简化为P ；； 3 利用本文提出的保持参数化几何一致性的 网格编辑方法，将简化网格M 变形为新网格模型 M 7 ；，此时参数网格仍为P ；，但是它所携带的几何 信号已经发生了变化； 4 利用本文的保频谱自适应采样方法，对转 移到参数化网格上的几何信号自适应采样，从而得 到规则几何信号； 5 对规则信号进行频谱分析，得到各自的频 谱f M ，f M 焉A ，耐i ； 6 将原始模型、简化模型以及形变信号等频 谱信息进行融合； 7 最后经过频谱逆变换，将合成频谱信号变 换到空域内，逆采样之后得到与原始模型拓扑一致 的目标模型M ，． 直接将形变信息传递到原始模型上，常常会出 现毛刺．本文的频谱编辑方法可有效解决这一问 题．将原始模型M 、代理简化模型M 以及修改后 的代理模型M 7 ；分别处理，将简单的信号差值和叠 加运算，M 知；一 推广为更一般的合成运 算s 厶，A ，“； ．进一步，将M ，M f ，M ，；此三相 关模型推广为具有一致性参数化对应关系的任意 3 个模型，且可分别对其进行数字几何信号处理， 则可得如图1 所示的广义的基于几何信号频谱编 辑的处理流程． 亟吁l 匦吁塑嘲警应矗‰亚，匝 编辑后的 网格M ’频谱一l 塑磴 掣型卜彘坛眦巫j 鞠麴豆陋 图1基于几何信号频谱分析的网格编辑流程 F i g ．1 M e s he d i t i n gd i a g r a mb a s e do ng e o m e t r ys i g n a lw a v e l e ta n a l y s i s * * ．表示3 个模型的一致性参数化 上述小波编辑框架中，采用了自适应采样和小 波变换频谱分析方法．单纯采用规则采样网格R 可以完成对参数域上几何信号的采样，但是，由于 模型从三维展平到二维上时，网格以及其所携带的 几何信号都发生了不同程度的畸变．为了尽量减少 畸变量，可以构造自适应采样网格进行纠正，本文 将规则网格变换为自适应采样网格尺7 ．小波变换 采用衰减较快的紧支小波作为基函数，能有效地分 离出局部高频和全局低频信息，更适合几何信号的 处理，其详细原理见文献[ 8 ] ． 2 网格编辑的几何一致性参数化 通常情况下，简化几何代理顶点稀疏对减少编 辑交互量有利，但是，顶点数过少，细节刻划变得困 难．为此，本文提出了基手一致性参数化的几何代 理拓扑修改方法．在代理模型拓扑修改过程中，通 过保参数化几何一致性的策略，该方法允许在几何 代理上交互增加顶点．保一致性 本文指简化网格 和原始网格的几何一致性 策略维持了原始模型 M 和代理模型M ，的一一映射不变，因此，不影响 频谱编辑的后继操作，却方便了对几何代理的编辑 万方数据 1 8 8中国矿业大学学报第3 7 卷 控制．利用原始网格模型携带参数化信息的同步简 化法[ 9 ] ，得到简化网格的同时也获得了原始网格和 几何代理的一致性参数化．本文单个开网格的平面 参数化采用文献D o ] 提供的算法． 设简化几何代理M 上的A q ，q z q s 与其参数化 P 。上的A p l P 2 P s 对应．A q q z 口3 和A p ，P 2 P s 之间 具有仿射关系‘[ 1 1 1 矿1 R 3 一R 2 ，有 s - - 1 口 p l ’u 7 式中 q 1 ，q 。，9 3 为A q l q z 口3 的面积，且 丛堑_ 吐姜鱼二剑坶，p ； i 1 ，2 ，3 分 别为对应顶点吼，P 。的矢量 列向量 坐标；口位于 A q l q 2 q 。内；矿1 口 位于P 。内． 如果在A q - q z q 。内增加坐标为口的一个顶点， 同步在A p ，P z P 。上增加一坐标为S - 1 口 的顶点， 并且同时将A q 。q z q s 和A p - P z P 。中心剖分，一分 3 自适应采样 为三，从而完成顶点插入操作．若新增点落在网格 边线上，只需将邻接三角形一分为二．如果在几何 代理上删除顶点，只需在原始网格和参数化网格上 同时删除对应顶点，并对删除点的卜邻域一致性 重三角化即可． 简化网格编辑完成后，利用一致性参数化提供 的对应，可以将简化网格上的形变量传递到原始网 格模型上．该过程实质上是在矩形参数化域内，将 形变信号和原始模型的位置信号进行叠加．利用这 种场信号叠加的方式可以方便地对原始模型进行 分布式控制，如图2 所示．其中，图2 a ，b ，e 分别为 原始模型、简化模型、修改后的简化模型，图2 b 与 图2 c 模型的拓扑连接不尽相同；图2 d 为编辑结果 模型；图2 e ，f ，g 分别为图2 a ，b ，C 中模型的参数化 网格；图2 9 中黑点标记了新增的顶点．如果在形变 量信号传递之前进行滤波、增强等处理，可以较好 地解决毛刺现象 毛刺现象见图2 d ，并且可以得 到表现形式更丰富的编辑结果． 图2基于一致性参数化的网格编辑结果 F i g ．2 M e s he d i t i n gb a s e do nc o n s i s t e n tp a r a m e t e r i z a t i o n 几何信号从三维模型表面向参数域迁移过程 中，原始信号不可避免地产生畸变．如何有效地减 少畸变发生，是基于规则采样的数字几何处理需要 关注的问题，文献[ 7 ] 提出的自适应采样方法，可部 分解决上述问题．在充分考虑几何信号的本质特征 之后，本文提出的自适应采样方法能够更好地保持 几何信号频谱与不同尺度细节的对应关系． 3 ．1 参数化与几何信号频谱 文献[ 7 ] 中讨论了平面曲线在拓扑同构变换下 所携带频谱信号的变化规律，并提出了采样网格和 原始模型的顶点密度分布一致的采样方法．事实 上，当原始模型顶点分布密度与表面曲率不成正比 时，文献E T ] 自适应采样方法失效．现以一维曲线为 例进行讨论 如图3 ． 图3连续曲线的离散化表示 F i g ．3 D i s c r e t er e p r e s e n t a t i o no fac o n t i n u o u sc u r v e 从图3 可以看出，曲线上若干型值点张成了一 条连续曲线，当采样此连续曲线时，型值点的分布 与采样不应该有直接的制约关系．可以有3 种方式 对连续曲线采样1 曲率变化小则采样点稀疏， 曲率变化大则采样点稠密，如A B 段；2 沿曲线弧 长方向均匀采样，如C D 段；3 与第一种采样方式 正好相反，曲率变化大时采样稀疏，曲率变化小时 采样稠密，如B C 段．上述3 种采样方法都可以得到 连续线段的离散化表示．若对此离散信号进行频谱 分析，A B 段高频部分被拉平，B C 段平坦的区域被 拉的更为舒缓，只有C D 段能较好地保持原始信号 频谱．由此可见，遵循沿参数化方向 此处为弧向 均匀采样的原则，可有效保持信号的原始频谱． 曲线情况的结论可以合理地推广到空间曲面 情况若设采样网格R 重采样后可得一三维模型 M 。．重采样模型M R 上的顶点均匀分布是保持信 号原貌的必要条件．原始网格模型M 和R 具有一 一映射Ⅱ肛R [ 7 ] ，不断调整R 上的顶点位置，同步更 新M R 上对应顶点位置，直至满足条件 蔓竺塑车掣型 ￡ i ∈R ，⋯⋯’⋯7 万方数据 第2 期赵向军等基于几何信号小波分析的网格编辑1 8 9 式中IRI 为网格R 的顶点个数；D M 为网格M则可得 上的顶点分布密度；D M R 为网格M R 的顶点平均分 ∑D M 珐 ㈨ 布密度，D ％一 R ；￡为预定阈值． 3 ．2保频谱自适应采样 考虑实际操作的方便，可以采用类弹簧系统的 能量函数指导自适应采样网格的优化，能量函数 E V 一告∑∑钮 巧 l IK Bl I 2 ， 2 。 i J e N i 式中N ；为顶点{ i 的l 一邻域顶点集合；H 为网格 M R 上的顶点；| I | | 为矢量的模；权值函数叫 巧 瓦D i M 巧RF 再p ，户≥。，其中D u e j 为M k 上顶点 { 歹 处的顶点分布密度，D M 。为M R 的平均顶点分 布密度．由上述分析知，当{ 歹} 处的顶点分布密度 小于平均值时，叫 吩 大于1 ，则周围顶点向{ 歹 移 动，反之则远离{ ．『 ． 平面上顶点调整比三维上要高效方便，所以这 里是通过调整平面采样网格顶点位置，同步更新 M 。上的顶点位置的方式完成优化．空间模型包括 原始模型M 、重采样模型螈；平面网格包括参数 化网格P 和自适应采样网格R ． 设n 位于M 上的三角面片A q 。q 2 q s 记为T 内，n 对应参数域上的玎。位置，而且H ；位于R 上的 三角面片△户，p z 夕。 记为T 7 内．设Ⅳ，在T 7 内的重 心坐标为 啦，届，1 一嘶一晟 ，则H i 和．I ，i 具有仿射关 系S R 2 R 3 y i S u i 口f 口1 屈q2 1 一吼一届 口3 ． 如果希望重采样模型顶点分布尽量均匀，则需 要最小化能量函数E V ．能量E y 极小等同于 蓑一善{ ㈨ 叫佃 s 瓴f ” 差 1 s 一S u j 丢 差 ‘詈 | | S u j 一s c 训2 } - o ．㈣ 当采样网格足够密时，采样点{ i 的1 一邻域多 边形为近似平面，形函数w v ； 不随K 在1 一邻域内 移动而变化，即筹一 o ，0 ，o T 。若令A 表示三角 形T 7 的面积，M 芸 s 为三元矢量，M 为3 2 矩 阵 ，且令 ∑{ 硼 吩 w v t M T 巧 肛2 A 盟面面而“⋯’J ⋯⋯7 7 J ∈N i 拼2P 3 一 式中p 7 一 户l l ，p 2 l ，p 3 1 T ；，一 p 1 2 ，户2 2 ，夕3 2 T ； B 7 一 B 7 1 ，B 7 2 T B 一 M T q 3 ；D C 2 2 一C 1 2 ，一 C z l C 1 1 ， C 2 l C 1 1 一 c 2 2 一 C - z ，其中 c f c e l 。l 基1 一c M r c q ，二q 。，，M rc q 。一g 。，，T ． 利用式 4 迭代优化自适应采样网格，直至 I lH Ⅲ～口Ⅷ ￡，其中￡为预先设定的阈值．当1 一 邻域采样网格覆盖参数化网格上的多个面片时，仿 射变换| s 需要即时更新．迭代结束后所得平面网 格，即为所需要的自适应采样网格 如图4 ． a 本文方法 b 文献1 7 l 方法 图4自适应重采样结果对比 F i g ．4C o m p a r i s o no ft h er e s a m p l i n gr e s u l t s 4 算法实现及方法扩展 本文涉及的所有算法都已经在V i s u a lS t u d i o ． N E T 平台上用V C 7 ．0 进行了实现．三维网格 模型采用半边结构的机内表示．部分数值计算借助 于M a t l a b 提供的库函数．本文所有实例均由实验 系统生成．在具体使用时，一般要预先进行全局参 数化、自适应采样等预处理工作．预计算完成后，具 体编辑可达实时交互速度． 4 ．1 平面小波频谱编辑 图5 给出了一组频谱编辑实例，原始模型及其 参数化在图2 中给出．其中图5 a ～e 为形变信号作 用不同的低通滤波所得到频谱编辑结果；图5 f ～h 中头部尖角和面部尖角采用了不同的滤波、增强处 理方法．图5 a ～h 皆采用D a u b e c h i e s 3 小波基，图 5 i 中使用了H a a r 小波，而图5 j 采用F o u r i e r 频谱 编辑方法．几何模型表面细节大都是局部的高频分 量．小波分析频域内的偏移量与空间位置具有对应 关系，可以对不同区域采用不同的滤波方法，具有 更大的灵活性，可以得到更加丰富的编辑结果 如 图5 f ，g ．F o u r i e r 频谱编辑方法容易产生细节模 糊，并且会产生非所期望的波纹和褶皱 如图5 e ， 万方数据 1 9 0 中国矿业大学学报第3 7 卷 利用小波频谱编辑此类问题几乎可以完全消除 如 图5 j ．F o u r i e r 频谱编辑时，在滤波环节舍弃了若 ，干谐波信号成份，平坦区域也不例外，于是出现了 刨出的波纹效果．图5 i 中利用H a r r 小波进行滤 波，原有模型则出现了阶梯状效果，其原理与图5 e 中出现波纹的原理一致，不同之处仅仅是此时的谐 波成份呈阶梯状 H a r r 小波基为方波 ． 图5恐龙头部模型的编辑结果 F i g ．5 W a v e l e te d i t i n gr e s u l t so ft h ed i n o s a u rh e a dm o d e l 4 ．2 球面小波频谱编辑 近年来，球面或准球面上信号的分析处理开始 得到重视，文献[ - 1 2 - ] 利用“提升算法”构造了双正交 球面小波，其特点是局域性好、构造方便灵活．对于 亏格为0 的空间曲面，利用球面提升小波可方便地 进行几何信号的压缩[ 12 1 、数字水印[ 1 3 ] 等．球面小波 分析需要1 ～4 细分结构的层次网格模型，这一模 型可以借助重采样得到，详细原理参见文献E 1 3 ] ． 利用本文提出的频谱编辑框架，借助球面小波分析 方法，也可以完成亏格为0 的封闭网格模型的频谱 编辑，如图6 所示．其中，图6 a ，b 分别为原始恐龙 模型及其对应的简化模型；图6 f ，g 分别为二者对 应的参数化模型；图6 c 为编辑后的简化模型；图 6 d 为直接传递形变信号的编辑结果，该模型表面 凹凸不平，效果不够理想，但是，采用频谱编辑方法 可以得到较为满意的结果 图6 e ． a b c d e fg 图6 球面小波频谱编辑结果 F i g ．6S p h e r i c a lw a v e l e te d i t i n gr e s u l t so fd i n o s a u rm o d e l 4 ．3 可编程图形硬件的加速 规则采样的小波编辑方法可以产生很多传统 方法不易实现的效果，但是微处理器 C P U 开销 的增加成为该方法的软肋．事实上，重采样后数据 的规则排列，给利用可编程图形硬件图形处理器 g r a p h i c sp r o c e s s i n gu n i t ，G P U 加速带来了方 便．G P U 采用单指令流多数据流 s i n g l ei n s t r u c t i o n ，m u l t i p l ed a t a ，S I M D 结构，支持I E E E 3 2 浮 点运算，众多研究者成功地将其用于数值计算的加 速‘1 引． 网格曲面的小波编辑方法中，小波变换需反复 使用，成为耗时较多的关键步骤，本文在G P U 中 实现该步骤．离散二进小波变换是在前一层结果的 基础上进行卷积计算，计算结果需存储到纹理 b u f f e r 中，如此反复，直至结束条件满足．在算法执 行时分别在低通和高通两个层次交错进行，并需向 上、向下采样，这一步可以利用纹理存储的间接寻 址功能实现，但是繁琐的操作使G P U 的性能损失 较大．图7 给出了分别由G P U 和C P U 实现小波 变换的性能对比图，其中小波分解层数为3 ．观察 图7 可知，当几何图像大小为1 0 2 4 1 0 2 4 时，基于 G P U 的小波分析的开销比基于C P U 的开销要显 著少；当采样率为5 1 2 5 1 2 时，基于G P U 的分析 性能也有所提高．但是由于G P U 中实现小波变 换，纹理转储过程带来了额外开销，当采样率小于 2 5 6 2 5 6 时，使用G P U 出现减速现象．这里所用 显卡为G e F o r c eF X5 7 0 0L E ，小波变换利用其中 的p b u f f e r 实现．由于显卡性能在不断提高，因此， 利用G P U 加速本文方法尚有很大潜力． 5 4 的 童3 窨2 l 0 1 2 82 5 65 1 21 0 2 4 采样密度 图7C P U 和G P U 上实现小波分析的性能比较 F i g ．7 P e r f o r m a n c ec o m p a r i s o no fC P Ua n dG P Ui n d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r ma l g o r i t h m 5 结论 针对F F D 以及层次细节编辑等方法的不足， 万方数据 第2 期赵向军等基于几何信号小波分析的网格编辑 1 9 1 结合数字几何处理最新研究成果，本文构造了网格 曲面小波编辑方法的统一框架；针对简化几何代理 边界不易勾画问题，本文又提出了简化模型拓扑修 改时的参数化几何一致性保持策略；通过分析参数 化和采样对几何信号的影响，提出了一种新型的保 频谱自适应采样方法；此外，还将本文频谱编辑方 法推广到了基于球面小波的频谱编辑之中，取得了 较为满意的效果．未来工作将对自适应采样等进一 步完善并尝试采用其他频谱分析工具的编辑方法． 参考文献 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] S E D E R B E R GTW ，P A R R YSR ．F r e e - f o r r nd e f o r m a t i o no fs o l i dg e o m e t r i cm o d e l s [ J ] ．C o m p u t e r G r a p h i c s ，1 9 8 6 ，2 0 4 1 5 1 - 1 6 0 ． C o Q U I L L A R TS ．E x t e n d e df r e e - f o r md e f o r m a t i o n As c u l p t u r i n gt o o lf o r3 dg e o m e t r i cm o d e l i n g [ J ] ． C o m p u t e rG r a p h - i c s ，1 9 9 0 ，2 4 4 1 8 7 1 9 ．6 ． Z O R I ND ，S C H R O D E RP ，S W E L D E N SW ．I n t e r - a c t i v em u h i r e s o l u t i o nm e s he d i t i n g [ J ] ．C o m p u t e r G r a p h i c s 。1 9 9 7 3 1 2 5 9 - 2 6 8 ． K O B B E L TL ，C A M P A G N AS ，V O R S A T ZJ ，e ta 1 ． I n t e r a c t i v em u l t i r e s o l u t i o nm o d e l i n go na r b i t r a r ym e s h e s [ J ] ．C o m p u t e rG r a p h i c s ，1 9 9 8 3 2 1 0 5 1 4 4 ． G U S K O VI ，S W E L D E N SW ，S C H R O D E RP ．M u l t i r e s o l u t i o ns i g n a lp r o c e s s i n gf o rm e s h e s [ J ] ．C o m - p u t e rG r a p h i c s ，1 9 9 9 3 3 3 2 5 3 3 4 ． G UXF ，G O R T L E RS ，H O P P EH ．G e o m e t r yi m a g e s [ J ] ．A C MT r a n s a c t i o n so nG r a p h i c s ，2 0 0 2 ，2 1 3 3 5 5 3 6 1 ． [ 7 ] Z H O UK u n ．D i g i t a lg e o m e t r yp r o c e s s i n g T h e o r y a n da p p l i c a t i o n s [ D ] ．H a n g z h o u Z h e j i a n gU n i v e r s i t y ，2 0 0 2 ． [ 8 ]M A L L A TS ．Aw a v e l e tt o u ro fs i g n a lp r o c e s s i n g [ M ] ．S a nD i e g o A c a d e m i cP r e s s ，1 9 9 8 ． [ 9 ]S C H R O E D E RWJ ，Z A R G EJA ，L O R E N S E NW E ．D e c i m a t i o no ft r i a n g l em e s h e s [ J ] ．C o m p u t e r G r a p h i c s 。1 9 9 2 ，2 6 2 6 5 - 7 0 ． [ 1 0 ]Y O S H I Z A W AS ，B E L Y A E VA ，S E I D E LHP ．A f a s ta n ds i m p l es t r e t c h - m i n i m i z i n gm e s hp a r a m e t e r i z a t i o n [ C ] ／／J a r e kR o s s i g n a c ．P r o c e e d i n g so ft h e S h a p eM o d e l i n gI n t e r n a t i o n a l2 0 0 4 ．W a s h i n g t o n I E E Ep r e s s ，2 0 0 4 2 2 3 2 ． [ 1 1 ] S A N D E RPV ，s Y N D E RJ ，G O R T L E RS ，e ta 1 ． T e x t u r em a p p i n gp r o g r e s s i v em e s h e s [ J ] ．A C M T r a n s a c t i o n so nG r a p h i c s ，2 0 0 1 ，2 0 3 4 0 9 4 1 6 ． [ 1 2 ] S C H R O D E RP ，S W E L D E N SW ．S p h e r i c a lw a v e - l e t s E f f i c i e n t l yr e p r e s e n t i n gf u n c t i o n s o nt h e s p h e r e [ J ] ．C o m p u t e rG r a p h i c s ，1 9 9 5 2 9 1 6 1 1 7 2 ． [ 1 3 ] J I NJQ ，D A IMY ，B A 0HJ ，e ta 1 ．W a t e r m a r k i n g o n3 dm e s hb a s e do ns p h e r i c a lw a v e l e tt r a n s f o r m [ J ] ．J o u r n a lo fZ h e j i a n gU n i v e r s i t yS c i e n c e ，2 0 0 4 ， 5 3 2 5 1 - 2 5 8 ． [ 1 4 ] L I N D H O L ME ，K L I G A R DMJ ，M O R E T O NH ．A u s e r - p r o g r a m m a b l ev e r t e xe n g i n e F J ] ．A C MT r a n s a c t i o n so nG r a p h i c s ，2 0 0 1 ，2 0 3 1 4 9 - 1 5 8 ． 责任编辑邓群 万方数据