考虑体矩作用的增量有限元方程.pdf

第3 0 卷第1 期 2 0 0 1 年i 月 中国矿业大学学报 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y v 0 1 ．3 0 N o ．1 J 蚴．2 0 0 I 文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 1 0 1 0 0 3 5 0 4 考虑体矩作用的增量有限元方程 宋彦琦，谢和平 中国矿业大学岩石力学与分形研究所，北京1 0 0 0 8 3 摘要应用有限变形s R 分解定理，给出有外加体矩作用的情况下能量原理的功率形式，推导 了有外加体矩作用的增量虚功率原理及相应的有限元基本方程，为解决工程实际中的大变形大 转动问题奠定了理论基础． 关键词体矩；增量法；有限元方程 中圈分类号03 1 3 ．2文献标识码A 在各种数值解法中，由于有限元法具有原理简 明、灵活通用、编程方便等诸多优点，被公认为是最 有效、最实用的方法之一．建立有限元基本方程的 基础是能量变分原理．对于非线性大变形问题，由 于应力和应变的方位在渐进变形过程中一般要发 生变化，外力通常也与变形过程相关，因而应变和 应力全量乘积在物理概念上并不具备能量性质，外 力作的功也不能由外力与位移全量相乘．能量原理 应采用功率形式． 在不考虑体矩作用的情况下，利用增量虚功率 原理得到有限元方程，并编制相应的有限元程序， 很多人[ 1 “1 在这方面做了大量工作． 本文给出有外加体矩作用的情况下能量原理 的功率形式，并根据它推出有外加体矩作用的增量 虚功率原理及相应的有限元基本方程． 1 增量变分方程 非线性有限元分析一般需要采用增量法．在每 个增量步中，根据不同的非线性性质进行求解，从 而把一个复杂的非线性问题分割成若干非线性程 度不十分严重的小段逐步求解以避免某些非线性 问题解的发散现象并提高解的精度． 在考虑外加体矩作用时，我们证明了下列变分 原理成立”] 在一切满足速度、角速度和应变速率 协调条件和速度的表面条件的可能形变状态中，其 真实应力状态满足动量方程、力矩应力平衡方程以 及表面力条件，使得下列泛函l ，取得驻值，即 ， 0 J 一玄 ≯一IP ．d a JA J a q 州肛J ，”L e d n ， 1 式中A 为面积} n 为体积I 玄为动能增率} 毒为变形 能的增加率；P 为表面力} 口为体力} p 为速度l P 为 单位体积质量 变形位形中 ；L 为转轴方位的单位 矢量；臼为角速率} Ⅲ为电磁场或其他外场产生的 体矩．变形能的增加率≯可写成 ≯一胁娃, J d O f 。专高≯ 厶帕 帆 z 式中一为应力} S 为应变速率；m 为物体内部产生 的体矩．这时 8 j 一8 k ＼一- B s i d n 一 』。i 1 肿6 I j 叭- r 一．』d n 一』。p B v d a J a q 。洲舡J n 胛∞旺8 d n 3 为了实现增量求解，将式 1 表为增量形式．设 载荷施加十分缓慢，近似静荷，这时可略去动能不 计，即 玄 0 ． 则在拖带系中，功率型的变分方程 3 可表示为 对 J 。矿沁，d 力一J A p 对d 口一 』a q ＆v ‘d O 一扎帕毗i ／0 d O ， 4 收■日期r2 0 0 0 0 6 3 0 作者筒介；宋廖琦 1 9 6 9 一 。女．辽宁省沈阳市人，中国矿业大学博士后，工学博士。从事有限变形力学理论与应用方面的研究． 万方数据 中国矿业大学学报第2 9 卷 这里m 表示物体所受哆磬体磐’并且2有限变形增量有限元公式 小一小 埘． 式 4 中的积分是以实时位形为基准的．在t 时刻， 矿，与既已经求得．则在t A t 时刻有 J 。包，豌’d Of A 。，勉，8 w 诅。 j 。。， ；，B C d D 一吉j 。P 。嚣i ，8 厶 自 d n o ， 5 令。盘，5 薯， △卺。露 卺， 6 a 。鬼，一岔 △卺一象 象△‘， 6 6 吼一呸 △吼一g j 童△f ． 6 c “ m “ ” t f 。嚣≥，一毪；， △乞；，一嚆， 嚆，△。， 6 0 式中为在拖带系中的应力速率． 将式 6 a ～6 d 代人式 5 ，得到 乩i j S S ； d ／] J 。p i 8 v d 一 』。甓 ，d n 一丢J 。9 名j 8 工；．i O d n I ＆吼知峨’d O L 乐曲恤一 Li 附加一号』。P 奄≯ 纠臼 d o ] 一o ． ， 式 7 左边第一括号内的量在t 时刻变分为零，即 J 。o T s ；S d D J 。召8 棚一 f 嘏曲‘d O 一1 1 。p 嗾, 3 L ；／D d a 一。． 8 最后得到增量变分方程 J 。量j 溉伽一J 以耐出 Li 附d O 一号』。P 吃≯ 厶帕 d n o 9 在文献[ 8 ] 中已经求得 △． 矿‘， 矿j ． 1 0 此结果说明当应变速率为零时，在拖带系中定义的 应力速率等于应力本身对时问的变化率．在近似计 算中，当应变速率很小时，可直接采用式 9 的变分 方程． 嚣‘ 尝十 r 。一吒 “ r 备工1 ；、 Ⅳ 等 r j 1 1 洲 非线性连续统力学问题的有限元数值解法是 将整体的连续函数化成用有限个单元的分片插值 函数来处理的，因此，离散化处理并建立适当的单 元插值函数是有限元分析中的重要环节．下面以三 维等参元为例，建立非线性有限元基本方程． 在增量有限元分析中．根据等参元的性质，坐 标、位移增量、速度可采用下列插值函数o 。 一 ∑N p 矗 ∥ ∑N * P 口 缸‘一∑M F △“i 式中；一为单元的节点数；z 一1 ，2 ，⋯，n 为节点 的拖带坐标值；”和△以分别为第 个节点的速度 和位移；M P 为对应于节点k 的插值函数．对于 等参元，插值函数是非常容易选取的，只要保证N 。 在第 个节点的值为1 ，而在其它节点的值都等于 零．例如对于8 节点等参元，插值函数可表为 N l 争 一i 1 1 { 亭1 1 车i } 2 1 { 2 P ， 式中袅为第k 个节点的局部坐标户 滓1 ，2 ．3 ． 由于 专，一告 ∥1 1 ， 妒1 1 ， 12 奄 告 dnF 旧， 1 3 a 8 奄一8 岛臼 8 『告 Fl l ，一F 晒] ． 1 3 b 式中“呲”表示对实时位形当地局部坐标z 1 的协 变导数；鲻为转动速度，可以得到 { s } 一[ 护] { v } ， 1 4 { 置 一E n ‘] { p ， 1 5 式中 { s 一{ s ；，S ；，S ；，2 S ，2 S 。z ，2 S } ’， { 且} 一{ 2 R ；，2 R j ，2 R ； 1 ， 一等 一r ∽‘ 搿 r ；一一 ∥ 1 1 。一1 1 ；。 Ⅳt r 。一r 。 Ⅳ‘ 筹 吒一心 ∥ 等 r 。一r ㈨‘ 万方数据 第1 期宋彦琦等t 考虑体矩作用的增量有限元方程 曰‘一 箬 r 。“ r ；1 Ⅳ r i “ 箬 r 。 r 枷‘ r ；1 r 刍 Ⅳt a 缸N 3 一， 吒 “ 一2 N ‘ 裂 一。N ‘ r ；2 N ‘ 等 r 。 一删 等 一。 一。 “ r 心 N k 其中 是C h r i s t o f f e l 符号 z ，j ， l 。2 ，3 ． 如不考虑单元形状改变对应力增量计算的影 响，将式 1 2 ， 1 3 代人变分方程 9 ，则有 J 囊溉’d O J 。S v d J 。童渺d O 一 剖。喀j 8 血舯 o ． 1 6 ’ 当物体发生大变形时，最简单而有效的应力增 量与应变增量的物性方程是采用单参数的关系 t 一2 p 1 一p t ， 1 7 式中t 一匆丢童彭，Z 一岛一告爱毋分别为应力偏量 速率和应变偏量速率；户为抗剪弹性模量；卢为塑 性参数．注意到 蠢一志式． 因而得到 t t { 鹚一2 t * 1 一加以 志嗡一 2 声 1 一p 茸{ 受彰 志受辞一 2 p 1 一p 岛 譬．卢 受砖， 式中 一再‰ 克符号． 牟一忐；苗为克罗内 牟一五而’d j 刀兄歹州 将上式改写成更一般形式为 以 q ；奠， 1 8 其中 一【 警卢】彭讲 2 ／1 1 一p 毋钟， 这里式是一般形式的物性张量，其具体形式随材 料而变，对于线弹性材料，西是常量，而对于非线 性材料，C 是应变、应力及其它材料性质参量的函 数．因此 』p 专勰瑚一』．象船如 r ；。N r Ⅳ 警 r ；3 “ 。十J 1 ；。 Ⅳ 等 吒 r i “ a 缸N 。 一3 r 3 。 Ⅳ‘ 』。i j 酗们一i f 。P 囔j 8 柚n o ． 1 9 为了求出位移增量△“‘，以血乘式 19 ，可得 j 。淤’c s i d n j 。△乐曲’d n J 。△誊8 ∥d n 专j 。P 锪t J a 怠d n o ． 2 0 将式 1 1 ． 】4 ， 15 代人上式，并用矩阵形式 表示得 I { 却 1 [ 口] 1 c [ n 8 ] { △I ．} d O I { A v } 1 N 1 A p d 口一 J 。{ 枷} 7 N t A q d O 专J n { 跏 T [ F ] 7 山，l d n o ， 2 1 式中C 为物性系数矩阵；{ v 和{ △u 分别为节点速 度和位移列阵} P 和口分别为面力和体力列阵；N 为插值函数矩阵．N E N 。1 ，N ，，⋯，N 。f ] ；，为单 位阵． 因为枷是任意的，从式 2 1 得到如下形式的 有限元基本方程 ，△Ⅳ A l l ， 2 2 其中 K j 乒F ] T c [ F ] 加， 缱一』。N 7 眦 』。N t z 。／d O 扎[ 盯Z x r a d O ． 式 2 2 就是求位移增量的有限元方程．以上方程是 建立在形变后的实时位形的增量的基础上的．根据 这个有限元公式便可编制相应的非线性有限元程 序，解决有外加体矩作用下的问题． 3 结束语 有限变形理论中的体力矩是局部场中引起应 力非对称的主要原因之～．本文应用有限变形S R 分解定理，给出有外加体矩作用的情况下能量原 理的功率形式，推导了有外加体矩作用的增量虚功 万方数据 中国矿业大学学报第2 9 卷 率原理及相应的有限元基本方程，为解决工程实际 中的大变形大转动问题奠定了理论基础． 参考文献 [ 1 ] 陈至达．疰续体力学中有限变形与转动的计算增量法 [ j ] ，应用数学和力学，1 9 9 8 ．6 9 7 6 97 7 4 ． [ 2 ] 辜忠．基于新的大变形理论的非线性有限元及其应 用[ D 3 ．北京中国矿业大学北京校区，1 9 8 6 ． [ 3 ]尚勇．拖带坐标下平面弹塑性大变形接触问题的有 限元分析[ D ] ．北京中国矿业大学北京校区，1 9 8 4 ． E 4 ] 谢和平．非线性大变形有限元分析及在地下工程中的 应用[ D 3 ．北京中国矿业大学北京技区，I9 8 4 ． x j eHP ．F r a c t a l si nR o c kM e e h a n i c s [ M ] ．R o t t e r d a m ／B r o o k f i e l d AAB a l k e m aP u b l i s h e r ，19 9 3 ．1 3 1 1 5 2 ． 尚勇，陈至达．带有摩擦的单边接触大变形问题的 研究 I 一增量变分方程[ J ] ．应用数学和力学．1 9 8 9 ． 1 0 1 2 1 0 4 91 0 5 8 ． 宋彦琦．非对称弹性力学厦其变分原理研究[ D ] ．北 京中国矿业大学北京校区．19 9 9 ． 陈至达．杆、板、壳大变形理论[ M ] ．北京科学出版 社，1 9 9 4 ．3 5 ，4 1 ． 李平．非线性大变形有限元分析的更新拖带坐标法 及其应用E D ] ．北京中国矿业大学北京校区，I9 9 1 ． I n c r e m e n tF i n i t eE l e m e n tE q u a t i o n b yC o n s i d e r i n gB o d yM o m e n tE f f e c t S O N GY a n q i ，X I EH e p i n g I n s t i t u t eo fR o c kM e c h a n i c s ＆F r a c t a l s 。C U M T ，B e i j i n g1 0 0 0 8 3 ，C h i n a A b s t r a c t B a s e do nS - Rd e c o m p o s i t i o nt h e o r e mo ff i n i t ed e f o r m a t i o n ，t h ep o w e rf o r mo fe n e r g yp r i n c i p l eb y t a k i n ge x t e r n a lb o d ym o m e n ti n t oa c c o u n tw a sp r e s e n t e d ．T h ei n c r e m e n t a lv i r t u a lp o w e rp r i n c i p l ea n dt h e c o r r e s p o n d i n gb a s i ce q u a t i o n so ff i n i t ee l e m e n tw e r ed e d u c e d ，p r o v i d i n g8 t h e o r e t i c a lb a s i sf o rs o l v i n ge n g i n e e r i n gp r a c t i c a lp r o b l e m so fl a r g ed e f o r m a t i o na n dl a r g er o t a t i o n ． K e yw o r d s b o d ym o m e n t ；i n c r e m e n t a lm e t h o d ；f i n i t ee l e m e n te q u a t i o n 嘲 嘲 啪 嘲 嘲 万方数据