均匀度理论及其在混沌研究中的应用.pdf

第3 4 卷第4 期 2 0 0 5 年7 月 中国矿业大学学报 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g y V 0 1 ．3 4N O ．4 J u l ．2 0 0 5 文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 5 0 4 0 4 7 6 0 6 均匀度理论及其在混沌研究中的应用 罗传文 东北林业大学林学院，黑龙江哈尔滨 1 5 0 0 4 0 摘要在均匀度理论的基础上，应用独占球总体积定义了瞬时混沌强度 i n s t a n t a n e o u s c h a o m e t r y ，并且证明了周期和渐近周期轨道的瞬时混沌强度为0 ，混沌轨道的瞬时混沌强度恒 大于0 ．通过计算动力模型的轨道的瞬时混沌强度表明，瞬时混沌强度与混沌动力模型参数之间 表现出非常紧密的关系，这种关系对于设定的实代步数很稳定，对于不同的初值和空代步数，瞬 时混沌强度在一个很窄的区间内波动．瞬时混沌强度的最大优点在于不依赖于动力模型而只依 赖于动力模型的轨道，因此不需建立模型，只需测定混沌动力模型的轨道即可确定其混沌强度． 关键词独占球；瞬时混沌强度；均匀度理论；混沌；周期判别定理 中图分类号O1 8文献标识码A U n i f o r m i t yT h e o r ya n dI t sA p p l y i n gS t u d i e so nC h a o s L U 0C h u a n w e n S c h o o lo fF o r e s t r y ，N o r t h e a s tF o r e s t r yU n i v e r s i t y ，H a r b i n ，H e i l o n g j i a n g15 0 0 4 0 ，C h i n a A b s t r a c t B a s e do nt h eu n i f o r m i t yt h e o r y ，t h ec o n c e p to f “i n s t a n t a n e o u sc h a o m e t r y ’’w a sd e f i n e d w i t ht h et o t a lv o l u m eo fm o n o p o l i z e ds p h e r e s ．I tw a sp r o v e dt h a tt h ei n s t a n t a n e o u sc h a o m e i c r yi s e q u a lt o0 f o rp e r i o d i ca n da s y m p t o t i c a l l yp e r i o d i co r b i t sa n da l w a y sl a r g e rt h a n0f o rac h a o t i c o r b i t ．T h ei n s t a n t a n e o u sc h a o m e t r yc o m p u t e df r o mac h a o t i cd y n a m i cm o d e l ’o r b i ta r ec l o s e l y r e l a t e dw i t ht h ec h a o t i cd y n a m i cm o d e l ’Sp a r a m e t e r ，b u tt h ei n s t a n t a n e o u sc h a o m e t r yw a v e si na n a r r o wi n t e r v a lt od i f f e r e n tv a c a n ts t e p sa n di n i t i a lv a l u e s ．I n s t a n t a n e o u sc h a o m e t r yh a st h e a d v a n t a g eo fn o td e p e n d i n go nt h ed y n a m i cm o d e lb u tt h eo r b i to fd y n a m i cm o d e l ，a n dS Oi t i sn o t n e c e s s a r yt ok n o wt h ec h a o t i cd y n a m i cm o d e l ，w h o s ec h a o t i ci n t e n s i t yc a nb ed i s t i n g u i s h e dw i t hi t s o r b i t ． K e yw o r d s m o n o p o l i z e ds p h e r e ；i n s t a n t a n e o u sc h a o m e t r y ；u n i f o r m i t yt h e o r y ；c h a o s ；p e r i o d - d i s t i n g u i s h e dt h e o r e 在生态学中，对植物个体空间格局的研究有 8 0 多年的历史[ 1 。2 ] ，可是近十年来人们才研究出植 物个体的格局与混沌的轨道有密切的关系I s - s 3 ． 混沌现象是近3 0 年才加以研究，文献E 6 - 1 提出 了混沌的数学定义，并证明了周期3 意味着混沌的 定理，从此混沌的研究在学术界受到热烈关注[ 7 - 8 ] ． 文献[ 9 3 证明了不可分意味着混沌的定理．文献 [ 1 0 一1 1 ] 提出了多种离散的生物种群动力模型，这 些模型均是L o g i s t i c 模型的变化，M a yRM [ h i 没有 能深入研究这些模型的混沌性质，本文应用瞬时混 沌强度对其中之一进行了较深入研究． 文献[ 1 2 3 在心动周期的研究中定义了混沌度， 并进行了试验性研究．熵是研究混沌程度的重要手 段[ 3 ] ，但熵是定义在概率分布的基础上，而概率分 布又是基于空间分割的，所以，长期以来，人们忽视 了随机点集空间性质的研究．本文正是在此基础上 建立了均匀度理论，并将相应的方法和指标应用于 混沌研究． 收稿日期l2 0 0 4 一0 9 2 8 基金项目黑龙江省自然科学基金项目 C 2 0 0 4 0 8 作者简介；罗传文 1 9 6 2 一 ，男，四川省高县人，教授，博士生导师，工学博士，从事空间信息和非线性科学方面的研究． 万方数据 第4 期罗传文均匀度理论及其在混沌研究中的应用 1均匀度理论的概念与定理 1 ．1独占球 定义1对靠维欧氏空间中的点集S ，若它只 能是有限的或可数的，则称它是至多可数的． 定义2 对，z 维欧氏空间的至多可数的点集 S ，对任意z 。∈S ，X 。的最近邻体的集合记为 M S x 1 ，对任意Y ∈M S z 。 ，将Y 记为M P z 1 ， 称为紧邻，记M z 1 d z 1 ，M P z 1 ，称M z 1 为紧邻距离．其中d 是欧氏距离．将以X ，为球 心，以M x 。 ／2 为半径的闭球记为B x ， ，称为z 。 的独占球，其体积记为y z 。 ．以M z 。 为半径的 闭球记为B 。 z 。 ，称为z 。的紧邻球．B z 。 的外切 立方体有无限多个，记其中之一为c 。 z 。 ，称为z ， 的独占体，其体积记为％ z 。 ． 定义3 在砚维欧氏空间中的至多可数的点 集S ，任意包含点集S 的连通多面体A ，称为S 的 边界或边界多面体，A 的体积记为m ． 定义2 中独占球的定义称为跨边定义，即它可 能跨出点集的边界．2 维的独占球称为独占圆，1 维 的独占球称为独占线．在文献[ 4 5 ] 中，独占线使用 了接边定义，其目的在于解决边界问题．在本文中， 应用了一种解决边界问题的新方法，使得独占球的 跨边定义的边界问题得以解决． 定义4 对咒维欧氏空间的长方体A 。，其咒条 边成比例口，。口。⋯。％ 哦均为整数 ，将A ，分 割成为口，口2 ⋯％个小正方体，每个小正方体 的中心点组成一个有口。口2 ⋯％个点的点集S ， S 称为完全均匀格局，A 。称为S 的自然边界． 完全均匀格局的集记为S ，，满足定义4 的长 方体的集合记为A ，，则有S ，c A ，． 1 ．2 门维独占球 体 的性质 咒维球的体积为[ 1 1 ] n r 净商～_ 1 2 ⋯． 1 式中r 为球的半径． 引理1在一定的边界内的点集，点集内所有 点的独占圆是不重叠的，它们最近的空间关系是相 切． 这一结论是显然的． 引理2 设S s C A s ，S ／C R ”，设S ，有优个点 如图1 所示 ，那么每一个独占体有咒个独立的边 因为是，2 维的 将每个边愚等分，可以得到k ”个 ，l 维小正方体，在每个小正方体中心放一个点，共 得到m k ”个点，而其独占体总体积和独占球总体积 均保持不变． 斗 ／ 2 厂o 厂、厂、厂’、 系 - ● ● ＼／＼／＼L／＼／ ，，．、 ，r 、厂、，，、厂。、 ＼／ ●● L 。／ ● ＼／＼L ／L ／ 厂、厂、厂、厂、厂、 ●● ● ● ● ＼L ／＼／＼√＼／＼／ 厂、厂、厂、 厂、厂、 ●● ● ● L ’／＼／＼／L／L ／ ⅡS 2 4 图12 维完全均匀格局 F i g ．1 2 - Df u l lu n i f o r mp a t t e r n 证明由于独占体体积与独占球体积保持固 定的比例关系，只需证明独占体体积保持不变即 可． 设每个独占体的边长为s ，独占体总体积为 m ， 经过一次分割后，点数变为m k ”，而边长变为 s ／k ，每一个点的独占体体积为 s ／k ”．故独占体总 体积为m k ” s ／k ”m S ”． 证毕． 可见，对于完全均匀格局而言，点数以特定的 方式增加，独占体体积保持不变．这说明格局的均 匀性与点数无关，而与紧邻距离 独占体体积或独 占球体积 有关． 1 ．31 “ 7 维随机格局的均匀度定理 在咒维欧氏空间中，设A y 为多面体体积，日 o n U 为多面体内点的总独占球体积，令L 2 蒜为 多面体内的点集的格局均匀度． 显然，对于完全均匀格局，将点集的自然边界 设为边界，其均匀度为1 ． 定义5 在，z 维欧氏空间中，至多可数的点集 S ，和S 的边界为A ，和A ，A 。c 4 ，S 。C S ，且S 中的 点是独立的，服从相同的均匀分布，设A 充分大， 对任意x E S 。其紧邻球B ， z C A ，则称S 。为被含 点集，A 。为被含边界，S 称为S 。的总点集，A 称为 总边界． 一个被含点集的独占球，有可能跨出点集的边 界，但不能跨出总边界． 引理3 ‘5 3设在k 维欧氏空间中的被含点集 S ，，A 。为被含边界，5 为S 。的总点集，A 为总边界， S 。共有优个点，那么m 个点中随机选一点z ，则它 的紧邻距离小于，- 的概率为 F s P M z ≤r P y c z ≤y ≈ 1 一e 一Ⅳ， 2 万方数据 4 7 8 中国矿业大学学报第3 4 卷 式中A 为半径等于1 的球内的平均点数，A m 堡竽；A y 为S 。的边界多面体的体积；V 为独占 体体积，V r ”． 引理3 表明一个被含点集中每一点的紧邻， 一定要在总点集中去搜索，而不能只在被含点集中 搜索． 引理3 可以简单表述为行维随机格局中独占 体体积渐近服从指数分布． 定理1 嘲 咒维随机点集的均匀度定理考虑 在咒维欧氏空间中服从均匀分布的点集，在点集内 设定一个多面体，在多面体内共有m 个点 为了不 至于产生边界问题，假设多面体外仍是均匀分布的 点 ，则多面体内的点集的均匀度L 服从蒡警蔫 分布，其中Z 2 2 m 为自由度为2 m 的Z 2 分布． 可见’E L 黜 志，当咒 1 时，E L 0 ．5 ；当行一2 时，E L 0 ．3 1 8 ；当竹 3 时，E L 一0 ．2 3 8 ． 设H 为点集的总独占球的体积，日。为点集的 总独占体体积，则有 ，， 2 “H 乜一矿面’ L H 百1 ， ￡r Z 2 2 m A X 2 2 优 几～甄一一历丽’ 由于总独占球体积H 和总独占体体积H 。与 均匀度L 有比例关系，它们中每一个均包含了均 匀度的意义，获得某一个的性质，其余2 个参数的 性质也相应确定． 2 混沌强度的概念与定理 定义6 瞬时混沌强度设Ⅳ是咒维欧氏空 间，B C R ”有界，厂是定义在B 上的动力系统，设口 是厂的参数向量． z 抖1 一厂 z ． 3 对任意z 。∈B 和给定的以。 一般n O 1 00 0 0 ， 记轨道点集的一个子集为S 一{ z z ”。，⋯， X ”。， ，它的独占球总体积为C z 。，k 。，五口 ，称它 为模型 3 的瞬时混沌强度，愚。称为空代步数，志。 称为实代步数． 对于模型 3 定义的动力系统，用户表示， 同其自身的m 次复合，如果z 。 户 z 。 ，但对一切 o ≤Z 2 K 时，存在正整数K 。，当 k o K o 时，有 C z o ，k o ，k 1 ，口 0 ； 若z 。∈B 是渐近周期点，且周期为K ，则当愚。 2 K 时，有 。l i m C x o ，k o ，k l ，口 一0 ． 々0 一o 。 证明下面的证明中x i i ≥o 均代表，l 维向 量，下面分三种情况证明 1 设z 。∈B 是周期点 注意点集S { z ～，X k 。 1 ’．．． 瓤。 。 ，由假设有 Z t o X h o K ’r o 1 r o K 1 ’⋯’钆o z Z o K 卜 1 0 ，由于岛 2 K ，则S 中的任意一点的脚标可表 示为志。十Z 1 K l ，其中o ≤Z 1 ，o ≤Z K 。，根据1 的证明，结论显然成立． 3 设z 。∈B 是渐近周期点 由假设，存在周期点q ，设它的周期为K ，愚。 2 K ，对任给￡ 0 ，存在K 。，当‰ K 。时，对任意正 整数i 有 “F d x ”r ，广。州 g 0 ， 则称厂在S 上是混沌的． 定理3 混沌判别定理 设I C R l ，f J 一，，基 于L i Y o r k e 的混沌定义，设，在不可数集合B 上 是混沌的，则对任意z 。∈B ，以及任意正整数k 。和 k l ，有C z o ，愚o ，k 1 ，助 O ． 证明反证法 设存在正整数k 。和k 1 ，使C x 。，k 。，k ，，口 0 ． 相应的点集为S { z ～，愚～ 1 ’．．． z t 。 t 。 ． 这说明每一个点有一个与之重合的紧邻，则存 在正整数K 。，使得瓤。- 一 X h o K ． 且假设对正整数i 是。 K 。，C z 。，是。， k ，，口 对z 。，k 。是一个二阶矩随机过程．对随机选取 的z ，∈B 和随机选取的正整数疋，K 。 疋 K 。 i 一 1 ，2 ，j ，m ，有 一V m ，h 1 一1 ∑C x ，，膨州k 口 ． ‘ m ‘- 一 ‘ 设一V m ，k ， 对m 是均方收敛的，其均方极限 记为矿 一，h i ，则称E 矿 一，k 。 为依步数k 。的混 沌强度，简称k 1 步混沌强度 点1 一s t e pc h a o m e t r y ． 设矿 一，h 。 对k ，是均方收敛的，记均方极限为矿 一，一 ，则称E 矿 一，一 为模型 3 在B 上的混沌 强度 c h a o m e t r y ． 3 瞬时混沌强度的应用 对于不同的模型，k ，的取值要先进行测算，只 有足够大的志。才能使混沌模型的信息彻底地表现 出来． 由于均匀度对确定性点集和随机性点集均有 效，所以，用来研究混沌是有利的．对混沌的研究过 去一般沿用李亚普诺夫指数、维数和熵来刻划． M a yRM 曾进行了研究，其模型为[ 1 妇 X 1 z e ’” ． 4 模型 4 中r 与瞬时混沌强度的关系如图2 和表1 所示． 一4 0 0 三3 5 0 苫3 0 0 “X 2 5 0 瓣 1 5 0 号0 ．5 0 图2 模型 4 的r 与瞬时混沌强度的关系 F i g ．2 T h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nM o d e l4 ’ra n d i n s t a n t a n e o u sc h a o m e t r y 从图2 可见，瞬时混沌强度对r 的依赖关系与 模型 4 对r 的依赖关系非常相似，这表现了瞬时 混沌强度有强有力的表现力和规律性． 从表1 可见，直接使用均匀度研究混沌并不理 想，其主要原因是边界的确定，对于有限的实代步 数，边界总是瞬态的．而对于独占球总体积 瞬时混 沌强度 则不同，它对r 值和初值z 。有相当好的稳 定性．从表1 可以比较两个初值和两个空代步数对 瞬时混沌强度的影响． 在表1 中，[ 2 ．6 1 2 ．7 1 3 似乎是属于同一个窗 口，其实不然，在这个区间上有很复杂的窗口系统． r 2 ．7 0 3 时，为2 0 周期窗口； r 2 ．7 1 时，为1 2 周期窗口； r 一2 ．8 6 时，为1 4 周期窗口； r 3 ．1 1 时，为3 周期窗口； r 3 ．5 1 时，为8 4 周期窗口； r 3 ．6 1 时，为8 周期窗口． 表1 说明了无论r 值如何变化，轨道点集的均 匀度始终在0 ．5 附近徘徊，说明格局与随机格局非 常相似．瞬时混沌强度与周期窗口 4 5 周期 的关 系如图3 所示． 万方数据 4 8 0 中国矿业大学学报第3 4 卷 C t 奄 嗨 b 吐 _ 日 6 96 ．7 06 ．7 l6 ．7 26 ．7 36 ．7 4 ， 图3瞬时混沌强度与周期窗口 4 5 周期 的关系 F i g ．3T h ei n s t a n t a n e o u sc h a o m e t r ya n dp e r i o d i c w i n d o w s 4 5p e r i o d 图3 表明，在模型 4 的r 所在区间内，只要步 长充分小，总能搜索出周期窗口． 4 结论 1 模型 4 在r 值较小的区间有更多的周期 窗口，随r 值的较大，周期窗口减少，从图3 可见， 加细搜索步长，仍可能发现周期窗口． 2 r 值与瞬时混沌强度有明显的关系，虽然迄 今仍未得到普适的结论，但图2 已经预示了瞬时混 沌强度的实用价值，特别是对脑电、心电这样的混 沌序列，应用瞬时混沌强度分析其混沌程度是有意 义的． 3 瞬时混沌强度只依赖于轨道而与模型无关 的特点，预示着它将对混沌理论产生重要影响． 4 瞬时混沌强度对初值和空代步数均表现出 很好的稳定性． 参考文献 [ 1 ] M o o r ePG ．S p a c i n gi np l a n tp o p u l a t i o n s [ J ] ．E c o l o g y ，1 9 5 4 3 5 2 2 2 2 2 7 ． [ 2 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，B u j k i e w i c zS ，e ta 1 ．C h a o t i ce l e c t r o nd i f f u s i o nt h r o u g hs t o c h a s t i cw e b se n h a n c e s c u r r e n tf l o wi ns u p e r l a t t i c e s [ J ] ．N a t u r e ，2 0 0 4 4 2 8 7 2 6 7 3 0 ． [ 8 ] T h o m a sCH ，M o g e n sHJ ．H u r r i c a n e sa n db u t t e r f l i e s [ J ] ．N a t u r e ，2 0 0 4 4 2 8 1 2 7 1 2 8 ． [ 9 ] L iT ，M i s i u r e w c zM ，P i a n i g i a n iG ，e ta 1 ．N od i v i s i o n i m p l i e sc h a o s [ J ] ．T r a n s ．A m e r ．M a t h ．S o c ．，1 9 8 2 ， 2 7 3 1 1 9 1 1 9 9 ． [ 1 0 ] R o b e r tMM ．理论生态学[ M ] ．孙儒泳，译．北京科 学出版社，1 9 8 0 ． [ 1 1 ] M a yRM ．B i o l o g i c a lp o p u l a t i o n so b e y i n gd i f f e r e n c e e q u a t i o n s s t a b l ep o i n t s ，s t a b l ec y c l e sa n dc h a o s r J ] ． J ．T h e o r ．B i o l ，1 9 7 5 5 1 5 1 I - 5 2 4 ． [ 1 2 ] 徐晓红，谢正祥，陈良迟，等．心动周期信号的混沌特 征分析及应用[ J ] ．中国生物医学工程学报，1 9 9 9 ，1 8 1 7 4 8 1 ． X uXH ，X i eZX ，C h e nLC ，e ta 1 ．A n a ly s i n g c h a o t i cc h a r a c t e r i s t i c so fh e a r tp e r i o ds i g n a l sa n di t s a p p l i c a t i o n s [ J ] ．C h i n e s eJ o u r n a lo fB i o m e d i c a l E n g i n e e r i n g ，1 9 9 9 ，1 8 1 7 4 - 8 1 ． 责任编辑邓群 中国矿业大学学报 2 0 0 5 年第2 期被E i 收录论文 I 论文题目 第一作者 爆炸载荷下动态焦散图像的自动化处理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯杨仁树 我国大型露天煤矿若干生产工艺问题分析⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯尚涛 冻结壁发育状况的地质雷达探测研究⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯宋雷 芦苇对太湖沉积物的影响⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯徐德兰 煤矿巷道围岩松动圈智能预测研究⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯许国安 极细粒煤选择性双向絮凝脱硫降灰实验研究⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯戚家伟 基于数字信号处理技术的地下水资源管理模型研究 以西北某水源地规划管理模型的建立为例⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯武强 深部开采软岩巷道耦合支护数值模拟研究⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯孙晓明 岩石动力学中离散元程序处理波幅的新方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯雷卫东 A l 。O 。孔径调制及助剂对P d ／A l 。O 。催化性能的影响⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯刘建周 冻结土壤温度场数值模拟的改进⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯商翔宇 矿物流体包裹体分析及其在石油地质研究中的应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯朱炎铭 小型锅炉水煤浆燃后电除尘的试验研究⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯高明峰 摘自E n g i n e e r i n gV i l l a g e2 万方数据