面向矿区复杂地质体的四面体生成算法.pdf

第3 4 卷第5 期 2 0 0 5 年9 月 中国矿业大学学报 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y V 0 1 ．3 4N O ．5 S e p ．2 0 0 5 文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 5 0 5 0 6 1 7 0 5 面向矿区复杂地质体的四面体生成算法 武强1 ，关文革1 ’2 ，贾丽萍2 ，张生元1 ’2 1 ．中国矿业大学资源与安全学院，北京 1 0 0 0 8 3 ； 2 ．石家庄经济学院信息工程系，河北石家庄0 5 0 0 3 1 摘要地质学及矿山研究对象主要特点是结构复杂、非均质、各向异性，四面体网格生成面临的 关键技术难题是生成的四面体网格必须保证各个单一地质体边界的一致性．为解决以上问题，本 文提出了一种基于面扩展的快速D e l a u n a y 四面体网格生成的分治算法，算法首先将地质模型分 解为多个简单地质体，利用给定的边界数据样点将这些单一地质体边界进行三角剖分，然后从边 界三角形开始递归生成各个简单地质体的四面体网格，最后再将各个简单地质体网格合并为一 体．本算法生成的四面体网格可保证多个地质体边界一致，避免四面体单元重叠，且大部分四面 体网格符合D e l a u n a y 法则． 关键词地质建模；D e l a u n a y ；四面体；网格生成；边界一致 中图分类号P2 0 8文献标识码A AN e wG e n e r a t i o nT e t r a h e d r o nM e s hT e c h n i q u eo f C o m p l e xM i n i n gG e o l o g i c a lB o d i e s W UQ i a n 9 1 ，G U A NW e n g e l “，J I AL i p i n 9 2 ，Z H A N GS h e n g y u a n l ’2 1 ．S c h o o lo fR e s o u r c ea n dS a f e t yE n g i n e e r i n g ， C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y ，B e i j i n g10 0 0 8 3 ，C h i n a ； 2 ．D e p t ．o fI n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g ，S h i j i a z h u a n gU n i v e r s i t yo fE c o n o m i c s ， S h i j i a z h u a n g ，H e b e i0 5 0 0 3 1 ，C h i n a A b s t r a c t C o m p l e xs t r u c t u r e ，n o n h o m o g e n e i t y ，a n i s o t r o p ya n dm u l t i p l ec o n s t r a i n tc o n d i t i o n sa r e t y p i c a lc h a r a c t e r so f3 Dd a t am o d e l i n go fg e o s c i e n c ea n dm i n i n g ．I ti s ak e yp r o b l e mf o ra l g o r i t h m o fg e n e r a t i n gt e t r a h e d r o n st oe n s u r et h a te v e r ys i m p l eg e o l o g i c a lb o d y ’Sb o u n d a r yi sc o n f o r m a n c e ． T or e s o l v et h i sp r o b l e m ，af a s td i v i d e c o n q u e ra l g o r i t h mi sp r o p o s e dt oe f f i c i e n c yg e n e r a t e D e l a u n a yt e t r a h e d r o nm e s hf r o mag i v e np o i n ts e t ．F i r s t l y ，t os e p a r a t eag e o s c i e n c em o d e li n t oo n e o rm a n ys i m p l eg e o l o g i c a lb o d i e sw h o s eb o u n d a r i e st h e na r ei n t e r s e c t e di n t oD e l a u n a yt r i a n g l e s ． S e c o n d l y ，f o re v e r yg e o l o g i c a lb o d y ，s t a r t i n gw i t has e e db o u n d a r yt r i a n g l e ，t h ea l g o r i t h mg r o w s r e c u r s i v e l yt e t r a h e d r o nm e s h e so fe v e r yg e o l o g i c a lb o d yb ys e l e c t i n gas u i tp o i n t f r o mg i v e np o i n t c l o u d ．F i n a l l y ，a l lt e t r a h e d r o nm e s h e so fe v e r yg e o l o g i c a lb o d ya r ej o i n e dt o g e t h e r ．I n t h i s a l g o r i t h mt h eb o u n d a r yc o n f e r e n c e i s e n s u r e d ，o v e r l a p p e dt e t r a h e d r o n sa r ea v o i d e d ，a n dm o s t g e n e r a t e dt e t r a h e d r o n sa r eD e l a u n a y ． K e yw o r d s 3 DG e o S c i e n c eM o d e l i n g ；D e l a u n a y ；T e t r a h e d r o n ；M e s hG e n e r a t i o n ；B o u n d a r y C o n f o r m a n c e 收稿日期2 0 0 4 1 1 1 0 基金项目教育部科技重大项目 2 0 0 4 2 9 8 ；跨世纪优秀人才基金 2 0 0 0 3 ；河北省科技厅攻关项目 0 3 2 1 3 5 1 2 5 作者简介武强 1 9 5 9 一 ，男，内蒙古清水河县人，教授，博士生导师，从事水资源与水环境、G I S 应用、三维地质体建模等方面的研究 E m a i l w u q i a n g z g k d s i n a ．c o r n T e l 0 1 0 - 6 2 3 1 4 6 8 1 万方数据 中国矿业大学学报 第3 4 卷 地质学及矿山研究对象大多是三维空间实体， 主要特点是结构复杂、非均质、各向异性、约束条件 多样，其几何建模除了表达地质体的外部空问形态 外，还要能够表达内部形态特征，如地层、断层等． 二维和．2 ．5 维都难以表达复杂的地下三维地质与 工程问题，缺乏动态处理和时空分析能力，为实现 对矿山空间数据进行有效地集成管理、动态处理和 时空分析，必须引入三维地学建模． 近年来，在三维数据模型方面，不少学者进行 了大量的研究，如八叉树模型、四面体模型、基于八 叉树和四面体网格的混合数据模型、矢量与栅格集 成模型[ 】] 、三棱柱模型[ 2 ’3 ] 、类三棱柱模型等．国内 外学者对四面体模型在地质中的应用进行了研究， 认为四面体模型可以较好地应用于地质矿山领 域n ] ．四面体是T I N 模型向三维的扩展，它不仅可 以描述空间实体的表面形态，而且可以通过插值精 确表达空间实体的内部不均一性．由于四面体是用 面最少的体元，对其进行数据操作计算量小，可以 有效地进行三维插值运算及可视化．尽管如此，四 面体模型到目前为止仍然没有真正应用到地质领 域中，也很少在商业三维软件中被采用．其中一个 重要的原因是四面体模型缺乏高效的网格生成的 算法． 目前二维任意域的D e l a u n a y 三角化已有实现 算法[ 5 _ 6 ] ，三维凸域的D e l a u n a y 四面体网格生成算 法也比较成熟，但针对三维任意域四面体网格生成 算法理论上还没有定论．由于地质体十分复杂，多 个地质体互相交错，单个地质体内还可能有多个空 洞，网格生成过程需要考虑多个不同地质体之间边 界一致问题．本文针对地质体的复杂性，提出了一 种高效的四面体网格生成算法． 1基本概念 1 散乱点位置分布不规则的点．地质勘探、 钻井获取的数据属于散乱点． 2 四面体网格生成将空间中任意分布的离 散点用直线连在一起，形成在空间既不重叠又无间 隙的紧邻四面体集． 3 D e l a u n a y 规则其特点是在三维情况下剖 分结果符合空球原则，即每个四面体外接球面内不 包含其他点．在二维情况下剖分结果符合空园原 则，即每个三角形的外接园弧内不包含其他点E 7 - 8 3 ． 4 D e l a u n a y 四面体符合D e l a u n a y 规则的四 面体． 5 D e l a u n a y 三角形符合D e l a u n a y 规则的三 角形． 6 约束D e l a u n a y 剖分在实际应用中，部分散 乱点之间常常存在某种约束关系，在对这些数据点 进行D e l a u n a y 剖分时，剖分结果既要符合 D e l a u n a y 规则，又要保证离散点之间的约束关系， 称这样的剖分为约束D e l a u n a y 剖分．在地质体剖 分过程中，由于地质体之间交错或包含，还有断层、 逆断层和褶皱的存在，剖分结果必须保证各地质体 之间边界的一致性，因此约束条件十分复杂． 7 简单数据域建模范围内连续分布的具有 同一特征的单一地质体． 8 复合数据域组成三维地质模型的所有地 质体的总和，由多个简单数据域组成． 2 地质体四面体剖分算法面临的关键难题 1 简单数据域边界重构为了实现地质体的 三维可视化和数字化空间分析、空间查询等操作， 必须首先对地质体包含的对象进行几何描述，重构 对象的边界．由于关于地质体的原始数据由大量勘 探数据组成，这些数据多为散乱点，如果对这些数 据点不加任何约束，剖分结果就会出现一些意想不 到的错误，如两个相连的体边界问出现四面体交叉 或者缝隙，为避免这些问题的发生，本算法首先将 给定的三维地质模型划分为多个简单区域，然后将 各个简单区域边界进行剖分，使得原来相连续的不 同简单数据域之间有共同的边界，该边界由相同的 D e l a u n a y 三角形边界组成． 2 地质体约束D e l a u n a y 四面体剖分边界一致 性各个简单数据域的外边界D e l a u n a y 三角形集 合将作为剖分的约束条件，剖分结果必须保证各地 质体之间边界的一致性．为实现这一目的，本算法 采用一种基于面扩展的分治算法，先将各个简单数 据域进行剖分，再将各个简单数据域四面体集合合 并在～起．每个简单数据域剖分时，将该数据域边 界D e l a u n a y 三角形集合作为初始数据，基于一个 已知的边界D e l a u n a y 三角形构造第一个四面体， 然后基于这个四面体的新生成的三角形依次构造 新的四面体． 3 地质体剖分算法描述 3 ．1 地质体剖分主算法 已知三维地质体模型5 由散乱点集S 一{ 口J 副 ∈R 3 组成，每个散乱点包含一个属性值． 算法步骤如下 1 利用区域递归分割算法将给定的三维地质 万方数据 第5 期武强等面向矿区复杂地质体的四面体生成算法 6 1 9 体模型S 分割为空间连续属性一致的多个简单数 据域．S Y S ，S 。一 口i7 ．3 ∈R 3 } 是划分得到的每 l 1 个简单数据域，n 是简单数据域的个数．区域递归 分割算法在文献E 9 3 中已做详细介绍，这里不再描 述． 2 将5 ，进行D e l a u n a y 三角剖分，构成三角形 集合a f l { f l 厂一 可．I Ii 一1 ，2 ，3 ，u i ∈R 3 } ．由于任 意区域的三角形剖分方法已经基本成熟，有许多算 法可以参考，这里不再赘述．本文算法采用文献[ 9 一 1 0 3 中提供的算法实现，效果很好． 3 利用基于面扩展的四面体网格生成算法t r i E x t e n d ，对每个简单数据域S ，进行D e l a u n a y 四 面体剖分． 4 按照以上步骤剖分完毕后，当前区域可能 会存在一些剩余小区域，难以剖分为D e l a u n a y 四 面体，可以将剩余区域剖分为一般四面体． 5 将各个简单数据域5 ，四面体归并在一起． 3 ．2 一种基于面扩展的四面体网格生成算法 t r i ．E x t e n d 3 ．2 ．1 t r iE x t e n d 算法思想 算法t r iE x t e n d 是一个递归的分治算法，主 程序调用函数输入简单数据域S i 的散乱点坐标集 合声和边界D e l a u n a y 三角形集合，输出结果为剖 分所得四面体集合． 为提高四面体剖分效率，算法的核心思想是在 递归过程中依次利用垂直于X 轴、y 轴或者Z 轴 的平面a l lf a c e 将给定数据域空间分为两个半空 间p 1 和p 2 ，并将初始边界三角形和四面体生成过 程中产生的新三角形，按照与平面a f I ．f a c e 交叉、 在平面a f lf a c e 左侧、右侧的位置不同依次存放在 三角形链表a f t 0 ，a l l l ，a f l 2 中．本次函数调用过程 仅对与平面a f lf a c e 相交的三角形构造D e l a u n a y 四面体．然后递归调用函数，依次在半空间p 1 和 声2 中构造四面体． 3 ．2 ．2 t r iE x t e n d 函数算法描述 算法中a f l 是主程序传来的简单数据域边界 三角形邻接面表，a J t O 是与当前平面相交的三角 形邻接面表，a N l 是在点集声1 侧的三角形邻接面 表，a f l 2 是在点集夕2 侧的三角形邻接面表．其中 a f lf a c e 可以是垂直于X 轴、y 轴或者z 轴的平 面，初始值为垂直X 轴的平面，a f Zf a c e 有两个属 性值表示平面垂直的坐标轴和坐标轴的值，坐标轴 的值取当前区域包含点对应坐标的最大值和最小 值的平均值． t r i E x t e n d 函数声明F u n c t i o nt r i E x t e n d 口f l f a c e 切割面，夕l i n k 点集，a f l 三角形邻接 面表 四面体链表； 算法步骤如下 1 置三角形链表a f l O ，a l l l ，a f t 2 初值为空； 2 使用一个平面a j qf a c e 将点集P 分割为 三部分户o ，户1 和夕2 ． 3 f o re a c h 厂∈a f ／d o { 摘除．厂； i f 厂与a l lf a c e 平面相交 t h e n 将厂插入链表a f l O 中 e l s e i f 厂包含于p 1 t h e n 将厂插入链表a f l l 中 e l s e i f 厂包含于p 2 t h e n 将厂插入链表a l l 2 中 4 w h i l e 口j q 0 ≠西 d o { 摘除a f t 0 中当前指针所指向的三角形到 变量厂中；调用簇状四面体集构造算法构 造四面体组tl i n k ； t e nl i n k t e nl i n kU t l i n k ； f o re a c ht ∈t l i n kd o f o re a c hf 1 ∈f a c e s t A N Df 1 ≠厂d o { i f 厂与a f lf a c e 平面相交 t h e n U p d a t e 厂，a f ／O ； e l s e i f 厂包含于p 1 t h e nU p d a t e 厂，a f l l ； e l s eU p d a t e 厂，a f l 2 ； } 5 求a f lf a c e 的新值； 6 i fa f l l ≠圣 t h e nt e nl i n k t e nl i n k U t r iE x t e n dl 口月 f a c e ，Si d ，p l ，a f l l ； 7 i fa l l 2 ≠函 t h e nt e nl i n k 一- t e nl i n kUt r iE x t e n dl 以月 f a c e ，P 2 ，a f ／2 ； 8 r e t u r n t e n l i n k ； 3 ．2 ．3 t r i E x t e n d 算法中几个子函数描述 1 三角形插入函数I n s e r t 与更新函数U p d a t e I n s e r t 函数与U p d a t e 函数不同．I n s e r t 功能是 将新三角形插入到指定链表中．U p d a t e 函数功能 复杂一些．由于三角形链表a f Z O ，a f t l ，a f t 2 中存放 的三角形是当前区域的边界三角形或者在构造四 面体过程中产生的中间三角形，这些三角形只能再 出现在一个四面体中，因此算法思想是首先判定 万方数据 6 2 0中国矿业大学学报第3 4 卷 三角形是否在链表中，若在则该三角形已经出现在 两个四面体中，直接删除；若当前链表没有该三角 形，则插入到链表中，以备以后构造新四面体． 2 簇状四面体集算法M a k e S i m p l e x M a k e S i m p l e x 函数的功能是依据给定的三角 形f 在当前给定区域P 内构造新的四面体，该函数 返回值是一个四面体链表，因为算法生成的是一组 四面体，因此称为簇状四面体集算法． M a k e S i m p l e x 函数算法思想是依据给定的三 角形f 构造一个D e l a u n a y 四面体t ，t 与当前已经 构造的四面体集合和已知的当前数据域边界三角 形没有重叠和交叉．构造t 的过程实际上是寻找与 三角形f 对应的另一个顶点的过程，在这个过程中 同时记录下与t 顶点在同一个外接球球面上的其 他顶点集合，存放在链表vl i n k 中．四面体t 构造 成功后，会生成除f 之外的新三角形，这些新三角 形与链表vl i n k 中的顶点连接构造的四面体仍然 是D e l a u n a y 四面体，所以可以为这些新产生的三 角形在链表vl i n k 中寻找合适的点构造新四面 体，由于链表vl i n k 中的顶点数量比给定区域P 中顶点数量少得多，从而算法效率将会大大提高． 3 ．3 剩余区域四面体网格生成的方法 按照算法t r iE x t e n d 剖分完毕后，如果地质 构造复杂的区域取点均匀，当前区域可生成完全 D e l a u n a y 四面体网格，但当区域内数据点分布不均 匀或者区域过于复杂的情况下，可能会存在一些剩 余小区域，难以剖分为D e l a u n a y 四面体，可以将剩 余区域剖分为一般四面体．可采用文献[ 1 1 ] 的方法 或者采用如下策略将剩余区域分割为多个独立的 凸体，对于每个凸体的各个顶点，依次将依据该顶 点的相邻两个三角形连为一个四面体． 四面体集合内，保证了地质体四面体网格生成结果 的边界一致性． 2 避免四面体单元重叠．在四面体网格生成 过程中采用了基于面扩展技术，构造四面体依据的 三角形或者是边界三角形，或者是生成的四面体的 新三角形，因此在算法中保证这些三角形最多只参 与一次四面体的构造，同时在为每个三角形寻找对 应顶点时保证生成的每个新四面体不会与已经存 在的四面体和边界三角形交叉，以避免四面体单元 重叠． 3 网格生成的速度快．由于算法依据边界三 角形构造四面体，减少了边界一致的检测过程；四 面体构造中采用了分治的思想，采用了切割平面将 给定区域划分成了小区域，随着递归的深入，区域 越来越小，包含的顶点数量越来越少，从而四面体 生成的速度就越快；子算法簇状四面体集算法 M a k e S i m p l e x 一次生成多个四面体，也大大提高了 算法效率． 4 面向矿区复杂地质体的四面体网格生成对 三维地质重构和空间分析具有重大的理论意义和 应用价值，但如何生成任意区域完全D e l a u n a y 四 面体网格仍然是一个有待于进一步研究的重要课 题． 参考文献 [ 1 ]王新生，刘纪远，庄大方，等．一种新的构建V o r o n o i 4结论 [ 2 ] 本文分析了复杂地质体四面体剖分存在的关 键问题，针对这些问题提出一个切实可行的算法， 该算法具有如下特点 1 实现了边界一致性．由于主算法中首先对 给定地质体复合区域进行了划分，并对各个简单区 域进行了边界一致的三角剖分，然后才对各个简单 u 。 区域进行四面体网格生成．在各简单区域的剖分过 程中，将边界三角形作为约束条件和初始数据，依 据这些三角形构造四面体，所以保证了各个边界三 角形位于当前简单区域和相连的两个简单区域的 图的栅格方法E J ] ．中国矿业大学学报，2 0 0 3 ，3 2 3 2 9 3 2 9 6 ． W a n gXS ，L i uJY ，Z h u a n gDF ，e ta 1 ．N e wr a s t e r b a s e dm e t h o df o rc o n s t r u c t i n gv o r o n o id i a g r a m s [ J ] ． J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g y ， 2 0 0 3 ，3 2 3 2 9 3 2 9 6 ． 芮小平，杨永国，奚砚涛．一种基于三棱柱的三维地质 体可视化方法研究口] ．中国矿业大学学报，2 0 0 4 ，3 3 5 5 8 4 5 8 8 ． R u iX P ，Y a n gY G ，X iYT ．S t u d yi n t ov i s u a l i z a t i o n o f3 Ds t r a t u mb a s e do nt r i a n g u l a rp r i s m [ J ] ．J o u r n a l o fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g y ，2 0 0 4 ， 3 3 5 5 8 4 5 8 8 ． ‘ W uLX ．T o p o l o g i c a lr e l a t i o n se m b o d i e di nag e n e r a l i z e dt r i p r i s m G T P m o d e lf o ra3 Dg e o s c i e n c e m o d e l i n gs y s t e m [ J ] ．C o m p u t e r s G e o s c i e n c e s ， 2 0 0 4 ，3 0 4 3 2 】一4 4 3 ． 下转第6 2 5 页 万方数据 第5 期王德鲁等基于生态观的产业转型中价值转化模型构建 6 2 5 [ 4 ] [ 5 3 [ 6 ] [ 7 ] m a t h e m a t i c a lm o d e l so ft h et r a n s f o r m a t i o no fr e g i o n a l L i a o n i n g c o a li n d u s t r y [ J ] ．C h i n aS o f tS c i e n c e ， 2 0 0 2 ，5 9 2 9 7 ． L a m o n tBT ，H o f f m a nJJ ．C o m p e t i t i v ed e c i s i o nm a k i n gi nd e c i l i n i n gi n d u s t r y [ J ] ．I n t e r n a t i o n a lJ o u r n a lo f O r g a n i z a t i o n a lA n a l y s i s ，1 9 9 3 ，1 2 2 0 3 2 1 5 ． 芮明杰．产业致胜[ M ] ．杭州浙江人民出版社，1 9 9 9 ． 1 5 4 1 6 0 ． 陆国庆．衰退产业论[ M ] ．南京南京大学出版社， 2 0 0 2 ．1 9 8 2 0 2 ． 张青，尹自胜，王泉福．煤炭企业退出战略决策模型 及其实证研究[ J ] ．中国矿业大学学报，2 0 0 3 ，3 2 3 2 7 4 2 7 8 ． Z h a n gQ ，Y i nZS ，W a n gQF ．M o d e lo fs t r a t e g i c d e c i s i o no ne x i to fac o a lm i n i n ge n t e r p r i s ea n di t s p o s i t i v er e s e a r c h [ J ] ．J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo f M i n i n g ＆T e c h n o l o g y ，2 0 0 3 ，3 2 3 2 7 4 2 7 8 ． [ 8 ] 舒元，谢识予．现代经济增长模型[ M ] ．上海复旦 大学出版社，1 9 9 8 ． [ 9 ]W a c k e r n a g e lM ．N a t i o n a ln a t u r a lc a p i t a la c c o u n t i n g w i t ht h ee c o l o g i c a lf o o t p r i n tc o n c e p t [ J ] ．E c o l o g i c a l E c o n o m i c s ，1 9 9 9 ，2 9 3 7 5 3 9 0 ． [ 1 0 ]J e r o e nM ．S p a t i a lS u s t a i n a b i l i t y ，T r a d ea n di n d i c t o r s A ne v a l u a t i o no ft h e ‘e c o l o g i c a lf o o t p r i n t ’[ J ] ． E c o l o g i c a lE c o n o m i c s ，1 9 9 9 ，2 9 6 1 7 2 ． 责任编辑邓群 上接第6 2 0 页 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] 孙敏，薛勇，马蔼乃，等．基于四面体格网的3 维 复杂地质体重构口] ．测绘学报，2 0 0 1 ，3 1 4 3 6 1 3 6 5 ． S u nM ，X u ey ，M aAN ，e ta 1 ．R e c o n s t r u c t i o no f3 D c o m p l e xg e o l o g i c a lb o d i e sb a s e do nt e t r a h e d r o nm e s h 口] ．A c t aG e o d a e t i c ae tC a r t o g r a p h i e aS i n i c a ，2 0 0 1 ， 3 1 4 3 6 1 3 6 5 ． S l o aSW ．Af a s ta l g o r i t h mg e n e r a t i n gc o n s t r a i n e dd e l a u n a yt r i a n g u l a t i o n o fb o u n d a r ys u r f a c e s [ J ] ． C o m p u t e r s S t r u c t u r e s ，1 9 9 1 ，3 9 5 4 9 3 5 0 0 ． 徐永安，杨钦．三维约束D e l a u n a y 三角化的实现 I - j ] ．软件学报，2 0 0 1 ，1 2 0 1 1 0 3 1 0 8 ． X uYA ，Y a n gQ ．T h ea l g o r i t h mo f3 Dc o n s t r a i n e d d e l a u n a yt r i a n g u l a t i o n [ J ] ．J o u r n a lo fS o f t w a r e ， 2 0 0 1 ，1 2 1 1 0 3 1 1 0 ． V i c t o rJD T ．D e l a u n a yt r i a n g u l a t i o n si nc r e a t i o n A n o v e r v i e wa n dal i n e a r t i m e a l g o r i t h m [ J ] ． [ 8 ] [ 9 ] [ 1 0 ] [ 1 1 ] I n t e r n a t i o n a lJ o u r n a lo fG e o g r a p h i c a lI n f o r m a t i o n S y s t e m s ，1 9 9 3 ，7 6 5 0 1 5 2 4 ． W a t s o nDF ．C o m p u t i n gt h eN D i m e n s i o n a lD e l a u n a y T e s s e l l a t i o nw i t hA p l l i c a t i o nt oV o r o n o iP o l y t o p e s ． T h eC o m p u t e rJ o u r n a l 2 4 ，1 9 8 1 ． 徐华，武强．基于层状结构的三维地质体可视化 设计与实现E J ] ．计算机应用，2 0 0 1 ，2 1 1 2 5 9 6 0 ． X uH 。W uQ ．A na p p r o a c ht oc o m p u t e rm o d e l i n ga n d v i s u a l i z a t i o no fg e o l o g i c a lf a u l t si n3 D E J ] ．C o m p u t e r s G e o s c i e n c e s ，2 0 0 3 ，2 9 4 5 0 7 5 1 3 ． X uH ，W uQ ．D e s i g n ＆i m p l e m e n t a t i o no fv i s u a l i z a t i o nf o r3 ds a m d w i c hg e o l o g i c a lb o d i e s E J ] ．C o m p u t e r A p p l i c a t i o n s ，2 0 0 1 ，2 1 1 2 5 9 6 0 ． J o e lC ．L a z yc o n s t r a i n e dt e t r a h e d r a l i z a t i o n [ A ] ． P r o c e e d i n g s4 t hI n t e r n a t i o n a lM e s h i n gR o u n d t a b l e E c ] ．A l b u q u e r q u e S a n d i aN a t i o n a lL a b o r a t o r i e s ， 】9 9 5 ．】5 2 6 ． 责任编辑姚志昌 万方数据