平均空间占有量对混沌的度量——均匀度理论之应用.pdf

第3 6 卷第5 期中国矿业大学学摄 V 0 1 ．3 6N o 。5 2 0 0 7 每9 秀J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g yS e p , 。2 0 0 7 文豢编号1 0 0 0 m 1 9 6 4 2 0 0 7 0 5 - - 0 6 9 6 - - 0 5 平均空间占有量对混沌的度量 均匀度理论之应用 罗传文，王强，惠巍巍，毛 琼 东北林业大学林学院，黑龙泼哈尔滨1 5 0 0 4 0 撼餮对予一条离散的、混沌的轨遭，独占臻体积是轨道上一个点酌空阍占有量，惫步混沌强度 k S C M 是轨道的平均空间占有薰，它被用于度量混沌轨道的特征．取k 一4 0 0 ，应用4 0 0 步混沌 强度 4 0 0 S C M ，对L o r e n z 系统和H e n o nm a p 进行分析，4 0 0 8 C M 与李豫普诺夫指数有相似姆 走势。L o r e n z 系统的P r a n d t ] 【数a 每4 0 0 S C M 酌关系是单调的，R a y l e i g h 数b 在[ 1 2 ，z 8 3 的区蔺上 是混沌的，没有准周期窗口，但参数c 与4 0 0 S C M 的关系不是单调的，说明农C ∈[ 2 ．6 6 6 ，4 ．5 6 6 ] 区阏上，准周期窗1 7 与混沌窗口交错。对H e n o nm a p 的计算结果表明b l 。7 舞a 1 ．3 附近存 在准周期窗糟．基于上述计算结果得出k 步混沌强度能够准确度量混沌特征． 关键词独占球；瞬时混沌强度；k 步混沌强度；混沌；L o r e n z 系统 中豳分类号O1 8文献标识弼A C h a o sI n t e r p r e t e db yt h eA v e r a g eM A p p l i c a t i o no fU n i f o r m i t y o n o p o l i z e dS p a c e T h e o r y L U OC h u a n - w e n ，W A N GQ i a n g ，H U IW e b - w e i ，M A OQ i o n g S c h o o lo fF o r e s t r y ，N o r t h e a s tF o r e s t r yU n i v e r s i t y ，H a r b i n ，H e i l i n g j i a n g1 5 0 0 4 0 ，C h i n a A b s t r a c t T oad i s c r e t ea n dc h a o t i co r b i t ，m o n o p o l i z e ds p h e r ec a p a c i t yi st h em o n o p o l i z e ds p a c e o fap o i n to nt h eo r b i t ，ks t e pe h a o m e t r y k S C M i st h ea v e r a g em o n o p o l i z e ds p a c eo ft h eo r b i t ， w h i c hi su s e dt Om e a s u r et h ee h 簌r a c t e | r i s t i c so ft h ec h a o t i co r b i t ．．L e tk 4 0 0 ，4 0 0 S C Mw a s u s e dt oa n a l y z eL o r e n zs y s t e ma n dH e n o nm a p ．T h er e s u l t ss h o wt h a t4 0 0 。q 3 Ma n dL y a p u n o v e x p o n e n tt r e n ds i m i l a r l y ．，T h er e l a t i o n sb e t w e e nba n d4 0 0 S C Mo fL o r e n zs y s t e ma r em o n o t o n e ， t h e r ei sr i oq u a s i - - p e r i o d i cw i n d o wi nb ∈[ 1 2 ，1 8 3 ．B u tt h er e l a t i o n sb e t w e e nCa n d4 0 0 S C Ma r e n o tt h es a m e ，w h i c hs h o wt h a tt h e r ea r eq u a s i - p e r i o d i ca n dc h a o t i cw i n d o w sa l t e r n a t e l yi nc ∈ [ 2 ．6 6 6 ，4 ．5 6 6 ] 。B a s e do nt h es y m u l a t i o no fH e n o nm a p ，t h e r ea r eq u a s i ．m p e r i o d i cw i n d o w sa b o u tb 一1 ．7a n da 一1 。3 。I ti Sc o n c l u d e dt h a t 惫s t e pc h a o m e t r yc a nb eu s e dt Om e a s u r et h ee h a - - o t i cc h a r a c t e r i s t c so fad y n a m i cs y s t e m ． K e yw o r d s m o n o p o l i z e ds p h e r e ；i n s t a n t a n e o u sc h a o m e t r y ；奄s t e pc h a o m e t r y ；c h a o s ；L o r e n z s y s t e m 文献[ 1 ] 应用了瞬时混沌强度 I C M 对R o b e f tM a y 模型的混沌性质进待了解辑，实代步数取 80 0 0 ，其精度很高．但I C M 随着实代步数的增加， 诗算爨呈酚乘增长，对予R o b e r tM a y 模登，L o g i s - 收稿日期；2 0 0 6 0 5 0 9 基金璞嗣国家重点熬础研究发鼹艇勉 9 7 3 硬霹 2 0 0 2 C B l l l 5 0 4 ；国家“十一五”辩按变撑硬基 2 0 0 6 B A D 0 3 A 0 4 0 4 终者薅穷罗转交 1 9 6 2 一 ，舞，嚣j | | 雀蹇墓天，教授。薅垒等瘁，获事菲线毪辩学、空越信惠学纛生耪数学方嚣瓣掰究． E - n m l i lI c w l 2 3 4 5 6 2 0 0 04 y a h o o ．t o m 。c nT e l } 1 3 9 4 5 1 4 8 5 4 3 万方数据 第5 期罗传文等平均空间占有量对混沌的度量均匀度理论之应用6 9 7 t i cm a p ，H e n o r lm a p ，实代步数取80 0 0 ，计算结果 非常精确瞳] ．对于L o r e n z 系统，实代步数增长到 10 0 00 0 0 ，仍不收敛．如果将轨道分割开，对一段 较短的轨道 实代步数取4 0 0 求配M ，并将其平 均 4 0 0 s [ 1 M ，发现其收敛速度很快．本文正是引 用了4 0 0 S C M 的收敛性定理，用于判断周期窗口 的出现，4 0 0 S C M 对任何混沌模型有效，且计算速 度很快，对高维混沌模型的任意个分量仍有效，这 是所有其它混沌指标所不具备的特性． 均匀度理论是对生态学格局研究的进一步总 结[ 3 q ] ，也可称为空间占有理论，均匀度与分维之间 也有一定的关系[ s 嵋] ．对格局均匀性的研究方法，可 以进一步引入混沌轨道的研究，结果发现，所谓混 沌强度其本质上就是均匀度，只要能精确度量均匀 就能精确度量混沌，混沌的轨道可以视为有统一规 则 该规则就是差分方程 支配的格局． 混沌主要的研究工具有分维、L y a p u n o v 指 数、近似熵、L e m p e rZ i v 复杂度[ 7 ．1 0 ] ．这些指数可以 分为3 大类L y a p u n o v 指数是基于距离的第1 类， 分维和熵是基于体积 测度 的第2 类，复杂度是第 3 类．作者在研究格局的基础上发现了均匀度理 论[ 4 ] ，进而定义了瞬时混沌强度 J 叫 和k 步混 沌强度 k S C M ，它可解释为基于距离和体积相结 合的以概率论为基础的指数，从轨道观测值计算的 4 0 0 S C M 与通过模型计算的最大L y a p u n o v 指数 有很好的吻合，这说明了4 0 0 S C M 对描述混沌程 度的有效性． 1 理论与方法 定义1设S 为靠维欧氏空间的有限点集，对 任意z ∈S ，记M z 一m i n d z ，y ，记M P z j ∈5 ，≠o Y ，称为紧邻，称M z 为紧邻距离．其中d 是欧 氏距离．将以z 为球心，M z ／z 为半径的闭球记为 B z ，称为z 的独占球，它的体积记为口 z ；B s c 的外切闭立方体有无限多个，记其中之一为 C U x ，称为z 的独占体，它的体积记为w z ． n 维球的体积为 V 。 r 一型竺一， 咒；1 ，2 ，⋯ ， 1 r 号 ， 式中r 为球的半径；r z 为r 函数． 根据定义1 显然有，独占球B z 的半径为 M x ／2 ，独占体的体积为M z ”，再根据式 1 ， 有 口 z ，一u 半 等‰c 扩， 2 似曲一M ∞“一南认d 3 定义2 瞬时混沌强度，I C M 设Ⅳ为力维 欧氏空间，Bc Ⅳ，，B B 有界，设口是，的参数 向量． z 抖l f x ”口 ， 4 对任意z 。∈B 和给定的k 。 一般k 。 1 00 0 0 ，记 轨道点集的一个子集为 S k o ，k 1 z 。，z t 。 1 ，⋯，z t 。 量】一1 ． 它的独占球总体积为 k I 一1 C x 。，k 。，k 。，曰 ∑ [ 1 X k o i ． 上式称为动力系统 4 的瞬时混沌强度，记为 I C M ．k 。称为空代步数，k 。称为实代步数．称 G z o ，k o ，k 1 ，k 2 ，m ，口 ，”P 一1 土∑C x 。，k o i k2 ，k 。，口 1 H z 0 为k 。步混沌强度，记为惫。S C M ，并记 D G z o ，k o ，k l ，k 2 ，m ，口 击要[ 弛m 。 翰札幻一 G x o ，k o ，k 1 ，惫2 ，m ，口 ] 2 ． 可见，G 是C 的采样平均值，而嬲是C 的样本方 差． 对于模型 4 定义的动力系统，用广表示厂同 其自身的m 次复合，如果z 。 广 z 。 ，但对一切0 2 K ，但根 据其证明过程，显然结论对k 。一2 K 时仍成立．因 此把条件直接写成惫。≥2 K ． 万方数据 6 9 8中国矿业大学学报第3 6 卷 定理2 [ 1 3设Bc 辩，，B B ，基于 L i Y o r k e 的混沌定义‘川，设，在不可数集合B lc B 上是混沌的，则对任意z 。∈B 。，以及任意正整数 七。和忌l ，有 C z o ，忌o ，愚l ，口 0 ． 下面应用定理1 ，2 ，判断周期和混沌窗口． 2 4 0 0 S C M 的计算 文献[ 1 2 ] 应用I C M 对1 维和2 维的混沌动力 系统进行了解析，但配M 对3 维的L o r e n z 系统则 无法进行解析，为此发展了4 0 0 S C M ，它可以解析 任意维数的混沌动力系统．L o r e n z 系统的差分形 式为 z I z 扣l 勉 y 卜1 一z 卜1 ， Y Y k - l h b x k _ 1 一z 卜l z 卜l y 卜1 ， 6 z 52 一1 z 卜l y 扣l 一茂卜1 ， 式中口，b ，c 为参数． 一般动力系统的参数由小到大地变化，使动力 系统在周期与混沌之间交替地变化[ 5 ] ，根据定理 1 ，2 ，小的4 0 0 S C M 意味着周期，大的4 0 0 S C M 意味 着混沌．当动力系统的参数改变，使之从周期进入 混沌时，4 0 0 s C M 是连续变化的，反之，从混沌进入 周期时，4 0 0 S C M 则是突变的，在文献[ 5 ] 中已经表 现了这一现象． 式 6 中参数a 称为P a n d t l 系数，参数b 为 R a y l e i g h 系数．它们对式 6 的混沌性和周期性的 作用是完全不同的，下面研究参数b 与4 0 0 S C M 的 关系 见表1 和图1 ．取定参数a l O ．o ，c 2 ．6 6 66 ，b ∈E l O ，2 8 ] ，h 一0 。0 2 ．志1 4 0 0 ，愚2 2 0 2 。m 24 7 5 ． 表1参数b 与4 0 0 S C M 的关系 T a b l e1R e l a t i o no fba n d4 0 0 S C M 4 0 0 S C M 4 0 0 S C M z o 一0 ．2．r 0 一o ．2z o o ．5X o 0 ．2．2 7 0 0 ．2．i t - O 0 ．5 ．y o 0 ．2y o 0 ．2y o 0 ．5．y o 0 ．2y o 0 ．2y o 0 ．5 z o 一0 ．2z o 一0 ．2z o 0 ．5z o 0 ．2z o 一0 ．2z o 0 ．5 ， k o 95 0 0 0 0 1k o 一65 0 0 0 0 1k o 65 0 00 0 1k o 95 0 0 0 0 1k o 65 0 00 0 1k o 65 0 0 0 0 1 2 8 ．O26 9 7 ．3 5 926 6 6 ．6 7 527 2 4 ．9 7 01 8 ．54 9 1 ．1 4 6 04 7 5 ．0 3 74 7 7 ．1 9 0 Z 7 ．523 1 8 ．5 3 223 6 3 ．0 1 123 4 0 ．4 2 91 8 ．04 2 4 ．3 9 5 34 2 8 ．5 1 84 2 6 ．0 7 4 2 7 ．0Z2 1 9 ．8 8 022 3 0 ．6 9 721 8 0 ．0 5 01 7 ．53 6 9 ．6 5 3 13 6 6 ．5 8 03 6 7 ．6 3 3 2 6 ．5 20 8 2 ．2 7 421 1 2 ．2 8 620 1 8 ．0 6 1 1 7 ．03 3 2 ．8 7 9 73 3 2 ．1 9 23 2 7 ．9 3 4 2 6 ．018 8 5 ．6 5 619 2 6 ．0 7 019 1 9 ．0 0 51 6 ．52 8 7 ．1 4 3 52 8 1 ．1 1 12 7 9 ．5 9 2 2 5 ．517 0 6 ．4 6 217 6 7 ．3 6 417 7 7 ．0 0 7 1 6 ．O 2 4 8 ．0 5 9 5 2 5 0 ．4 0 5 2 4 8 ．4 4 8 2 5 ．015 9 0 ．8 6 516 1 4 ．6 6 415 9 4 ．3 7 21 5 ．52 1 5 ．9 3 0 22 1 7 ．4 1 02 1 9 ．3 8 4 2 4 ．514 7 1 ．2 3 014 5 8 ．0 9 014 8 4 ．6 4 71 5 ．O1 8 5 ．0 7 3 11 9 2 ．1 4 01 8 7 ．9 9 3 Z 4 ．O13 5 8 ．2 4 4 13 4 1 ．3 6 7 13 3 5 ．9 4 11 4 ．5 1 6 0 ．3 0 6 2 1 5 8 ．4 5 71 6 0 ．4 0 6 2 3 ．512 4 2 ．8 6 4．13 1 3 ．1 6 61Z 4 1 ．2 2 71 4 ．01 3 5 ．6 3 6 91 3 3 ．6 0 81 3 6 ．4 9 5 2 3 ．011 4 3 ．1 0 411 5 4 ．5 3 111 2 5 ．9 9 5 1 3 ．5 1 1 1 ．4 0 6 5 1 I O ．0 1 9 1 1 0 ．9 9 2 2 2 ．510 6 4 ．9 4 410 9 0 ．5 3 110 6 9 ．5 9 41 3 ．O8 6 ．9 3 1 18 7 ．8 9 58 7 ．6 3 5 2 2 ．09 6 8 ．2 2 39 7 3 ．9 1 29 6 8 ．6 5 01 2 ．56 4 ．7 8 3 66 5 ．4 4 46 5 ．2 7 4 2 1 ．5 8 6 3 ．4 7 48 9 0 ．7 4 48 7 3 ．4 7 71 2 ．04 6 ．8 9 2 24 6 ．7 9 4 4 6 ．7 2 0 2 1 ．O8 0 1 ．9 4 38 1 6 ．5 1 18 0 0 ．0 8 51 1 ．50 ．0 0 000 ．0 0 00 ．0 0 0 2 0 ．57 3 0 ．5 5 07 2 9 ．0 9 87 4 5 ．8 2 71 1 ．00 ．0 0 00 0 ．0 0 0 0 ．0 0 0 2 0 ．06 6 6 ．3 6 86 6 7 ．8 1 06 7 0 ．6 1 71 0 ．50 ．0 0 000 ．0 0 00 ．0 0 0 1 9 ．55 8 4 ．7 3 05 9 7 ．7 8 85 8 8 ．4 2 8 1 0 ．0 0 ．0 0 000 ．0 0 00 ．0 0 0 1 9 ．05 3 3 ．9 3 7 55 2 9 ．7 8 4 5 3 7 ．6 8 0 ≥ 爿 8 寸 b 图1参数b 与4 0 0 S C M 的关系 F i g ．1 R e l a t i o no fba n d4 0 0 N M 从表1 和图1 可见，参数b 与4 0 0 S C M 的关系 几乎是单调的，说明了4 0 0 ．s C M 对参数b 的解析能 力，文献E l - z ，5 ] 解释了如下的现象当参数改变 使动力系统从周期进入混沌时，4 0 0 S C M 是连续变 化的，而从混沌进入周期时，4 0 0 S C M 将会产生突 降，图1 中4 0 0 S C M 没有产生突降，意味着在计算 的区间上，动力系统很少有周期窗口．表2 为参数C 与4 0 0 S C M 的关系，当4 0 0 S c M 出现较大幅度的突 降时，将有周期窗口出现 见图2 ． 万方数据 第5 期罗传文等；平均空间占有量对混沌的度量均匀度理论之应用6 9 9 表2参数c 与4 0 0 S C M 的关系 毛 4 0 0 。七2 2 0 2 。肌 24 7 5 T a b l e2R e l a t i o no fca n d4 0 0 S C M ≥ 浇 莩 2 ．6 6 63 ．0 6 6 3 ．4 6 63 ．8 6 64 ．2 6 64 ．6 6 6 C 图2参数f 与4 0 0 S C M 的关系 c 一4 ．3 6 6 为周期窗口，周期为23 4 5 F i g ．2 R e l a t i o no ffa n d4 0 0 S C M 从图2 可见，在c ∈E 3 ．0 6 6 ，3 ．2 5 6 ] 的区间上 4 0 0 S C M 发生了突降 其它区间上也有发生 ，经过 两轮加细对c 的搜索步长，终于找到了关于f 的周 期窗口．取步长为0 ．0 1 搜索c 发现周期窗口 见表 3 ．从表3 可见，f ∈[ 3 ．1 5 6 ，3 ．1 5 8 ] 为一个连续的 周期窗口，对不同的初值4 0 0 S C M 几乎相等，这是 准周期窗口的特征． 表30 ．0 1 的步长搜索c 发现周期窗口 T a b l e3T h ep e r i o c l i cw i n d o w so tcw i t hs t e p0 ．01 f 步长0 ．0 1 4 0 0 N C Mf 步长0 ．0 0 1 4 0 0 S [ - 2 Mc 步长0 ．0 1 4 0 0 S C MC 步长0 ．0 0 1 4 0 0 S C M 3 ．0 6 635 4 8 ，9 9 23 ，1 4 626 3 3 ．0 8 03 ．】6 628 4 2 ．0 8 63 ．1 5 67 5 ．9 7 9 3 ．0 7 632 1 8 ．3 6 93 ．1 4 726 0 7 ．3 4 43 ．1 7 6 29 1 8 ．9 9 7 3 ．1 5 72 9 ．5 7 2 3 ．0 8 629 7 2 ．5 5 13 ．1 4 825 4 5 ．3 0 83 ．1 8 629 9 2 ．8 6 73 ．1 5 80 ．7 6 6 3 ．0 9 629 3 5 ．2 6 03 ．1 4 925 3 0 ．7 6 93 ．1 9 630 9 0 ．0 5 43 ．1 5 90 ．0 9 8 3 ．1 0 628 7 9 ．8 4 03 ．1 5 026 1 5 ．0 1 13 ．2 0 628 9 Z ．4 6 93 ．1 6 025 4 2 ．1 7 3 3 ．1 1 626 4 6 ．1 3 73 ．1 5 125 6 5 ．8 3 23 ．2 1 630 4 5 ．2 0 23 ．1 6 127 3 1 ．6 0 5 3 ．1 2 627 8 0 ．9 2 73 ．1 5 226 0 9 ．9 1 43 ．2 2 6 29 5 2 ．0 1 4 3 ．1 6 2 27 6 5 ．4 4 7 3 ．1 3 626 7 3 ．0 1 23 ．1 5 323 9 8 ．8 4 93 ．2 3 630 9 9 ．4 6 83 ．1 6 327 9 0 ．6 9 6 3 ．1 4 626 3 3 ．0 8 03 ．1 5 424 7 8 ．5 9 4 3 ．2 4 631 8 1 ．7 3 83 ．1 6 427 9 7 ．7 4 4 3 ．1 5 67 5 ．9 7 93 ．1 5 522 3 9 ．7 3 23 ．2 5 631 6 4 ．5 0 93 ．1 6 528 4 3 ．7 5 3 为了表现4 0 0 S C M 对不同的动力系统的解析 能力，对H e n o nm a p 进行计算，H e n o nm a p 可以 表示为 z 。一1 y 。一凹2 ， Y 。一缸。． 参数设置为a 一1 ．4 ，b ∈[ o ．1 3 ，0 ．3 ] ，z 。 0 ．1 ，3 ，o 一0 ．1 ，忌l 一4 0 0 ，五。一35 0 00 0 0 ，忌2 2 0 2 ．为了表示4 0 0 S C M 的有效性，下载了计算最大 L y a p u n o v 指数的标准程序，计算结果见表4 ． H e n o nm a p 的4 0 0 S C M 与b 的关系见图3 ，a 与 L y a p u n o v 指数的关系见图4 ．从图3 可见，4 0 0 S C M 对b 表现了很好的响应．b 一0 ．1 7 ，4 0 0 S C M 0 ， 此为准周期窗口．从图4 可见，从轨道观测值计算 的4 0 0 S C M 与通过模型计算的最大L y a p u n o v 指 数有很好的吻合．这说明4 0 0 l s C M 对混沌的解析能 力很强．一般情况，从轨道观测值计算的指数与从 模型计算的指数差距较大，而4 0 0 S C M 表现很好． 表4 参数口和6 以及L y a p u n o v 指数与4 0 0 5 C M 的关系 坠垒 垦 兰 竺竺竺 竺 生垦羔兰里竺竺竺 鲤 望丝 一对应b D 一 口 一 m4 0 0 S C M” 对应a 4 0 0 S C M L y a p u n o v 指数 栅湖咖姗咖姗咖姗o 4 3 3 2 2 I ● 万方数据 7 0 0 中国矿业大学学报第3 6 卷 ≥ 寰 莩 6 图3 H e n o nm a p 的4 0 0 S C M 与b 的关系 F i g ．3 R e l a t i o no fba n d4 0 0 S C Mi nH e n o nm a p 呈 羹 l 三 墓 莩 图4a 与L y a p u n o v 指数和4 0 0 S C M 的关系 F i g ．4 R e l a t i o no fa ，i n d e xL y a p u n o va n d4 0 0 S C M 基于上述的计算结果，可以预测对于给定的 动力系统式 6 ，对不同的初值，其配M 有相同的 分布，因为，4 0 0 S C M 对不同的初值，表现了很好的 稳定性，无论混沌的轨道有怎样不同，轨道间的 J 叫分布是相同的． 3 结论 1 当参数a ，b ，c 发生改变，从混沌进入周期 时，4 0 0 S C M 将产生突降，而从周期进入混沌时 4 0 0 。．q Z M 连续变化．4 0 0 S C M 表现了对混沌的精确 解析能力． 2 4 0 0 洲不受维数的限制，对于高维混沌， 只要观察到其中的一个或几个分量即可以计算 4 0 0 S C M ，这表明无论是连续的还是离散的动力系 统，模型的具体形式无关紧要，只要事先确定观测 的时间步长，从观测数据可直接计算／C M 和 4 0 0 S C M ，而不必对模型有任何假设． 3 独占球、均匀度、配M 和七S C M 可以从空间 占有的角度解释它们的关系，也可以类比微积分的 意义来解释它们． 4 从轨道观测值计算的4 0 0 S C M 与通过模型 计算的最大L y a p u n o v 指数有很好的吻合，说明 4 0 0 1 s 【S M 对混沌的解析能力很强． 参考文献 [ 1 3 罗传文．均匀度理论及其在混沌研究中的应用[ J 3 ． 中国矿业大学学报，2 0 0 5 。3 4 4 4 7 6 4 8 1 ． ’L U OC h u a n - w e n ．U n i f o r m i t yt h e o r ya n di t sa p p l y i n g s t u d i e so nc h a o s [ J ] ．J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo f M i n i n g ＆T e c h n o l o g y ，2 0 0 5 。3 4 4 4 7 6 4 8 1 ． [ 2 ] 罗传文．应用瞬时混沌强度解读混沌[ J ] ．科技导报， 2 0 0 5 3 2 4 2 7 ． L U OC h u a n - w e n 。C h a o si si n t e r p r e t e dw i t hi n s t a n t a n e o u sc h a o m e t r y [ J ] ．S c i e n c e T e c h n o l o g yR e v i e w ． 2 0 0 5 3 2 4 - 2 7 ． [ 3 3M O O R EPG ．S p a c i n gi np l a n tp o p u l a t i o n s [ J ] ．E c o l o g y ，1 9 5 4 3 5 2 2 2 2 2 7 ． [ 4 ] 罗传文。刘丹丹，王刚．均匀度理论[ J ] ．生物数学 学报，2 0 0 6 ，2 1 1 1 0 5 - 1 1 2 ． L U oC h u a n - w e n 。L I UD a n - d a n 。W A N GG a n g ．U n i f o r t u i t yt h e o r y [ J ] ．B i o - M a t h e m a t i c s ，2 0 0 6 ，2 1 1 1 0 5 1 1 2 ． [ 5 3 罗传文．均匀度理论在分形和混沌研究中的应用 [ J ] ．科技导报，2 0 0 4 1 2 3 1 3 5 ． L U OC h u a n - w e n ．U n i f o r m i t yt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o no nc h a o sa n df r a c t a l [ J ] ．S c i e n c e ＆T e c h n o l o g y R e v i e w ，2 0 0 4 1 2 3 1 - 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7 3 0 ． [ 1 0 3 杨世刚．东濮凹陷断裂构造的复杂程度评价[ J 3 ．中 国矿业大学学报，2 0 0 4 ，3 3 5 6 0 0 6 0 3 ． Y A N GS h i - g a n g ．E v a l u a t i o no fc o m p l e x i t yo ff a u l t s t u c t u r ei nd o n g p ud e p r e s s i o n [ J ] ．J o u r n a lo fC h i n a U n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y ，2 0 0 4 ，3 3 5 6 0 0 6 0 3 ． 责任编辑邓群 万方数据