三角形层合板单元及应力解的杂交化后处理.pdf

第3 5 卷第6 期 2 0 0 6 年1 1 月 中国矿业大学学报 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g8 LT e c h n o l o g y 文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 6 0 6 0 7 9 2 0 7 三角形层合板单元及 应力解的杂交化后处理 龙志飞1 ，杨燕艳2 ，岑松3 1 ．中国矿业大学力学与建筑工程学院，北京1 0 0 0 8 3 ； 2 ．中国建筑科学研究院，北京1 0 0 0 1 3 ；3 ．清华大学力学系，北京 1 0 0 0 8 4 V 0 1 ．3 5N o ．6 N o v ．2 0 0 6 摘要基于一阶剪切变形理论 F S D T ，构造了一个新型无闭锁的三角形复合材料层合板单元 C G C L L M T 9 ，并根据H e l l i n g e r R e i s s n e r 变分原理，运用应力杂交化后处理方法来改善此位移 型复合材料板单元所得应力解的精度，使得此单元能够简单、准确地预测出层合板的应力，特别 是层间横向剪应力，本单元可适用于复杂边界问题．数值算例表明，此单元不仅自由度少，列式 简单，且可以得到较高精度的位移解和应力解；是一种性能较好的厚薄板通用的复合材料层合板 三角形单元． 关键词有限元；复合材料层合板；一阶剪切变形理论；杂交化后处理 中图分类号T B3 3 ；T U3 3文献标识码A AN e wT r i a n g u l a rD i s p l a c e m e n t 。- B a s e dE l e m e n t f o rt h eA n a l y s i so fL a m i n a t e dC o m p o s i t eP l a t e sa n d I m p r o v e m e n tS t r e s sS o l u t i o n sb yaH y b r i dP r o c e d u r e L O N GZ h i f e i l ，Y A N GY a n y a n 2 ，C E NS o n 9 3 1 ．S c h o o lo fM e c h a n i c sa n dA r c h i t e c t u r e ，C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g y ，B e i j i n g1 0 0 0 8 3 ，C h i n a ； 2 ．C h i n aA c a d e m yo fB u i l d i n gR e s e a r c h ，B e i j i n g1 0 0 0 1 3 ，C h i n a ； 3 ．D e p a r t m e n to fE n g i n e e r i n gM e c h a n i c s ，T s i n g h u aU n i v e r s i t y ，B e i j i n g1 0 0 0 8 4 ，C h i n a A b s t r a c t B a s e do nt h ef i r s t o r d e r - s h e a rd e f o r m a t i o nt h e o r y F S D T ，an e ws i m p l ed i s p l a c e m e n t b a s e d ，t r i a n g u l a rb e n d i n ge l e m e n tf o rt h ea n a l y s i so fl a m i n a t e dc o m p o s i t ep l a t e s ，c a l l e d C G C L L M T 9 ，w a sp r e s e n t e di nt h i sp a p e r ，w i t h o u ts h e a rl o c k i n g ．W i t hH e l l i n g e r R e i s s n e r ，a n e ws i m p l eh y b r i dp r o c e d u r ew a sp r o p o s e dt oi m p r o v et h es t r e s ss o l u t i o n so fs u c hd i s p l a c e m e n t b a s e de l e m e n t s ．T h er e s u l t ss h o wt h a tb o t hd i s p l a c e m e n t si na n yc o n d i t i o na n ds t r e s s e s i nt h et h i c kp l a t e s ，e s p e c i a l l yt h et r a n s v e r s es h e a rs t r e s s e s ，c a nb eo b t a i n e d ．I nt h et h i np l a t e s ， e x c e p tf o rt h et r a n s v e r s es h e a rs t r e s s e s ，t h eo t h e r sc a nb eo b t a i n e d ．T h i se l e m e n ti sf i tt os o l v e t h ep r o b l e mw i t hc o m p l e xb o r d e r l i n e ．N u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a tt h ep r o p o s e de l e m e n ti s o fg o o dp e r f o r m a n c ef o rm o d e r a t e l yt h i c ka n dv e r yt h i nc o m p o s i t ep l a t e s ． K e yw o r d s f i n i t ee l e m e n t ；l a m i n a t e dc o m p o s i t ep l a t e ；f i r s t - o r d e rs h e a rd e f o r m a t i o nt h e o r y ； h y b r i d - e n h a n c e dp o s t _ p r o c e s s i n gp r o c e d u r e 收稿日期2 0 0 5 一0 9 一0 5 基金项目国家自然科学基金项目 1 0 2 7 2 0 6 3 作者简介龙志飞 1 9 5 7 一 ，男，北京市人，教授，从事结构数值计算方面的研究 E - m a i l l o n g z f s t a r s o h u ．c o r n T e l ．．0 1 0 6 2 3 3 1 3 5 8 万方数据 第6 期龙志飞等三角形层合板单元及应力解的杂交化后处理 7 9 3 层合材料以其强度重量比和刚度重量比高的 优点被广泛应用于国民经济的各个行业．由于其构 造上的特殊性和复杂性，对其有限元计算理论和计 算方法的研究一直受到高度重视．构造层合板单元 主要以下列理论作为基础[ 1 ] 基于K i r c h h o f f 假设 的经典层合板理论；基于M i n d l i n R e i s s n e r 的一阶 剪切变形理论 F S D T ；高阶剪切变形理论．而一 阶剪切变形理论适用于不同厚跨比的中厚板和薄 板，被广泛应用于层合板的理论分析和有限元的计 算．但是，常规一阶剪切变形理论的位移型单元都 采用了比较简单的插值函数，使得它们在确定横向 剪应力时性能不佳．因此，应力计算结果较好的杂 交或杂交混合元在层合板分析中占据了主导地 位[ 2 ] ．然而，杂交元公式比位移型单元要复杂得多． 此外，构造层合板单元同样要面临如何解决剪切闭 锁[ 3 。4 3 等问题． 文献f 5 ] 构造的G C L L M T 9 板单元，由于增 补了挠度场和剪应变场，具有薄厚通用，无剪切闭 锁现象发生，精度高、收敛性好的优点． 本文从一阶剪切变形理论与T i m o s h e n k o 层 合梁理论出发，将平面内双线性位移场引入到 G C L L M T 9 单元中，将其发展成为适用于任意铺 设情况的复合材料层合板单元C G C L L M - T 9 ．为了 解决位移型单元只是对位移场采用简单的插值函 数，计算层间剪力较困难，而且对横向剪应力预测 能力差的问题．本文将杂交化后处理方法[ 6 曲3 运用 到此位移型层合板单元中，来改善单元应力解特别 是横向剪应力解的精度．从而构造了一个列式和计 算过程都较杂交元[ 2 1 简单，无剪切闭锁现象，适用 于各种复杂边界问题，在相同网格情况下能得到精 度较好的位移和应力解的优良单元． 式中凹。] 为单元剪切应变矩阵， [ B 。] 一[ [ B 。。][ B 。。][ B 。。] ] ， 4 阻；， 去[ 篡{ 兰二羞0 二竺笠f f 二三三f ； 一c j 3 ； 玩L 。一k L l 一％艿。 S j L f b i L f 一q 乱 c f L 。一c 。L f 一c 。艿。 q L f c i L 』 以砖 6 i L 。一6 。L f 6 。艿。 b j L t b i L J ] 幻艿J f i L 。一％L f b m 。 c 』L i c i L 』 J i ，J ，m 1 ，2 ，3 ． 式 2 ～ 5 中各矩阵和系数见文献[ 5 ] ． y ’v 图1三角形层合板单元 F i g ．1 T r i a n g u l a rl a m i n a t e dc o m p o s i t ep l a t ee l e m e n t 设单元中面面内位移场为双线性位移场 3 Ⅳ一∑N T u ；， li 1 6 p 一∑N ；口i ， 式中N ；一L 。 i 1 ，2 ，3 ，L ；为三角形单元面积 坐标． 则单元中面面内应变场为 { 扩 [ 联] { 口 。， 7 1C G C L L M T 9 单元列式 式中 任意三角形3 结点层合板单元如图1 所示，其 自由度定义如下 { q 。 E u lV lW 1 以l 以1 ”2u 2 仍2 以2 以2 “3u 3W 3 也3 以3 ] T ． 1 利用广义协调条件得单元挠度场‘5 ] w W o w 。一[ N ] { 口 。一 [ B ] [ A ] [ B ] { 卢 一 E r - ] [ A ] [ B ] E M 。] E r 。] { g 。． 2 单元剪应变场 ㈩一㈥巾小口 e ， [ B ] 为单元面内应变矩阵， [ B ] 一[ [ B ，][ B 邑][ 丑。] ] ， 8 [ B ；] a N 一7 0000 d x 0 攀000 d V a N 一7 a N 7 000 a Y O x ， 9 f 1 ，2 ，3 ． 单元曲率场 { K kb2 ～] T [ 曰；] { g 。， 1 0 3 式中[ 成] 为单元弯曲应变矩阵， [ B ￡] [ [ B ￡。]E B b ][ B ；。] ] ． 1 1 万方数据 中国矿业大学学报 第3 5 卷 由单元的曲率场和面内应变场得 c 鄂，一{ 三’} 一[ } i ；] c g ，8 一[ B 。，t g ，。．c z 2 ， 层合板单元的应变能为 泸一如 e T 几。[ B p ] 1 E C 。] E B ，I d A q } 8 如 e T 几。[ 列T [ q ] E B 。] d A ㈨。， 1 3 式中 [ C D ] 和[ C ] 见文献[ 6 3 ． 由最小势能原理导出的单元刚度矩阵为 [ K ] 。一j JA c [ B 一] 7 E c 一3 E B 一] a A J J A 。[ B s ] T E c , 3 E B s ] d A 1 4 2 单元应力的杂交化后处理方法 按位移元的方法得到的板单元的横向剪应力 在板的每层都是常数，既不能反应层合板横向剪应 力非线性连续分布，也不能满足板的上下表面剪应 力为0 的边界条件，因此，采用文献E 6 ] 提出的内力 杂交化后处理方法对层合板的内力或应力进行重 新计算．这样做的目的将位移型单元和杂交型单元 的优点相结合，使单元既可以由位移型单元获得较 精确的位移解的同时，又可以获得较好的内力解， 同时又不使列式过于复杂． 2 ．1 假设单元的弯矩场和剪力场 设单元的弯矩场为 { M 一[ P M ] { 口M ， 1 5 式中{ M 一[ 尥鸭M 。] T ； 1 6 [ P M ] 厂L 1 L 2L 3 00000 0 ] 000 L lL 2 L 3 000l ； 1 7 L0 0 0 000 L 1L 2L 3 - | { 口M 一[ 口1口2口3 a 4a 5 口6 口7a 8a 9 ] T ； 1 8 口i i 一1 ，2 ，⋯，9 为待定参数． 设剪力场满足齐次平衡方程 fL1 { T 一 一 l T ，J 』尥一％，，l [ P T ] ‰ ， 1 9 l M x y ．。 鸭．，J 式中[ P r ] 一 1f b l b 2b 3 0 0 0 c 1c 2 白] 表lo o o 。，。c 。6 。6 。6 。l “2 ∞ A 为二角彤单兀的面积5 b i 一乃一Y k ，f ，一z { 一乃， 2 1 三盟一三塑 2 ．2 中面膜力场 单元中面膜力场{ N 保持不变，不进行杂交 化处理． 2 ．3 凝聚过程 根据H e l l i n g e r R e i s s n e r 变分原理，层合板的 泛函可写为 瓜一一扎。㈣T 慨r { M } d A 一 扎。{ T T [ D s ] _ 1 { T } d A - - 几。{ M 1 { K d A 几。㈣7 ㈩d A 一几。一 一丢{ 口M 叽。 E P M ] T [ D 。] ‘1 [ P M ] E e l ] T [ D 。] q [ P T ] 4 A { a M ‰ 叽。 [ P M ] T [ B c ] [ P T ] T 凹。] d A { g 。一W 。。。， 2 2 式中 W 。。为外力功， w e x p 一几。f 。w d A l 瓦叫 瓦驴。 砜驴， d s ． 2 3 Js 根据驻值原理焉一o ’可得 口M ] 一一[ K M M ] _ 】[ K M 。] 口} 。， 2 4 式中[ K M M ] 一一几。 [ P M ] 7 [ D 。] _ 1 [ P M ] E P T ] 7 [ D 。] - 1 [ P T ] d A ； 2 5 [ K M 。] 一几。 E P M ] T 暇] [ P T ] T [ B 。] d A ． 2 6 代人本构关系式中可重现单元弯矩场{ M 和 剪力场{ T ． 2 ．4 横向剪应力的计算 不计体力的影响，层合板内微元体应满足下列 齐次方程 万方数据 第6 期 龙志飞等三角形层合板单元及应力解的杂交化后处理 f 等 篝 篝 o ， I 蒡 鲁 等 o ． 对于第k 层板有 r 2 { t 一～l[ a ] { 仃 { d z J - - h i 2 一l[ a ] [ 孬] ； E D 。] 虻D b ] { 仃。 d z J - - h ／2 一J 加[ [ 刷，] [ 虿] t [ D 。] 虻D s ] { c r p ，。 [ B ／。] [ 百] 。 E D 。] z [ D 。] { 仃。} - ] d z ， 2 8 式中[ a ] 一 旦 n 旦 8 x ⋯ 3 y n旦旦 v a y a z 2 9 E B l l ] [ E B I2 ，一㈠m ㈣， { 仃。 一一[ P M ，。] [ K M M ] 。1 [ K M 。] { q 。； 3 1 { 仃。 一一[ P M ，，] [ K M M ] - 1 [ K M 。] { 口 。； 3 2 ，z 和 ，y 表示矩阵所有元素对z 和Y 的导数． 最后可得 { 丘 。 一[ 尉，] [ 百] 。l z h t 一， I - D 。] 百1 z 2 一城一 r D b ] 1 { 盯咐 一 [ B t ] [ 孬] ；』 z h ；一， E D 。] 导 z z 一 2 一， [ D 。] ] { O p , y 一 一l 一 ∑[ 尉。] [ 虿] 。f 。一 。， [ D 。] 专 i 一 I ， E D n ] ] { c r p 一一 一1 ∑[ 剧 f 1 ≯1 凡2 一旺， ∞b ] f ㈣，，} ． 3 3 o J 3 数值算例 例1 受双正弦荷载作用的四边硬简支 S S 2 正交铺设3 层和9 层方板． 几何、材料和荷载参数如图2 所示．考虑两种 铺设情况S T l 为3 层板 0 1 9 0 ／o ；S T 2 为9 层板 o 阳。内／9 0 f o 坞o ／Q 阳o f o ．以上2 聃情况中o ‘铺 层的总厚度与9 0 。铺层的总厚度相等，各o 。铺层厚 度相等，各9 0 。铺层厚度相等．根据对称性，采用3 种规则的网格 4 4 ， 8 8 和 1 6 1 6 计算四分 之一方板．板的剪切修正系数为S T l 有k i 一 0 ．5 9 52 ，k ；一0 ．7 2 05 ；s T 2 有k { 一0 ．6 8 9 ，k { 一 0 ．6 1 】． 下圆翻盈豳盈蕊衄嘲 I ●I 』豳蕊盈蕊躅蕊蕊圆 T ■墨■■雹曩墨墨啊墨墨衄瞄皿墨哟 l - I _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ - - _ _ - _ _ _ I I _ _ _ - _ I _ L I I ‘l ■■_ _ - _ _ _ ∞_ _ ∞嘲 l ■■■墨墨墨■田啊墨墨墨喇 ．．．工L _ _ _ _ i _ _ _ - _ _ - I - - - - _ L - L - - - _ _ _ J - H - _ _ _ _ - I _ I ’一I I 1 图2受双正弦荷载的四边简支3 层和9 层正交铺设方板 F i g ．2S q u a r ep l a t e sw i t h3a n d9l a y e r ss u b j e c t e dt oad o u b l ys i n u s o i d a ll o a d i n g 几何参数边长L 一10 0 0 ；板厚h 一2 5 0 ，1 0 0 ，2 0 ，1 0 ，0 ．0 0 1 材料参数 正交铺设，同一材料 表面铺层E 1 2 5 ，E 2 1 ；G 1 2 0 ．5 ，G 1 3 0 ．5 ，G 2 3 0 ．2 ；卢l z 一0 ．2 5 S T l o ／9 0 ／o 对称铺设S T 2 O ／9 0 ／O ／9 0 ／O ／9 0 ／0 ／9 0 ／0 对称铺设 边界条件 s s 2 A B “一W 一红一o ；B C “一以 0 ，C D 口一烛一0 ；D A 口一W 以 0 荷载 双正弦 q q os i n 芋s i n ≠ 为了与解析解和其它文献解进行比较，挠度与 应力解均按以下规格化形式给出 挠度 ～ 叫∥Q 砌一1 2 S 4 h qo ’ 式中s 一鲁；Q 一4 G z 堡L 气兰笔半． 注上式Q 中卢。。一0 ．2 5 ，对于三维解析解此参数 是必要的，而对一阶剪切变形理论则不需要． 面内应力 一q 一≯2 寿魄Ⅳ“ 叫； 横向剪应力 ；。，；， 一上q o k ，k ． 本文结果与其它文献的解比较列于表1 ，2 中． ▲●●●．，●●l 3 2 ● 9 ； 万方数据 7 9 6中国矿业大学学报第3 5 卷 表2 受双正弦荷载作用的四边简支 S S 2 正交9 层层合方板 0 ／9 0 ／0 ／9 0 ／0 ／9 0 ／0 ／9 0 ／0 的最大挠度与应力 T a b l e2M a x i m u md e f l e c t i o n sa n ds t r e s so fs i m p l y - s u p p o r t e d S S 2 l a m i n a t e dp l a t e sw i t h9 0 ／9 0 ／0 ／9 0 ／0 ／9 0 ／O ／9 0 ／0 l a y e r s s u b j e c t e dt oad o u b l ys i n u s o i d a ll o a d i n g 万方数据 第6 期 龙志飞等三角形层合板单元及应力解的杂交化后处理 7 9 7 续表 厚跨比 单元与网格h ／L ⋯7 - ’，1 日 1 0 6 C G C L L M T 9 4 4 8 8 1 6 1 6 C T M Q [ 6 ]1 6 1 6 F S D T I l l 面 吾。 若，i q i 。 ；≯ 专，睾，。 专。专，士鲁 睾，睾，士 。，o ，士告 。，专，o 导，o ，o 0 ．9 8 5 0 ．9 9 6 0 ．9 9 9 1 。0 0 0 1 ．0 0 0 士0 ．5 3 l 士0 ．5 3 7 士0 ．5 3 9 0 。5 3 9 士0 ．5 3 9 士0 ．4 2 7 士0 ．4 3 0 士0 ．4 2 9 千0 ．0 2 02 干0 ．0 2 10 干0 ．0 2 13 0 ．2 6 6 0 ．2 6 9 0 ．2 4 4 0 ．2 8 0 0 ．2 8 3 0 ．2 8 6 士0 ．4 3 1 千0 ．0 2 13 0 ．2 5 0 0 ．2 1 0 士0 ．4 3 1千0 ．0 2 130 ．2 5 90 ．2 1 9 例2 受双正弦荷载作用的四边硬简支跨比．剪切修正系数采用是} 愚； 5 ／6 ，计算结果 S S 2 反对称角铺设 一4 5 ／4 5 ／一4 5 ／4 5 ／一4 5 [ 4 5 ／ 见表3 ．可见无论挠度、面内应力还是横向剪应力 一4 5 ／4 5 8 层方板． 都可得到较好的解答． 板的各铺层厚度相等，几何、材料和荷载参数S S 2 边界条件是 与例1 相同．采用4 4 ，8 8 ，1 6 1 6 ，3 2 3 2 ，6 4 X 0 和X L 处“ w ≯、， 0 ； 6 45 种网格对整板进行计算，考虑3 种不同的厚 Y 0 和Y L 处7 J 叫 以0 ． 裹3 受双正弦荷载作用的四边简支 S S 2 角铺设8 层层合方板 一4 5 ／4 5 ／一4 5 ／4 5 ／一4 5 ／4 5 ／- 4 5 ／4 5 的最大挠度与应力 T a b l e3M a x i m u md e f l e c t i o n sa n ds t r e s s e so fs i m p l y - s u p p o r t e d S S 2 l a m i n a t e dp l a t e sw i t h8 一4 5 ／4 5 ／一4 5 ／4 5 ／一4 5 ／4 5 ／一4 5 ／4 5 l a y e r ss u b j e c t e dt oad o u b l ys l n u s o i d a ll o a d i n g 厚跨比 ／L 单元与网格 ” 专，专 如 专，专，寺 啊 o ，o ，一号 k o ，睾，o 1 0 0 E 2 娶 L ’口o 2 L 2 q o 2 L 2 q o ．j 1 2 可q o 0 ．1 C G C L L M T 9 8 80 ．4 0 150 ．1 5 700 ．1 3 74 0 ．2 1 11 1 6 】60 ．4 1 67 0 ．1 4 850 ．1 3 860 ．2 3 89 3 2 3 20 ．4 1 850 ．1 4 540 ．1 3 83 0 ．2 4 55 0 ．0 5 C G C L L M T 9 8 80 ．2 7 820 ．1 5 520 ．1 3 6l 0 ．1 7 77 1 6 1 60 ．2 8 71 0 ．1 4 860 ．1 3 760 ．2 2 26 3 Z 3 2 0 ．2 8 840 ．1 4 550 ．1 3 980 ．2 4 06 C T M Q E 6 ] 6 4 6 4 0 ．2 8 950 ．1 4 460 ．1 3 840 ．2 4 81 里璺望 竺 1 0 ．0 1 C G C L L M T 9 C T M Q [ 6 ]6 4 6 40 ．2 4 780 ．1 4 46 0 ．1 3 840 ．2 3 80 墅堕．竺 ； 由以上例题可以看出，三角形单元C G C L L M T 9 计算结果收敛到与其他单元相近的位移解．在 厚跨比大于0 ．0 2 时，其应力解仍然能以很少的单 元数量收敛于其他单元解． 4 结论 本文提出了一种新型的三角形复合材料层合 板单元C G C L L M - T 9 ，并利用杂交化后处理方法对 它的内力和应力进行了改善．经过改善的单元可以 获得精度较高的位移解，而且可以通过杂交化后处 理可以在厚跨比大于0 ．0 2 时得到精度较高的应 力，特别是横向剪应力，实现了位移型单元和杂交 型有限元的优势综合． 虽然在板非常薄的情况下的横向剪应力预测 能力欠佳，但此单元仍不失为是一个较好的层合板 单元，它的单元列式简单，自由度少，适用于层合薄 板及中厚板的计算，且适合复杂边界情况，在计算 过程中，收敛性好，无剪切闭锁现象发生． 参考文献 [ 1 ]R E D D YJN ．M e c h a n i c so fl a m i n a t e dc o m p o s i t e p l a t e s t h e o r ya n da n a l y s i s [ M ] ．B o c aR a t o n C R C ．P r e s s ，1 9 9 7 ． [ 2 ] 吴长春，卞学鲼．非协调数值分析与杂交元方法[ M ] ． 北京科学出版社，1 9 9 7 ；6 8 7 8 ，1 4 8 1 6 0 ． [ 3 ] 龙志飞，岑 松．有限元新论原理程序进展 [ M ] ．北京中国水利水电出版社，2 0 0 1 ． [ 4 ] 王勖成．有限单元法[ M ] ．北京清华大学出版社， 3 8 5 8 7 D 9 7 4 4 4 7；1 O O 0 O 5 1 5 O 0 8 8 8 4 3 3 3}l O 0 O 0 6 3 1 1 4 o ‘7 5 7 5 4 4 1 1 1 1 O O O 0 8 8 2 3 O 5 8 7 4 4 4 4 2 2 2 2 O O O O 6 2 4 8 1 3 4 8 6 2 1 3 万方数据 7 9 8中国矿业大学学报第3 5 卷 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 3 2 0 0 3 ． 龙志飞，刘志海．增补挠度场和剪应变场的厚薄板 三角形广义协调元[ J ] ．工程力学，2 0 0 2 ，1 9 5 4 1 4 7 ． L O N GZ h i f e i ，L I UZ h i h a i ．At r i a n g u l a rt h i c k ／t h i n p l a n ee l e m e n tw i t hs h e a rs t r a i na n ds u p p l e m e n t a r y d e f l e c t i o nf i e l d sI - J ] ．E n g i n e e r i n gM e c h a n i c s ，2 0 0 2 ， 1 9 5 4 1 - 4 7 ． 岑松．新型厚薄板、层合板单元与四边形面积坐标 法[ D ] ．北京清华大学土木系，2 0 0 0 ． 岑松，龙驭球，姚振汉．位移型板单元内力解的杂 交化后处理[ J ] ．工程力学，2 0 0 1 ，1 8 3 2 1 2 7 ． C E NS o n g ，L O N GY u q i u ，Y A 0Z h e n - h a n ．Ah y b r i d - e n c h a n c e dp o s t - p r o c e s s i n gp r o c e d u r ef o ri m p r o v i n gs t r e s ss o l u t i o n so fd i s p l a c e m e n t - b a s e dp l a t eb e n - d i n ge l e m e n t [ J ] ．E n g i n e e r i n gM e c h a n i c s ，2 0 0 1 ，1 8 [ 8 3 [ 9 ] g l O ] 3 2 1 2 7 ． 龙驭球，龙志飞，岑松．新型有限元论[ M ] ．北京 清华大学出版社，2 0 0 4 ． 龙志飞，杨燕艳．增补挠度场和剪应变场厚薄板三 角形应力解的精度改善E J ] ．工程力学，2 0 0 2 ，1 9 增 刊 4 1 1 4 1 5 ． L O N GZ h i f e i ，Y A N GY a n y a h ．T h ei m p r o v eo f s t r e s sp r e c i s i o no fat r i a n g u l a rt h i c k ／t h i np l a n ee l e m e n tw i t hs h e a rs t r a i na n ds u p p l e m e n t a r yd e f l e c t i o n f i e l d s [ J ] ．E n g i n e e r i n gM e c h a n i c s ，2 0 0 2 ，1 9 S u p p ． 4 1 1 - 4 1 5 ． L A R D E U RP ，B A T O ZJL ．C o m p o s i t ep l a t ea n a l y s i su s i n gan e wd i s c r e t es h e a rt r i a n g u l a rf i n i t ee l e m e n t E J ] ．I n t e r n a t i o n a lJ o u r n a lf o rN u m e r i c a lM e t h o d si nE n g i n e e r i n g ，1 9 8 9 ，2 7 3 4 3 3 5 9 ． 责任编辑邓群 上接第7 8 6 页 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] S U L I C KKS ，H A M M E R T o NDA ，C L I N EREJ ． T h e s o n o c h e m i c a lh o ts p o t [ J ] ．J o u r n a lA m ．C h e m ． S O C ．，1 9 8 6 ，1 0 8 1 7 5 6 4 1 - 5 6 4 2 ． S U S L I C KKS ．S o n o c h e m i s t r y [ J ] ．S c i e n c e ，1 9 9 0 ， 2 4 7 4 9 1 4 3 9 1 4 4 5 ． 曹风国．超声加工技术[ M ] ．北京化学工业出版社， 2 0 0 5 1 0 - 1 2 ． 岳梅，赵峰华，李大华，等．煤系黄铁矿氧化溶解速 率与矿物粒径的关系[ J ] ．中国矿业大学学报，2 0 0 4 ， 3 3 1 6 4 1 - 6 4 5 ． Y U EM e i ，Z H A 0F e n g h u a ，L ID a - h u a ，e ta 1 ．R e l a t i o n s h i pb e t w e e no x i d a t i o nr a t eo fc o a lp y r i t ea n dI t ’S g r a i ns i z e [ - J ] ．J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g [ 7 3 [ 8 ] [ 9 ] T e c h n o l o g y ，2 0 0 4 ，3 3 1 6 4 1 6 4 5 ． 朱红，夏建华，王芳辉，等．金属腐蚀电偶法强化煤 浮选脱硫的研究[ J ] ．中国矿业大学学报，2 0 0 5 ，3 4 2 1 5 7 - 1 6 1 ． Z H UH o n g ，X I AJ i a n - h u a ，W A N GF a n g h u i ，e ta 1 ． S t u d yo fe n h a n c e dd e s u l f u r i z i n gf l o t a t i o nonc o l aU s i n gm e t a lc o r r o s i o ni n t e r a c t i o nm e t h o d [ J ] ．J o u r n a l o fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y ，2 0 0 5 。 3 4 2 1 5 7 1 6 1 ． 康文泽．煤泥超声浮选的脱硫降灰研究[ D ] ．北京中 国矿业大学化学与环境工程学院，2 0 0 6 ． 谢广元．选矿学[ M ] ．徐州中国矿业大学出版社， 2 0 0 1 5 9 - 6 3 ． 责任编辑骆