守恒和非守恒KPZ方程标度奇异性的重整化群分析.pdf

第3 7 卷第4 期中国矿业大学学报 v 0 1 ．3 7N o ．4 2 0 0 8 年7 月J o u r n a Io fC h i 眦U n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n 0 I o g yJ u I ．2 0 0 8 守恒和非守恒K P Z 方程标度奇异性的 重整化群分析 陈华，唐刚，张雷明，寻之朋 中国矿业大学理学院，江苏徐州2 2 1 1 1 6 摘要采用表面界面生长方程动力学标度奇异性的动力学重整化群理论，研究了守恒和非守恒 K a r d a r P a r i s i Z h a n g K P Z 方程的动力学标度奇异性．通过分析相应局域倾斜度的演化动力学 方程的标度行为，得到了奇异标度指数片和粗糙度指数占的表达式．结果表明生长方程的动力 学标度性质与基底维数d 无关，两个方程不具有奇异标度性质，均呈现F a m i l y V i c s e k 正常标度 关系，这和使用直接标度分析方法得到的结果一致． 关键词表面界面粗糙生长；动力学标度；动力学重整化群理论；守恒和非守恒K P Z 方程 中图分类号O4 1 4 ．2 2文献标识码A文章编号1 0 0 0 一1 9 6 4 2 0 0 8 0 4 0 5 7 9 0 6 R e n o r m a l i z a t i o n G r o u pA n a l y s i so fA n o m a l o u s D y n a m i cS c a l i n go ft h eC o n s e r v a t i v ea n d N o n _ C o n s e r v a t i v eK a r d a r P a r i s i Z h a n gE q u a t i o n C H E NH u a ，T A N GG a n g ，Z H A N GL e i m i n g ，X U NZ h i p e n g S c h o o Io fS c i e n c e s ，C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o I o g y ，X u z h o u ，J i a n g s u2 2 1 1 1 6 ，C h i n a A b s t r a c t Ad y n a m i cr e n o r m a l i z a t i o n g r o u pt h e o r yi sa p p l i e dt oa n a l y z et h ea n o m a l o u s l yd y n a m i cs c a l i n gp r o p e r t yo ft h ek i n e t i cr o u g h e n i n gg r o w t he q u a t i o no ft h ec o n s e r v a t i v ea n dn o n c o n s e r v a t i v eK a r d a r P a r i s i Z h a n ge q u a t i o n s ．T h ea n o m a l o u ss c a l i n ge x p o n e n ta n dr o u g h n e s s e x p o n e n tw e r eo b t a i n e db ya n a l y z i n gt h es c a l i n gb e h a v i o ro ft h ec o r r e s p o n d i n gt i m ee v o l u t i o ne q u a t i o nf o rt h el o c a ld e r i v a t i v e s ． T h er e s u l t ss h o wt h a tt h ed y n a m i cs c a l i n gp r o p e r t yo fa g r o w t he q u a t i o ni si n d e p e n d e n to ft h ed i m e n s i o no ft h es y s t e m ． T h e s et w oe q u a t i o n sd on o t h a v et h ea n o m a l o u ss c a l i n gp r o p e r t y ，b u tb o t he x h i b i tF a m i l y - V i c s e ks c a l i n g ．0 u rr e s u l t sare c o n s i s t e n tw i t hp r e v i o u sc a l c u l a t i o n sw h i c hm a k eu s eo fs c a l i n ga n a l y s i s ． K e yw o r d s k i n e t i cr o u g h e n i n go fs u r f a c e sa n di n t e r f a c e s ；d y n a m i cs c a l i n g ；d y n a m i cr e n o r m a l i z a t i o n g r o u pt h e o r y ；c o n s e r v a t i v ea n dn o n c o n s e r v a t i V eK a r d a 卜P a r i s i Z h a n ge q u a t i o n 在远离平衡状态下，表面界面粗糙化生长动力 学现象近年来一直是凝聚态物理学和非平衡统计 物理学领域内的研究热点‘1 q ] ．这是因为一方面表 面界面的粗糙生长过程与晶体生长、薄膜生长、分 子束外延生长 M B E 等实际生长过程有关．另一 方面，表面界面的生长过程是非线性动力学中一个 简单而重要的实例，涉及到动力学标度、普适类等 重要问题，对表面界面生长动力学过程进行深入研 究具有重要的理论价值．在生长动力学方程的解析 分析中使用了许多十分有效的方法悟9 。，如文献[ 6 ] 收稿日期2 0 0 7 一0 6 一0 4 基金项目国家自然科学基金项目 1 0 6 7 4 1 7 7 ；教育部海外留学同国人员科研基金项目 2 0 0 3 1 8 ； 作者简介陈华 1 9 7 9 一 ，女，江苏省南通市人，讲师，理学硕士，从事表面界面生长动力学的理论方面的研究． B m i l c h h m s m 1 6 3 ．c o m T e l 1 3 9 5 2 2 9 4 8 6 0 万方数据 5 8 0中国矿业大学学报 第3 7 卷 提出了一种对L a n g e v i n 类型方程的直接标度分析 方法，该方法曾被推广应用到非局域的S G G 方程、 1 1 维K P Z 生长方程等几种典型生长方程的标 度分析中，并得到了令人满意的结果[ 7 { ’1 * 1 1 ] ．直接 标度分析方法虽较简单，但却不能对分析结果给出 更深的物理解释．在此基础上，文献[ 1 2 ] 提出了连 续性生长动力学方程标度奇异性分析的动力学重 整化群理论，对导致方程呈现奇异动力学标度行为 的微观物理机制进行了探讨．本文则是应用这种动 力学理论分析方法，对守恒和非守恒K P Z 生长方 程 守恒K P Z 方程也称S u n _ G u o G r a n t S G G 方 程 的动力学标度奇异性进行了分析，结果和使用 直接标度分析方法得到的一致’1 3 。． 1 表面界面粗糙生长的标度性质 表面界面粗化生长过程具有非平庸的动力学 标度性质阻4 | ，通常呈现标准的自仿射标度行为，其 动力学性质可以由总的表面宽度 或表面粗糙度 w L ，￡ 来表示，其定义为 w c “ 一去 2 ， 1 式中 互，￡ 为￡时刻在基底；处表面的涨落高 度；L 为基底的横向尺度；无。一手∑ ；，f 为￡时 一； 刻的平均生长高度； 为噪声的统计平均． 当粗糙生长表面具有自仿射 s e l f - a f f i n e 的分 形结构时，根据F a m i l y - V i c s e k 自仿射标度假 设‘H ] ，w L ，￡ 满足动力学标度规律 w L ∽一L 4 ， 考 ， 2 其中标度函数， 甜 具有渐近性质 厂 “ ～f 甜i “一o ， 3 厂 “ ～{ 3 lc o n s t M 寸o 。 ． 所以，生长表面的粗糙度W L ，￡ 具有如下渐 近行为 w L ，￡ ～』‘i ‘‘L 2 ’， 4 W L ，￡ ～{ 4 I L 4 ￡L 2 ， 式中口为粗糙度指数；z 为动力学指数，描述表面 界面生长的动力学过程；卢一兰为系统的生长指 数，表示表面初始生长阶段的动力学性质． 研究发现，奇异标度性也广泛存在于表面界 面的粗糙化生长过程中‘1 5 。1 引．当奇异标度存在时， 粗糙生长的表面界面不再具有标度不变性‘1 9 { ．文 献[ 2 2 ] 提出了有关奇异标度性的更一般性理论，认 为出现奇异标度时，局域表面宽度硼 z ，￡ 要由下 列标度关系替代 硼 z ，f ～撕丽一f V A ￡／￡1 ／。 ， 5 其中奇异标度函数 “ ～』“。k ‘“ 1 ’， 6 州彩～1c 。n s t “1 ， ∞’ Ic O n s t‘“，≥≥ l ，， 式中‰。为局域粗糙度指数，故可将高度差关联 函数G Z ，f 表示为 fZ 2 。l mz 2 。 f Z 。 ， 以厶幻～∞ ￡一， 。’ 其中Ⅳ一p 一口l 。。／z ． 2 生长方程奇异标度的局域倾斜度理论 文献[ 1 0 ] 中认为，表面界面的奇异动力学标度 行为是由表面界面的局域倾斜度的平方平均值 G z 一口，￡ 一 0 ，局域倾斜度平 方的平均值随生长时间是发散的，此时会出现奇异 标度行为；而当Ⅳ 一2 D 艿 ；一；7 艿 ￡一f 7 ． 1 1 而当叩 ；，￡ 守恒时则满足 一 万方数据 第4 期陈华等守恒和非守恒K P Z 方程标度奇异性的重整化群分析 ‘ 5 8 1 2 D V2 艿 ；一；7 艿 ￡一f 7 ． 1 2 对方程 1 0 两边作用算符V ，并定义y z ，￡ 一V ；，f ，就得到有关局域倾斜度的演化动力 学方程 罾一V 圣 y 琅 ；∽， 1 3 式中y ；，￡ 可以看作一个新的生长表面，且生 长过程守恒． 对方程 1 3 进行数值或解析分析得到平均局 域倾斜度的标度性质，就能判断出方程 1 0 所示 的动力学方程是否具有奇异标度性．假定矗，三分别 表示相应的粗糙度指数和动力学指数，从方程 1 3 的守恒性质，可得局域倾斜度临界指数满足超 标度关系 主一2 占 d 2 ． 1 4 式 1 4 是从守恒动力学系统的噪声强度D 的 非重整化中得到的确切结果L 23 | ，是独立于垂 y 的 准确形式．由此，奇异时间生长指数弗可表示为 2 心一1 一生拦． 1 5 O 对应于生长表面 ；，￡ 的奇异标度性． 对具体研究的生长模型，方程 1 3 中垂 y 可能有 几项，但在长波长极限下，其标度行为是由最相关 项来决定的，且最相关项总可表示为 ① y 一6 _ ”y 卅 ，z ≥0 ，优≥1 ． 1 6 方程 1 3 经自仿射标度变换；一矗，￡一6 ；￡，y 一驴y 后得到速度项、相关项和守恒噪声项的标度 变换关系分别为等一驴‘ 凳 ，V ① y 一d f、口0 ， 咖一‘计”V ① y 和仇一6 _ 1 一警琅． 根据直接标度分析理论‘引，在出现标度行为的 区域内，重新标度后，上面三项应当是同等关联的， 因此有 l ‘ 一．1 ’口 z 一‘竹 1 ’一o ， 1 7 将上式中的z 消去可得 f 一 靠一d 一1 J 一_ 河’ 1 8 气．～1 0 ， 口 竹一d 一】 【Ⅳ一i 。瓦二丁■万而‘ Iz 2 ，2 一d d 2 优’ 显然，对于特定的连续性动力学生长方程，使 用直接标度或动力学重整化群方法，确定出其相应 的竹和m 的值，就可以通过式 1 8 确定这个方程 是否具有动力学标度奇异性[ 23 | ．以上分析，对方 程 1 3 无论是守恒还是非守恒生长的情况都成立． 对局域守恒生长过程，方程 1 0 可表示为 碧一一V 7 7 ；，￡ ， 1 9 式中7 为生长表面的流． 垂 V 一一V 7 ，这类生长方程可以用来表 示分子束外延生长过程．这里的守恒生长是指噪声 项 7 ；，￡ 具有7 j 圹警7 的标度行为，对于生长速 度项和最相关项则有碧一6 ”2 差 和垂 V 一 6 一∽神西 V ．在动力学标度区域应有 f ‘m 一1 ’口 z 一‘m 咒’一o ， 2 0 I2 口一z d 0 ． 上式对于任何具有合适n ，m 值的守恒生长模型 都成立‘1 引． 由式 1 8 和 2 0 可知，对任何守恒的生长模 型，都有如下标度指数关系成立 a 一矗 1 ，z 一乏． 2 1 对非守恒的生长模型，因为没有守恒律存在导 致噪声强度D 的重整化，所以通过对谱函数 的单圈动力学重整化群计算， 可得出 坐掣一z d 一2 口 g z 2 ， 2 2 矿一z d z 口十g o ‘，“’【z z ， 式中 g z 为相应的耦合常数，它的重整化依赖 于最相关项的实际形式． 因此，对非守恒的连续性动力学生长方程式 2 0 可用下式代替 仁∑三 i ‘兰∥_ 0 ’ ㈣， i z d ～2 口 g 之一O ， 式中g 。为重整化群固定点． 所以有 占一口一1 』击． 2 4 而对于动力学标度指数名，则有 』三一2 口 d 十箝， 2 5 【2 2 a d g 之． 显然，对于非守恒的生长模型z ≠主． 对具体的生长模型，根据求得的相应粗糙度指 数口，m 的值和重整化群固定点的值g 。，再根据其 是否具有守恒性，求出相应的占和Ⅳ值，就可直接 判断出相应的动力学生长方程 1 0 是否具有标度 奇异性． 3 K P Z 生长方程标度奇异性分析 K P Z 方程是描述表面界面粗糙生长过程最重 万方数据 5 8 2中国矿业大学学报第3 7 卷 要的连续性动力学方程，它包含了生长过程中的非 线性效应．研究表明，K P Z 方程能很好地描述诸多 实际表面生长过程，如流体侵入多孔媒质、抛射沉 积、材料的断裂面等；也能描述许多微观的离散生 长模型，如E d e n 模型、B D 模型、受限固一固模型 等也都属K P Z 描述的普适类．对K P Z 方程进行的 大量解析和数值分析研究也取得了许多有价值的 成果【l 。5 ] ．K P Z 方程通常表示为 笃竽一彬 丢们拶 7 知 2 6 式中y 为表面扩散系数；y V2 为表面的弛豫效 应；叩 三，￡ 为G a u s s i a n 噪声项，满足式 1 1 所示的 关联函数；丛罢必为非线性项，描述表面界面的 侧向生长效应． K P Z 方程具有G a l i l e a n 变换不变性，使方程 在任意空间维数标度指数关系口 z 一2 都成立嘲． K P Z 方程是一个非守恒的生长动力学方程．对于 K P z 方程，西 v 一。vz 丛黑壁，分析表明， 在标度区域，垂 V 中最相关项为非线性项 掣，在空间尺度足够大的情况下，非线性项的 作用将超过扩散项成为动力学演化过程的主导 项m 驯．对非线性项进行空间尺寸的标度变换主一 矗，则有 掣一掣． 2 7 ≮一’i 一 L Z ，， 将上式与式 1 6 对比，可以发现，对于K P Z 方 程优一2 ，行 O ． 文献[ 5 ，2 5 ] 应用动力学重整化群理论对K P Z 方程进行过系统地分析，通过对谱函数 的单圈动力学重整化群计算，得出噪声 强度的重整化群方程为 警一删，[ z d 砌 杠字] 朋8 ， 式中K 一2 矗寿，s 为d 维空间单位球体的表面 积． 对于K P Z 方程，其耦合常数为g z 2 墨笔≥，重整化群固定点为矿 2 口一z d ． 相应的动力学标度指数表示为 f d 一2 2 I 口一百可’ 1。 d 一2 z 2 ” 【z z 一百可‘ 对于d 一1 ，因有涨落耗散定理成立，所以动 力学标度指数的值是准确的．将优一2 ，行一O 代入 式 1 8 得到 P 茗’ ㈤， I Ⅳ一一万两‘ 可知占 o 和彤 p o 的结果，生长方程的 动力学标度性质与基底维数d 无关．因此，K P Z 方 程不具有奇异动力学标度性，其描述的表面界面粗 糙生长过程满足正常的F a m j l y V i c s e k 自仿射标 度． 4 守恒K P Z 生长方程标度奇异性分析 K P Z 方程描述的动力学过程是总的表面弛豫 体积不守恒的生长过程，为了研究守恒律对动力学 生长过程的影响，文献[ 2 3 ] 提出了守恒的K P Z 方 程 也称为S G G 方程 ，其表示式为 掣一v v t 主，￡ d f 会v2 v 2 琅 ；，￡ ． 3 1 方程 3 1 右边第1 项为扩散项，第2 项是描述 表面沿侧向生长的非线性项，讯 ；，￡ 为守恒的随 机噪声项，并具有式 1 2 所示的守恒的非时空相 关性．因此，式 3 1 右边可写成流的形式一V 7 ， 描述的是守恒的生长过程． 研究表明，S G G 方程满足标度关系d z 一4 ， 守恒的受限固一固模型及粒子数守恒的抛射沉积 模型都可用S G G 方程描述．对于S G G 方程， 西 v 一一。va 丛2 掣，在动力学标度区 域，垂 vJ 『1 中最相关项为丛芏掣m 2 4 ’，对该非 线性项进行空间标度变换；一矗，有 丢A V2 v 2 一扩2 导A V 2 V 矗 2 ． 3 2 将上式与式 1 6 对比，可以发现，对于S G G 方 程m 一2 ，咒 2 ． 运用动力学重整化群方法分析S G G 方程的动 力学标度性质，得出噪声强度的重整化群方程 为[ 2 3 ] 警一删 [ z 一2 一d 一2 a ] ． 3 3 可见，S G G 方程中的守恒噪声没有重整化．由 此得到 万方数据 第4 期陈华等守恒和非守恒K P Z 方程标度奇异性的重整化群分析 5 8 3 fZ d I 口2 丁’ I z 半． 将式 3 4 代入式 2 1 可得 f 占一半， 卜半． 3 4 3 5 所以奇异时间生长指数为 符一揣．d 十l U 可得占 0 ，茁 O ．由此可以看出S G G 方程尽 管描述的是守恒表面生长过程，但和K P Z 方程一 样，其动力学标度行为也不具有奇异性质，而是满 足正常的F a m i l y - V i c s e k 自仿射标度行为，且生长 方程的动力学标度性质与基底维数d 无关． 5结论 本文运用动力学重整化群理论分析了两个描 述表面界面粗糙生长过程的最重要的连续性动力 学方程，K P Z 方程和守恒K P Z 方程 S G G 方程 的 动力学标度奇异性质，分别得到了标度指数占和Ⅳ 的表达式．从分析结果看，生长方程的动力学标度 性质与基底维数d 无关，两个方程均有占 O ，彤 o ，即方程都不具有奇异标度性质，其描述的表面界 面粗糙生长过程都满足F a m i l P v i c s e k 正常标度关 系．此结论与使用直接标度分析方法得到的一 致[ 6 ’13 。．可见，使用动力学重整化群理论直接分析 连续性生长动力学方程的动力学标度奇异性是完 全可行的． 参考文献 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] H A L P I N H E A L YT ，Z H A N GYC ．K i n e t i cr o u g h e n i n gp h e n o m e n a ，s t o c h a s t i cg r o w t h ， d i r e c t e dp o I y m e r sa n da l lt h a t [ J ] ．P h y s i c sR e p o r t s ，1 9 9 5 2 5 4 2 1 5 4 1 4 ． K R U GJ ．o r i g i n so fs c a l ei n v a r i a n c ei ng r o w t hp 盱 c e s s [ J ] ． A d v a n c ei nP h y s i c s ，1 9 9 7 ，4 6 2 1 3 9 2 8 2 ． M E A K l NP ．F r a c t a l ，S c a l i n ga n dg r o w t hf a rf r o me q u i l i b r i u m [ M ] ．C a m b r i d g e C a m b r i d g eU n i v e r s i t y P r e s s ，1 9 9 8 ． B A R A B A S IAI 。，S T A N L E YHE ．F r a c t a lc o n c e D t s i ns u r f a c eg r o w t h [ M ] ．C a m b r i d g e C a m b “d g eU n i v e r s i t yP r e s s ，19 9 5 ． K A R D A RM ，P A R I S IG ，Z H A N GY C ．D y n a m i c s c a I i n go fg r o w t hi n t e r f a c e s [ J ] ．P h y s i c a IR e v i e w L e t t e r s ，1 9 8 6 ，5 6 9 8 8 9 8 9 2 ． [ 6 ] H E N T s c H E l 。HG 。F A M l L YF ．s c a l i n gi no p e n d i s s i p a t i v es y s t e m[ J ] ．P h y s i c a lR e v i e wL e t t e r s ， 1 9 9 1 ，6 6 1 5 1 9 8 2 1 9 8 5 ． [ 7 ]T A N GG ，M ABK ．s c a l i n ga p p r o a c ht ot h en o n I o c a l s u r f a c eg r o w t he q u a t i o n s[ J ] ． P h y s i c aA 。 2 0 0 1 2 9 8 2 5 7 2 6 1 ． [ 8 ]Z H A N GLP ，T A N GG ，X 1 AH ，e ta 1 ．S c a l ．n ga n a l y s i so ft h ec o n s e r v a t i o ng r o w t he q u a t i o nw i t ht e m p o r a l l yc o r r e l a t e dn o i s e [ J ] ．P h y s i c aA ，2 0 0 4 3 8 8 4 3 卜4 3 6 ． [ 9 ] F R E YE ，T A U B E RUC ，H w AT ．M o d e _ c o u p l i n g a n dr e n o r m a l i z a t i o ng r o u pr e s u l t sf o rt h en o i s yB u r g e r se q u a t i o n 口] ．P h y s i c a lR e v i e wE ，1 9 9 6 ，5 3 5 4 4 2 4 4 4 3 8 ． [ 1 0 ] I 。0 P E ZJM ．s c a “n ga p p r o a c ht oc a l c u l a t ec “t i c a I e x p o n e f l t si na n o m a l o u ss u r f a c er o u g h e n i n g[ J ] ． P h y s i c a lR e v i e wL e t t e r s 。 19 9 9 ，8 3 2 2 4 5 9 4 4 5 9 7 ． [ 1 1 ] X I AH ，T A N GG ，H A NK ，e ta 1 ．S c a l i n ga p p r o a c ht oa n o m a l o u ss u r f a c er o u g h e n i n go ft h e d 1 d i m e n s i o n a lm o l e c u l a r - b e a me p i t a x yg r o w t he q u a t i o n s [ J ] ． M o d e r nP h y s i c sL e t t e r sB ，2 0 0 6 ，2 0 3 0 1 9 3 5 1 9 4 1 ． [ 1 2 ]L o P E zJM ，C A S T R oM ，G A L L E G 0R ．S c a l i n g o fl o c a ls l o p e s ，c o n s e r v a t i o nl a w s ，a n da n o m a l o u s r o u g h e n i n gi ns u r f a c eg r o w t h [ J ] ．P h y s i c a IR e v i e w L e t t e r s ，2 0 0 5 ，9 4 1 6 1 6 6 1 0 3 ～1 6 6 1 0 6 ． [ 1 3 ]夏辉，魏明，唐刚．d 1 维K a r d a r _ P a r i s i Z h a n g 方程动力学标度奇异性的直接标度分析[ J ] ． 中国矿业大学学报，2 0 0 6 ，3 5 5 6 9 5 6 9 8 ． X I AH u i ，W E lM i n g ，T A N GG a n g ．S c a “n ga n a I y s i so ft h ed 1K a r d a r - P a r i s i Z h a n ge q u a t i o nf o ra n o m a l o u sd y n a m i cs c a l i n g [ J ] ．J o u r n a lo fC h i n aU n i y e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g y ，2 0 0 6 ，3 5 5 ；6 9 5 6 9 8 ． [ 1 4 ]F A M I L YF ，V 1 C S E KT ．S c a I i n go ft h ea c t i v ez o n e i nt h ee d e np r o c e s so np e r c o I a t i o nn e t w o r k sa n dt h e b a l l i s t i cd e p o s i t i o nm o d e l [ J ] ．J o u r n a lo fP h y s i c sA ， 1 9 8 5 1 8 7 5 7 6 ． [ 1 5 ]D A s S A R M AS ，L A N C Z Y C K ICJ ，K O T L Y A RR ， e ta I ．S c a I ei n v a r i a n c ea n dd y n a m i c a lc o r r e l a t i o n si n g r o w t h m o d e I so fm o l e c u I a rb e a me p i t a x y [ J ] ．P h y s i c a lR e y j e wE ，1 9 9 6 ，5 3 1 3 5 9 3 8 8 ． [ 1 6 ]A N T o N l oB ，J U A NMP ，I S A B E IF ，e ta 1 ．S u p e r - r o u g hd y n a m i c so nt u m o rg r o w t h [ J ] ．P h y s i c a l R e v i e wL e t t e r s ，1 9 9 8 ，8 1 1 8 4 0 0 8 4 0 1 1 ． [ 1 7 ]s A N T A M A R l AJ ，G o M E ZME ，V I C E N TJL ，e t 万方数据 5 8 4中国矿业大学学报第3 7 卷 [ 1 8 ] [ 1 9 ] [ 2 0 ] [ 2 1 ] a 1 ． S c a l i n go ft h ei n t e r f a c er o u g b n e s si nF e C rs u p e r l a t t i c e sS e l f - A f f i n ev e r s u sN o n - S e l f - A f f i n e [ J ] ． P h y s i c a lR e v i e wL e t t e r s ，2 0 0 2 ，8 9 1 9 1 9 0 6 0 1 1 9 0 6 0 4 ． H U 0S 。S 【二H W A R Z A C H E RW ．A n o m a l o u ss c a l i n go ft h es u r f a c ew i d t hd u r i n gC ue l e c t r o d e p o s i t i o n [ J ] ．P h y s i c a lR e v i e wI ．e t t e r s ，2 0 0 1 ，8 6 2 2 5 6 2 5 9 ． L O P E ZJM ，R O D R I G U E ZMA ．L a c ko fs e l f - a f f i n i t ya n da n o m a l o u sr o u g h e n i n gi ng r o w t hp r o c e s s e s [ J ] ．P h y s i c a lR e v i e wE ，1 9 9 6 ，5 4 3 2 1 8 9 2 1 9 2 ． L O P E ZJM ，R O D R I G U E ZMA ，C U E R N oR ． S u p e rr o u g h e n i n gv e r s u si n t r i n s i ca n o m a l o u ss c a l i n g o fs u r f a c e s [ J ] ．P h y s i c a lR e v i e wE ，1 9 9 7 ，5 6 4 3 9 9 3 3 9 9 8 ． L O P E ZJM ，R O D R I G U E ZMA ，C U E R N oR ． [ 2 2 ] [ 2 3 ] [ 2 4 ] [ 2 5 ] P o w e rs p e c t r u ms c a l i n gi na n o m a 】o u sk i n e t i cr o u g h e n i n go fs u r f a c e s [ J ] ．P h y s i c aA ，1 9 9 7 2 4 6 3 2 9 3 4 7 ． R A M A S C oJJ ，L O P E ZJM ，R O D R I G U E ZMA ． G e n e r i cd y n a m i cs c a “n gi nk i n e t i cr o u g h e n i n g [ J ] ． P h y s i c a lR e v i e wI 。e t t e r s ，2 0 0 0 ，8 4 1 0 2 1 9 9 2 2 0 2 ． T A oS ，H o N GG ，M A R T I NG ．D y n a m i c so fd r i v e ni n t e r f a c e sw i t hac o n s e r v a t i o nl a w [ J ] ． P h y s i c a l R e v i e wA ，1 9 8 9 ，4 0 1 1 6 7 6 3 6 7 6 6 ． T A N GG ，M ABK ．S c a l i n ga p p r o a c ht ot h en o n l o c a ls u r f a c eg r o w t he q u a t i o n s [ J ]