跳汰过程中水流运动的数学模拟.pdf

第3 3 卷第3 期 2 0 0 4 年5 月 中国矿业大学学报 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y V 0 1 ．3 3N o ．3 M a y2 0 0 4 文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 4 0 30 2 5 4 0 5 跳汰过程中水流运动的数学模拟 匡亚莉，欧泽深 中国矿业大学化工学院，江苏徐州2 2 1 0 0 8 摘要跳汰分选过程是水和颗粒两相流在交变力场作用下，实现颗粒按密度分层的运动过程．研 究水流运动特性，对控制和改善颗粒分层状况有重要作用．针对模型跳汰实验系统中水流运动特 性，利用高速动态分析系统，研究了跳汰过程中水流的运动参数方程．在对实时采集的大量数据 观察分析的基础上，提出了一整鸯水流运动方程．结果表明，水流运动的位移曲线特性符合阻尼 强迫振动规律，水流运动的位移、速度、加速度、受力、动能等运动参数与跳汰机风压有直接的线 性关系，与跳汰周期、阻力、床层松散度等跳汰参数有明确的非线性关系． 关键词跳汰分选；水流运动；振动方程；高速动态分析 中图分类号T D9 2 8 ．1文献标识码A S i m u l a t i o no fM a t h e m a t i c sM o d e lo fW a t e r F l o w i n gi nJ i g g i n gP r o c e s s K U A N GY a l i ，O UZ e s h e n g S c h o o lo fC h e m i c a lE n g i n e e r i n ga n dT e c h n o l o t y ，C U M T ，X u z h o u ，J i a n g s u2 2 1 0 0 8 ，C h i n a A b s t r a c t J i g g i n gp r o c e s si ss u c hap r o c e d u r ei nw h i c hw a t e ra n dp a r t i c l e sj u m pr e g u l a r l yw i t hp u l s e a i rs ot h a tp a r t i c l e sc a nb es t r a t i f i e da c c o r d i n gt ot h e i ro w ns p e c f i f eg r a v i t y ．I ti sv e r yu s e f u l f o r c o n t r o l f i n gt h es t r a t i f i c a t i o nt or e s e a r c ht h em o t i o nr e g u l a t i o no fp u l s ew a t e r ．I nl a b o r a t o r yb yu s i n g am o d e lj 培a n dah i g h s p e e dd y n a m i ca n a l y s i sm e t e r ，w a t e rf l o wi nj i gw a so b s e r v e da n da n a l y z e d a n dam a s so fd a t aw a so b t a i n e d ．B a s o dO nt h ee x p e r i m e n t sas e r i e so fm o t i o ne q u a t i o n So fw a t e ri n j i gw e r ed e v e l o p e d ．I tc a nb ec o n c l u d e dt h a tt h ef e a t u r eo fp o s i t i o nc u r v eo fw a t e ri nj i gi st h es a m e a st h ec u r v eo ft y p i c a Id a m p e dv i b r a t i o n ．I nt h ee q u a t i o n st h em o t i o np a r a m e t e r so fw a t e ri nj i g ， s u c ha sv e l o c i t y ，a c c e l e r a t i o n ，f o r c ee t c ．a r ei nad i r e c tp r o p o r t i o nt ot h ea i rp r e s s u r e ，a n dh a v ea d e f i n i t en o n l i n e a rr e l a t i o n s h i pw i t hj i g g i n gc y c l e ，t h i c k n e s s ，a n dm o b i l i t yo fj i gb e d ． K e yw o r d s j i gp r o c e s s ；w a t e rm o t i o n ；v i b r a t i o ne q u a t i o n ；h i g h s p e e dd y n a m i ca n a l y s i s 在跳汰分选过程中，水流的运动特性直接影响 跳汰机内物料的运动和分层的结果．多年来．有关 跳汰过程中水流运动特性的研究一直在进行着．这 些研究中，有按不等截面u 形管中水流振动特性 推导的非线性微分方程““，有按工业生产实际跳 汰机推导的实际跳汰水流运动微分方程[ 2 。3 ] ，也有 用分段函数表达的水流运动方程“] ，还有用流体运 动学理论推导的运动微分方程[ 5 ] ．尽管研究的历史 背景、条件、方法和手段不尽相同，但最终趋同于相 似的结论，即水流运动微分方程表达应是二阶非齐 次微分方程形式． 本实验拟根据实时采集的水流运动曲线，推导 出实验条件下的跳汰水流运动方程，以建立水流运 动与跳汰周期、床层厚度、床层松散度等参数的表 达关系式． 收稿日期，2 0 0 3 0 6 2 2 作者简介匡亚莉 1 9 5 4 ，女，天津市人，中国矿业大学教授，工学博士．从事矿物加工及该领域计算机应用方面的研究． 万方数据 第3 期匡亚莉等跳汰过程中水流运动的数学模拟 1 实验 1 ．1 实验条件 实验系统是由图1 所示的u 形槽和高低压风 系统组成，带有数控电磁风阀，模拟侧鼓式单槽跳 汰机的分选．分选槽是用有机玻璃制成。可清晰地 观察床层的运动情况． 图1 实验摸型系统示意图 F i g ．1E x p e r i m e n t a lf a c i l i t yS y s t e m 数控风阀系统可以单独控制模型实验系统．除 了常规的对周期’、进气、排气和膨胀期进行在线设 定和调节外，风阀控制还可进行二次进风 t b 气 设 定，用蹦改善床层的松散条件．风阀周期的调整范 围为0 ．8 ～2 ．5s ．风阀的其他工作参数，即进气期、 排气期、膨胀期、休止期，都设定为周期的百分数， 四期之和为1 0 0 ％．朴气期是膨胀期内的一次短期 进气．各参数的调节范围设计为进气期1 0 ％～ 4 0 ％，排气期1 0 ％～4 0 ％，膨胀期1 0 ％～6 5 ％，补 气期5 蹦～2 0 ％． 实验用的物料形状为正圆柱体橡胶颗粒，粒度 为2 5m m 即圆柱体的直径和高都为2 5r a m 和 1 3m i l l ，密度分别为1 _ 3g ／c m 5 和I ．7g ／c m 5 ． 1 ．2 分析过程 用选定的分选条件，在实验系统中对实验用料 进行模拟眺状分选，同时用高速动态摄像仪对实验 过程进行跟踪摄像．将实验的图像文件调入高速动 态分析系统进行回放，选择合适的分析对象，确定 图像中欲分析的颗粒数．这一过程需要考虑所选颗 粒的代表性，分析过程的难易程度，分析结果的可 用性等．然后，利用高速动态分析系统的专用图像 分析软件N E W “ M O V I A S ，在计算机屏幕上，按照 选定点数，以及点的排列顺序，在每一幅图像上逐 一用鼠标在选定颗粒上点取每一个点．使用专用软 件将这些点按顺序排列，计算，便得出水流和颗粒 运动的各种曲线和数据． 2 水流运动分析 图2 给出了2 组实验中液面和颗粒的位移曲 线．观察它们的形状，发现它们都是周期性变化的 曲线，既在某一位置附近振动，但在运动初期，运动 的情况比较复杂，振动中心上升，经过短暂时间，振 动趋于稳定．根据振动理论嘲所描述的特征，通过 分析对比，认为液面的位移曲线是典型的振动曲 线，而且是有阻尼强迫振动曲线． 5 0 0 a Ⅲ 嘉撕 霉o 一2 0 |；；| ．2 0 r水流运动曲线 o1 ．3 527 040 55 ．4 067 53 1 09 ．4 5 1 0 ．8 0 1 0 5 0 圩5 0 t ／m s q 0 ．0 1 1 ．4 5 2 ．8 94 ．3 3 57 77 ．2 18 ．6 5 1 0 ．0 9 1 1 ．5 3 1 29 7 1 44 1 1 58 5 t ／m s b 圈2 水流和颗粒的位移曲线 F i g ．2 P o s i t i o nc t l r v eo ft h ew a t e ra n dp a r t i c l e si nj i g 分析实际的跳汰过程，水流的运动确实是在某 ～位置附近做周期性往复运动，当条件变化后，水 将在新的平衡点附近做振动．比照有阻尼强迫振动 方程，液面运动位移曲线的微分方程应形如啕 m 髻 ci d x 如P } ， ”。i ≯ ‘否 船2 ’L } J ’ 或 百d Z ．z 兰窑 兰z k p f ， 1 甄 丽 磊面 i z m f ，【l ’ 式中m 为参振质量； 为倔强系数} c 为阻尼系数． 式 1 表示二阶线性非齐次微分方程，其通解 可以由下式组成 z 0 。x o X ，， 2 式中X 。为式 1 的齐次微分方程通解} z ，为不含 积分常数的特解． 根据振动理论“] ，强迫振动的解与无阻尼自由 振动微分方程和有阻尼自由振动微分方程的解有 关系．有阻尼自由振动微分方程为式 1 的齐次微 分方程，方程形如 些磊c面dxdt2 去z 吼 3 m m m ⋯‘ 、“ 无阻尼自由振动微分方程为式 1 ～3 的阻尼 为零的特殊形式，形如 努 土z 0 ． 4 j l 十一 ⋯ 只要找出无阻尼振动的固有圆频k ／m ，有阻尼 振动的阻尼系数c ，即可求出式 1 的解式 2 ．以 万方数据 2 5 6 中国矿业大学学报 第3 3 卷 一一 下先分别求解无阻尼自由振动微分方程和有阻尼 自由振动微分方程，进而得出式 2 的表达形式． 2 ．1 液面的无阻尼自由振动 实验是在如图3 的等截面u 形管中进行的． 0 圈3 等截两u 形管 F i g ．3 T h eU w s h a p e dt u b ew i t hu n i t o r ms e c t i o n 以静止时液面的坐标O 点，对A 面施以压力 尸．设外力完全撤消的瞬间，A ，B 面都与大气相通， 液体瞬间静止． 由流体力学叫的不可压理想流体一元不定常 流动的运动方程 争Ⅲ‘P 12 u 十i P o ， 5 可知，对A ，B 液面，有 』。s i a y d z 专” 瓦P B ㈨一 ‘专以 Z U o 6 由流体力学的连续性方程有 V A t A 一∥B 0 A 日． 7 因槽体为等截面，有“ 一 } V B f 一口，则宝 警，z 。一一z 一一z ；则A ，B 液面间的运动方程为 妲d t J f a 8 出 2 ％一鲁～吼一。． 8 由P t P B ，U g z ．1 S d l z ”z 。 则方程变为 z 警恤Z 0 ，即d 面2 Z 等_ o ． 9 在式 5 至式 8 中口为速度；尸为压力；U 为 换能；z 为振动液体等效长度；A 为槽体断面面积． 比较式 4 中无阻尼自由振动微分方程，设华 砉一≯为无阻尼振动的固有圆频率，且设z z ， 则有面d a a c 1 2 z o ，为u 形管中液砸无阻尼自由振 动微分方程．此微分方程的通解形如∞ f z Ac O S 盈 占s i n 面． ＼一 ～A 二s i n 盈 B 五c o s c a t ． ‘1 0 ’ 已知液面运动初始条件 。时，d 面x o ，z z B ，代人式 1 0 有A Z s ，B o ，则液面的无阻尼 自由振动微分方程的解为 { 一z 。c o s 盈一z e c 璐√等t ， 1 一一 1 1 I 一d 面x 一磊√挚s i n √字t ， 式中z 为液面无阻尼自由振动时的位移；z ，为液 面无阻尼自由振动时的运动速度；Z e 为液面的振 幅． 2 ．2 液面的有阻尼自由振动 有阻尼自由振动微分方程通式为 五d 2 x 磊cd x d td t 鲁z o2 十m 十m ㈣ 求解此微分方程的关键是求出阻尼系数“其 q u 。*2 _ 。a _ g , 已经在前面求得．- 2 ．2 ．1 阻尼模型‘6 3 图4 为一经典阻尼模型． k 塑 一J 图4 圆柱容器与活塞 F i g ．4 c y l i n d r i c a lc o n t a i n e ra n dp l u n g e r 在盛有黏性流体的圆柱容器中有活塞，容器半 经为R ，厚度为d ，流体黏性系数为弘，活塞和容器 之间有问隙e ，当括塞以速度一运动时，作用在活 塞上的阻力为 P 6 ”t d R ／e 3 一一口7 ， 1 2 式中c 为阻尼系数． 2 ．2 ．2 阻尼模型的实际应用 在本论文跳汰实验系统中 如图1 ，实际的阻 尼来自筛板和床层颗粒．可以将床层看作多个小活 塞，筛板的阻力暂不考虑．设床层的厚度为d 紧密 时 床层松散度为 一 黼 观察式 1 2 ，可以认为R 3 ，e 3 是体积的量纲， 且R 3 相当于总体积，矿相当总间隙．对照松散度的 万方数据 第3 期 匡亚莉等跳汰过程中水流运动的数学模拟 公式 1 3 ，可以认为 菩m 吉 ．考虑容器和间隙形 态 或颗粒形状 的区别，引入一个形状系数e ，则 比照 1 2 式，实际床层对水流的阻力可以表示为 P 一亭卢d 音z ’一c z ’． 1 4 阻力系数c 一∈学．该式表示阻力与床层厚度 成正比，与松散度成反比．将c 代人式 3 ，并设 去一孑一擎，c ／m 2 h 7 , ，4 1 5 则式 3 变为d i 2 歹x 2 矽d 五x ≯z o ． 其通解形式为‘e ] z e 柑[ Ac o s √1 一h 2 埘 占s i n √1 一舻“] ． 1 6 此为振动系统的暂态振动方程． 2 ．3 液面的强迫振动 跳汰脉动水流是在压力为P f 的脉动空气作 用下运动，其振动为强迫振动．将式 1 5 代入式 1 跳汰机中水流的强迫振动微分方程的通式可由式 1 改写为 面d2 x 埘 警 1 2 z 警．4 1 7 P t 表示空气室的压力，周期性变化，假设其 变化为P f P 。s i n “一一，其最大值为P 。，∞ 禁，T 为风阀周期．则微分方程的通解为 z f e 一柑[ 4c o s √l h 2 础 Bs i n √1 一h z 埘] 十 虽 、， 。诉i i 再瓦而“ s i n “一曲． 1 8 当水流振动稳定后，式 1 8 的第一项就消失 了．考虑将坐标原点移至筛板处，则水流运动位移 方程为 加h 。 i P o 忑i 萧磊1 萧。 s i n o t ～曲． 1 9 式中z 。为￡一0 时，所研究流体点距筛板的初始 距离． 3 水流运动方程 3 ．1 位移方程 在式 1 9 中，将一 俨a r c t a n 瑞，t 孕 一垫 一／丝“一了，。一√丁， 2 h 一彘一筹√去， 代入，化筒后有 北 甜』堑二一。 2 m √ 竽哪2 2 f 巡O m 121 s i n 筹t 一曲， 2 0 式中X ￡ 为所研究流体点在t 时刻跳动离开高 度，m ；z 。为t 一0 时，所研究流体点距筛板的初始 距离，m ；P 。为空气压力最大值，N ；m 为振动液体 的质量。k g ；g 为重力加速度；丁为跳汰周期，s z 为 振动液体等效长度，m 卢为液体黏性系数， N s ／m 2 ；0 为床层松散度} ￡为容器的体积系数；P 为初相位{ m 为参振液体单位质量；d 为床层厚度， m ；f 为运动时间 s ． 式 2 0 为水流运动的位移方程，与跳汰的周 期、松散度、风压、床层厚度等建立了关系．可以看 出；水面跳动高度正比于空气压力最大值P 。，正比 于跳汰周期T ，反比于阻力系数警，反比于参振 质量m 这与实际情况是相符的． 但也应当指出，床层松散度口是随时间变化 的，此处将其当作常数处理，只是为了简化问题． 3 ．2 水流运动的速度、加速度 将式 2 0 求一阶和二阶导数，便得到水流的速 度和加速度． 其速度为 堑一 蟹Q 、， d t 。店i 丽“ C O S 笨￡一曲， 2 1 其加速度为 d 2 z一2 一P D 五一了2 x t i t m √c 竽咄甲 警 2 s i n 笨￡一曲． 2 2 观察水的运动方程，可以看出，虽然跳汰过程 的各个参数与运动的位移、速度、加速度等都有对 应关系，但它们之间的关系是非线性的，较为复杂． 只有空气压力与各运动参数表现为直接的线性关 系．如果将位移方程还原成式 1 9 的原解形式，再 求出速度、加速度方程，就会发现，各个运动参数只 与系统的固有频率，即系统的自身特性和强迫力的 频率有关，而且速度和加速度更加依赖于强迫力的 性质，这一点应当引起我们的注意，因为在实际生 万方数据 2 5 8 中国矿业大学学报 第3 3 卷 产中。跳汰机的风压一般是固定的，生产中基本不 3 ．3 水流的动能 根据运动学理论叫，应用式 2 1 ，水流运动的 动能为 E l m C i 1 一了云- 2 , 等d z 面“c 擎叫 P 【m √c 竽 警 2 。J 。 P I 琴嘉斧翁c o s q 擎卜卿∽，P 琴；可秀孚丁。”吁卜跳心∞ 3 ．4 水流的受力 根据运动学定律F m a ，可以求出水流的受 力方程为 F m 意一 F 三垒坠一。h 筝一咖． 2 4 m √ 孚嘲z 2 f 巡O m ] 1 2。 公式 2 0 ～2 4 完整给出了水流的～系列运动 参数方程．在各个参数的方程中，起重要作用的因 素之一是强迫力，既风压尸 z 一R s i n 譬f 一力，其 中P 0 近似为风包的最大压力．应当说明，在实际生 产中，风压的变化曲线并非标准的正弦曲线．为了 获得更好的分选效果，操作者常常改变进气期、膨 胀期等的长度，这会使风压曲线出现变化．到目前 为止，没有发现风压变化的完全数学表达．在本文 中，我们假设风压 强迫力 曲线为标准正弦曲线， 因为它基本符合本论文实验曲线的特点．有了这一 假设，我们得以完整地推出运动方程，确立了它与 各运动参数的关系，为今后的继续研究指出了方 向．在公式中，当s i n 笫f f 一1 时，位移方程式 2 0 取得最大值，即位移最高点与P 0 成正比，且当 实验条件固定时，二者为线性关系，这一点实验数 据与公式是完全吻合的． 在各公式分母上，根号中的第一项是一个无量 纲数，实际上反映振动质量的固有性质和强迫力的 周期的共同作用．根号中的第二项主要反映阻力的 影响． 4 结论 1 本实验条件下，水流运动的位移曲线是周 期性变化的曲线．既在某一位置附近振动，但在运 动初期，运动的情况比较复杂，振动中心上升，经过 短暂时间，振动趋于稳定．对比振动理论描述的振 动特征，认为水流运动的位移曲线符合有阻尼强迫 振动规律． 2 根据振动理论的阻尼模型，推导出水流运 动阻尼系数与床层厚度成正比，与松散度成反比， 与颗粒间隙形态 即颗粒形状 和液体粘性系数有 关． 3 水流运动振动微分方程的解即为水流运动 的位移方程．方程表明，水流运动位移与跳汰周期、 松散度，风压、床层厚度等都有关系．可以看出水 面跳动高度正比于空气压力最大值卸，正比于跳 e J 汰周期丁，反比于阻力系数半，反比于参振质量 m ，这与实际情况是相符的．水流运动的位移方程 较客观地描述了实验条件下跳汰水流运动规律． 4 通过水流运动位移方程可以得到水流运动 的速度、加速度、受力、动能等诸方程．它们都分别 与风压、跳汰周期、阻力等跳汰参数形成一定关系． 诸运动参数方程形成了完整的水流运动方程体系， 可系统描述跳汰水流运动情况． 5 从诸方程可以发现，跳汰过程中水流运动 状态与风压有密切关系，实际跳汰过程中，应考虑 该参数的调节，这将对床层运动情况的改善起较明 显的影响． 参考文献； [ 1 ] H ．A ．萨梅林．跳溅的理论及其应用[ M ] ．张荣曾， 译．北京煤炭工业出版社，1 9 8 0 ． [ 2 ] 霍森．跳汰分选机理与在线检测控制的研究[ D ] ． 北京t 中国矿韭大学化学与环境工程学院，1 9 9 9 ． [ 3 ] 荒木芳昭．空气脉动跳汰机脉动波形的模糊控制 [ J ] ．选煤技术，1 9 9 4 专辑 t 8 1 - 8 5 ． F 4 ] 李贤国．张荣曾．重力选矿原理[ M ] ．北京；煤炭工业 出版社。1 9 9 2 ． [ 5 ] 张荣曾，韦鲁滨，付晓恒．跳汰机中脉动水流流体动 力学研究[ J ] ．煤炭学报，2 0 0 2 ，2 7 6 t6 4 4 6 4 8 ． E 6 ] 大崎腰彦[ 日] ．振动理论[ M ] ．谢礼立，译．北京。地 震出版社，1 9 9 0 ． [ 7 ] 潘文全．流体力学基础 上册 [ M ] ．北京机械工业 出版社，1 9 8 0 ． [ 8 ] 南京工学院等七所院校．物理学 上册 [ M ] ．北京； 人民教育出版社，1 9 7 8 ． 责任编辑李成俊 万方数据