修正的平方根法求解带不可微项方程.pdf

第3 5 卷第4 期中国矿业大学学报V 0 1 ．3 5N o ．4 2 0 0 6 年7 月J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g yJ u l ．2 0 0 6 文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 6 0 4 0 5 6 0 0 5 修正的平方根法求解带不可微项方程 李阿然1 ，曹德欣2 1 ．中国矿业大学管理学院，北京1 0 0 0 8 3 ；2 ．中国矿业大学理学院，江苏徐州2 2 1 0 0 8 摘要改进了求解带不可微项方程的平方根法，建立了修正平方根法．与平方根法相比较，修正平 方根法收敛速率仍保持三阶不变，在每两次迭代步骤中，比原平方根法少计算2 个导数值．利用 优序列技巧，在y 一条件下，证明了该迭代格式的收敛性，并给出了误差估计． 关键词不可微项；优序列；平方根法 中图分类号02 4 1 ．8文献标识码A T h eM o d i f i e dS q u a r eR o o tM e t h o df o rS o l v i n g E q u a t i o n sw i t hN o n d i f f e r e n t i a b l eT e r m L IA r a n l 。C A 0D e x i n 2 1 ．S c h o o lo fM a n a g e m e n t ，C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g y ，B e i j i n g1 0 0 0 8 8 。C h i n a ； 2 ．S c h o o lo fS c i e n c e s ，C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g8 LT e c h n o l o g y ，X u z h o u ，J i a n g s u2 2 1 0 0 8 ，C h i n a A b s t r a c t Am o d i f i e ds q u a r er o o tm e t h o dw h i c hc a ni m p r o v et h es q u a r er o o tm e t h o df o rs o l v i n g e q u a t i o n sw i t hn o n d i f f e r e n t i a b l et e r mw a sp r e s e n t e d ．T h ec o n v e r g e n c er a t eo ft h em o d i f i e d m e t h o dw a ss t i l lt h i r do r d e r ．F o re v e r yt w oi t e r a t i o n s ，t h en u m b e ro fd i f f e r e n t i a lv a l u e sc a l c u l a t e du s i n gt h en e wm e t h o dw a st w ol e s st h a nu s i n gt h ef o r m e rm e t h o d ．U n d e ry c o n d i t i o n ， t h ec o n v e r g e n c ea n de r r o re s t i m a t i o nw e r eg i v e nb ym a j o r a n ts e q u e n c e ． K e yw o r d s n o n d i f f e r e n t i a b l et e r m ；m a j o r a n ts e q u e n c e ；s q u a r er o o tm e t h o d 设， z ，g z C C 是复函数，且， z 具有 三阶连续导数，g z 不可微，求解方程 ， z g z 一0 ． 1 方程 1 称为带不可微项方程阻3 ‘．这一类方程具有 广泛的实际背景，研究方程 1 的数值求解问题很 有意义．带不可微项方程的数值解法通常是利用优 序列技巧h 6 3 的迭代法睁引．文献[ 1 ] 给出了求解方 程 1 的平方根法，此方法具有三阶收敛速率．本文 将文献E l i 中的迭代格式作了改进，用于求解带不 可微项方程．其迭代格式为 , x o ∈c ， l lX 2 蚪l X 2 k ～．志丝铲Ⅷ， 一～而7 杰芦一’‘2 ’ 【z 2 抖2 一X 2 蚌1 一A 2 抖1 { f x 2 蚌1 g x 2 蚪1 ， 其中‰ 地崔毪产； A 2 1 Z 2 I 1 2 f x 2 蚪1 X 2 h z 2 一 2 一 f x 。。 该方法与文献[ 1 ] 的方法相比较，保持三阶收 敛速率，在每两次迭代步骤中，少计算2 个导数值， 改进了文献[ 1 ] 的工作． 优序列及弘条件 利用优序列技巧，在y 一条件下，证明该迭代格 式的收敛性，并给出误差估计．设， z ，g z 满足 收稿日期2 0 0 5 0 1 2 0 作者简介李阿然 1 9 7 9 一 ，女，河北省邯郸市人，博士研究生，从事金融风险分析和计算数学及其应用方面的研究 E - r o l l l i a r a n s o h u ．c o r n T e l 0 1 0 6 2 2 3 5 0 4 0 万方数据 第4 期 李阿然等修正的平方根法求解带不可微项方程 5 6 1 一● p 一 ≤Lfz Y 0 ≤L 1 ， f ] x o 叮 i g 厂 x o J I ，] 叮i 厂一J ’ 7 ≥虿1f 籍f 口一膨． 并且， z 满足 厂 z f ， 而J 冬 6 严 1 一y z z oJ 4 ’ 4 z ∈咚， ，砺1 7 1 ． 设妒 ￡ 一p 一￡ r 兰≥，妒 ￡ 一n ， z 一 P z 驴 f ．由 f 的表达式可知，当口≤3 - - L 一 2 Z 乒- - L ‘时，函数 z 有2 个正的零点￡* ，z * * 川 垃旦二L 士板r 瓦i T 厂二石西 E 了 万商 西L 温岂 2 y 2 一， 。 引理1 口1当口≤3 一L ～22 乒- - L 。时，有 1 ￡ 在E o ，t ] 上单调下降，且非负； 2 ∥ ￡ 在E o ，t 。] 上单调上井，且一1 ≤ ∥ ￡ ≤0 ； 3 当尼≥2 时，P “’ ≠ 一可笆专若鬲，且在[ o ， t 。 上单调上升； 4 o 静等 1 。≤￡ ． 考虑优序列迭代格式 衅一志怒⋯， 【t 2 蚪2 t 2 抖l a 2 抖1 h t 2 蚪1 ， 其忆z t 一器； a 2 t l 2一一 丛 二 丝 2 妒 ￡z } - 妒 ￡z - 卜、 j i 杀 ￡z t ‘ 引理2 当口≤3 一L 一对虿二E 时，迭代格式 5 产生的序列‰ 收敛于 ￡ 的较小零点t 。，并 且0 一t o t 1 ⋯ t 2 时，0 ≤一口2 抖l ≤ 一万b ，即证一孤i 万州p 让 ≤ 一Z 【妒 ￡2 抖1 一9 ￡2 一 i 刍 ￡2 ∥ z 2 蚪1 z 2 抖l f 粕 一 √1 a 2 k 一2 f l t z 1 一6 f l t z 9 7 ￡2 ￡2 抖1 ～￡2 伊7 f 2 抖1 f 2 抖l ～t 2 一 广1 J 。矿 ‰q - O t z 蚪一坛 口 1 一O d O ￡2 蚪l t z 3 ． 因为矿 ￡2 女 O t 2 蚪1 一￡2 女 ≥o ，所以0 ≤一n 2 蚪， ≤～志成立，由迭代式 5 知 t z 抖2 ≥≥t 2 l ， 且 坼z ≤饥一躲． 迭代格式庐 ￡ 一￡一笋装是单调上升的，所以tp J ’。⋯’⋯⋯一 ‰z ≤‰，～黜≤卜筹“． 即0 一t o t l ⋯ t 。 t 。成立． 证毕． 引理3 Ⅲ 若／ z 。 ≠0 ，Iz - - X 。l t ’，则 ／ z ≠0 ，且有 ，f 怒f ≤州X - - X 0m 2 ，{ 怒J ≤阳X - - , T 0j ； 3 ，f 错| ≤一而圭丽； 4 IA z tf ≤口。． 引理4 叫 设2 ∈C ，且IzI 1 川■可． 2 收敛性 定理1 当口≤3 ～L ～幻虿二i 时，迭代格式 2 有意义，且收敛于方程 1 在IX - - X 。l t 。内 惟一零点，且有Iz 井。一z 。f ≤t ，件。一t 。，fz 。～z 。l ≤ t 。～t 。． 证明用数学归纳法证明fz 件。一z 。f ≤f 井。 t 。． 当n 一0 时 万方数据 5 6 2中国矿业大学学报第3 5 卷 F 豆f 需 x o 霈- 4 - g x 甄o i ≤l √卜地带铲几，I 、 砺三荔’ 瓦i 而1A 2 蚪1 ／ z o I “一如一一了亍耘一 旦 ／1 2 ．缈 J - - - - - - ．．．．．．．．．．．．．．．．．一 ● 所以lz 。一z 。I ≤t 。一t 。成立．假设n ≤2 k 时， lz 2 l X 2 J ≤z 2 抖l t 2 女成立． 2 [ ， z 2 蚌1 一f x 2 女 ～／ z 2 z 2 讣I z 2 女 ] ／ z 2 t z 2 蚪1 一．J C 2 f 厂 z o z 2 t q - 1 ～z 肌 2 I ／， z 2 O x 2 蚪1 一z 2 1 一O d O x 2 蚪l X 2 2 ／ z 2 z 2 计l z 2 I 』L 7 石万瓦磊二i 了_ I ≥／ z o z 2 抖1 一z 从I 夕 一2 r 1 I ／， z z O x 2 蚪l z 2 1 一O d O x 2 蚪l X 拍 J 0 l 船I ≥ r 1 I 矿 ￡2 t O t 2 抖1 一￡2 1 一O d O t 2 蚪1 一f 2 I 2 一∥ 坛 ～2 业云 i i 一2 一 翌 生 二翌 生 二型 生 生 二塾 一一L ￡2 抖l t z l0 , 2 抖1 。 所以lA 2 蚪l 厂 z o I ≤一口2 蚪1 ． 6 0 一f x 2 k g x 2 , ／- f - - A 2 k f 7 z 2 z 2 蚪l z 2 t f x 2 ／ z 2 z 2 蚪1 一z 默 去／， z 2 I z 2 蚪l z 2 I 2 g x 2 I 一 百鲁i 八勋以‰- ～z p 一 丢／， z 2 t z 2 抖l z 2 2 一 f x 2 f 7 z 2 々 z 2 蚪l z 2 I 去／’ z 2 。 z 2 蚪1 一X 拍 2 g x 2 一 - f 1 ／ c z t 。c z t - j c z t [ x 2 } - - 。r z t 十一 兰 』 兰丝 量 兰丝 ] 一 1 撕面 厂 勘 j f x 2 1 ／ z 2 I z 2 蚪1 一z 2 寺／， z 2 t z 2 蚪l z 2 g x 趾 一 土￡墨垒立羔警掣[z。蚪。一z拍一2 1 ．以面”“一1 一“’ 川j 刁i z 蚪。一％ ] 一 f x 2 女 ／ z 2 1 z 2 外I z 2 丢／， ％ z z 蚪。- - X 2 - t - g ％ 一 土_会鼍／，z。。z。蚪。一z。。z．2 1 以而 z 一一“一一1 ～“’ 可推出 f x 2 蚪1 g x 2 k 1 一f x 2 _ H - I 一厂 z 2 一 ，7 z 2 z 2 蚪l X 2 一 丢／， z z t z z 蚪，一z z t g z z 蚪- 一g z z t 二叁竺i ／， z 强 z 。蚪。一z 。 z 2 1 、／r 而 2 。一⋯⋯”⋯ 告I 厂 z 2 I O x 2 抖l X 2 I 1 一口 2 d O z 2 抖1 一X 2 h 3 g x 2 抖1 一g x 2 女 专兰 ；i f x 2 z 2 蚪l X 2 2 ． 2 1 、／r 百 2 ⋯⋯”1 ⋯。 根据引理1 的4 可知lA 。I 1 ，再由式 3 ， 引理3 ，4 可推出 丛喘等型l ≤圳丛吐堕制芋盟堕型卜 万方数据 第4 期李阿然等修正的平方根法求解带不可微项方程5 6 3 I 血铲| 面岩击而l 错l x 2 k l - - x 2 t 2 ≤ 1r l 专J 。矿 坛 口 ￡2 蚪l 一坛 1 一D 2 d S t z 蚪一‰ 3 d2tz蚪1一妒。从’五了了_南矿。趾￡z抖---tzkz2 1 J 1 a 一2 ‘ 2 ’ 妒 ‘z 蚪1 驴 ‘2 抖1 ‘2 蚪1 7 由式 6 ， 7 可知根据引理3 ．4 和式 9 椎出 z 2 蚪2 一z 2 蚪1I IA 2 蚪l ， z 2 蚪1 g x z 蚪1 l A 卅，几川J 如号磬型I ≤ 一a 2 蚪l h z 2 抖1 一t 2 蚪2 一z 2 抖l ， 8 ， z 2 抖2 g x 2 抖2 一f x 2 蚪2 一f x 2 蚪1 一 厂 z 2 抖1 z 2 蚪2 一z 2 蚪1 g x 2 蚪2 一g x 2 蚪1 f x 2 蚪1 g x 2 蚪1 厂 z 2 抖1 z 2 蚪2 一X 2 蚪1 一 } ／， z 2 蚪1 咿 z 2 抖2 一z 2 蚌1 1 0 d O z 2 蚪2 一z 2 蚪1 2 g x 2 抖2 一g x 2 抖1 f x z 抖1 g x 2 蚪1 一A z k 1f 7 z 2 蚪1 厂 z 2 抖1 g x 2 蚪1 一 I ／7 z 2 抖【 O x 2 抖2 一z 2 抖I 1 0 d O z 2 抖2 一X 2 蚪1 2 g x 2 抖2 一g x 2 蚪1 垒 生 』 兰 丛 竖 兰 生 『2 f X 2 H - I 南c ％，弋2 一万击 m z ，一 ／ z 2 蚪1 z 2 抖l X 2 l l ／7 z 2 蚌1 p z 2 蚪2 一z 2 蚪1 1 0 d 0 z 2 蚪2 一X 2 1 H - 1 2 g x 2 蚪2 一g x 2 抖1 A 2 蚪l f x 2 k 1 g x 2 “l ”． Z 2 ‘ l X 2 k J I 厂 z 。； O x 2 蚪。一z 2 i 9 1 0 d O z 2 蚪l z 2 3 1 ． J 根据式 3 ， 6 ， 7 和引理3 可推出 丛号掣J ≤f 如。蚪， 厂7 z o f 弋Jo y 2 州I O t 2 抖2 一t 2 抖1 1 一口 d O t 2 抖2 一￡2 抖1 2 驴 ￡2 蚪2 一妒 ￡2 蚪1 二号型尘丛譬出2r ∥ 坛 口 f 。蚪，一场 ． ≠2 1 一￡2 j0 。 一 ⋯‘ 一 目 1 一口 d O t z 抖l t 2 3 一 z z 蚪3 一z 2 蚪2 } 2 丛甓等掣J ≤ r ‘。一l 、 ／ z 2 抖2 J 、 l 丛嗡警型Il 是等l ≤～而1 地z _ 痞≥一 ￡2 蚪3 一t z 抖2 ． 1 0 由式 8 ， 1 0 及归纳法可知lz 计。一z 。l ≤ ￡计，一t 。．则{ z 。 为一个C a u c h y 点列，设其收敛到 Z 。． 、Jz 外p X 。J ≤Jz 井，一X n - F p - 1 { X m l - p - l X n 步- 2l ⋯ Iz 井l z 。I ≤ ‘科p 一￡升卜1 ￡计卜1 一￡外卜2 ⋯ ￡井1 一t 。 ￡计，一t H ． 令P o o 可得Jz 。一X 。I ≤t 。一t 。． 由以上证明可知收敛性得证． 证毕． 参考文献 宋迎春，宋立岩，倪筱颖．求解带不可微项方程的平方 根法l - J ] ．黑龙江商学院学报，1 9 9 8 ，1 4 4 5 7 6 0 ． S O N GY i n g - e h u n ，S O N GL i y a n ，N IX i a o - y i n g ．T h e s q u a r er o o tm e t h o df o rs o l v i n ge q u a t i o n sw i t hn o n - d i f f e r e n t i a b l et e r m [ J ] ．J o u r n a lo fH e i l o n g j i a n gC o m m e r e i a lC o l l e g e ，1 9 9 8 ，1 4 4 5 7 6 0 ． 王萍．用修正的N e w t o n 法求解带不可微项方程 I - J ] ．哈尔滨理工大学学报，1 9 9 7 ，2 6 8 8 9 2 ． W A N GP i n g ．M o d i f i e dn e w t o nm e t h o df o rs o l v i n g t h ee q u a t i o n sw i t hn o n - d i f f e r e n t i a b l et e r m [ J ] ．J o u r n a lH a r b i nU n i v ．S e i ． T e c h ．，1 9 9 7 ，2 6 8 8 9 2 ． 潘状元，刘锡祥．求解带不可微项方程迭代法的点估 计F J ] ．哈尔滨理工大学学报，1 9 9 6 ，1 2 1 0 1 1 0 4 ． P A NZ h u a n g - y u a n ，L I UX i x i a n g ．P o i n t e s t i m a t e so f i t e r a t i o nm e t h o d so fn o n - d i f f e r e n t i a lt e r me q u a t i o n s [ J ] ．J o u r n a lH a r b i nU n i v ．S e i ． T e c h ．，1 9 9 6 ，1 2 】O 】一】0 4 ． 妒 ￡2 抖2 妒 z 2 蚪2 一h t z 蚪z ． 9 [ 4 ] Z A B R E J O KPP ，N G U E NDF ．T h em a j o r a n tm e t h ] ] ] I l 口 口 万方数据 中国矿业大学学报 第3 5 卷 o di nt h et h e o r yo fn e w t o n - k a n t o r o v i c ha p p r o x i m a t i o n sa n dt h ep e a ke r r o re s t i m a t e s [ J ] ．N u m e r ． F u n e t ．A n a l ．O o p t i m ，1 9 8 7 9 6 7 1 - 6 8 4 ． [ 5 ] Z A B R E J ’O KPP ，Z L E P R O PP ．O nag e n e r a l i z a t i o n o ft h en e w t o n - k a n t o r o v i c hm e t h o df o ra ne q u a t i o n w i t hn o n - d i f f e r e n t i a b l eo p e r a t o r [ J ] ． R u s s i a n U k r ． M a t ．Z h u r n ，1 9 8 6 3 4 3 6 5 3 6 9 ． [ 6 ] W A N GXH ，H A NDF ，S U NFY ．P o i n te s t i m a t e s o nd e f o r m a t i o nN e w t o ni t e r a t i o n s [ J ] ．M a t h ．N u m e r ， 1 9 9 0 1 2 1 4 5 1 5 6 ． [ 7 ] H A NDF ，W A N GXH ．C o n v e r g e n c eo nad e f o r m e d N e w t o nm e t h o d [ J ] ，A p p l ．M a t h ．C o m p u t ．’1 9 9 8 9 4 6 5 7 2 ． 1 - 8 3 O R T E G AJM ，R H E I N B O L D TWC ．I t e r a t i v es o l u t i o no fn o n l i n e a re q u a t i o n si ns e v e r a lv a r i a b l e s [ M ] ． I s ．1 ．] A c a d e m i cP r e s s ，1 9 7 0 ． 责任编辑邓群 中国矿业大学学报 中文版 2 0 0 6 年第2 期被E i 收录论文 二 论文题目第一作者 振动参数对流化床分选性能的影响⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯骆振福 废弃线路板的低温粉碎试验研究⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯邹亮 一种渐进格网模型的改进算法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯左小清 露天矿生产与生态重建适宜性评价专家系统⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯马从安 纳米羟基磷灰石复合陶瓷生物摩擦学行为研究⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯王庆良 高含盐油藏储层参数变化微观实验研究⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯尤启东 酸处理对活性炭性质及其催化裂解甲烷制氢性能的影响⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯白宗庆 C H ．检测元件中P d ／A l 0 ，催化剂的制备及反应性能⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯刘凤丽 西部煤中有害痕量元素的洗选脱除特性⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯宋党育 数据库系统综合查询方法研究⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯穆彤娜 煤田采区火成岩分布地震反演技术的应用研究⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯许永忠 一种S Q L 负载裁剪新方法的研究⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯周晓云 固流耦合作用下煤层气解吸一渗流实验研究⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯唐巨鹏 算子半群逼近及收敛速度的几个估计式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯一荣嵘 摘自E n g i n e e r i n gV i l l a g e2 万方数据