岩石动力学中离散元程序处理波幅的新方法.pdf

第3 4 卷第2 期 中国矿业大学学报 V 0 1 ．3 4N o ．2 2 0 0 5 年3 月 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g T e c h n o l o g y M a r ．2 0 0 5 文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 5 0 2 0 1 7 0 0 5 岩石动力学中离散元程序处理波幅的新方法 雷卫东1 ，A s h r a fM o h a m e dH e f n y l ，赵坚1 ’2 ，赵晓豹1 1 ．新加坡南洋理工大学土木及环境工程系，新加坡6 3 9 7 9 8 ； 2 ．中国矿业大学建筑工程学院，江苏徐州2 2 1 0 0 8 摘要顺应日益更新的计算机硬件及其外部设施，结合离散元程序U D E C ，M A T L A B 和 E X C E L ，提出了一种在U D E C 中全面处理各节点或单元中心波幅的数据处理新方法．该方法涉 及修改U D E C 源程序以扩展时间历程及表格上限、应用U D E C 中的内嵌语言F I S H 在建模文件 中自动记录波的时间历程以及在M A T L A B 中处理各节点或单元中心波的幅值．给出了该方法 在岩石动力学中波动问题研究的应用实例，结果表明该方法优点多，在岩石动力学研究中具有 较高的实用价值． 关键词离散元程序；单元中心或节点；波幅；岩石动力学 中图分类号T D3 1 3文献标识码A AN e wM e t h o do fP r o c e s s i n go fW a v eA m p l i t u d eU s i n g D i s c r e t eE l e m e n tM o d e l i n gi nR o c kD y n a m i c s I 。E IW e i d o n 9 1 ，A s h r a fM o h a m e dH e f n y l ，Z H A OJ i a n l “，Z H A OX i a o b a 0 1 1 ．S c h o o lo fC i v i la n dE n v i r o n m e n t a lE n g i n e e r i n g ，N a n y a n gT e c h n o l o g i c a lU n i v e r s i t y 。S i n g a p o r e6 3 9 7 9 8 ； 2 ．S c h o o lo fA r c h i t e c t u r ea n dC i v i lE n g i n e e r i n g ，C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n ga n dT e c h n o l o g y ， X u z h o u ，J i a n g s u2 2 1 0 0 8 ，C h i n a A b s t r a c t S u i t a b l ef o rt h el a t e s th a r d w a r eo fp e r s o n a Ic o m p u t e r s ，c o m b i n i n gad i s c r e t ee l e m e n tc o d e U D E C ，M A T L A Ba n dE X C E L ，an e wm e t h o do fc o m p r e h e n s i v ep r o c e s s i n go fa m p l i t u d eo f v e l o c i t y ／s t r e s sw a v ef o re v e r yg r i d p o i n t ／z o n e c e n t r o i df o re v e r yz o n ew a sp r o p o s e d ． I nt h en e w m e t h o d ，s o m et e c h n i q u e sw e r ei n v o l v e d ，i n c l u d i n gm o d i f y i n gt h es t a n d a r dU D E Cs o u r c ec o d et o i n c r e a s et h eu p p e rl i m i t so ft i m eh i s t o r ya n dt a b l ea m o u n t ，a u t o m a t i n gi nU D E Ci n p u tf i l et h e r e c o r d i n go ft h et i m eh i s t o r y ，b yu s i n gt h ee m b e d d e dl a n g u a g eF I S H ，p r o c e s s i n gt i m eh i s t o r yd a t a i nM A T L A Bt oo b t a i na m p l i t u d ed a t ao fv e l o c i t y ／s t r e s sw a v ef o re v e r yg r i d p o i n to re v e r yz o n e c e n t r o i d ．S o m ea p p l i c a t i o n so ft h en e wm e t h o di nr o c kd y n a m i c sw e r ep r e s e n t e d ．R e s u l t ss h o wt h a t t h en e wm e t h o di so fm a n ya d v a n t a g e s ，a n dw e l ls u i t e sp r o c e s s i n gt h ep r o b l e m si nr o c kd y n a m i c s ． K e yw o r d s d i s t i n c te l e m e n tm e t h o d ；z o n ec e n t r o i do rg r i d p o i n t ；a m p l i t u d e ；r o c kd y n a m i c s 计算机硬件迅猛发展，C P U 处理速度越来越 快；内存、硬盘及各种储存数据的外设容量越来越 大．一方面为现有的离散元程序提供了一个充分发 挥的空间；另一方面也对如何利用计算机硬件而充 分挖掘现有离散元程序潜力提出了挑战． U D E C 是广泛应用于岩石动力学问题中的离 散元程序阻引，有其强大的计算能力h 引．但是对结 果数据的处理以及图形处理并不是很完善晤7 ‘．在 岩石动力学中的波动问题研究中，经常需要处理各 节点或单元中心的速度或应力波的时间历程．其记 收稿日期2 0 0 4 0 6 一1 0 基金项目国家重点基础研究项目 2 0 0 2 C B 4 1 2 7 0 3 ． 作者简介雷卫东 1 9 6 5 一 ，男，湖北省黄冈市人，博士研究生，从事岩石动力学方面的研究． E m a i l P 1 4 7 0 4 1 7 7 9 n t u ．e d u ．s g 万方数据 第2 期 雷卫东等岩石动力学中离散元程序处理波幅的新方法1 7 1 录的单元或节点的数量对动力学研究的多数课题 来说多多益善．由于几何阻尼的原因，即使在理想 的弹性岩石中传播，二维波的波幅也是随着远离波 源中心的距离而衰减．而并不象一维弹性波一样没 有波幅的衰减．对于二维波动问题来说，更是要求 记录尽量多的单元及节点的波的时间历程，最好是 记录所有的单元或节点的波的时间历程．这样一 来，可以根据研究的目的读取所需的波的时间历程 中的信息．为适应日益更新的计算机硬件及其外部 设施，为此本文提出一种全面处理离散元程序的各 单元中心或节点的波幅的新方法． 1 方法概述 在U D E C 处理岩石动力学问题时，经常要记 录速度或应力波的时间历程．常规的处理办法是， 在U D E C 模型文件中预先定义所要记录点的位 置、速度及应力波．由于在U D E C 模型中有很多单 元和节点，实际的建模文件中，近乎不可能事先预 定义每个节点或单元中心以及速度或应力波．如果 仅就某个目的只定义有限的节点或单元中心点的 速度或应力时间历程，则U D E C 模型必须为别的 目的记录其他别的点的时间历程而另外花时间运 行．另外，在U D E C 的常规方法中用H I S T 命令定 义的某点的速度或应力波并非准确的该点的时间 历程，而是最接近该点的节点或单元中心的时间历 程，其精确度依赖于单元网格的尺寸． 接合U D E C 、M A T L A B 和E X C E L ，本文提出 一种用于岩石动力学波动问题，全面对U D E C 模 型中的所有单元或节点波的波幅进行处理的新方 法．主要以此对节点的速度波的时间历程波幅的处 理来展开说明．对于单元中心的应力波来说，该方 法同样适用．不同之处仅在于合成应力波与应力分 量的关系有别于合成速度波与两个速度分量的关 系而已．该方法涉及以下问题，修改U D E C 源程序 以增加U D E C 中处理时间历程和表格数量最大 值；U D E C 建模文件中自动记录速度或应力波的 时间历程；M A T L A B 中处理幅值；在E X C E L 中 表示结果． 2 增加U D E C 中时间历程和表格上限 在标准的U D E C 程序中，所能处理的波的时 间历程的数量上限为5 0 0 个H ] ．如果要记录一个实 用的U D E C 模型中所有的节点上波的时间历程， 该数量上限远远不够，必须扩充．为了在建模文件 中自动记录各个节点速度的时间历程，必须在 U D E C 中的内嵌语言F I S H 中用其表格功能作为 桥梁．而在标准的U D E C 程序中，所能处理表格的 数量上限也仅为5 0 0 个．因此，处理表格的数量上 限也必须扩展． 以～个用于研究岩体中二维波传播的中型实 用算例为例，其尺寸为1 0 0I n x7 0m ，如果采用低 于2 ％的数值分析误差要求的单元网格，则单元节 点的数量大约是5 00 0 0 个． 根据具体所使用的U D E C 模型的节点数量和 所使用的计算机的内存，在U D E C 源程序中的相 应子程序中设置单元节点和表格的相应数量上限， 以满足所要求的时间历程的数量．一般来说，根据 二维波在岩体中传播的研究的经验，在C P U 为1 ．8 G H z ，内存为] GB y t e 的微机上，时间历程和表格 数量的上限设1 0 00 0 0 ，运行过程中没有问题． 3自动记录速度或应力波的时间历程 图1 所示为U D E C 中一般模型结构．任何一 个U D E C 模型由块所组成，任何可变形块由有限 差分单元组成．三角形单元是最常用的单元．单元 由单元节点的坐标 z ，y 定义．每一个单元有一个 单元中心． 图1 一般U D E C 模型示意图 F i g ．1 S t r u c t u r eo fa g e n e r a lU D E Cm o d e l 在U D E C 中，有一组固定的变量定义块，单元 和节点．这些变量储存在链表中，链表中每一项由 地址指针和补偿项组成．其地址指针指向具体的 块，单元和节点；其补偿值规定内存的地址及与地 址相关的变量．图2 表示U D E C 中该链表型数据 结构‘引． 单元数组 书点数组 图2U D E C 内部数据结构 F i g ．2 D a t as t r u c t u r ei nU D E C 表1L 4 3 所示为U D E C 的内嵌语言F I S H 中自 动记录速度或应力波的时间历程时所涉及的变量 万方数据 中国矿业大学学报 第3 4 卷 或功能名．利用这些变量及功能在现阶段配置较好 的微机上，就可以实现自动记录U D E C 模型中所 有节点或单元中心的速度或应力波的时间历程． 表1自动记录所有节点或单元中心的速度或应力波的 时闻历程涉及到的功能和变量汇总 T a b l e1F u n c t i o n sa n dv a r i a b l e si n v o l v e di n ’the a u t o m a t i n gf i l e 变量／功能意义 块链表头指针 节点链表头指针 节点x 坐标 节点Y 坐标 节点x 方向速度分量 节点Y 方向速度分量 指向下一个节点的指针 指向下一个块的指针 单元链表的头指针 单元中心x 坐标 单元中心Y 坐标 单元中心x 方向应力分量 单元中心Y 方向应力分量 单元中心剪切应力分量 指向下一个单元的指针 注i b 块的编号；g P 节点编号；z i 单兀编号． 应用U D E C 提供的内嵌语言F I S H 编写一个 产生包含如下信息的文件 1 节点或单元中心点的信息每个单元或节 点在笛卡尔坐标系中的x ，Y 坐标；单元或节理的 总数；每个单元中心或节点的编号；每个单元中心 或节点在极坐标系中的半径及角坐标． 2 节点或单元中心点波的时间历程的信息． 一旦上述信息产生后，即可存人数据文件，可 以在M A T L A B 中处理． 4 处理数据 图3 所示为M A T L A B 中处理实际U D E C 模 拟的一个节点的速度波幅值的机理．对于任一节点 的速度波来说，在U D E C 中记录并存储z 方向的 速度波和Y 方向的速度波．对于每个速度波分量来 说，结果文件实质上来说是一个两列的数组．一列 表示时间兀．，，另一列表示某一时刻的速度值 V X ／w “，其中i 表示节点编号，从1 至节点的总 数；．j 表示某一时刻所需的时间步长的倍数，从1 至U D E C 模拟的终止时刻的时间步长倍数．其合 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ _ _ ●_ _ ●●_ _ _ _ - 。●。。。。。。。。。。。。 成速度波向量的模为y 一√y X 乏， n ，{ 卜对于某 一i 值 某一特定节点 来说，其合成波的幅值 A i 即为最大的u ，j 值，即A i M a x i u m u ，』 ，其中i 值为常量，，值为变量．在M A T L A B 中编一段程序 即可以实现所述的算法．根据合成波达到其幅值的 时刻t i ，可以确定该时刻z 方向的速度波的速度值 V X 。，及Y 方向的速度波的速度值y y Ⅻ．综合节点 的位置信息，可以得到如表2 所示的关于所有节点 速度波幅值信息． 怒 e0 ．5 堇鬈 戳 0 一矿 隧 弋 。。 霉。 弱． 一 。 童 飞 ．％1 ． 23 1 时问／m s ．ti。 图3 处理合成速度波幅值的机理 F i g ．3M e c h a n i s mo fd a t ap r o c e s s i n gr e g a r d i n g a m p l i t u d eo fc o m b i n e dv e l o c i t yw a v e 表2 结果文件格式 T a b l e2F o r m a to ff i n a lr e s u l tf i l e 得到上述的结果文件后，在M A T L A B 中可以 很方便地依据不同的判据对结果进行处理．例如可 以归纳出沿z 与Y 坐标 或极坐标系中角坐标、半 径坐标 成某种关系的线上其合成波幅值的情况． 同样也可以对时间，z 方向的速度、Y 方向的速度 进行相似的处理． 5 岩石动力学研究中的应用实例 该方法已经应用于二维弹性波在节理岩体的 传播问题中．本节中仅就该方法的应用的层面上， 简要介绍这种新方法在二维弹性波于单节理岩体 中传播的研究中的应用实例，以及一些下面讨论该 方法特性时所涉及到的结论．侧重于通过实例讨论 该方法的一些有别于常规处理方法的特性．关于二 维弹性波在单节理岩体中传播的研究内容本身，本 文不详细介绍． 应用实例中涉及到一些表示上的规定，为了能 够清楚地介绍该方法在二维弹性波在单节理岩体 中传播研究中的应用，这里对一些问题特作一些说 明，诸如表示方法、定义以及U D E C 模型等的． ㈨舢融神妇妇咖㈣㈣D D ㈤㈤㈤㈦ 一 V V e X m 【 r 川 剐 ～一㈣山一础一一一一一一㈣炯一嘶嘶一 №b 一 辨鳟 髓印 船b b z z z z z z 一 万方数据 第2 期 雷卫东等岩石动力学中离散元程序处理波幅的新方法1 7 3 射线角定义为波源中心与节理上某点的连线 和节理的夹角定义为射线角．上部的射线角小于 9 0 。，下部的射线角大于9 0 。． A 单节理透视率定义为T 。一等唑，7 T 。为二维弹 广l i n t a c t 性波穿过单节理后的透射率，A 晰为单节理的 U D E C 模型中节理后某节点的速度波幅值，A i 。。。 为没有节理理想岩石的U D E C 模型中相应的节点 的速度波幅值． 以下各图中的附属小图为U D E C 模型示意 图．针对不同目的涉及到两个基本U D E C 模型模 型A 和模型B ．模型A 尺寸较小，用于单节理对二 维弹性波在岩体中传播初步研究，以得出一些有益 于较大的模型B 上展开的详细研究的初步结论． 模型A 的长和高分别为1 0 0m 和7 0m ．由于 本文中将记录某些线或圆上所有节点速度波时间 历程，以及由于控制数值分析误差而选用较小的单 元网格，模型不能太大．为研究远离冲击波中心的 节点的情况，冲击波源中心偏离模型中心位于坐标 一4 0 ，o ．待研究的节理位于 一2 5 ，0 ，垂直于x 轴．4 个边界定义为粘质边界．岩石性能参数选自 新加坡B u k i tT i m a h 花岗岩的典型数据邛] ，详见 表3 ． 2 0 0H z 的半个正弦波作为冲击波的输入． 模型B 类似于模型A ，仅仅分别增大长和高 尺寸至1 5 0m 和2 0 0m ．用于详细大范围研究单节 理在岩体中二维弹性波传播的影响．岩石性能参数 同表3 ． 表3 岩石的性能参数 T a b l e3M e c h a n i c a lp r o p e r t i e sa n dw a v ep r o p a g a t i o n v e l o c i t yi nr o c km a t e r i a l 性能参数数值 密度／ k g m 。 体积模量／G P a 剪切模量／G P a 纵波传播速度／ m S - - 1 横波传播速度／ m S - - 1 j k s ，膪咒为节理的正向和切向刚度，在图4 ，5 和7 中假设相同，取如下值j k s j k n 一0 ．0 3 K ， 0 ．0 7 K ，0 ．1 K ，0 ．2 K ，0 ．4 K ． j k s ，强咒在本文中仅在 数值上取为K 或G 的某个倍数，其单位为G P a ／ m ，K ，G 为理想岩石的体积模量和剪切模量，单位 为G P a ． 图4 所示为某一个二维弹性波穿过单节理后， 在节理刚度不同的情况下，沿一个圆上各节点的透 射率的比较．图5 所示为在与图4 相同的结果文 件上，同一个二维弹性波穿过单节理后，在节理刚 度不同的情况下，某一个射线角的射线上节理后各 节点的透射率的比较． 槲 接 姻 o2 0 4 0 5 08 01 0 0 1 2 01 4 0 1 6 0 1 8 0 射线角／ 。 图4 沿同一圆 R 一3 9m 上各节点在不同节理刚度条件 j k s i k n 一0 ．0 3 K ，0 ．0 7 K ，0 ．1 K ，0 ．2 K ，0 ．4 K 单位G P a ／m 下的透射率7 1 ， F i g ．4T r a n s m i s s i o nr a t i oT 1a l o n g t h ec i r c l eR 一3 9mf o rd i f f e r e n ts t i f f n e s s j k s i k n 一0 ．0 3 K ，0 ．0 7 K ，0 ．1 K ，O ．2 K ，O ．4 K u n i t G P am 褂 招 赠 模零A ，丘n - - ／舾- 0 ．0 3K oi k n ／k s - 0 ．0 7K l | k n I i k s 卸．1K x ／k n i l “ O ．2K o 肚n i k s O ．4K 图5射线角7 2 。的射线上节理后面各节点的透射率7 。 F i g ．5T r a n s m i s s i o nr a t i oT 1f o rg r i d p o i n t sa f t e r t h ej o i n ta l o n gt h el i n ew h e r et h ei n c i d e n t a n g l ee q u a l st O7 2d e g r e e 从图4 和5 中，很直观的得出一个关于二维弹 性波穿过单节理的一个重要结论单节理对二维 弹性波的透射率由节理刚度和射线角决定，半径值 对透射率没有影响． 图6 所示为无量纲正向刚度为0 ．4 4 8 的单节 理，在不同的无量纲切向刚度 0 ．0 7 5 ，0 ．1 7 4 ， 0 ．2 4 9 ，0 ．4 9 8 ，0 ．9 9 7 条件下，一个圆上各节点的 二维弹性波的透射率情况．该图表示二维弹性波在 单节理岩体中传播时，节理后所有节点的透射率是 如何受节理的无量纲刚度及射线角的影响的．如图 6 所示，在射线9 0 。附近，当节理无量纲正向刚度固 定时，节理的无量纲切向刚度对透射率影响很小． O 9 8 7 6 5 4 3 2 ， ●O O O O O O O O O 万方数据 1 7 4中国矿业大学学报第3 4 卷 0 ．9 0 ．8 0 ．7 0 ．6 纂o ．s 燃o ．4 O ．3 0 ．2 O ．1 0 无量纲正向及切向剐度O ．4 4 8 。0 ．0 7 5 。无量纲正向及切向剐度o ．4 4 8 ，0 ．1 7 4 无量纲正向及切向刚度O ．4 4 8 ．0 ．2 4 9 无量纲正向及切向刚度O ．4 4 8 ．0 ．4 9 8 x 无量纲正向及切向剐度O ．4 4 8 ．0 ．9 9 7 2 0 4 0 6 0 8 01 0 01 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 射线角／f 。 图6 不同的节理无量纲切向刚度 o ．0 7 5 ，0 ．1 7 4 ，0 ．2 4 9 ，0 ．4 9 8 ，0 ．9 9 7 和固定无量纲正 向刚度0 ．4 4 8 条件下的单节理对二维弹性波的透射率7 ’。 F i g ．6 T r a n s m i s s i o nr a t i of o rT 1d i f f e r e n tn o r m a l i z e d s h e a rs t i f f n e s s O ．0 7 5 ，0 ．1 7 4 ，0 ．2 4 9 ，0 ．4 9 8 ，0 ．9 9 7 a n df i x e dn o r m a l i z e dn o r m a ls t i f f n e s s0 ．4 4 8 6 讨论及结论 通过该方法在岩石动力学研究中的应用实例， 可以得出该方法具有下列特点 1 节省机上时间．由于该方法一次性地记录 并存储某个算例的所有节点的速度波信息，可以在 M A T L A B 所产生的结果文件上对数据直接操作， 无须通过U D E C 建模文件执行U D E C 的计算．因 此对于某个问题来说，虽然就单个算例，M A T L A B 处理及U D E C 运行时间稍长．但是总体的机上时 间可以大大缩短．如图4 和图5 中结果都是从相同 的5 个结果文件中得来，无须为得到某根曲线反复 运行U D E C 建模文件． 2 有利于提供数值分析中有说服力的结论． 对于象二维弹性波在节理岩体中传播这样的复杂 多因素问题，其因素影响往往是渐进式的，加之由 于数值分析本身存在的误差．要得到有说服力的结 论，必须有大量的数据作为支持，才可以看出某些 趋势，得到某点结论．如关于二维弹性波穿过单节 理的结论单节理对二维弹性波的透射率由节理 刚度和射线角决定，半径值对透射率没有影响，必 须取很多射线角的射线上节点的透射率来进行研 究，得到‘半径值对透射率没有影响，的结论．在相 关的研究中实际上比较过多条射线角的射线上，节 理后各节点的透射率，才得出‘半径值对透射率没 有影响’的结论．为了得到二维弹性波穿过单节理 时，‘在射线角9 0 。附近时，切向刚度对透射率影响 很小’的结论．通过对另外4 级固定无量纲正向刚 度，变换不同的切向刚度，依然可以得到类似于图 6 中所示的的关系曲线．才可以得出‘在射线角为 9 0 。附近处，节理的无量纲切线刚度影响可以忽略 不计，的结论．如果用常规的处理方法，要得到这个 结论，一方面工作量很大，另一方面也不可能提供 如此多的有说服力的论据．因为本研究中的方法中 可以穷尽所要研究的节点的波的时间历程，因而数 据较常规方法有说服力． 3 精度高．记录速度或应力波时，直接对 U D E C 内部数据结构和指针进行操作，记录波的时 间历程是节点或中心点的准确信息．常规方法中用 H I S T 命令定义的某点的速度或应力波并非准确 的该点的时间历程，而是最接近该点的节点或单元 中心的时间历程．其精度取决于单元网格的尺寸． 4 扩展标准的U D E C 功能．由于记录所有节 点或单元中的波动时间历程，对结果文件进行操 作，可以产生一些标准U D E C 无法生成的结果．如 可以提供生成关于波幅的等幅线图的所有数据．标 准U D E C 虽然可以显示某个时刻所有节点速度波 值的状态图，然而并不是其波幅的状态．而在岩石 波动问题中波幅值更有意义． 参考文献 E l lR o s e n g r e nL ．P r e l i m i n a r ya n a l y s i so ft h ed y n a m i c i n t e r a c t i o nb e t w e e nN o r r aL a n k e na n das u b w a y t u n n e lf o rS t o c k h o l m ，S w e d e n [ J ] ．T u n n e l i n ga n d U n d e r g r o u n dS p a c eT e c h n o l o g y ，1 9 9 3 ，8 4 4 2 9 4 3 9 ． [ 2 I S h e nB ．B a r t o nN ．T h ed i s t u r b e dz o n ea r o u n dt u n n e l s i nj o i n t e dr o c km a s s e s [ J ] ．I n t ．J ．R o c kM e c h ．M i n ． ≤；c i ．1 9 9 7 ，3 4 1 1 1 7 1 2 5 ． [ 3 3C h e nSG ，C a iJG ，Z h a oJ ，e ta 1 ．D i s t r c r e t ee l e m e n t m o d e l i n go fa nu n d e r g r o u n de x p l o s i o ni nj o i n t e dr o c k m a s s [ J ] ．G e o t e c h n i c a la n dG e o l o g i c a lE n g i n e e r i n g ， 2 0 0 0 ，1 8 5 9 7 8 ． E 4 3 l t a s c aC o n s u l t i n gG r o u p ，I n cU D E Cm a n u a l ，1 9 9 6 ． [ 5 3L e m o sJV ．Ad i s t i n c te l e m e n tm o d e lf o rd y n a m i c a n a l y s i so fj o i n t e dr o c kw i t ha p p l i c a t i o nt od a m f o u n d a t i o na n df a u l t m o t i o n [ D ] ．U n i v e r s i t yo f M i n n e s o t a ，M i n n e a p o l i s ，U S A ，19 8 7 ． [ 6 ] H a r tRD ． A ni n t r o d u c t i o nt od i s t i n c te l e m e n t m o d e l i n gf o rr o c ke n g i n e e r i n g [ A ] ．H u d s o nJA ． C o m p r e h e n s i v eR o c kM e c h a n i c s [ C ] ．1 9 9 3 ，2 4 5 2 6 1 ． [ 7 3C u n d a l lPA ．N u m e r i c a lm o d e l i n go fj o i n t e da n d f a u l t e dr o c k [ A ] ．R o s s m a n i t h ．M e c h a n i c so fJ o i n t e d a n dF a u l t e dR o c k [ C ] ．1 9 9 5 ，7 5 5 7 6 1 ． [ 8 3L e eCB ．F r a c t u r i n gc h a r a c t e r i s t i c so fB u k i tT i m a h g r a n i t e [ D ] ．N a n y a n gT e c h n o l o g i c a lU n i v e r s i t y ， S i n g a p o r e ，2 0 0 2 ． 责任编辑骆振福 万方数据