一类双线性时间序列的自相关函数的渐近性质.pdf

第2 9 卷第6 期 2 0 0 0 年1 1 月 中国矿业大学学报 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y V 0 1 ．2 9N o ．6 N o v ．2 0 0 0 文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 0 0 6 0 6 5 40 5 一类双线性时间序歹 的自相关函数的渐近性质 李金玉 中国矿业大学应用数学与力学系．江苏徐州2 2 1 0 0 8 摘要对于双线性时间序列模型五 蚤q z 一一B 蚤6 J z 一一一- ，其中{ 岛，f o ，士1 ，⋯} 为＼ i ．i ．d ．序列，通过利用严平稳序列的n l 相依中心极限定理，给出了该模型的样本均值，样本自相 关函数的渐近正态性质，为模型参数的矩估计创造了备件． 关键词双线性时间序列；矩估计；渐近正态性 中图分类号0 2 1 1 ．6 1文献标识码A 双线性时间序列是一种重要的非线性时间序 列模型，其一般形式为 p r p0 z 。十∑叩，一∑c m ， ∑∑且F Ⅳ。， 其中 { o ，t 一0 ，土l ，⋯ 是i ．i ．d ．序列，且C 。一 1 ，当5 。，璺囊P { | 霸 ；一 ‰ I } 一 *H ， 篡‘醴 ～ mUk他 一∑Ⅲ 心讯‰ 一 Ⅲ 善。 一∑㈣ 万方数据 第6 期李金玉一类双线性时间序列的自相关函数的渐近性质6 5 7 0 i 一1 ，2 ，⋯，H 1 ． 其中①，②已由1 完成，下面只需证明⑧成立即 可． 不失一般性只考虑i 一1 的情形，将分解式 6 代人便得 z o ， r 。 l 2 n - { ∑ u ⋯W 。一 t 一1 E U , 。W 。 n { ∑ Ⅳk E W L 垒 2 R 髫 R 翁， 1 0 其中R 搿一n 一{ ∑ u 。W 。。一E U 。Ⅳ。 f 一1 R 密一n 一{ ∑ w L E W L f 2T E R 搿 2 E n 一{ ∑ u 拥u ，拥一E U 咖佴，栅 2 ￡一l m 一1 ∑E ％砜一E ‰既 2 n ⋯1 一 詈善蚤c o “u “Ⅳ～u 一一Ⅳc 一。≤ E U L W L 2 ∑Ic o y U 。W ⋯ u Ⅲ 。Ⅳ Ⅲ 。 l ， 1 1 利用不等式 3 不难得到 E U 知Ⅳk ≤M ，“， 1 2 C O V 【，⋯w 。，u Ⅲ m w Ⅲ 。 【≤ E U z W 矗 ≤M ，“． 1 3 当m ≥n 一1 时，将式 1 2 ， 1 3 代人式 1 1 便得 E R 甜 2 ≤M ，“ 2 n 一1 M ，”≤ 1 Z m M p “ ”／2 ； 1 4 当m ”一1 时，由式 1 1 得 E R 船 2 ≤E U L w 7 未 C O Y ，ⅫⅣ■，u H m w H 卅 { 一1 2 ∑Ic o y U , ⋯W ，U Ⅲm W “ m h “1 将式 1 z ， 1 3 代人上式的前2 项得 E 尺辨 2 ≤M 矿7 2 2 r a M 矿7 2 t 一1 2 ∑[ c o v U 。W 。，U ㈨h W Ⅲ 。 I ． 1 5 h - - m l r 记4 f △c T Ⅱ A B e ㈡ C e 。，由不等式 i - 1 3 知 r E l f t l ‘- E I ，Ⅱ A B e , 一， ％一，l4 ≤ j - 1 M ，～． 1 6 我们有 U 。。一岛 ∑z X - t ～w 一∑A - t ， C O V 以。职。， ， H 。W H m 一 c o v e , ∑4 ． ￡ ∑4 t ， 岛 一 r t 一1r 2 一m 1 Ⅲ ∞ ∑4 。o 十 ∑q o 一 ⋯∞ ∑∑C O V e 。4 ￡ 一十 △r 。 } r 2 2 m 1 ’一h m ∞ ∞ ∑∑∑c o v Z k ， f A - 2 f ，。 4 。o r 1 。1 ‘2 2 Ⅲ l r ‘一 4 。“ 4 ‘0 J m ∞mw ∑∑∑∑c o v Z 茸， t 4 2 ￡ ， r 1 一】r z - - m l ’2J 1 5 4 ，O 气 ￡ ， 1 7 其中用到了以下事实，当7 n 1 ≤ h 时e 。4 ， ￡ 与岛十* 气o ，气 f 屯 f 与e t h 4 I o ， e r 4 。 f 与△r 。0 A - , } ，4 ． f 4 。 f 与4 。O 4 t h 相互独立． 由不等式 1 6 可得到 C O Y P r 4 2 t 确 △r 4 f I ≤ 7 2 M { P ‘r 21 ／4 P ‘’41 ’“， C O V 4 】 ￡ 4 2 f ，e t h z l 。 f l ≤ 7 M j P ‘r 1 - - 1 1 4 P ‘r 2 - 1 ／, , p ‘7 r 1 ’“， C O V 岛4 。 } ，4 。o 气 H l ≤ 掰} p ‘’1 ／4 p ‘’- t } ／4 p ‘、1 ’7 4 ． c o v 4 。 f 4 2 f ，A - 。o 十h A 。o i ≤ M p ‘‘l 一1 ’／4 P ‘r 2 1 ’“P ‘7 3 1 ’“P ‘～一1 ’，4 ． 将以上不等式代入式 17 ，并化简得 c o y U 抽Ⅵl 。，U 卅m W 州 。 l ≤M ，，4 P 仆．1 ”4 从而得 c o y 矾。矸么，U f - 。W Ⅲ 。 f ≤ ∑M e “ 7 4 P ‘””≤肘矿”． 1 8 h - - m 十。l 将式 1 8 代入式 1 5 得 E R 蜜 2 ≤ 3 2 m M 矿”． 1 9 因此，结合式 1 4 ， 1 9 我们有，对任意m ≥1 E R 2 2 ≤ 3 2 m M p “门． 2 0 类似可证，对任意m ≥1 E R 等 2 ≤ 3 2 m M p 4 1 2 ． 2 1 0 屯 ∽∽ ．1 ∑一。∑一 ∑～ 。∑㈦ 2 H ∑一 万方数据 6 5 8 中国矿业大学学报 第2 9 卷 一 结合式 1 0 ， 2 0 ， 2 1 及C h e b y c h e v 不等式便知 ③成立，至此完成了定理的证明． [ 4 ] 参考文献 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 范金城，李金玉，双线性时间序列矩估计的渐近性态 口] ．应用数学学报．1 9 9 5 ，1 8 3 4 7 0 4 7 3 ． K i mW ．K e t a l ．B i l l a r dL ．E s t i m a t i o nf o rt h ef i r s to r _ d e rd i a g o n a lb i l i n e a rt i m es e r i e sm o d e l I - J ] ．JT i m eS e r i e sA n a l ，1 9 9 0 ，1 1 3 2 1 5 - 2 2 9 ． B h a s k a r aR M ，S u b b a R T ，W a l k e r A M ．O n t h ee x i s t e n c eo fs o m eb i l i n e a rt i m eS e r i e sm o d e l s 口] ．JT i m e [ 5 3 [ 6 ] S e r i e sA n a l ，1 9 8 3 ，4 4 9 5 一1 1 0 ． S e s “ySAO ，S u b b aRT ．D i f f e r e n c ee q u a t i o nf o r h i g h e r o r d e r m o m e n t sa n dc u m o l a n t sf o rb i l i n e a r t i m es e r i e sm o d e lB I 。 p ，0 ，P ，1 [ J ] ．JT i m eS e r i e s A n a l ，1 9 9 1 ，1 2 2 1 5 91 7 6 ． L i uJ ．O ns t a t i o n a r i t ya n da s y m p t o t i ci n [ e r e n c eo fb i l i n e a rt i m es e r i e sm o d e l s _ [ J ] ．S t a t l s t i c aS i n l c a ，1 9 9 2 2 4 7 9 4 9 4 ． B r o c k w e l lPJ ．D a v i sRA ．T i m es e r i e s T h e o r ya n d M e t h o d s [ M ] ．N e wY o r k S p r i n g e r v e r l a g ，1 9 8 7 ．1 9 1 2 】O ． A s y m p t o t i cB e h a v i o u ro fS a m p l eM e a n a n d S a m p l eA u t o c o r r e l a t i o nF u n c t i o n si naB i l i n e a rM o d e l L IJ i n y u D e p a r t m e n to fA p p l i e dM a t h e m a t i c sa n dM e c h a n i c s ，C U M T X u z h o u ，J i a n g s u2 2 1 0 0 8 ，C h i n a A b s t r a c t I nt h i sp a p e rt h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t yo fs a m p l em e a na n ds a m p l ea u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n s i s p r o r e db yu s i n gt h ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mf o rs t r i c t l ys t a t i o n a r ym d e p e n d e n ts e q u e n c e si nt h eb i l i n e a rm o d e l { ∞ 。 pp 五 ∑a j x 卜， n ∑6 J z 一乱， w h e r e { n ，t O ，土1 ，⋯ i sa i ．i ．d ．q u e n e eo fr a n d o mv a r i a b l e s ，w h i c ha r ee s s e n t i a l f o r t h e m o m e n te s t i m a t i o no ft h em o d e lp a r a m e t e r s ． K e yw o r d s b i l i n e a rt i m es e r i e s ；m o m e n te s t i m a t o r ；a s y m p t o t i cn o r m a l i t y 万方数据