样条状态变量法分析弹性地基板的动力响应.pdf

第3 0 卷第1 期 2 0 0 1 年1 月 中国矿业大学学报 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y V 0 1 ．3 0 N O ．1 J a n ．2 0 0 1 文章编号l O O O 一1 9 6 4 2 0 0 1 0 1 0 0 4 3 0 5 样条状态变量法分析弹性地基板的动力响应 夏鹭平，圈2 1 ．安徽建筑工业学院土术工程系。安徽合肥2 3 0 0 2 2 2 ．合肥工业大学计算中心，安徽合肥2 3 0 0 0 9 摘要基于瞬时变分原理，应用乘积型二元三次B 样条函数，建立了弹性地基板的样条动力方 程．引入样条参数及其对时间的导数作为状态变量，导出了状态方程．时空间域．采用样条元法； 对时间域．采用现代控制论中的状态空间法．此外，建立了一种状态变量的递推计算格式，可以直 接计算出动力响应量．文末给出若干数值算例，计算结果表明本文方法的计算精度与效率是令人 满意的． 关键词样条状态变量法；瞬时变分原理；弹性地基板；动力响应 中圈分类号T u3 4 8文献标识码A 弹性地基板的动力响应问题在工程中有着广 泛的实际应用，如飞机跑道、高速公路、轮船码头 等，都可以简化为弹性地基板承受动力荷载的计算 模型．随着科学技术和工程建设的迅速发展，弹性 地基模型及计算方法也得到了相应发展，如地基模 型有文克尔 W i n k l e r 地基、符拉索夫 B a a c o B 地 基、半无限弹性地基等，它们适用于不同的实际地 基情况．在计算方法上有有限差分法“] 、有限元 法”1 和样条有限元法o “1 等，但是它们只适用于静 力、振动与稳定问题，而对于动力响应方面的研究 报导尚不多见． 传统的结构动力响应时程分析方法国内外已 有不少研究工作，如振型迭加法“] 、纽马克法口1 N e w m a r k 与威尔逊法“1 w i l s o n 等．上述方法所 使用的积分步长要求足够小，一般要小于主要参 振振型的自振周期，以便能反映这些振型的参振作 用，计算工作量大．文献[ 7 ] 提出一种基于格丁 G u r t i n 变分原理求解结构动力响应的半解析数 值方法，该法对空间域采用有限元离散技术，对时 间域采用三角级数，求解过程中需要解线性方程 组，工作量随自由度增大而增大．文献[ 8 ，9 ] 提出一 种样条配点法分析结构的动力响应问题，该法应用 三次B 样条函数构造时域函数，通过振型叠加法 逐个计算各个振型的参振作用，工作量亦较大．文 献[ 1 0 ] 提出精细逐步积分法，这是一种无条件稳定 的计算格式，由于采用了精细步长，计算精度相当 高．本文提出一种新的解法样条状态变量法， 基于弹性力学中的瞬时变分原理与应用数学中的 样条函数理论，建立弹性地基板的样条动力方程， 引入样条参数及其对时间的导数作为状态变量，导 出状态方程，对空间域采用样条元法，对时间域采 用现代控制论中的状态空间法．此外，文中还提出 一种状态变量递推计算格式，可直接求解动力响 应．文末给出若干数值算例，计算结果表明．计算精 度与效率令人满意． 1弹性地基板的样条动力方程 1 ．1 动力场函数的构造 本文应用乘积型三次B 样条函数来构造弹性 地基板的动力响应场函数，其形式如下 挠度响应场函数 N N - 1M 1 w x ，y ，￡ 一∑∑d 。 帆 z y 一 一1 口 z oO y d ￡ ， 1 式中。d f 为与时问t 有关的样条参数向量． 为了简便起见，下面将时间t 符号均省略． d I r i s ，，舔，研，⋯．砰，⋯，娟，d n 。] 1 ， 2 d ， [ d “，d “，d ⋯⋯⋯d ⋯，d M ，d Ⅳ Ⅲ] 1 3 收穑日期2 0 0 0 0 5 2 6 基盒璜目；安徽省教育厅自然科学基金资助项目 1 9 9 7 J L l 7 1 作鼍1 1 1 1 介，夏I i t 平 ] 0 5 3 一 。男，安徽省庐江县人，安徽建筑工业学院副教授．从事岩土工程、计算结构力学方面的研免 万方数据 中国矿业大学学报第2 9 卷 z ～1 ，o ，l ，⋯，肘．肘 l ； i ．j ，Ⅳ，肘为板的网格划分节点数 口 T 一[ 声一， z ，九 卫 ，九 z ．⋯， 蜘 z ，如 。 z ] ． 4 ∞h 称为修正多点样条函数，这是为了方便 处理边界条件，对基样进行了修正，详见文献[ 4 ] ． 图1 为三次基样条张 詈一， i 一l ，0 ．1 ，⋯，N ，N 1 ；图2 为修正的多点基样条函数，见式 5 ． 嘲∽ P P 一】P ， { 一Ⅳ- 1 0l 23 N1 Ⅳ P j f ， J - Ⅵl01 ，⋯， l 1 图1 多点三次基样条 F i g ．I C u b i cBs p l i n ef u n c t i o n s ≠． 0l23N IN “ F 一1 ⋯01 ⋯， ‘“ 1 图2 修正多点三次基样条 F i g ．2 M o d i f i e dm u l t ip o e mBs p l i n et u n c t i o n s 当Ⅳ≥4 口7 T 詈 iJ 詈Ja 张 詈 詈一， 一吉他 詈一2 导一N 2 鲁N 1 仕 蒉 ≠一．o 也 z ≯1 0 ≯妇 ● “一 “一 “1 如 ， 詈J z z z z i 1 叫i x 豫 詈～N a 协 { 张l 詈一N 一1J 卜 W l n k l e r 弹性地基板的瞬时势能泛函数定义 为⋯] Ⅱ- 一号盯r 风列。 丢耵K e w q n 一 q - c 面一面 划n 一 』 警也J c ”一w d s C 涠裂茎尘∥考氓 6 1 固支边，w 一面，半一口， C 简支边，。w ，飚砑。， c 。自由边，M 丽。，警 Q 一；， x 一[ 学等z 袅] 7 。 ∽ 剖m 焉一， 式中D b 为板的弹性矩阵；E 为弹性模量；u 为泊松 比；8 为板厚度；c 为阻尼系数；P 为单位面积或单位 体积的质量；K 。为弹性地基系数；”抽和西分别 为竖向位移、速度和加速度． 将式 1 代入式 6 ，弹性地基板的离散型瞬时 势能泛函可写成如下形式 ／／p 一士d ’J 肼 d 7 c a d 7 M dd r F ， 9 Z 式中 置一D b [ A 罗o A 2 户 A n 2 1 A 笋 A 罗o A 箩‘ 十 A 笋o A 笋 2 1 一P A y A 1 ] K 。A ≯固A 0 0 ， 1 0 c 一“笋 ∞M 一硝笋 ∞{ 等， F 一| 『口∞1 ∽ 0 4 I T 一 d n ， 1 1 啭 其中掣 l 廿‘ ∥ z 如， 1 2 o z ，，；i ，J 一0 ，I ，2 ． 5 式 1 2 详见文献[ 4 ] ．由瞬时变分原理，得 詈地．1 I f d 十C d 尉一F ． 1 3 方程 1 3 为弹性地基板的样条动力方程．在式 1 1 中，有对应于3 种荷载的积分 对均布荷载 』。c z ，a k [ 去，{ ，导，，，⋯，，{ ，{ ．去] ；c - t ， 对线性分布荷载 I ⋯旧 仇一 D 仇 佟 张 伫；话 仕 万方数据 第l 期夏鹭平等样条状态变量法分析弹性地基板的动力响应 』≥西 z d z 一醒[ 去，i 1 ，最，2 3 ，⋯， Ⅳ1 竿一旦1 0 ， 盟3 上5 ， 旦2 4 0 上1 2 0 ] ； ，5 ＼4』 lJ ’I 』J ’”“ 对集中荷载 II3 x 一} ，y 一7 o z y d x d y 一 0 f o 口 7 ， 16 式中f ，7 为集中荷载作用点的坐标． 弹性地基板的动力弯矩响应的表达式为 M x ，Y ，￡ [ M 。 z ，y ，f ，M ，o ，y ，f ， M ，。 z ，y ，t 3 1 一 鲨垒1 21 堕 a z 2 翌型虹 尘 a v 2 。芝笙 兰，型 堕 。a z a ” ∑∑[ 南 f ∥i z 一 ， 产如 ￡ 破 工 ” y ] ∑∑呱 ￡ 卉 z ” j ， p d 。， f ” z 九 y ] 卜卢 ∑∑而 ￡ ∥， z 纵y 2 样条状态变量法 根据上面导出的样条动力方程 1 3 ，可采用振 型叠加法、直接积分法等⋯1 ．这里提出一种样条状 态变量法，引入样条参数向量d 和d 为状态变量， 动力方程 13 可写成如下状态方程 式中 方程 壁f } ㈦笺『i } ． 2 ∞ L ．- I ￡ 七二} ] _ 最。。一￡一 2 4 i 一伽也e 一㈠} ， ㈣，其中 只气≯ D 『⋯9 ⋯ L 肘1 K P f Ⅲ ⋯l 【肼o F 1 8 的解答为⋯3 口0 一e n 口 o 十Ie 。“叫’P r d r ， 2 0 J0 上式中有2 n 个动力响应量，包括n 个样条参数响 应量d 及其n 个导数0 的响应．其中矩阵指数函数 可采用凯莱一哈密顿算法 C a l e y H a m i l t o n 或麦克 劳林 M a c l u r i n 直接展开法．而积分项可采用数值 积分法 如高斯积分法 来计算．问题的特征值与特 征向量由下式确定，即 0A t2 A t3 A t k t h 1 △f f ，5 图3 动荷载函数曲线 F i g ．3D y n a m i cl o a df u n c t i o n s 动力响应的积分项 f 。。一一 只。 d 『一 J0 S l P k S 2 l ， 2 7 旷础 黔M - 1 K 一0 意二j 小⋯㈨，舯点刮吼 h 岛枷‘1 2 √’ 宁 户1 0n ⋯旧 D 9l 1●●J ．CJ ．膳 万方数据 中国矿业大学学报 第2 9 卷 ”薹踹． ㈣， 这样，样条参数动力响应量由下式来计算 舢 l t k 十1 一∞】矶 “ 十S l S 2 } I 2 9 一0 ，1 ，2 。⋯ ， ”善。警． 3 0 ； 一 在上式中，若取相等的时问步长，则S ，与S 。在 计算过程中保持不变．若动荷载在时间间隔＆内 为一常数时，状态变量递推算式为 矶 l “ 1 一口l 玑 “ A t 2 ， 3 1 或者“ 1 “ 。 一∞l 仉 “ o l D - 1 D “ ． 3 2 4 数值算例与结语 根据上面的计算公式编制了微机动力响应计 算程序，下面给出若干算例．设有四边简支和四边 固支的弹性地基板分别受均布突加荷载和集中突 加荷载的作用，计算地基板竖向位移与弯矩的动力 响应．弹性地基板的物理与几何参数E 2 ．6G P a ，口 0 ．3 ．P 一0 ．1k g ／m 2 ，C 一0 ，K 。 0 ．9 5 ，L 一1 0m ，a 一0 ．2I T I ，口 lk P a ，P 一1k N ． 有关响应的计算结果见表1 与图4 ～7 ． 表1弹性地基板板心的动静力响应的量大值 T a b l e1T h em a x i m u mo fd y n a m i ca n ds t a t i cr e s p o n s e s a tt h ec e n t e ro fp l a t e so ne l a s t i cf o u n d a t i o n 地基竺望苎壅兰兰塑 苎望里兰苎兰墨 系数； 响应 嘉蠢嘉；； 加荷藏 加荷载 加何蓑朋何氧 一静，动力3 位移g t 。，‘。0 4 { 5 ，’。0 0 1 ．‘。0 13 。0 0 5 3 动力弯矩 1 05 5 0 0 ．0 4 76 ．0 0 5 03 5 5 静力弯矩⋯47 2 1 0 ．3 0 022 7 2 注位移、单位长厦弯矩的单位分驯为⋯k Nm ／m 本文提出的方法有以下特点 1 基于瞬时变分原理。应用样条函数，可导出 样条动力方程 其中包括整体刚度、质量、阻尼矩阵 及荷载向量 ，使编程容易，计算简单． 2 引人样条参数及其对时问的导数作为状态 变量建立的状态方程是一阶常系数微分方程组．状 态方程的积分为矩阵指数的计算，使动力响应的计 算变得容易和高效． 3 状态变量递推算法不需要求解线性方程． 也不作降阶解耦处理，只作矩阵运算． 4 由于样条函数具有解析与数值的双重特 性，连续性强，逼近精度高，待求未知量少，计算精 度与效率均高． 5 便于与精细算法和平行算法相结合，使计 算精度和效率得到极大的提高，因此，步长的选取 完全不受结构白振特性的制约． 6 可计算多输入、多输出、时变系统与非线性 系统等问题． 一1 2 g 9 言6 3 o 童 o ．3 0 102 0 3 0405 a 板中心处的位移 b 板中心处的夸矩 图4 受均布动荷载简支弹性地基板 中心的位移和单位长度的弯矩 F i g ．4 D i s p l a c e m e n ta n dm o m e n ta tt h ec e n t e ro fa s i m p l ys u p p o r t e dp l a t eo ne l a s t i cf o u n d a t i o ns u b j e c t e d t ou n i f o r m e dd y n a m i cl o a d o 目 二 曼 置 ∑ 鼍 0 0 l 02 03 0 405 a 板中心处的位移 00 l 02 0 304 0 5 t js C o 板中心处的萼矩 图5 受均布动荷载固支弹性 地基板中心的位移和单位长度的弯矩 F i g ．5D i s p l a c e m e n ta n dm o m e n ta tt h ec e n t e ro fa f i x e d s u p p o r tp l a t eo ne l a s t i cf o u n d a t i o ns u b j m e d t ou n i f o r m e dd y n a m i c1 0 a d 劬帅如加 抛 0 E E 、i 万方数据 第1 期夏鹭平等样条状态变量法分析弹性地基板的动力响应 4 7 15 12 09 06 00 l02030 405 幻楹中心址的位穆 0 5 目0 ．4 盲0 3 j 0 ．2 0 1 超 t ，s b 板中心处的弯矩 图6 受集中动荷载简支弹性地基板中心的位移和弯矩 F i g ．6D i s p l a c e m e n ta n dm o m e n ta tt h ec e n t e ro fa s i m p l ys u p p o r t e dp l a t eo ne l a s t i cf o u n d a t i o ns u b j e c t e d t oc o n c e n t r a t e dd y n a m i cl o a d 参考文献 [ 1 ] 李存权，等．水泥混凝土路面中的有限差分法口] ．湖 南大学学报，1 9 8 1 ，8 4 5 3 6 2 ． F 2 ] C h e u n gY K ．Z i e k i e w i c z0c ．P l a t e sa n dt a n k so ne l a s t i cf o u n d a t i o na n da p p l i c a t i o no f f i n i t ee l e m e n t m e t h o d [ J ] ．I n tJS o l i d sa n dS t r u c t u r e s ，1 9 6 5 ．1 4 5 l 4 6 1 ． [ 3 ] 沈鹏程，何沛祥．多变量样条有限元法分析弹性地基 板的弯曲、振动与稳定性问题[ J ] ．应用数学与力学． 1 9 9 7 ，1 8 8 7 2 57 3 3 ． [ 4 ] 沈鹏程．多变量样条有限元法[ M ] ．北京科学出版 社，1 9 9 7 ． [ 5 ] C l o u g hRW ．结构动力学[ M ] ．王光远译北京科学 出版社，1 9 8 1 ． [ 6 3 B a t h eKJ ，W i l s o nEL ．N u m e r i c a lm e t h o d si nf i n i t e 二、 g 二 目 蚤 乏 06 0 5 04 O3 O2 0 1 00 10 2O3040 5 曲板中心址的位移 04 0 3 02 O I O 0 10 2030 40 5 b 板中心处的弯矩 圈7 受集中动荷载固支弹性地基板中心的位移和弯矩 F i g ．7 D i s p l a c e m e n ta n dm o m e n ta tt h ec e n t e ro fa f i x e ds u p p o r tp l a t eo ne l a s t i cf o u n d a t i o ns u b j e c t e d t oc o n c e n t r a t e dd y n a m i cl o a d e l e m e n ta n a l y s i s [ M ] ．P r e n t i c e H a l lI n c ．1 9 7 6 ． [ 7 ] 彭建设，张敬宇．由G u r t i n 变分原理求解一维动力响 应的半解析法口] ．力学学报，1 9 9 2 ，2 6 6 7 0 8 ． [ 8 ] 林文菁，徐次达．条配点法分析结构动力响应的无条 件稳定格式[ J ] ．力学，1 9 8 8 ．2 0 4 3 5 33 6 1 ． [ 9 3S h e nPH ，H u a n gDD ．D y n a m i c sa n a l y s i so fs t i f f e n e d p l a t e sa n ds h e l lu s i n gs p l i n eG a u s sc o l l o c a t i o nm e t h o d [ J ] ．I n tJC o m p u t e r s ＆S t r u c t u r e s 1 9 9 8 ，3 6 4 6 2 5 6 2 9 ． [ 1 0 ] 钟万勰．暂态历程的精细计算方法口] ．计算结构力 学及其应用，1 9 9 5 ．1 2 1 I - 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