一类控制问题的对偶性.pdf

中国矿业大学学报990 32 6 中国矿业大学学报 JO U RNA L O F CH I NA U NI VERSI T Y O F M I NI NG T ECH NO LO G Y 1999年 第3期 第2 8 卷 Vo l . 2 8 No . 3 1999 一类控制问题的对偶性 邓 群 摘要 引入了几类广义不变凸性，对一类控制问题，在这些广义不变凸性条件下，讨 论了它的M o n d -W e i r 型对偶性. 关键词 控制问题，不变凸性，对偶性 中图分类号 O 17 7 D u a l i t y o f a Cl a s s o f Co n t r o l Pr o b l e m s D e n g Q u n Ed i t o r i a l Bo a r d o f Jo u r n a l o f CU M T , Xu z h o u , Ji a n g s u 2 2 10 0 8 A b s t r a c t In t h i s p a p e r , s o m e g e n e r a l i z e d i n v a r i a n t c o n v e x i t i e s a r e i n t r o d u c e d . T h e d u a l i t y o f M o n d -W e i r t y p e f o r a c l a s s o f c o n t r o l p r o b l e m s a r e p r o v e d u n d e r g e n e r a l i z e d i n v a r i a n t c o n v e x i t y a s s u m p t i o n s . K e y w o r d s c o n t r o l p r o b l e m , i n v a r i a n t c o n v e x i t i e s , d u a l i t y 1 控制问题及广义不变凸性 M o n d 和Sm a r t 在文献［1］中讨论了一类控制问题在不变凸条件下的对偶性. 由于文 献［1］所讨论的控制问题有广泛的应用，因此，对这类控制问题作更深入的研究有非 常重要的意义. 本文在文献［1］的基础上，提出了几种广义不变凸，在这些广义不变 凸性条件下，讨论了这类控制问题的M o n d -W e i r 型对偶性. 考虑下面控制问题 s . t . x t 0 x0, x tf x f , 1 G t , x , u x ′ ， f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 3/ 990 32 6 . h t m （第 1／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 0 3 中国矿业大学学报990 32 6 2 R t , x , u ≥0 ， 3 其中f t , x , u 是实值函数，t ∈［t 0, tf ］, x ∈Rn，u ∈Rm；t 是独立变量；u t 是控制变 量；x t 是状态变量；R t , x , u ∈Rr 定义1［1］ 对实值函数h t , x , x ′, u ，考虑泛函 若存在向量函数η t , x , u , x ′, x *, u*, x*′ ∈Rn ，具有在x t x * t 的t 点η 0 和向量函数ξ t , x , u , x ′, x *, u*, x*′ ∈Rm，满足 则称H 为关于η和ξ在［t 0, tf ］上是x *, x*′和u*的不变凸泛函. 下面，引入几类广义不变凸泛函. 定义2 若H x , x ′, u 满足 则称H 为关于η和ξ在［t 0, tf ］上是x *, x*′和u*的不变伪凸泛函. 定义3 若H x , x ′, u 满足 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 3/ 990 32 6 . h t m （第 2 ／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 0 3 中国矿业大学学报990 32 6 则称H 为关于η和ξ在［t 0, tf ］上是x *, x*′和u*的不变拟凸泛函. 定义4 若H x , x ′, u 满足 则称H 为关于η和ξ在［t 0, tf ］上是x *, x*′和u*的不变弱拟凸泛函. 定义5 若H x , x ′, u 满足 则称H 为关于η和ξ在［t 0, tf ］上是x *, x*′和u*的不变严格伪凸泛函. 2 M o n d -W e i r 型对偶 M o n d 和W e i r 在文献［2 ］中提出了不同于W o l f e 型的对偶形式，并讨论了这种对偶 形式的各种非线性规划的对偶理论. 现在，我们推广M o n d -W e i r 型对偶问题，对 P 提出 如下对偶控制问题 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 3/ 990 32 6 . h t m （第 3／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 0 3 中国矿业大学学报990 32 6 s . t . x t 0 x0, x tf x f , 4 λ0f x t , x , u -G x t , x , u λ t - Rx t , x , u μ t λ′ t ， 5 λ0f u t , x , u -G u t , x , u λ t - Ru t , x , u μ t 0 ， 6 λ0 0 , μ t ≥0 ， 7 λ t T［G t , x , u -x ′］≤0 , μ t TR t , x , u ≤0 ， 8 其中λ ［t 0, tf ］→Rn；μ ［t 0, tf ］→Rr. 在 P 和 D 之间，有下面的对偶定理. 定理1 设 x *, u* 是 P 的任意可行解， x , u , λ0, λ, μ 是 D 的任意可行解，若 t , x , u d t ，{ -λ t T［G t , x , u -x ′］-μ t TR t , x , u } d t 分别是关于相同的η和ξ在 ［t 0, tf ］上为x , x ′, u 的不变弱拟凸和不变严格伪凸，则 i n f P ≥s u p D ． 证明 用反证法. 假若存在 P 的一个可行解 x *, u* 和 D 的一个可行解 x , u , λ0, λ, μ ，使得 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 3/ 990 32 6 . h t m （第 4／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 0 3 中国矿业大学学报990 32 6 t , x *, u* d t t , x , u d t . 由∫tf t 0 f t , x , u d t 关于η和ξ在［t 0, tf ］上为x , x ′, u 的不变弱拟凸，有 9 又由 P 和 D 的约束条件，有 于是，根据{ -λ t T［G t , x , u -x ′］-μ t TR t , x , u } d t 关于η和ξ在［t0, tf ］上为x , x ′, u 的不变严格伪凸得 10 由分部积分知 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 3/ 990 32 6 . h t m （第 5／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 0 3 中国矿业大学学报990 32 6 11 9 λ0 10 11 得 这与 5 , 6 矛盾. 因此，对 P 的任何可行解 x *, u* 和 D 的任何可行解 x , u , λ0, λ, μ ，有 t , x *, u* d t ≥ t , x , u d t ， 即i n f P ≥s u p D . 证毕 定理2 若 t , x , u d t ，-λ t T［G t , x , u -x ′］d t 和 -μ t TR t , x , u d t 关 于相同的η和ξ在［t 0, tf ］上分别为不变伪凸、不变拟凸和不变拟凸，则 i n f P ≥s u p D . 证明 用反证法. 假若存在 P 的一个可行解 x *, u* 和 D 的一个可行解 x , u , λ0, λ, μ ，使得 t , x *, u* d t t , x , u d t . f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 3/ 990 32 6 . h t m （第 6 ／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 0 3 中国矿业大学学报990 32 6 由∫tf t 0 f t , x , u d t 关于η和ξ在［t 0, tf ］上是不变伪凸，有 ［ηTf x t , x , u ξT f u t , x , u ］d t 0 . 12 再由 P 和 D 的约束条件得 根据-λ t T［G t , x , u -x ′］d t 和 -μ t TR t , x , u d t 关于η和ξ在［t0, tf ］上 是不变拟凸，有 13 14 由分部积分知 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 3/ 990 32 6 . h t m （第 7 ／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 0 3 中国矿业大学学报990 32 6 15 最后， 12 λ0 13 14 15 得 这与 5 , 6 矛盾. 证毕 用相似的方法，还可以证明下面的定理. 定理3 若∫tf t 0 f t , x , u d t ，∫tf t 0 { -λ t T［G t , x , u -x ′］-μ t TR t , x , u } d t 关于相同的 η和ξ在［t 0, tf ］上分别为不变伪凸和不变拟凸，则 i n f P ≥s u p D . 作者简介 邓 群，女，196 1年生，副编审 作者单位中国矿业大学学报编辑部 江苏徐州 2 2 10 0 8 参考文献 1 M o n d B, Sm a r t I. Q u a l i t y a n d s u f f i c i e n c y i n c o n t r o l p r o b l e m s w i t h i n v e x i t y , J. M a t h A n a l A p p l , 198 8 , 136 32 5～333 2 M o n d B, W e i r T . G e n e r a l i z e d c o n c a v i t y a n d d u a l i t y , i n “G e n e r a l i z e d Co n c a v i t y i n O p t i m i z a t i o n a n d Ec o n o m i c s ” Sc h a i b l e S a n d Zi e m b a W T e d s , A c a d e m i c Pr e s s , Ne w Yo r k , 198 1. 2 6 3～2 7 9 收稿日期 1998 -12 -2 4 f i l e / / / E| / q k / z g k y d x x b / z g k y 99/ z g k y 990 3/ 990 32 6 . h t m （第 8 ／8 页）2 0 10 -3-2 3 15 58 0 3