圆外区域Stokes流的速度场研究.pdf

第3 7 卷第3 期中国矿业大学学报 V 0 1 ．3 7N o ．3 2 0 0 8 年5 月J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g yM a y2 0 0 8 圆外区域S t o k e s 流的速度场研究 彭维红，董正筑，曹国华，赵慧明 中国矿业大学理学院，江苏徐州2 2 1 1 1 6 摘要以均质不可压缩低雷诺数牛顿流体为研究对象，根据多连体区域中的速度和应力单值条 件，推导出满足圆外区域S t o k e s 方程组的解所具有的复变函数表达式的形式．并将边界上的速 度函数展开为罗朗级数，与复速度函数的罗朗级数表达式对比，确定罗朗级数的各系数，再利用 傅立叶级数和卷积的几个公式进行计算，求得圆外区域只与边界速度有关的S t o k e s 问题的边界 积分公式．最后利用所得边界积分公式研究了内边界有孔口的圆域外部S t o k e s 流的速度分布， 其值在无穷远处均趋于零，速度变化趋势与C F D 软件数值计算的结果进行对比，两者吻合． 关键词S t o k e s 问题；速度函数；傅立叶级数及卷积；边界积分公式 中图分类号O3 5 2 文献标识码A文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 8 0 3 0 4 2 2 0 6 R e s e a r c ho nV e l o c i t yS o l u t i o n s o fS t o k e sf l o wi nE x t e r i o rC i r c u l a rR e g i o n P E N GW e i h o n g 。D O N GZ h e n g z h u ， S c h o o lo fS c i e n c e s ．C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆ C A OG u o h u a ，Z HA O H u i m i n g T e c h n o l o g y ，X u z h o u ，J i a n g s u2 2 1 1 1 6 ，C h i n a A b s t r a c t A i m i n ga ta ni n c o m p r e s s i b l eN e w t o nf l o wa tl o wR e y n o l d sn u m b e r s ，w h i c hi sc o n t i n U O U S ，t h ea n a l y t i c a lf u n c t i o n sf o rt h eS t o k e sp r o b l e mo fe x t e r i o rc i r c u l a rr e g i o nw e r ed e d u c e d u n d e rs i n g l ev a l u ec o n d i t i o n so ft h ev e l o c i t ya n ds t r e s si nm u l t i c o n n e c t i v i t yr e g i o n ，w h i c hs a t ’ i s f yt h ec o m p l e xf u n c t i o n so ft h eS t o k e se q u a t i o n s ’s o l u t i o n ．T h e ne x p a n dt h ev e l o c i t yf u n c t i o n so nt h eb o u n d a r yf o rt h eS t o k e sp r o b l e mo fe x t e r i o rc i r c u l a rd o m a i ni n t oL a u r e n ts e r i e s ， c o m p a r et h e mw i t hL a u r e n ts e r i e so ft h ec o m p l e xv e l o c i t yf u n c t i o n s ，a n dm a k eu s eo fs o m ef o r m u l a si nF o u r i e rs e r i e sa n dc o n v o l u t i o n s 。t h eb o u n d a r yi n t e g r a lf o r m u l ac a nb ec o n f i r m e dr e l a t e dt ob o u n d a r yv e l o c i t yf o ro u t e rc i r c l eS t o k e sp r o b l e m ．F i n a l l y ，t h eb o u n d a r yf o r m u l ai su s e d t os t u d yt h ev e l o c i t yd i s t r i b u t i o n so fs t o k e sf l o wi nE x t e r i o rC i r c u l a rR e g i o nw i t hac a v i t yi ni t s i n n e rb o u n d a r y ，t h ev e l o c i t yv a l u ea r ec o m i n gt oz e r oi nt h ei n f i n i t ed o m a i n ；a n di ti sc o m p u t e d n u m e r i c a l l yb yC F Ds o f t w a r e ，t h eo b t a i n e dv e l o c i t yd i s t r i b u t i o n ss u g g e s tt h a tt h e ya reu n i f o r m ． K e yw o r d s s t o k e sp r o b l e m ；v e l o c i t yf u n c t i o n s ；F o u r i e rs e r i e sa n dc o n v o l u t i o n s ；b o u n d a r yi n t e g r a lf o r m u l a S t o k e s 问题广泛应用于选矿、注浆，化工、环 境工程等领域，是今年来发展较快的流体力学分 支．然而迄今为止，S t o k e s 流动很少能够得到精确 的解析解，对于不存在精确解析解的一般情形，直 到2 0 世纪6 0 年代末，主要采用反射法和点立法进 行计算．这2 种方法只适用于研究相距较远的粒子 之间的弱流体动力学干扰‘卜引．为了考虑粒子间距 较近时的流体动力强干扰，文献[ 4 5 ] 成功地解决 收藕日期2 0 0 7 0 5 0 9 基金项目国家自然科学基金项日 5 0 5 7 4 0 8 9 ；教育部新世纪优秀人才支持计划项目 N C E T 一0 6 0 4 7 5 作者简介彭维红 1 9 8 1 一 ，女，江苏省海安县人，博士研究生，从事自然边界元及其工程鹰用方面的研究． E - m a i l c n p e n g w e i h o n g 1 2 6 ．c o m T e l 1 3 6 8 5 1 7 5 9 3 0 万方数据 第3 期彭维红等圆外区域S t o k e s 流的速度场研究4 2 3 了一系列复杂的强干扰问题，即多极子配点法．然 而假若流场中的某些边界形状不规则，找不到合适 的坐标系使它变为坐标面，就不宜用多极子配点法 来求解．因此，需要发展一种新方法来灵活地处理 各种不规则形状之下的S t o k e s 流问题．文献[ 6 ] 提 出了一种新的“边界积分方程法”，它以流体动力学 势理论为基础，可以灵活地求解任意边界条件下的 S t o k e s 流问题，但在求解过程中需进行大量的积 分计算，其中不少是奇异积分．边界积分方程法较 多地应用于二维S t o k e s 问题L 7 { ] ，该方法早从7 0 年代中期便已应用于各种三维问题，这主要是因为 二维S t o k e s 问题的解一般是奇异的．后来，文献 [ 1 0 ] 进一步研究了强奇异积分的计算方法，采用与 区域形状相关的G r e e n 函数形成的自然边界元 法[ 1 1 ] 计算了圆外区域S t o k e s 问题，但它只能计算 边界合速度为零的情况．本文在文献[ 1 1 1 2 ] 基础 之上，推导出满足圆外区域S t o k e s 方程组解的更 普遍的复变函数表达式，并给出任意速度边界条件 下S t o k e s 方程组的速度解的边界积分公式．所得 边界积分公式即可以用来求解边界合速度为零时 扰动场在无穷远处的S t o k e s 流动问题，也可以求 解边界合速度不为零时扰动场在有限远处的 S t o k e s 流动问题． 1 圆外区域解析函数的确定 在连续介质假设下，当流体的迁移惯性力远远 小于黏性力时，不可压缩流体的运动在n 内服从 S t o k e s 方程 j 一私甜 g 豫dP 一0 ’ 1 【d i v 乏一0 ， 式中五一 “。，U y 为速度矢量；户为压力；’7 为动力 黏滞系数；区域ncR 2 ． 平面区域I f 2 上的S t o k e s 方程组的任意一组解 可表示成复变函数的实部或虚部形式口o ] { 甜z z ，y 一R e ，7 名 君 驴 z 一驴‘’] ， 2 I U ， z ，y 一I m [ 驴7 z 乏 驴 z 妒 z ] ． 一 应力分量也可表示为 f 吒 z ，y 2 r ／R e [ 2 ∥ z 一∥ z 乏一驴7 2 ] ， { q z ，y 一2 r ／R e [ 2 6 , o z ∥ z 君 ∥ 名 ] ， 3 【％ z ，y 一2 r f l m [ - ∥ z f f 妒7 2 ] ， 式中驴 2 ，妒 z 为力上的两个解析函数，2 一z i y ，牙一X i y ． 圆外区域作为一多连体区域，其解析函数 妒 z 和乒 2 可能表现为多值的．在一般情况下，多 连体可能具有m 个内边界，本文考虑仅有一个内 边界和一个外边界的情形．根据应力分量及速度分 量的单值性条件分析可知，对于内边界外的任一点 z ，复变函数妒 z 及驴 z 可表示为 { 妒等三端；n I n 聋篡，㈤【妒 z 一 一口 i 』9 z 妒。． 2 ， 式中妒。． z ，驴。。 z 为在内边界之外解析的 复变函数，按罗朗级数展开， 妒一 2 一∑ n 。z ” ％z 一“ ， 驴。。 名 一∑ 6 。z ” 6 掣1 ， 5 式中a 。，b 。为复系数，咒∈Z ． 根据应力分量式 3 可知 吒 O y 一8 r l R e P 7 2 ， 6 巳一吒 2 岛一4 r ／[ - ∥ z 牙 驴7 z ] ． 7 将式 4 及式 5 中的第一式代人式 6 ，有 a x a y 一4 吐学 宇 ∑n a 。2 ”1 石芦 ] ． 8 对于无界区域，考察式 8 的右边，随着{ z I 的 增大，z 的一次方及其以上的项会迅速增大．为了 使应力为有限值，有下列条件 a 。一0 ，b 。一0 咒≥2 ． 9 于足，复变函数P z 及妒 z 可以表示为 f P z 一 口 i p I nz j 口7 ∥k 铷Q ， 1 0 J 驴 z 一 一口 i p I nz 【 ∥ i ∥ z ‰ z ， 式中a 7 ，∥，∥，∥为任意实常数；铷 z ，咖 z 为区 域内解析函数，且 I 铷 z 一∑‰z 一， {”二。 1 1 I 亿 z 一∑b 名一， 式中a 一。，6 _ 。为复系数，，l 0 ，1 ，2 ，⋯⋯． 由式 2 可知 U 。 i u ， P z 一2 妒7 z 一妒 z 一 口 i ／3 I nz 口7 ∥ z 铷 z 一 z f - 竺击望 口7 i ∥ P ，。 2 ] 一 Z [ i 干丽而i 干丽 习万i 目驭万] ． 12 为了使速度保持为有限大，要求式 1 2 中口， 卢，∥一0 以及∥ i ∥一0 ．因此，满足S t o k e s 方程 组解的复变函数表达式 2 的圆外无界区域解析函 万方数据 4 2 4中国矿业大学学报第3 7 卷 数妒 z 及妒 z 可表示为 f 妒‘z 一口’z 9 0 z h 1 3 妒 2 一讥 z ． 要求速度U 。和U ，满足在无穷远处为零的条件 来求解S t o k e s 方程组，内边界速度之和就必须为 零[ 1 引．因此，为了求解边界合速度不为零时扰动场 在有限远处的S t o k e s 流动问题，还需讨论有界区 域的复变函数9 2 及妒 z ．将式 4 中的I nz 项 代入式 2 计算可知相对于无界区域而言，水平 速度地和竖直速度U ，都将产生r - 2 项和l nr 2 项． 另外，由于式 5 中名的高次项中只有z 2 项代入式 1 中会产生r _ 2 和产项．对于上述几项，根据圆外 有界区域的内外边界条件，能够惟一地确定它们的 未知系数．因此，将满足S t o k e s 方程组解的复变函 数表达式 2 的圆外有界区域解析函数妒 z 及 妒 z 表示为 P ‘z ’ 口’z 铷‘z ’ 妒- ‘z h 1 4 【妒 z 一奶 z 办 z ， 式中垆1 z a l n 名 a l z 2 ；驴1 z 一口l n2 a 2 2 2 ； 口，a l ，o t 2 均为未知实常数． 2 圆外区域边界积分公式的推导 为了得到圆外区域S t o k e s 问题的一个统一的 边界积分公式，我们按照有界区域的解析函数 妒 z 及妒 z 来计算．如式 2 所示，S t o k e s 方程组 的任意一组解必可表示成复变函数的实部和虚部 形式，因此，假设式 1 1 中，a 。一豇。，b 。 石一。，并 将式 1 4 代入式 2 ，按照复变函数实部与虚部的 上述性质，求出圆外有界区域速度的表达式 U ， r ，口 R e a o b o 去[ n l b 1 e 卅 n l b 1 e 破] 厶， 1 ∞ 告∑[ 1 ，zI 一2 a m 旧 s i g 。。r 2 一n 一o 。 H ≠0 ，士l 口。一b 。 ] r - ⋯e 硼 R e [ 一妒7 l z 乏 驴， 2 一以 z ] ， 1 5 U 。 r ，口 一I m a o b o 士[ n 1 b 1 e 甜一 口一l b 1 e 卅] ． o o 吉墨[ 2 一I 挖№卅‰和／ H ≠0 ，士l n 。 b 。 ] 厂I ”Ie j 埘 I m [ 9 7 l z 君 仍 z 许 z ] ， 1 6 式中 r ，口 为平面上任意一点的坐标； R e [ 一妒7 l z 乏 妒。 z 一办 2 ] 一 [ 口l 一口2 ，一口] c o s2 0 G i nr z 一2 a 1r 2 ； I m [ P 7 l 2 牙 驴l z A z ] [ 口l 口2 r z a ] s i nZ a ． 根据式 1 5 ， 1 6 ，令r 1 ，可得单位圆边界 上速度的表达式。此外，设单位圆边界上速度为 牟o o k 1 ，D ∑C n e 瑚 f 。一l 。 ， ．{ ”～ 1 7 【U y 1 ，口 一∑d 。e 阳 d 。一万一。 ， 式中C 。，d 。为实数；C ；，d 。为复数，i ≠0 ． 将式 1 7 与所得单位圆边界上速度的表达式 进行比较m ] ，并注意到C O S2 0 一e 1 2 a _ i - _ e - i Z o ，s i n2 0 一 ．比较可得 2 i ⋯“⋯。 a lD 1 c l i 一虿’ f a z 2b z z 半， 厶一昙[ f 以f 一2 口。⋯一。确。。。 口。一b n ] ， d o I m a o b o ， d - 一i 虿a l 十l ’虿b l ， d t ‘虿a z 十- ’虿b z 垒等， d n 一专[ 2 一I 蔑I n c ⋯一z №n 一 口n 玩] ． 式中口。一豇。；6 。一b 一。；G L 。；d 。 d 一。；竹一3 ， 4 ，⋯⋯．则可解出 f R e a o b o 一C o 2 a l ， a l c l 一饼1 ， a 2 一c z i d 2 2 口2 ， 【n 。 “一i f 。， f I m a o b o d o ， f b l 一一 f l i d l ， b 2 一一 c l i d l 口l 一口 ， 【b 。 [ 咒一2 口，卜z 一口。] 一i [ b 。 ，l 一2 6 ，卜。] ， 将所确定的罗朗级数各系数代入区域内速度 的表达式 1 5 及 1 6 ，经整理可得 一“动 _ 墨“产⋯e 枷 ，一； x { 1 - - - c o s 2 巳妻 ⋯P i n , ／扩⋯e 硼 s i n 2 口．圣。 i 搿州靠M r - h I 一} n 一 ， 万方数据 第3 期彭维红等圆外区域S t o k e s 流的速度场研究 4 2 5 “y r ，口 一 “7 。 r ，疗 ， ∑ d 。r I “Ie 埘 1 一；i x 1 8 I ，lf 。一i n d 。 r - I ”le 埘一 专c o s 2 口∑ i n c 。 I 以Id 。 r - 川e 埘} “7 ， r ，p ， 1 9 式中“7 ，．，口 [ 口一口1 口2 r - 2 口1 一口2 r 2 一 口] C O S2 0 2 a l 1 一， a l n ，； “7 y r ，口 一[ 口一a 1 一a 2 厂2 a 1 口2 ，一a ] s i n2 0 ． 另外，根据不可压缩流体的连续性条件d i v 乏 一。计算可知上式中口。 O ． 利用下述卷积公式若乱一∑口。e 埘，可 上∞ 玩e 埘，则M * 口一∑ 2 7 【口。b 。 e 印，以及傅立叶 P r ，口 r 1 ． 2 0 可知直角坐标下半径为尺的圆外区域的边界 积分公式为如下式 2 1 ， 2 2 ，经坐标变换求得极 坐标下相应的公式为如下式 2 3 ， 2 4 ． 以棚 P r ④％ 则 等{ c o S2 口[ 一r 争 r ，D 他 尺，0 - - 争 r ’吣吐舢 卜 s i n2 口[ 品_ P r ，口 * “。 R ，口 一ra a r p r ，口 * 乱， R ，O ] } [ a - - a 1 r - 2 口- ，一口] c 。s2 口 2al1一产aln产，21 小棚 P r ，吣姒舢 乞笋卜2 口[ 一r 争 舢 ％ 舢 c 。s2 口[ 品r P r ，口 * “。 R ，口 一r 岳| P r ，口 [ 口一a 1 r - 2 a 1 ，卫一a ] s i n2 0 ． 以棚一f c o s0 P 棚十等 { S i l l 卵 r ’等 争 r ’吣小刚 卜 Ⅵ R ∽] JJ 2 2 [ c o sO - - r 争 r ∞ “n 口争 r ∞] * “舢 [ s i nO - - r 拶a _ pr ，0 - - c o s 口争 r 印] } * 纵舢 口一口1 r - 2 一a l r z 一口 2 a 1 a l n 广 c o s0 ， 2 3 砒D 一卜n 卵 r ’等[ s i l l 口 一r 争∽0 - - c o s 曰争 r ’D ] * 以则 { c o s 卵 r ，等[ c o S 口 一，．争∽∞ “n 口争 r ，D ] } * 以R ，幻 a l a r - 2 3 a lr 2 口 2 a l a l n ，卫 s i n0 ， 2 4 式中* 为卷积．由上述条件可知，此流动接近于S t o k e s 流动， 由式 2 3 ， 2 4 可知，当内边界合速度为零时， 可计算无界区域问题，此时口，a 。均为0 ；而内边界 合速度非零时，只可计算有界区域问题，口，口。由边 界条件确定． 3 算例分析 考虑一个内径R 1m 的空心无限厚圆环区 域，内边界一焉≤曰≤焉处为一孔洞，某液体以余 弦函数C O s5 0 弘m ／s 的速度沿此孔洞的外法线的 反向流动，即液体向其空心内部流动．其余内边界 假设为固壁边界条件，动力黏滞系数叩一1 ．4 9 4 m P a s ，研究其圆外速度分布． 得到本问题的边界条件为 一孟≤口≤i 丌- 6 ，R 一1 ， 其它，R 一1 ， 2 5 R 一1 ． 将此S t o k e s 边值问题代人边界积分公式 2 3 及 2 4 中，可推算出此问题的扰动范围约为R 一 2 0 0m ，根据此边界条件及边界积分公式，可得如 下方程组 f 口一口1 r - 2 一t r l 尸一口 2 a 1 a l nr 2 0 ．0 6 3 ， 【一 口l 一口 r - 2 3 a 1r 2 口 2 口l a l n r 2 一一0 ．0 6 3 ． 解之可得口一一7 ．3 2 1 0 一，a 1 1 ．8 3 2 1 0 ～，代入式 2 3 及 2 4 中，采用数值积分，可求得 扣∑ 口5SOC O 0 一 一 口口口 ， ， ， r r r r r 口 “ “ “，●●●●J、●●【 万方数据 4 2 6中国矿业大学学报第3 7 卷 内径R 一1m ，外径R 一2 0 0m 的圆外有限区域上 的速度．由于该问题没有其他解析解进行比较，采 用C F D 软件求出数值解，以此对比．这里分别研究 1 ．0 e 0 ．8 吕 三0 ．6 型 瑙0 ．4 匠 搿0 ．2 O2 04 06 08 0l o o 1 2 0 1 4 0 r ／m a F l u e n t 解 了径向及切向速度随半径，．的变化关系，所选方向 为0 。，- - 4 5 。，4 5 。，计算结果分别如图1 所示． ， 驴 g 3 魁 蜊 厘 搿 图1 径向速度与半径r 的关系 F i g ．1R e l a t i o n s h i pb e t w e e nr a d i a lv e l o c i t ya n dr 由图1 可知，径向速度大小及变化趋势的F l u e n t 解均与边界积分公式计算结果吻合．在水平方 向，径向速度值由1 } t m ／s 逐渐降为0 ，而在其它2 个方向上，速度值均由0 逐渐增大，再缓慢减小至 0 ．由于S t o k e s 流动中扰动衰减很慢，纯数值解法 应用于无界流动时往往需取很大的计算区域，工作 量大．本文在半径2 0 0m 处将流场截断成有限区 域运用C F D 软件进行求解，所需计算时间约为边 界积分公式计算时问的2 0 倍． 图2 为切向速度与半径r 的关系．由图2 可 知，在水平方向，切向速度始终为0 ，其它2 个方向 切向速度均分别先衰减至0 ，再缓慢沿其反方向增 大最后趋于0 ，两者的计算结果也基本吻合． 图2 切向速度与半径r 的关系 F i g ．2R e l a t i o n s h i pb e t w e e nt a n g e n t i a lv e l o c i t ya n dr 合速度的等值线图，与流体软件计算出的合速 度等值线图 图3 对比，也是基本吻合． a F l u e n t 解 f 麟≥ 乙n 0 0 6 5 名套要‘- ∥ 图3 合速度等值线 F i g ．3 I s o l i n e so fv e l o c i t ym a g n i t u d e ，，m b 本文解 解的复变函数表达式的解析函数，并得到了圆外区 域S t o k e s 问题的边界积分公式，计算方便，工作量 比有限差分或有限元法大大减少．当所求解问题内 边界合速度为零时，可计算无界区域，并且无穷远 处条件一般是精确满足的，对于工程上的运动问 题，可以直接求得流场区域的速度．而所求解问题 内边界合速度非零时，也可以利用本文所得的边界 积分公式求解区域在有限远处的速度解． 致谢本研究得到中国矿业大学青年科技基金项 目资助 o k 0 6 0 1 5 7 ，特此感谢． 参考文献 4 结论 [ 1 ] 本文利用速度和应力的有限性及单值条件，推 导出在多连体以及无界区域中满足S t o k e s 方程组[ 2 ] H A P P E LJ ，B R E N N E R ．L o wr e y n o l d sn u m b e rh y d r o d y n a m i c s [ M ] ．H a g u e M a r t i n u sN i j h o f fP u b l i s h e r s ，1 9 8 3 ． G L U C K M A NMJ ，W E I N B A U MS ，P F E F F E RR ． 万方数据 第3 期 彭维红等圆外区域S t o k e s 流的速度场研究 4 2 7 A x i s y m m e t r i cs l o wv i s c o u sf l o wp a s ta na r b i t r a r y c o n v e xb o d yo fr e v o l u t i o n [ J ] ．J o u r n a lo fF l u i dM e c h ， 1 9 7 2 ．6 0 5 5 6 7 7 - 7 0 9 ． [ 3 ] T A MCK W ．T h ed r a go nac l o u do fs p h e r i c a lp a r t i c l e si nl o wR e y n o l d sn u m b e rn o w [ J ] ．J o u r n a lo fF l u - i dM e c h ，1 9 6 9 ，3 8 3 3 5 7 - 5 4 6 ． [ 4 ] G L U C K M A NMJ ，P F E F F E RR ，W E I N B A U M ．A n e wt e c h n i q u ef o rt r e a t i n gm u l t i p a r t i c l es l o wv i s c o u s f l o w a x i s y m e t r i cf l o wp a s ts p h e r e sa n ds p h e r o i d s [ J ] ．J o u r n a lo fF l u i dM e c h ，1 9 7 1 ，5 0 4 7 0 5 7 4 0 ． [ 5 ] C O XRG ．T h em o t i o no fl o n gs l e n d e rb o d i e si na v i s C O U Sf l u i dP a r t l G e n e r a h h e o r y [ J ] ．J o u r n a lo fF l u i d M e c h ，1 9 7 0 ，4 7 4 4 7 9 1 8 1 0 ． [ 6 ]Y A N G R E NGK ，A C R I V O S ．S t o k e sf l o wp a s ta p a r t i c l eo fa r b i t r a r ys h a p e an u m e r i c a lm e t h o do f s o l u t i o n [ J ] ．J o u r n a lF l u i dM e c h ，1 9 7 5 ，6 9 2 3 7 7 4 0 3 ． [ 7 3 祝家麟．定常S t o k e s 问题的边界积分方程法[ J ] ．计 算数学，1 9 8 6 ，8 3 2 8 1 - 2 8 9 ． Z H UJ i a l i n ．B o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n so fs t a t i o n s r yS t o k e sp r o b l e m [ J ] ．C o m p u t a t i o n a lM a t h e m a t i c s ， 1 9 8 6 ，8 3 2 8 1 2 8 9 ． [ 8 ] 严宗毅．S t o k e s 流的积分方程法[ J ] ．力学进展， 1 9 8 6 ，1 6 2 2 5 4 - 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