整数环上一些典型群的二元生成.pdf

第3 5 卷第6 期 2 0 0 6 年1 1 月 中国矿业大学学报 J o u r n a lo fC h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y V 0 1 ．3 5N o ．6 N O V ．2 0 0 6 文章编号1 0 0 0 1 9 6 4 2 0 0 6 0 6 0 8 3 3 0 4 整数环上一些典型群的二元生成 张波，王登银，张丽红 中国矿业大学理学院，江苏徐州 2 2 1 1 1 6 摘要研究了整数环上一些典型群的二元生成问题．考虑典型群中元素的矩阵形式，将典型群中 一个特殊元素对其另外的元素进行共轭作用，证明了整数环上m ≥4 时的辛群S P 2 m ，Z 、特 殊线性群S L 研，Z 和一般线性群G L 撒，Z 均可由两个元素生成，并决定了它们的生成元素． 关键词整数环；辛群；特殊线性群；一般线性群；二元生成 中图分类号O1 5 2 ．3 文献标识码A 厂T 、”1，、 ，，、 厂、1 1 ，、 lW O 一乜l e m e n tb e n e r a t l o n0 1 乙e r t a l n 乙l a s s m a lb r o u o s 0 v e rt h eR i n go fI n t e g e rN u m b e r s Z H A N GB o ，W A N GD e n g - y i n ，Z H A N GL i h o n g S c h o o lo fS c i e n c e s ，C h i n aU n i v e r s i t yo fM i n i n g ＆T e c h n o l o g y ，X u z h o u ，J i a n g s u2 2 1 1 1 6 ，C h i n a A b s t r a c t I nt h i sp a p e r ，t w o e l e m e n tg e n e r a t i o no fc e r t a i nc l a s s i c a lg r o u p so v e rt h er i n go fi n t e g e rn u m b e r sw a ss t u d i e db ya l g e b r a i cm e t h o d ．T h eo t h e re l e m e n t sw e r ec o n ju g a t e db yas p e c i a l e l e m e n tu s i n gM a t r i xf o r m si nt h e s eg r o u p s ．T h er e s u l t ss h o wt h a ta l lo ft h es y m p l e c t i cg r o u p S P 2 m ，Z o f m ≥4 ，t h es p e c i a ll i n e a rg r o u pS L m ，Z a n dt h eg e n e r a ll i n e a rg r o u pG L m ，Z o v e rt h er i n go fi n t e g e rn u m b e r sc a nb eg e n e r a t e db yt W Oe l e m e n t s ，a n dt h eg e n e r a t e de l e m e n t s w e r eg i v e n ． K e yw o r d s t h er i n go fi n t e g e rn u m b e r s ；s y m p l e c t i cg r o u ps p e c i a ll i n e a rg r o u p ；g e n e r a ll i n e a r g r o u p ；t w o - e l e m e n tg e n e r a t i o n 文献[ 1 7 ] 研究了有限典型群的二元生成问 题，文献[ 3 ，6 ] 证明了特征不为2 的有限域上酉群 可以由两个元素生成，文献[ 1 2 ，4 5 ] 证明了有限 域上正交群和辛群可以由两个元素生成，文献[ 7 一 1 0 3 证明了E 。，E 7 和E 8 型c h e v a l l e y 群也可由两个 元素生成．但是这些研究都是对有限域上的有限群 而言的，有一定的局限性．因此，研究在更大范围上 的典型群的二元生成问题是有意义的．本文将有限 域扩大为整数环，有限群扩大为无限群，证明整数 环上辛群S P 2 m ，Z m ≥4 ，特殊线性群S L m ， Z 和一般线性群G L m ，Z 都可以由两个元素生 成． 1 辛群的二元生成 设Z 表示整数环，E 。表示Z 上m 级单位阵， M m ，Z 表示Z 上m 级方阵的全体，G L m ，Z 表 示Z 上m 级可逆方阵的全体．G L m ，Z 关于矩阵 的乘法形成群，叫做Z 上一般线性群．记 J ＆0 球G L c 2 m ∽．J ll ∈，Z ． 1 一E 。 0J 。 定义 S P 2 m ，Z { A ∈G L 2 m ，Z IA I A T J ， 则S P 2 m ，Z 关于矩阵的乘法形成群，称为Z 上的 2 m 级辛群，它是一般线性群G L 2 m ，Z 子群． S P 2 m ，Z 中的方阵叫做辛方阵． 收稿日期2 0 0 5 一0 5 1 7 基金项目国家自然科学基金项目 1 0 0 7 1 0 7 8 作者简介张波 1 9 7 7 一 ，男，安徽省淮北市人，硕士研究生．从事代数学方面的研究 E - m a i l z b b a h h b 1 2 6 ．c o r nT e l l1 3 7 7 5 9 8 9 6 7 5 万方数据 8 3 4 中国矿业大学学报第3 5 卷 S P 2 m ，Z 含有以下两种形式的辛方阵 ，， 舍。A ，一， ，任意A ∈G L 2 m ，z ，； 2 ， E 。 和 ；三 ，其中- s T - s ，r T ， 且l s ，T ∈M m ，Z ． 引理1 S P 2 m ，Z 可由上述两种辛方阵生 成． 证明显然，略． 对1 ≤i ，J ≤优，记％为2 m 级方阵，其 i ，歹 元 素为1 ，其余元素为0 ；e l , 一，为2 m 级方阵，其 i ，m 歹 元素为1 ，其余元素为0 ；类似地定义乳Ⅲ，良卜J ． 对1 ≤i ，z l ，一 ， z M 一 ． 证明 以z d 工i 1 为例． 作映射％Z 一％，aI x d n ，则易知此为群 同构，即Z 丝z 。．Z 是由1 生成的无限循环群，可见 z 是由工“ 1 生成的无限循环群． 证毕． 不难看出，与域F 上辛群S P 2 m ，F 类似，以 下引理3 成立． 引理3 S P 2 m ，Z 可由上述z o ，z 直，z 卜J ， X - j z ，z 砘l 其中1 ≤i 歹≤m ，1 ≤愚≤m ， a ∈Z 生成． 记W 1 2 一工1 2 1 工2 l 一1 z 1 2 1 ， W z 3 工2 3 1 x 3 2 一1 x 2 3 1 ， i 崃l ，。 x 1 ．。 1 x 。．一1 一1 x 一1 ．。 1 ， W m ．一。一x 。．一。 1 x 一。。。 1 x 。．一。 1 ． 并记W W 1 2w 2 3 ⋯W m - 1 。。’．，m ．一。． 引理4S P 2 m ，Z 可由所有置川 1 ， 工件1 ，i 1 i 一1 ，2 ，⋯，m 一1 和工。，一。 1 ，工一m ．。 1 生成． 证明 H ，显然H ≤S P 2 m ，Z ． 因为[ 工1 2 1 ，x 2 3 1 ] 一x 1 3 1 ∈ H ， [ 工1 。 1 ，x 3 。 1 ] 工1 4 1 ∈H ，[ x 1 4 1 ，卫4 。 1 ] 一x 1 5 1 ∈H ，⋯，[ x 1 ，，，，1 1 ，X , r , - 1 ．。 1 ] 工1 。 1 ∈H ．同理可知‰。 1 ∈H 2 ≤愚≤m ，进而用同 样的方法可得x d 1 ∈H ，x 直 1 ∈H ，其中2 ≤i ≤m 一2 ，3 ≤_ f ≤m 且i ．『． 用 I ，共轭作用于z 。- - ．_ 1 。 】 和砖．。 】 得 I n tw ≮一。 1 似- - 。1 ．一。 1 w - 1 一 n 1 ．1 1 ∈H ， I n t ’．， 工一- - 1 。 1 w x - _ 二．。 1 W - 1 一 工1 ．_ l 1 ∈H ． 进一步对2 ≤忌≤m 一1 有 I n t 矿 ‘一。 1 一矿工- - 一1 。 1 矿 一一 X - k ， 1 ∈H ， I n t 矿 X - 。1 。 1 矿X 。- m ．。 1 矿 ～一 瓢．一 1 ∈H ． 又对1 ≤i ．『≤m ，有 x T , L i 1 [ 粕 1 ，而，叫 1 ] 一x ；，1 1 ∈H ， x “- - 1 f 1 [ 工“j 1 ，而i 1 - 1 - ，f 1 ∈H ． 对任意的A ∈S P 2 m ，Z ，由引理3 知，A 可由 z “，z “ z f _ j ，X _ j ．f ’z 卜 ，z 吨 其中1 ≤i J ≤m ， 1 ≤愚≤优，a ∈Z 生成，再由引理2 知A ∈H ，即 S P 2 m ，Z ≤H ．所以S P 2 m ，Z H ． 证毕． 定理1当m ≥4 时，S P 2 m ，Z 可由’．，， x 1 ．一1 1 x 2 3 1 共同生成，即S P 2 m ，Z ． 证明设H 一 w ，x 1 ．- 1 1 x 2 3 1 ，显然H ≤ S P 2 m ，Z ． 用W 对x l ，一1 1 工2 。 1 作共轭 I n t ．， x 1 ．一1 1 x 2 3 1 x 2 ．一2 1 x 3 4 1 ∈H ． 因而 [ 工1 ．一l 1 x 2 3 1 ，x 2 ．一2 1 z 3 4 1 ] 工2 4 1 ∈H ． 又 I n t ’．，“ x 2 4 1 一甄2 一1 ∈H ， 进而有 [ x 1 ．一1 1 x 2 3 1 ，工4 2 一1 ] 一工4 3 1 ∈H ． 万方数据 第6 期张波等整数环上一些典型群的二元生成 8 3 5 再用w 对x 。。 1 反复作共轭 I n tw 工4 3 1 一工5 4 1 ∈H ， i I n t 矿卜_ 4 x 4 3 1 一x 。．一1 1 ∈H ， I n tw 一3 溉3 1 一x 一1 1 ∈H ， I n tw m - 2 x 4 3 1 一工1 2 一1 ∈H ． 由引理2 知嗣 一1 x ， 1 ∈H ．用’．，对 x 。 1 反复作共轭 I n tw x 1 2 1 一x 2 3 1 ∈H ， ● ● I n tw m - 2 x 1 2 1 一x 一1 ．。 1 ∈H ， I n tw ”_ x 1 2 1 一x 1 ．一。 1 ∈H ， I n tW ” z 1 2 1 一z 2 1 一1 ∈H ． 进而 I n tw x 1 1 一1 一如2 1 ∈H ． 又x 1 ．一1 1 x 2 3 1 x 吾 1 x 1 。一1 1 ∈H ． 得 I n t 旷1 x 1 ．一1 1 x 。一。 1 ∈H ， I n tW - 1 工- - 1 ．1 1 1 工一卅，。 1 ∈H ． 因此，引理4 中给出的S P 2 m ，Z 的生成元 均属于H ，可见S P 2 m ，Z ≤H ．所以S P 2 m ，Z H ． 证毕． 注当m 一1 时，S P 2 m ，Z S L 2 ，Z ，其二 元生成问题由以下解决．而当m 2 ，3 时，s P 2 m ， Z 能否由二元生成是一个遗留问题，本文不加以 讨论． 2 特殊线性群的二元生成 S L 1 ，Z 是个平凡情形，以下考虑m ≥2 时 S L 优，Z 的二元生成问题． 记S L m ，Z 为行列式等于1 的m 级可逆方阵 的全体．S L m ，Z 关于矩阵的乘法形成群，且为 G L m ，Z 的子群，称为Z 上优级特殊线性群．记 P ；，为m 级方阵，其 i ，歹 元素为1 ，其余元素为0 ； E f f 口 E 。 a l p d 口∈Z ．并记 E Ⅱ一{ E 。f 口 1a ∈Z ． 则E i i 关于矩阵的乘法作成一个可换群，且是 S L m ，Z 的子群，同样E i 是由E i 1 生成的无限 循环群，即E “一 ． 引理5S L m ，Z 可由所有E d 生成，其中1 ≤i ，J ≤m 且1i 一_ fI 一1 ． 证明显然，略． 对1 ≤i ，则H ≤G L m ， Z ．用抑反复共轭作用于E 。。 1 得 I n t t w E 1 2 1 E 2 3 1 ∈H ， I n t 1 ．， 2 E 1 2 1 E 3 4 1 ∈H ， ； I n t 伽 ”2 E 1 2 1 E 一1 ．。 1 ∈H ， I n t 抑 一1 E 1 2 1 一E 。1 1 ∈H ． 又[ [ ⋯[ [ E 。。 1 ，E ，。 1 ] ，E 。。 1 ] ，⋯] ， E 一2 ．一1 1 ] E 。．州 1 ∈H ． 同样，再用 舢 - 1 对E 。．一。 1 反复作共轭得 E 一1 ．一2 1 ，E 一2 ．一3 1 ，⋯，E 2 l 1 ，它们都属于 万方数据 8 3 6 中国矿业大学学报第3 5 卷 H ，由引理5 知S t ． m ，Z ≤H ．由’．，定义知w ∈H ， 因此t ∈H ．由引理6 可知G L m ，Z ≤H ．所以 G L 优，Z ． 证毕． 参考文献 [ 1 ] S T A N E KP ．T w o - e l e m e n tg e n e r a t i o no ft h es y m p l e c t i cg r o u p s [ J ] ．T r a n s ．A m e r ．M a t h ．S o c ．， 1 9 6 3 ，1 0 8 4 2 9 4 3 6 ． [ 2 ] E A R N E S TAG ，C A T A L A P ARA ，S C H M I D TU S ，e ta 1 ．R e m a r k so nt h eg e n e r a t i o no fo r t h o g o n a l g r o u p so v e rf i n i t ef i e l d s [ J ] ．J o u r n a lo fA l g e b r a ， 1 9 9 5 ，1 7 6 5 8 5 - 5 9 0 ． [ 3 ] I S H I B A H IH ．S m a l l ls y s t e mo fg e n e r a t o r so fi s o t r o p i cu n i t a r yg r o u p so v e rf i n i t ef i e l d so fc h a r a c t e r i s t i cn o tt w o [ J ] ．J o u r n a lo fA l g e b r a ，1 9 8 5 ，9 3 3 2 4 3 3 1 ． [ 4 ] I S H I B A H IH ．G e n e r a t i o no fc l a s s i c a lg r o u p so v e rf i n i t ef i e l d s [ J - ] ．L i n e a rA l g e b r aA p p l ．。1 9 8 3 ，5 3 9 1 5 ． [ 5 ] I S H I B A H IH ，E A R N E S TAG ．T w o e l e m e n tg e n e r a t i o no fo r t h o g o n a lg r o u p so v e rf i n i t ef i e l d s [ J ] ．J o u r n a lo fA l g e b r a ，1 9 9 4 ，1 6 5 1 6 4 - 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