增补转角场和剪应变场的厚薄板通用矩形单元.pdf

i 兰％黜”，⋯⋯。鼻 黧 怒。，。。，。 增补转角场和剪应变场的 厚薄板通用矩形单元 龙志E ，￡霞 十目r n k 々￡Ⅻ ，m 自1 o 0 0 83 镕{ 自7 i 4 * 口} ￡n * 女女，t i “月L 自n 月薄H i } * 月 { i ∞口4 t * 自* ∞ * Ⅻ4 * * * ∞Ⅲ月} i m n } 女} 自日3 十 12 十自＆ 4 * m 月№m i t * n * * ＆十 * ＆，Ⅱ{ ，目”目目q * t 自t 自m i ；4 薄n ．H * 目目 目 女{ n3 4女* m 日A i ∞ⅫL ≈* } 元＆* Ⅻ 自‰ ∞口* №月* “o 4 n T ’。| ，t n 】∞ 目* B * i 自自Ⅲ’、Ⅻ女∞} { F 4 ∞Ⅻ目 m m ．H * 镕自自 i ＆* * i m t ，Ⅻ月镕“ } ￡ m 自Ⅻ 自m 女自∞．{ ＆T3 十月* a 月ⅢⅣi ∞ * 女 * Ⅲ 口E 啊1 * №女日 n 剐∞钝 * ％{ i 目1 M Ⅲ女一* m 目4 i ，* i 自自Ⅱ自自 白勺1 2 十自m ＆≈女壹口T } 一帆口，- 9 一z t x t 2 毗F 口一蚌{ F “y - u 十n 々，屯自虬 剐∞自 t d I ，2 ，s ，4 j ∞ ‰ⅢⅫ 自 1 14 R 自n ∞* ＆ 自} i q m m ＆ ，“* 目 m * “m ≈* “≮女 自* ＆≈ t 一轴一 n ％。％ ] ， t 一一[ ⋯。．4 T ，． t 。 ] ， y 一‰，”； 6 ％ ％”． h 。一一[ ⋯。十自 t ． ％ ] ， “一i 矿岛镐 而， 一Ⅱ＆￡ 一2 ／6 2 1 0 ／3 n F ’ Ⅲ* M T ．t o ，4 一o m * 口．，∞ m i 124 E 镕 ∞∞＆￡ 自女 2 ⅢⅢ，4 E * m 自* m { 日* * i ， Ⅲ自 2 日* i 镕 ∞自m Ⅲ [ L ■ky ，I t ，h t 0 一1 一[ 0 { q ／‘， 3 十 。⋯。，品盎i 黪怒。。。。 ；嚣i 霹骈囊i 孥；i 篇㈣。。。。，⋯⋯。。一。 万方数据 7 B 中国矿业大学学报 第3 0 卷 [ G ] 峨 d 占2 6 文 O 占．0 鲁 一岛 ooo ooo 0 一如000000_ 0 “ 2 0 OO 0O O0 3 6 2 0 0 00 o 一鲁 00 d 20 0 0 O 由单元结点剪应变插值求单元内剪应变场 t 一∑Ⅳ。y 。，一 ∑N 。k 。 4 Ⅳ。 1 毫车 1 虢节d l ，2 ．3 ，4 ， 式中} 一x ／a ，7 一y ／b 为坐标z ，Y 的无量纲形 式． 将式 3 代入式 4 得 { y 一{ ≥} 一[ _ Ⅳ] [ G ] { g } e [ 曰。] { 窖} e ． 5 I N ] 一[ M 0 一N 0 N N 。。M 0N 。。M 0N 。．] J ’ 6 。L O ，≈J ’⋯ [ 最] 一 。鲁 Ⅳl N 2 d l Ⅳ1 N 2 0 鲁 Ⅳ。 Ⅳ 国 Ⅳ】 N 2 0 鲁 Ⅳ。 Ⅳ． 一a I Ⅳ3 N ‘ O 鲁 Ⅳ。 ㈨ - 盈 Ⅳ3 M 0 譬 Ⅳ4 0 一岛 N 1 N ‘ 鲁 Ⅳz w 0 a 2 Ⅳ2 N 3 誓 Ⅳ。 Ⅳ。 0 d 2 Ⅳ2 N 3 鲁 Ⅳ。 Ⅳ8 0 ‘赴 Ⅳ1 N 4 7 由式 5 可见，当最一o ，如一0 时，单元的剪应变场 { y } 一{ 0 ，则厚板单元自动退化为薄板单元． 2 单元的转角场 单元的转角场由两部分组成 q 一哦十蝉，吼 霹 q ， 8 0 一岛 式中贮，霉为已有薄板单元的转角场；蝴 粤 为厚板的增补转角场． 2 ．1 厚梁的转角场 根据厚梁理论，厚梁的转角场 如图2 所示 为 , ／t 妒 缈‘． 9 妒一孚 1 ～。 孚 1 } 3 F 1 黝， 口。一一昔7 1 一{ 2 昔甜、 1 一} 2 ， 卉一 I 垒』堡2 ” 2 h ／a 2 1 0 ／3 1 ～口 ’ r 一 一W 1 w 2 ～9 19 2 ． 式中掣为薄梁的转角} 9 ‘为厚粱的增补转角． 图2 厚粱单元 F i g ．2T h et h i c kb e a me l e m e n t 2 ．2 厚板单元各边的增补转角场 根据厚梁的增补转角场，可设矩形厚板单元各 边的增补转角场为 边1 2 砚 一要L 。 1 } z ，霹一0 ， 边2 3 霞 o ，霉 一3 7 y 。 卜矿 ， 边4 3 妒； 一詈t 。。 1 一乎 ，面 0 ， 边1 4 霹一o ，霹一一要_ 。。 卜矿 1 0 2 ．3 单元内增补转角场 根据式 1 0 的单元边界增补转角场，可确定单 元内部的增补转角场为 0 0 0 0 0 0 0 占一 O 0 0 垒6 O 以 d 0 盟口鱼6 0 0 占 O 0 O O 乱 叠 O m 0 曲i 0亟4蔓6 0 赴 0 O 盈 O 文 0亟d趣～6亟口0 O 如 O 0 万方数据 第1 期 龙志飞等增补转角场和剪应变场的厚薄板通用矩形单元7 9 9 一一号[ b 。 L 尹 ，。 坳2 ] c ， q 号h 学 “。 半J ] 1 可以看出，式 1 1 的单元域内增补转角场和式 1 0 的边界增补转角场在单元各边处是彼此精确 协调的． 将式 2 代人式 1 1 ，最后得到单元域内增补 位移场 蛳一碧[ 喜姒￡c ， 研矿 n 善4 咏- 邶- ] c ，誓， 町一一堡r z ；] 一I * i 1 ￡} 一 a 窑虬 1 ∽] 1 一矿 与单元的剪应变场一样，当8 ．一o ，如一。时， 单元的域内增补位移场也退化为零． 2 ．4 利用已有薄板单元的转角场构造厚薄板矩形 元方案的选取 2 ．4 ．1 利用离散克希霍夫 K i r c h h o f f 理论的薄板 矩形元 离散克希霍夫理论的薄板四边形单元D K Q 元“1 是一个优良的薄板元．本文利用D K Q 元的特 殊形式 矩形形式 作为薄板元的方案．以D K Q 元 的转角场作为厚板单元的萼噻，霉，再增补转角场 霉，默和剪应变场{ ， 可导出厚薄板矩形元．记 为R s R l ． 2 ．4 ．2 利用已有优质矩形薄板元的挠度场 由已有优质矩形薄板元的挠度场W 可得厚板 单元的娥，萼嚆，即 哦掣，蛾一掣． 1 3 ∞ a y 本文采用两个优质薄板元L R l 2 2 元[ 7 3 和 A C M 元[ 8 3 的挠度场建立两个厚薄板通用单元分别 记为R S R 2 和R S R 3 ．薄板元的挠度场可表示为 L Ⅳ j L Ⅳ ～矗～0 j ’＼ { m 一[ 姒吼t 。] 1 ．J 对于R S R 2 单元 Ⅳ 一l 1 锚 1 々，口 2 ￡车 琅节一手2 一矿 ． 蛾一一静 1 踞 1 琅7 1 _ P 羞￡研7 卜矿 ， 桃一一詈们 ∞ 1 删 1 7 2 刍错 1 。 ． 对于R S R 3 单元 研一言 1 最} 1 , - ／, r D 2 ￡} 轨叩一手2 一矿 ， Ⅳ一詈￡ 1 ∞ 1 T ／, y 1 P Ⅳ一一r h 1 ￡} 1 聃7 1 一矿 1 5 由于上述3 个新单元的单元域内转角场霉， 事，与单元边界的转角场满足广义协调条件，因此 它们是保证收敛的厚薄板通用单元． 3 单元的曲率场 单元的曲率场{ I 由两部分组成 { t 一{ I o } { t 。 ， 1 8 渺，一一[ 警等 警 警 ] 1 ， ㈣， t 川一一[ 等等 警 警 ] T ’㈣， 式中；{ t o 为薄板单元曲率，可由结点位移{ 口} ‘表 示 { P 一[ 磁] { 口 。， 2 1 { t ’ 为厚板单元的增补曲率，可由式 1 1 导出 ”。2 弘明{ m } ， Ⅲ其中 其中 [ 埘] 一j ∽ _ E B b “ m } 。一∑[ 雠] ㈦， 2 2 1 2 1 一警被1 ㈣警 1 ㈣ 。 一学似1 ㈤ 。 勤b 1 ∽ 警[ 叭1 廿 城 1 一剜一挚 1 一S z 一警 卜扔 i 1 ，2 ，3 ，4 j 一一 2 3 D k 黝 咖 万方数据 中国矿业大学学报第3 0 卷 4 单元刚度矩阵 厚板单元的刚度矩阵E t ] 。为弯曲刚度矩阵 [ k u T 和剪切刚度矩阵n J 之和．即 E k ] 。一[ 虹] 。 [ t 。n 2 4 附。一』J 风] 7 慨] [ 风] d A 2 5 [ 置s ] 8 一』J 。[ 甄] T [ 皿] [ 玩] 6 A ， 2 6 其中 『1 p 0 ] Ⅲ 。l ～㈠0 。恤一c [ ㈡艘，， l oo 宁J ∽u 。一焉，c 一斋‰ E 为材料的弹性模量． 5 数值算例 例1 采用R S R l ，R S R 2 和R S R 3 单元计算四 边简支和四边固支方板在均载g 作用下的中点挠 度“ ， w 。一口班4 ／l o o P ．设方板边长为l ，／2 一 o ．3 ，整板采用1 0 xl O 网格．计算结果见表1 ． 例2 采用逐步加密网格的方法考查R S R l ， R S R 2 和R S R 3 单元的收敛性能．表2 和表3 分别 给出薄板 h ／l 一1 0 。3 和厚板 h ／t 一0 ．3 在不 同网格下挠度和弯矩的计算结果． 表1均载作用下方板的中心挠度系数口 T a b l e1C e n t r a ld i s p l a c e m e n tc o e f f i c i e n tf o rs i m p l ys u p p o r t e da n dc l a m p e ds q u a r ep l a t eu n d e ru n i f o r ml o a d 表2 薄板 h ／t 一1 03 在不同网格下的计算结果 均t T a b l e2T h en u m e r i c a ls o l u t i o n sf o rt h i np l a t eb yu s i n gd i f f e r e n tm e s h e s u n i f o r ml o a d 衰3 ■板 h ／l 一0 ．3 在不同网格下的计算结果 均载 T a b l e3T h en u m e r i c a ls o l u t i o n sf o rt h i c kp l a t e 姆u s i n gd i f f e r e n tm e s h e s u n i f o r mI “t d 由表1 ～3 看出R S R l ，R S R 2 和R S R 3 单元不 仅不产生剪切闭锁现象，而且具有较高的计算精度 和较好的收敛性能，且当h ／l 0 ．0 0 1 时．R S R I ， R S R 2 和R S R 3 分别退化为D K Q ，L R l 2 2 和A C M 单元的计算结果． 万方数据 第1 期龙志飞等增补转角场和剪应变场的厚薄板通用矩形单元8 l 6 结论 本文提出了构造无剪切闭锁现象厚薄板通用 单元的一般方法．并且导出了3 个厚薄板弯曲通用 矩形单元R S R l ，R S R 2 和R S R 3 ．数值算例表明本 文单元具有不产生剪切闭锁、构造方法简明、且计 算精度和收敛性较好等优点．本文方法还可推广到 构造三角形厚薄板通用单元． 参考文献 [ 3 ] [ 4 3 [ 5 ] E 6 3 C 7 ] [ 1 ] L o n gYQ ．X iF ．Au n i v e r s a lm e t h o df o ri n c l u d i n g s h e a rd e f o r m a t i o ni nt h et h i np l a t ee l e m e n t s [ J ] ．I n t ．[ 8 ] J ．N u m ．M e t h ．E n g ．t1 9 9 2 3 4 1 7 11 7 7 - [ 2 ] 龙志飞．完全不闭锁的厚板矩形单元[ J ] ．工程力学， 1 9 9 2 。9 1 8 89 3 ． 龙志飞，须寅，李聚轩．两个厚板广义协调矩形元 [ J ] ．工程力学 增刊 ，1 9 9 5 ．2 2 7 2 3 2 ． 岑松．龙志飞．匡文起．引人广义泡状型位移场影响 的厚板矩形单元[ J ] ．工程力学，1 9 9 6 ，1 3 4 4 1 4 8 ． 胡海昌．弹性力学的变分原理及其应用[ M 3 ．北京科 学出版社．1 9 8 1 ．5 36 1 ． B a t o zJL ，B e nTM ．E v a l u a t i o no fan e wq u a d r i l a t e r a l t h i np l a t eb e n d i n ge l e m e n t [ j ] ．I n t ．j ．N u m ．M e t h ． E n g ．，1 9 8 2 ，1 8 { 1 6 5 51 6 7 7 ． 龙志飞．广义协调条件的薄板弯曲三角形元和矩形元 F J ] ．航空学报，1 9 9 1 。1 2 9 5 2 75 3 2 ． A d i n iA ，C l o u g hRW ．A n a l y s i so fp l a t eb e n d i n gb y t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d [ R ] ．R e p o r tt ot h eN a t i o n a l S c i e n c eF o u n d a t i o nU S AG ．1 9 6 1 ．7 3 3 7 ． T h i c k ／T h i nR e c t a n g u l a rP l a t eE l e m e n tw i t h C o m p l e m e n t a r yR o t a t i o na n dS h e a rS t r a i nF i e l d s L o N GZ h i f e i ．W A N GH a i x i a D e p a r t m e n to fS c i e n c e ＆A I t s ，C U M T B e i j i n g1 0 0 0 8 3 ，C h i n a A b s t r a c t I nt h i sp a p e r ，an e ws c h e m et of o r m u l a t et h e1 2D O Fr e c t a n g u l a re l e m e n tf o ra n a l y z i n go ft h et h i n a n dt h i c kp l a t e sw a sp r o p o s e d ．I nt h i sm e t h o d ，at h i np l a t eb e n d i n ge l e m e n tw a sf i r s tf o r m u l a t e db a s e do n K i r c h h o f ft h e o r y ；T h es h e a rs t r a i na n dc o m p l e m e n t a r yr o t a t i o nf i e l d sw e r et h e ni n c l u d e di nt h ee l e m e n tS O t h a ti tw a sv a l i df o rt h ea n a l y s i s ．T h er e s u l ts h o w st h a ta st h ep l a t eb e c o m ep r o g r e s s i v e l yt h i n n e r ，t h es h e a r s t r a i na n dc o m p l e n l e n t a r yr o t a t i o nf i e l d sa p p r o a c hz e r oa u t o m a t i c a l l y ，a n dt h ee l e m e n ti sf r e eo fs h e a rl o c k i n g ．T h r e e1 2D O Fr e c t a n g u l a rt h i na n dt h i c kp l a t eb e n d i n ge l e m e n t sw e r ef o r m u l a t e db yt h i sm e t h o d - N u m e r i c a le x a m p l e si n d i c a t et h a tt h e s ee l e m e n t sh a v et h ea d v a n t a g e so fh i g ha c c u r a c y , g o o dc o n v e r g e n c ea n d s t a h i L i t y ． K e yw o r d s f i n i t ee l e m e n t ；t h i c k ／t h i np l a t eb e n d i n g ；s h e a rl o c k i n g 万方数据