非光滑NES在转子-叶片系统振动抑制中的应用.pdf

收稿日期 2019 －09 －17 基金项目 国家自然科学基金资助项目U1708257； 中央高校基本科研业务费专项资金资助项目N180313009. 作者简介 曹焱博1992 － ，男，吉林松原人，东北大学博士研究生； 姚红良1979 － ，男，河北唐县人，东北大学教授，博士生导师. 第41卷第8期 2020 年 8 月 东北 大 学 学 报 自 然 科 学 版 Journal of Northeastern UniversityNatural Science Vol. 41，No. 8 Aug.2 0 2 0 doi 10.12068/ j. issn.1005 －3026.2020.08.007 非光滑 NES 在转子 －叶片系统振动抑制中的应用 曹焱博， 李之傲， 韩金超， 姚红良 东北大学 机械工程与自动化学院， 辽宁 沈阳 110819 摘 要 用非光滑非线性能量阱non-smooth nonlinear energy sink，NSNES抑制转子 － 叶片系统的振 动，NSNES 结构采用分段线性刚度梁形式. 首先介绍了 NSNES 的结构和工作原理，然后利用拉格朗日方程建 立转子 － 叶片 － NSNES 系统的动力学模型，最后采用数值法分析了该耦合系统处于稳态共振时，NSNES 对 转子振动和叶片振动的抑制能力. 在给定参数下，附加于叶片尖部的 NSNES 在抑制转子振动时，抑振率可达 到 68％ ；在抑制叶片振动时，抑振率可达到62％ . 文中还将该 NSNES 的抑振能力与具有相同质量线性动力吸 振器linear dynamic vibration absorber， LDVA的抑振能力进行了对比. 关 键 词 转子 － 叶片系统；非光滑非线性能量阱；稳态振动；振动抑制 中图分类号 TD 451 文献标志码 A 文章编号 1005 －3026202008 －1103 －08 Application of Non-smooth NES in Vibration Suppression of Rotor-Blade Systems CAO Yan-bo， LI Zhi-ao， HAN Jin-chao， YAO Hong-liang School of Mechanical Engineering ＆ Automation， Northeastern University， Shenyang 110819， China. Corresponding author YAO Hong-liang， E-mail hlyao＠ mail�� neu�� edu�� cn Abstract The vibration of the rotor-blade system is suppressed by a non-smooth nonlinear energy sink NSNES with piecewise linear stiffness beams. Firstly， the structure and working principle of the NSNES are introduced， and then the dynamic model of rotor-blade-NSNES system is established by using the Lagrange equation. Finally， the numerical is used to analyze the NSNES ability to suppress the vibration of rotor and blade when the coupled system is in steady state resonance. Under the given parameters， the inhibition rate of the NSNES attached to the tip of the blade on rotor vibration can reach 68％ ， and the inhibition rate on blade vibration can reach 62％ . The NSNES vibration suppression capability is compared with the vibration damping capability of a linear dynamic vibration absorber with the same mass as the NSNES. Key words rotor-blade system； non-smooth NES； steady-state vibration； vibration suppression 振动过大是转子系统产生可靠性故障的主要 原因，剧烈的振动可以导致重大的破坏. 对于转子振动的抑制，有效方法之一是附加 动力吸振器；但从目前的研究来看，线性吸振器有 效吸振频带窄，结构复杂，因此可靠性低，应用范 围有限[1 －2]. 现代旋转机械的工况复杂多变，迫切 需要设计出结构简单且工作频带宽的吸振器，非 线性能量阱nonlinear energy sink， NES是较成 功的例子[3]. 文献[4]用 NES 抑制转子轴承系统的振动； 文献[5]则是考虑多频激励的工况，研究了 NES 对航空发动机的抑振性能. Guo 等[6]用 NES 抑制 不平衡空心转子系统的振动；Yao 等[7 －8]设计了 多种用于转子系统振动抑制的 NES，例如，永磁 体正负刚度并联式 NES、接地式非光滑NES 等. 从近些年的研究来看，学者们大多只关注 NES 对转子忽略叶片 的振动抑制，或对单 独旋转叶片的振动抑制[9 －14]. 但是，在转子系统 中，转子和叶片通常存在耦合关系，因此，研究 转子 － 叶片耦合系统的振动抑制将更加具有实际 意义. 本文以转子 － 叶片系统的不平衡振动为研究 背 景， 以 非 光 滑 非 线 性 能 量 阱 non-smooth nonlinear energy sink， NSNES为抑振手段，抑制 该系统中转子和叶片的振动，此时的抑振机制是 强 调 制 响 应[15] strongly modulated response， SMR. 文中还比较分析了相同质量的 NSNES 和 线 性 动 力 吸 振 器 lineardynamicvibration absorber， LDVA的抑振能力. 1 NSNES 结构 如图 1a 所示，NSNES 的具体结构包括 NES 质量块、分段刚度梁和固定支撑等[16]，NSNES 在 转子 － 叶片系统上的装配如图 1b 所示. 图 1 NSNES 结构及组装 Fig�� 1 Structure and assembly of NSNES a结构； b安装示意图. NSNES 的分段刚度弹簧如图 2a 所示，分段 刚度梁叠加拟合成立方刚度. 梁的厚度为 hj、宽度 为 bj、长度为 lj，如图 2b 所示. 设板簧 jj ＝1，2，3，4的弯曲刚度为 knj knj＝3EIj/ l3 j ＝ Ebjh3 j/ 4l 3 j . 1 式中E 为材料弹性模量；Ij为相应线性梁的截面 惯性矩. 图 2 分段刚度梁模型 Fig�� 2 Piecewise stiffness beam model a分段刚度弹簧； b第 j 根板簧尺寸. NES 质量块与分段刚度梁间有间隙，如图 3a 所示. 随着振幅增大，分段刚度梁逐一与 NES 质 量块接触，此过程中 NSNES 的刚度变化及与立 方刚度的拟合情况如图 3b 所示. 图 3 NSNES 的刚度变化 Fig�� 3 Stiffness variation of NSNES a截面图； b刚度变化及拟合图. 4011东北大学学报自然科学版 第 41 卷 2 动力学模型 2�� 1 模型分析 文中的动力学模型用拉格朗日方程建立 d dt ∂Ttotal ∂̇q － ∂Ttotal ∂q ＋ ∂Utotal ∂q ＝ Ftotal.2 式中Ttotal，Utotal分别是系统的动能、势能；Ftotal是 作用于系统的外力向量；q 为系统的广义坐标. 转子 － 叶片系统的动力学模型如图 4 所示， 转子模型设为各向同性的单轴 － 单盘 － 单跨形 式. 整体结构简化成集中质量模型，质量集中在刚 性圆盘处. 两端弹性支撑的刚度和阻尼系数分别 为 kx＝ ky和 cx＝ cy. cx＝2ξdmdkx/ md.3 式中md为转子质量；ξd为阻尼比. 图 4 转子 －叶片系统的动力学模型 Fig�� 4 Dynamic model of rotor-blade system 2�� 2 动力学建模 2�� 2�� 1 能量分析 1 转子刚性转子的动能、势能分别为 Td＝ 1 2 mḋx2＋̇y2，4 Ud＝ 1 2 kdx2＋ y2.5 式中kd表示转子系统刚度，kd＝ 2kx；x，y 和 ̇ x，̇y 分别为刚性圆盘的位移和速度. 2 叶片在转盘周向均匀分布着 Nb个叶片， 如图 5 所示图中只画 1 个. 当忽略叶片的剪切 形变时，其可简化成悬臂的欧拉 － 伯努利梁. 根据文献[17]知，当 Nb≥3 时，转盘 － 叶片 系统是一种循环对称结构，结构上第 k 个叶片的 动能为 Tbk＝∫ lb 0 1 2 mḃr2 pdx， 6 rp＝ [xd，yd，zd] T ＋ A[R ＋ x ＋ u，v，w] T. 7 式中xd，yd，zd为转盘在 xOy 坐标系中的位移 坐标；R 为半径；u，v，w为叶片在 xbO′yb坐标系 中的位移坐标，为研究方便，令 zd＝ 0，u ＝ 0，w ＝ 0；A 是从叶片局部坐标系 xbO′yb到系统全局坐 标系 xOy 的旋转变换矩阵，将叶片的响应从局部 坐标系转换到系统的全局坐标系中，即将叶片和 转子的响应统一起来. 图 5 转盘 －叶片系统的分析图 Fig�� 5 Analysis diagram of the disk-blade system A ＝ cosφk－ sinφk0 sinφkcosφk0 001 .8 其中φk＝ ωt ＋ k －12π/ Nb，ω 为转子转速. 因此， 第 k 个叶片的动能为 Tbk＝ 1 2 ρbAb∫ lb 0 ̇ x2 d ＋̇y2 d ＋̇v2＋ 2ωR ＋ xv ＋ R ＋ x2＋ ω2v2＋ 2̇yḋvcosφk ＋ 2ωcosφk[ －̇xdv ＋ R ＋ ẋyd] － 2̇xḋvsinφk － 2ωsinφk[̇ydv ＋ R ＋ ẋxd] dx . 9 式中lb为叶片长度；Ab＝ bb hb为横截面积，bb 与 hb分别为截面的宽度和厚度；ρb为密度；v ＝ vk 是第 k 个叶片的弯曲位移. 相应地，第 k 个叶片的势能包括弯曲势能、弯 曲轴向力应变能，具体为 Ubk＝ 1 2∫0 lb EIb d2v dx2 2 dx ＋ 1 4 ρbAbω2∫ 0 lb [2Rlb－ x ＋ l2 b － x2] dv dx 2 dx . 10 式中 Ib为截面惯性矩. 采用假设模态法分析叶片[18]，设叶片的弯曲 位移 v 的第 i 阶模态的振型函数为 Vix 5011第 8 期 曹焱博等 非光滑 NES 在转子 － 叶片系统振动抑制中的应用 Vix ＝ cosh λi lb x － cos λi lb x － coshλi＋ cosλi sinhλi＋ sinλi sinh λi lb x － sin λi lb x .11 式中 λi为振型函数特征方程的特征值. 第 k 个叶片的弯曲位移 vk可表示为 vk＝∑ Nbmod i ＝1 Vixqvk，i＝ Vqvk.12 式中Nbmod为模态阶数，取 Nbmod＝2；qvk是第 k 个 叶片的广义弯曲位移向量. 3 NSNESNSNES 附加于叶片尖部，Q 为 NES 质量块上任意一点，则第 k 个 NES 质量块的动能为 Tnk＝ 1 2 mṅr2 Q. 13 式中mn为 NES 质量；rQ＝ [xd，yd] T ＋ A[R ＋ lb－ l，v] T，l 为 NSNES 分段刚度梁的长度. NSNES 的刚度由线性刚度连接梁产生和 分段线性刚度分段刚度梁产生组成，所以首先 分析转子 － 叶片 － NSNES 连接梁系统. 称此连接 梁和 NES 质量块构成一个 I 结构，相应的第 k 个 I 结构的势能为 UIk＝ 1 2 kn1v2.14 式中v ＝ vk－ vnk，vnk为第 k 个 NES 质量块的 位移. 2�� 2�� 2 建立方程 转子 － 叶片 － I 结构系统的总动能和总势能 分别为 TrbL＝ Td＋∑ Nb k ＝1 Tbk＋∑ Nb k ＝1 Tnk，15 UrbL＝ Ud＋∑ Nb k ＝1 Ubk＋∑ Nb k ＝1 UIk.16 将式15和式16代入式2中，可有转子、 Nb个叶片和 Nb个 I 结构组成系统的动力学方程 MrbLqrbL＋ DrbL̇qrbL＋ KrbLqrbL＝ FrbL.17 式中MrbL为质量矩阵；令 DrbL＝ CrbL＋ GrbL为广义 阻尼矩阵，CrbL为阻尼矩阵，采用瑞利阻尼模型， GrbL为陀螺力矩矩阵；KrbL为刚度矩阵；qrbL＝ [qr， qb1，qL1，��，qbNb，qLNb] T，q r＝ [x，y] T 与 qbk＝ qvk＝ qvk1，��，qvkNbmod[]T分别为转盘和叶片尖端的广义 位移坐标，qLk＝ [vnk]. CrbL＝ αMrbL＋ βKrbL.18 式中 α 和 β 为比例系数 α ＝2 ξ2 ωrbL2 － ξ1 ωrbL1 1 ω2 rbL2 － 1 ω2 rbL1 ， β ＝2ξ2ωrbL2－ ξ1ωrbL1 / ω2 rbL2－ ω 2 rbL1. 式中ξ1和 ξ2为阻尼比系数；ωrbL1，ωrbL2为转子 － 叶片 － I 结构系统的前两阶固有频率. FrbL为作用于转子 － 叶片 － I 结构系统的力 向量 FrbL＝ F″ r＋ F′b. 19 F″r＝mrrω2cosωt，mrrω2sinωt， 0，��，0 } Nb Nbmod＋1 [ ]. 20 式中 mr与 r 分别为转子的偏心质量和偏心度. F′ b ＝∑ Nb k ＝1 F′ bk. 21 F′ bk＝ － ωcosφkmnlb＋ R ＋ Abρb∫ lb 0 R ＋ xdx － ωsinφkmnlb＋ R ＋ Abρb∫ lb 0 R ＋ xdx 0 ⋮ 0 . 22 将 knjj ＝2，3，4引入式17中，即为转子 － 叶片 － NSNES 系统的动力学建模. 设 NES 质量 块与各分段刚度梁间的间隙为 ejj ＝1， 2， 3，则 第 k 个 NSNES 的分段线性梁模型的作用力为 Fnk＝ 0，v e1； 2∑ 4 j ＝2 knjv－ ej－1sgnv－ ej－1， v≥ ej－1. 23 第 k 个 NSNES 的阻尼系数可表示为 cnk＝ 0， v e1； 2ξn2mn∑ 4 j ＝2 knj， v≥ ej－1. 24 式中ξn为图 2 梁模型的阻尼比，ξn取 0�� 02. 综合式23、式24和式17可有转子、Nb 个叶片和 Nb个 NSNES 耦合系统的动力学方程 Mrbnqrbn＋ Drbṅqrbn＋ Krbnqrbn＝ Frbn.25 式中，Frbn＝ FrbL＋ Fn， Fn＝ 0，0， － VT x ＝ lb－ lFn1，Fn1，��， [ － VT x ＝ lb－ lFnNb，FnNb] T. 2�� 2�� 3 模型验证 本文研究 NSNES 对转子 － 叶片系统稳态振 动的抑制，从两个方面验证转子 － 叶片 － NSNES 系统动力学模型的有效性 6011东北大学学报自然科学版 第 41 卷 1 文献[16]已从数值仿真和试验验证两方 面给出了 NSNES 抑制单自由度系统稳态振动的 有效性，所以 NSNES 的模型有效. 2 对转子 － 叶片 － NSNES 系统模型的验 证. 文献[11]用一个立方刚度 NES 抑制旋转叶片 的受迫振动，该文作者用拟 Hamilton 变分方程对 叶片 － NES 系统无转子进行动力学建模，NES 加在叶片的尖部. 该叶片 － NES 系统的动力学模 型和本文转子 － 叶片 － NSNES 系统的动力学模 型的差别在于本文增加了弹性支撑的转子系统， 并将叶片数增加到 4 个，更加复杂. 当把本文转子 系统的位移 xd和 yd都设为 0 时，可以看出，本文 的式15与文献[11]的式4将具有类似的内容 和形式，本文的式16与文献[11]的式1也将 具有类似的内容和形式. 即文献[11]叶片 － NES 系统与本文转子 － 叶片 － NSNES 系统的动能和 势能的差别就在转子系统处. 因此由文献[11]叶 片 － NES 系统动力学模型的有效性即可得本文 转子 － 叶片 － NSNES 系统动力学模型的有效性. 3 数值分析 3�� 1 参数设定 设转 子 系 统 的 弹 性 模 量 和 密 度 分 别 为 2�� 1 1011Pa和 7 850 kg/ m3. 其他参数见表 1. 表 1 转子仿真参数 Table 1 Simulation parameters of rotor 参数数值参数数值 md/ kg8R/ mm80 kx，ky/ N m －1 8 105 ξd0�� 08 mr/ kg0�� 015r/ mm60 叶片仿真参数见表 2. 表 2 叶片仿真参数 Table 2 Simulation parameters of blade 参数数值参数数值 Nb4ρb/ kg m －3 7 850 lb/ mm300ξn0�� 02 bb/ mm90hb/ mm9 NSNES 的参数设定如图 2 所示 hj＝2 mm， lj＝ 35 mm，j ＝ 1，2，3，4，连接梁宽度 b1＝ 0�� 5 mm，分段刚度梁宽度 b2＝ 3�� 62 mm，b3＝ 9�� 73 mm，b4＝18�� 91 mm；NES 质量 mn＝0�� 07 kg. NES 质量块与分段刚度梁的间隙设定不同的值 e1＝ 0�� 1 mm，e2＝ 0�� 2 mm，e3＝ 0�� 3 mm，称此 NSNES 为 NES1； e1＝ 0�� 2，e2＝ 0�� 4 和 e3＝ 0�� 6， 称此 NSNES 为 NES2. NES1 和 NES2 的分段线 性刚度曲线如图 6 所示. 图 6 NES1 与 NES2 的分段线性刚度曲线 Fig�� 6 Piecewise linear stiffness curves of NES1 and NES2 aNES1； bNES2. 3�� 2 稳态响应减振分析 3�� 2�� 1 抑制转子振动 附加两种 NSNES 前后转子系统的共振峰值 分别为 0�� 94，0�� 31 和 0�� 42 mm. 由图 7 知，NES1 与 NES2 的抑振率分别达到 68％ 和 55％ . 图 8a 和图 8b 分别对应于图 7a 和图 7b 中 ω ＝276 rad/ s时的时域响应曲线. 在两图中都出 现了拍振现象，即可证明在以上的两个耦合系统 的共振区内都发生了强调制响应SMR行为. 但 转子 － 叶片 － NES2 系统的 SMR 较弱. 7011第 8 期 曹焱博等 非光滑 NES 在转子 － 叶片系统振动抑制中的应用 图 7 添加 NSNES 后转子的幅频响应曲线 Fig�� 7 Amplitude-frequency response curves of the rotor after adding the NSNES a加 NES1； b加 NES2. 图 8 在 276 rad/ s 时转子的时域响应曲线 Fig�� 8 Time domain response curves of the rotor at 276 rad/ s a加 NES1； b加 NES2. 3�� 2�� 2 抑制叶片振动 叶片在附加两种 NSNES 前后的共振峰值分 别为 0�� 58，0�� 22 和 0�� 36 mm. 由图 9 知，NES1 与 NES2 的抑振率分别达到 62％ 和 38％ . 图 10 是添加 NES1 和 NES2 后，叶片在 ω ＝ 276 rad/ s 时的时域响应曲线. 图 9 添加 NSNES 后叶片的幅频响应曲线 Fig�� 9 Amplitude-frequency response curves of the blade after adding the NSNES a加 NES1； b加 NES2. 图 10 在 276 rad/ s 时叶片的时域响应曲线 Fig�� 10 Time domain response curves of the blade at 276 rad/ s a加 NES1； b加 NES2. 8011东北大学学报自然科学版 第 41 卷 3�� 3 抑振能力对比 重新设计 2�� 2 节 I 结构中连接梁的宽度，就 形成一个 LDVA，如图 11 所示，目的是与上文的 NSNES 的 抑 振 能 力 进 行 对 比. 该 LDVA 与 NSNES 加在叶片的同一位置，转子 － 叶片 － LDVA 系统的动力学建模类似于上文的转子 － 叶 片 － I 结构系统. 图 11 LDVA 的结构示意图 Fig�� 11 Schematic diagram of LDVA aLDVA 模型； b刚度梁结构示意图. 设 LDVA 的 吸 振 器 质 量 mD等 于 mn 0�� 07 kg，并且刚度梁的长度 lD、厚度 hD和宽度 bD分别设为 35，2 和 1�� 2 mm. 对转子 － 叶片 － LDVA 系统进行稳态减振分 析，然后分别将该系统中转子和叶片的幅频响应 曲线与图 7 和图 9 进行对比，如图 12 所示. 在图 12a 中，添加 LDVA 后转子响应曲线的 反共振点有微小的向左移动ω 减小的方向，这 是由于附加 LDVA 后系统质量增大的原因；而图 12b 中，叶片响应曲线的反共振点有稍大的向右 移动，郭虎伦等[11]的研究结论是，转速的增大使 叶片产生了少许的动力刚化，致使叶片的固有频 率增加，反共振点向右移动. 可以看到，附加于叶片尖部的 LDVA 也能抑 制转子 － 叶片系统中转子和叶片的振动. 但从整 个转速范围来看， LDVA 的抑振能力稍弱于 NSNES. 图 12 抑振能力对比 Fig�� 12 Comparison of vibration suppression capability a转子； b叶片. 4 结 论 1 安装于叶片尖部的 NSNES 可以分别抑制 转子 － 叶片系统中转子和叶片的稳态共振. 2 适当减小分段线性梁的配合间隙，可以使 NSNES 具有较好的抑振能力. 3 在给定参数下，相同质量的 NSNES 比 LDVA 具有更好的抑振能力. 参考文献 [ 1 ] Doubrawa Filho F J，Luersen M A， Bavastri C A. 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