一种新型分数阶Tikhonov正则化载荷重构技术及应用.pdf

第3 8 卷第6 期 振动与冲击 J O U R N A LO FV I B R A T I O NA N DS H O C K 一种新型分数阶T i k h o n o v 正则化载荷重构技术及应用 王能建1 ，任春平1 ，刘春生2 1 ．哈尔滨工程大学机电工程学院，哈尔滨1 5 0 0 0 1 ；2 ．黑龙江科技大学，哈尔滨1 5 0 0 2 2 摘要针对整数阶T i k h o n o v 正则化载荷重构技术存在病态性和对噪声敏感等不足，提出一种新型分数阶T i k h o n o v 正则化技术，将处理反问题的过程转化为一类无约束优化问题，并采用超记忆梯度法求解目标函数。通过工程应用 算例验证所提出技术的实用性和稳定性，为解决工程应用中的反问题提供了一种新的有效方法。 关键词反问题；病态性；载荷重构；新型分数阶T i k h o n o v 正则化；超记忆梯度法 中图分类号T D 4 2 1文献标志码A D O I 1 0 ．1 3 4 6 5 ／j ．c n k i ．j V S ．2 0 1 9 ．0 6 ．0 1 8 N o v e lf r a c t i o n a lo r d e rT i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nl o a dr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u ea n di t sa p p l i c a t i o n W A N GN e n g f i a n l ，R E NC h u n p i n 9 1 ，ⅡUC h u n s h e n 9 2 i ．C o l l e g eo fM e c h a n i c a la n dE l e c t r i c a lE n g i n e e r i n g ，H a r b i nE n g i n e e r i n gU n i v e r s i t y ，H a r b i n1 5 0 0 0 1 ，C h i n a ； 2 ．H e i l o n g j i a n gU n i v e r s i t yo fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y ，H a r b i n1 5 0 0 2 2 ，C h i n a A b s t r a c t An o v e lf r a c t i o n a lo r d e rT i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nt e c h n i q u ew a sp r o p o s e dt od e a lw i t ht h ei l l p o s e da n d s e n s i t i v et on o i s ep r o p e r t i e so ft h ei n t e g e ro r d e rT i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nl o a dr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e ．T h ei n v e r s ep r o b l e m w a st r a n s f o r m e di n t oa nu n c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e m ，a n dt h eo b j e c t i v ef u n c t i o nw a ss o l v e db yu s i n gt h es u p e r m e m o r yg r a d i e n tm e t h o d ．T h ep r a c t i c a b i l i t ya n ds t a b i l i t yo ft h ep r o p o s e dt e c h n i q u ew e r ev e r i f i e d v i aa ne n g i n e e r i n g e x a m p l e ，w h i c hp r o v i d e san e wa n de f f e c t i v em e t h o df o rs o l v i n gi n v e r s ep r o b l e m si ne n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s ． K e yw o r d s i n v e r s ep r o b l e m ；i l l - p o s e d ；l o a dr e c o n s t r u c t i o n ；n o v e lf r a c t i o n a lo r d e rT i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n ；s u p e r m e m o r yg r a d i e n tm e t h o d 反问题广泛存在于国防军事、航空、航海、矿山冶 金及机械工程等领域。实际工程应用中，如载荷重构、 系统参数识别等都属于反问题范畴qJ 。但在处理反 问题的过程中由于系统或参数矩阵存在病态性，导致 很难得到准确解。因此，探寻一种稳定求解反问题方 法是国内外学者不断探索的重要课题，尽管许多学者 作出了重要的贡献，但目前还没有完全成熟的理论研 究技术。 整数阶T i k h o n o v 正则化重构技术，作为处理反问 题的一种间接手段，被许多学者所探究旧1 。C h o i 等H ‘5 1 研究整数阶T i k h o n o v 正则化方法，分析响应数 据中噪声对重构结果的影响。郭荣等M 1 结合了整数阶 T i k h o n o v 正则化与奇异值分解的方法，改善了结构随 机载荷重构精度。张磊等“ o 研究了总体最d x - - 乘整数 阶T i k h o n o v 正则化技术对载荷重构的影响。常晓通 基金项目国家自然科学基金 5 1 6 7 4 1 0 6 收稿日期2 0 1 7 1 0 1 7 修改稿收到日期2 0 1 8 0 4 0 9 第一作者王能建男，博士，教授，1 9 6 2 年生 通信作者任春平男，博士生，1 9 8 7 年生 等旧。探究了基于G r e e n 函数的整数阶T i k h o n o v 正则化 载荷重构方法。孙兴盛等一1 结合矩阵摄动与整数阶 T i k h o n o v 正则化方法对随机结构进行了动态载荷重构 研究。彭凡等叫采用截断奇异值分解T i k h o n o v 正则 化方法，对结构冲击载荷进行了重构研究。虽然整数 阶T i k h o n o v 正则化重构技术已被许多专家学者研究讨 论并得到了很多有价值的结论，但是其仍然存在着某 些技术难点与不足，尤其是在工程实际应用领域，该重 构技术目前国内还没有得到成熟的应用。 王能建等⋯1 提出了路径规划与整数阶T i k h o n o v 正则化相结合的算法，并应用到了甲板上舰载机牵引 系统参数重构中。刘春生等2o 将整数阶T i k h o n o v 正 则化技术应用到截割煤岩随机载荷重构中，验证了算 法的可行性，但重构的精度不够理想。L i u 等纠将整 数阶T i k h o n o v 正则化技术与小波变换相结合，应用到 矿山机械中，解决了该领域的许多重要问题。刘春生 等4 1 中已经提到过关于分数阶微积分理论与正则化技 术相结合的分数阶正则化技术在矿山机械领域的应 用，这将会是未来重要的研究课题方向。然而，目前国 万方数据 1 2 2 振动与冲击2 0 1 9 年第3 8 卷 内关于分数阶正则化技术研究报道较少，且其具体工 程应用还不够成熟和完善。 本文在以前研究工作基础上，针对上述重构技术 在实际工程应用过程中所存在的不足，如系数矩阵病 态性、抗噪弱、正则解平滑等问题，提出一种新型分数 阶T i k h o n o v 正则化载荷重构技术，其方法的技术路线 为将动载荷在时域表示为一系列核函数的叠加，并且 结构 系统 的测量响应表示为输入载荷和核函数响应 之间的卷积分形式，由于核函数响应矩阵的病态性和 具有噪声污染的测量响应，通过离散可以将卷积方程 转化为线性方程组形式，对其进行反求。然后利用本 文提出的技术方法将反求过程转化为一类无约束优化 问题，并采用超记忆梯度法求解目标函数，最终获得与 真实载荷在精度上相匹配的识别载荷。 所提出的技术与以前的研究工作相比具有重要的 改进意义。①所提出的技术能够克服病态问题的不适 定性；②将处理反问题的过程转化为无约束的优化问 题，采用超记忆梯度法处理目标函数，提高求解速度； ③所提出的技术方法不需要任何关于载荷重构模型的 先验信息；④通过工程应用例子，验证了所提出技术的 实用性和稳定性。 本文的结构具体安排如下第一部分，载荷重构模 型的描述；第二部分，一种新型分数阶T i k h o n o v 正则化 载荷重构技术被提出；第三部分，所提出技术在截齿截割 煤岩载荷重构中的应用；第四部分，重要的结论被给出。 1 模型描述 动态载荷识别问题是结构动力学中一类重要的反 问题，在实际工程问题中，外部动态载荷信息在结构 系统 动力学分析、健康监测、强度环境校核等领域扮 演着非常重要的角色。然而在很多情况下，由于经济成 本或者复杂环境等原因，直接测量工程结构所受动态载 荷往往非常困难甚至是不可能的。然而，结构响应往往 比较容易获得，根据时域方法理论建立系统的载荷识别 模型，通过核函数方法建立正问题方程，将动载荷利用一 系列核函数相叠加的方式表示，结构的测量响应就可表 示为输入载荷和核函数响应之间的卷积分形式，即其模 型可用第一类弗雷德霍姆 F r e d h o l m 方程表示副 ，b Ih t 一丁 。 丁 d r Y ￡ 1 J d 式中z t 为载荷；Y t 为测量结构响应；h t 一丁 为 核函数，且危 ￡一丁 些掣。 1 rLB 一丁， 测量结构响应Y t 为含有噪声e t 的测量值，其 可用下述表达式 ％ t Y ￡ e ￡ 因此，式 I 可用式 2 代替 Jh ￡一7 ． 。 r d r Y 5 t 2 基于矩形公式，对式 3 进行离散化处理 ∑ t 。一T i z r 。 △r Y 8 f 。 3 令Y 8 ． Y 6 t t ；气 z 7 - i ；h t 一。 h t 一下； 。z 1 ， z 2 ，⋯，彳川，z 。 ’；y 6 y 6 ．I ，Y 6 ．2 ⋯，Y 跏一l ，y 跏 ’；A 。 一i 。。。。 其中，当y ≠i 时 口。一。 。一i △丁 曼尘j 铲 当k i 时 n ㈦h k - iA T 半，f 为核函数因子，所以，式 3 可表示如下 A Z K 4 模型式 4 表明结构 系统 所受的动载荷是通过 其测量响应和结构的特性来识别的。但是，载荷识别 问题作为结构 系统 动力学的第2 类逆问题，其具有 不适定性，因此找到一个准确解实际上是比较困难的， 在科学和工程领域中许多逆问题都具有第一类或者第 二类积分方程的形式，由于系统条件数较大的原因，直 接基于最小二乘法的经典数值算法是无效的。因此， 需要应用特定的正则化技术到实际工程应用中。 2 新型分数阶T i k h o n o v 正则化技术 国内外学者虽然研究不同形式正则化技术，处理 该类问题，但对于不同的重构对象其正则解各不相同， 尚未有统一的理论研究技术。据此，为了提高重构模 型解的稳定性，本文在以前的研究工作基础上，提出了 一种新的分数阶T i k h o n o v 正则化载荷重构技术来处理 此类存在的不足和问题。 2 ．1 新型分数阶T i k h o n o v 正则化 首先，对式 4 中的矩阵A 进行奇异值分解可得 A U ．∑V T ∑U i o r 。∥ 5 式中U u 。，M ，⋯，u 。 和V 口，，秽，⋯，％ 分别为 由左奇异向量和右奇异向量构成的列正交矩阵。并且 三为矩阵A 的奇异值所构造的对角矩阵，三 d i a g o r l ，盯2 ，⋯，o r 。 ，且o r l ≥o r 2 ≥⋯．- - o r 。I 0 。 新型分数阶T i k h o n o v 正则化载荷重构技术方法为 将处理反问题的思想转化为无约束的优化问题，其具 体目标函数表达式描述如下 m i nJ Z { I IA z L | | ； A 2 | | L K | | ；} 6 式中I | K 雌 y T s Y s ；S A A ’ ㈤。1 y 2 ；仅为分数的 阶次，且a ∈ 0 ，1 ] ；A 为正则参数；正则化矩阵 L N v T ． 万方数据 第6 期 王能建等一种新型分数阶T i k h o n o v 正则化载荷重构技术及应用 『一{ A 21 2 ，o }] Ⅳ lm a x { A 2 一盯；，o } L m a x { A 2 一盯2 。，0 } J 新型分数阶T i k h o n o v 正则化载荷重构技术对应的 分数阶滤波因子表达式为 ，r 1 p 盯i - b 7 盯￡ 十 其渐进性可被描述如下 一a I 妒 盯i 兰} o 矿2 i ”2 盯i ，o 妒 盯i 1 O t r , - ”1 盯i _ 。C 从分数阶滤波因子渐进性描述可知，分数阶 T i k h o n o v 正则化滤波因子与整数阶T i k h o n o v 正则化相 比，收敛性相对慢，即其能够克服正则解的过度光滑性。 2 ．2 正则参数的选取 L ．曲线判别法一种经典的选取正则化参数的有效 方法。对于一系列正则化参数值，用如下表达式进行 描述刮 1 9 } | A Z KI I ，l g | I 匕I I 8 式中l IA Z KI l ，I lkI I 分别为残差范数和正则 解范数。通常情况下，最优的正则化参数在L 一曲线的 拐角处。当选取的正则化参数值比拐角处的值大时， 残差范数迅速增加而正则解范数只是很缓慢地减小； 当选取的正则化参数值比拐角处的值小时，正则解范 数迅速增加而残差范数却很缓慢地减小。因此，选取 L ．曲线拐角处的正则化参数可以很好地平衡残差范数 和正则解范数。在实际应用中，通常只选取曲线拐角 处几个点进行计算，即可确定最优的正则化参数值。 2 ．3 目标函数的求解 式 6 是一类无约束的优化问题，其目标函数的求 解有许多优化算法。本文采用超记忆梯度法，其方法 描述如下 Z l Z 々 d 女h 女 9 式中h 。为搜索方向 危t { 二’ 卢。危。一，，雪主 式中g 。为J Z 。 在Z 。点的梯度，g 。 V J Z 。 ； 1 0 成为 梯度参数。d 。为步长，本文采用由修正的非单调线搜 索来确定 八Z k d k h ≤C t 盯“ g T 7 | | g | | 2 1 1 式中盯∈ 。，丢 ；刚0 ，1 ∈[ 0 ，_ 鲁 o ，C o J Z o { P 叼 Q 女C ‘ J Z 1 L 。1 一 Q l 式中髋Q o ，l 棚川孙∈[ ‰‰] 0 ≤‰。≤ 叼。。≤1 。 算法步骤如下 步骤1 初始点Z 。∈R “，盯∈ o ，了1 ，卢∈ o ，1 ，y 0 ，占1 0 ，令k 0 。 步骤2 计算g 。，若I Ig 。I I ≤s ，则终止。 步骤3 根据式 1 0 计算搜索方向。 步骤4 根据式 1 1 确定步长d 。。 步骤5 若满足式 9 ，则停止；如不满足，则返回步 骤l 。 2 ．4 定量评价指标 为了深入定量地评价所提出技术的载荷重构精 度，采用均方根误差 R o o tM e a nS q u a r eE r r o r ，R M S E 公 式，其R M S E 定义如下所示 厂] r 一 R M S E ．1 ／N ∑[ z 扩Z 。u a l ] 2 1 2 式中z 。。d 为实测载荷；Z 蒯为重构载荷。 3工程应用 镐型截齿截割破碎煤岩试验是在旋转截割煤岩试 验振动系统进行的Ⅲ1 ，如图1 所示。截割电动机经减 速器和转速转矩仪驱动截割臂旋转，采用变频调速方 法调节截割臂转速，截割试验台的进给运动通过液压 缸实现，经速度传感器反馈，可自动和手动调速。截齿 的载荷测试系统由测力装置、压力传感器、信号放大器 和D a s pv 1 0 智能数据采集和信号处理系统等组成，在 旋转截割过程中，截齿所受到的载荷，通过截齿轴向、 侧向以及与截齿轴线垂直布置的五个压力传感器的变 形量转换为电信号，经多路滑环将信号传人D a s pv l O 智能数据采集和信号处理系统。 图1试验振动系统 F i g ．I V i b r a t i o nt e s ts y s t e m 图2 所示的单齿试验载荷是在截齿安装角为4 0 。， 煤岩截割阻抗1 8 0k N ／m ，最大切削厚度2 0m m ，截割臂 转速为4 1r ／m i n ，牵引速度为0 ．8 2m ／m i n 的试验条件 下测试得到。 同时也采集到该试验条件下的位移响应信号，如 图3 所示。然后根据位移响应信号，利用提出的正则 化技术来进行载荷识别研究。 万方数据 振动与冲击2 0 1 9 年第3 8 卷 萋 星 趟 图2 试验振动载荷 F i g ．2 T e s tv i b r a t i o nl o a d 图3 位移响应 F i g ．3D i s p l a c e m e n tr e s p o n s e 3 ．1 正则参数A 的影响 所有代码均写在M A T L A B7 和运行在H P 与2G B 的R A M 和W i n d o w s7 操作系统。参数设定如下分数 阶次O t 0 ．6 ，核函数因子孝 1 。 本文利用提出的一种新型T i k h o n o v 正则化技术来 处理在重构过程中出现的病态性、噪声干扰过强、正则 解过度平滑等问题。以此确定所提出新技术的工程实 践应用性及通用性。然而，关键的问题是如何选择适 当的正则化参数以获得最优解。首先，根据L ．曲线准 藿 则，我们给出了L - 曲线的示意图，如图4 所示。从图4 可以清晰地看出，当正则参数较小时，正则解的范数极 其大，而相应的残差解的范数非常小，我们可以推测是 由于测量误差导致的。然而，当正则参数较大时，正则 解的范数极其小，而相应的残差解的范数非常大。 L - 曲线的拐角暗示着过度，它表示的是一种折衷对于 残差解和正则解的范数。对分数阶正则化方法中正则化 参数的选择不能完全保证适用于所有的不适定性系统。 然而，许多例子表明L - 曲线准则是一个强大的方法在确定 正则化参数方面，适用许多重大的工程和数学问题。 疑 张 堪 ， 良 心 图4L 一曲线准则 F i g ．4 L c H iv ec r i t e r i o n 为了进一步探讨正则参数L ．曲线对数值例子的影 响，从而确定最优的正则参数通过L 一曲线。根据L ．曲 线准则，从图4 上选取不同的正则参数值来重构截割 煤岩随机载荷，重构结果如图5 所示。图5 a 表明载 荷重构结果极其不理想归因于较大的正则参数。然 而，我们从图5 d 和图5 e 发现，即使正则参数较小 超出一定的范围 ，载荷重构结果仍然脱离测量载荷。 我们从图5 b 和图5 C 可知，重构结果相对理想。 藿 图5 不同正则参数的重构曲线 F i g ．5 T h er e c o n s t r u c t i o nc u r v eo fd i f f e r e n tr e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r 万方数据 第6 期 王能建等一种新型分数阶T i k h o n o v 正则化载荷重构技术及应用 为了进一步地定量评价不同正则参数对重构效果 的影响，给出了R M S E 值随正则参数的变化，如表1 所 示。从表1 中的R M S E 值可以清楚地判断出，看到L 一 曲线拐角处的正则参数值给出的重构结果，和其他参 数相比，拐角处的重构效果较为理想。最佳的正则参 数值在L 一曲线拐角处，即在试验范围内，最优正则参数 值为入 1 0 ～。 表1 , 3 口l J l 参数对载荷重构的影响 T a b ．1T h ee f f e c to fr e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e rt ol o a dr e c o n s t r u c t i o n 3 ．2 核函数因子，c 的影响 核函数因子孝的变化直接影响载荷重构的效果， 研究理想亭的值至关重要。参数设置如下O L 0 ．6 ， A 1 0 ～，f 取整数值，分别给定为1 ，1 0 ，2 0 ，3 0 ，4 0 ，5 0 ， 6 0 ，7 0 ，8 0 ，1 0 0 。重构结果如图6 所示。从图6 可以看 出，随着孝值得不断增大，重构载荷明显偏离实验载 荷。为了进一步地定量评价不同核函数因子对重构效 果的影响，给出了R M S E 值随核函数因子的变化，如表 2 所示。从表2 中的R M S E 值可以清楚地判断出， R M S E 随核函数因子的增大而增加。因此，建议采取f 值为1 比较理想。 图6 不同核函数因子的重构曲线 F i g ．6 T h er e c o n s t r u c t i o ncurveo fd i f f e r e n tk e r n e lf u n c t i o nf a c t o r 表2 核函数因子对载荷重构的影响 T a b ．2T h ee f f e c to fk e r n e lf u n c t i o nf a c t o rt ol o a dr e c o n s t r n c t i o n 3 ．3 分数阶次d 的影响 为了深入讨论分数阶次对载荷重构结果的影响， 从而确定最优的阶次值或阶次区间。其参数设定如 下A 1 0 ～，f l 。而阶次O t 分别给定为0 ．1 ，0 ．2 ， 0 ．3 ，0 ．4 ，o ．5 ，0 ．6 ，0 ．7 ，0 ．8 ，0 ．9 ，1 ．0 。通过结合分数 阶T i k h o n o v 正则化及L 一曲线给出其重构结果，如图7 所示。从图7 可以看出，随着分数阶次的增大，载荷虽 然都能够被重构出来，但重构的效果却不尽相同。 为了进一步地定量评价不同分数阶次对重构效果 的影响，给出R M S E 值随分数阶次的变化，如表3 所 示。从表3 中的R M S E 值可以清楚地判断出随着分数 阶次的增大，R M S E 值呈先减小后增大的趋势，存在着 最小的R M S E ，即存在最优的分数阶次a 0 ．6 综合上 述分析，当正则参数A 1 0 ～，核函数因子亭 1 时， 存在最优分数阶次值0 [ 0 ．6 ，此时载荷重构相对较为 理想。 万方数据 1 2 6 振动与冲击 2 0 1 9 年第3 8 卷 图7 不同分数阶次的重构曲线 F i g ．7 T h er e c o n s t r u c t i o nC H I V eo fd i f f e r e n tf r a c t i o n a lo r d e r 表3 分数阶次对载荷重构的影响 T a b ．3T h ee f f e c to ff r a c t i o n a lo r d e rt ol o a dr e c o n s t r u c t i o n 4 结论 由于载荷重构问题往往存在病态性和对噪声敏感 等不足，本文提出了一种新型分数阶T i k h o n o v 正则化 载荷重构技术，并把重构结果与整数阶T i k h o n o v 正则 化的结果进行比较研究，工程应用算例表明本文提出 的方法在动载荷识别方面具有更强的抗噪性和鲁棒 性，为解决工程应用中的反问题提供了一种新的有效 方法。 参考文献 [ 1 ] J A N GTS ，S U N GHG ，H A NSL ，e ta 1 ．I n v e r s e d e t e r m i n a t i o no ft h el o a d i n gs o u r c eo ft h ei n f i n i t eb e a mo n e l a s t i cf o u n d a t i o n 『J1 ．J o u r n a lo fM e c h a n i c a lS c i e n c e T e c h n o l o g y ，2 0 0 8 ，2 2 1 2 2 3 5 0 2 3 5 6 ． [ 2 ] 邱飞力，张立民，张卫华．T i k h o n o v 方法在不适定模型修 正中的应用[ J ] ．振动与冲击，2 0 1 5 ，3 4 1 2 1 2 1 1 2 6 ． Q I UF e i l i ，Z H A N GL i m i n ，Z H A N GW e i h u a ．P a r a m e t e r s u p d a t i n go fs i m u l a t i o n m o d e l sw i t hi l l p o s e dc h a r a c t e r i s t i c s [ J ] ．J o u r n a lo f V i b r a t i o na n dS h o c k ，2 0 1 5 ，3 4 1 2 1 2 1 1 2 6 ． [ 3 ] 徐锋．动载荷识别若干前沿理论及应用研究[ D ] ．南京 南京航空航天大学，2 0 0 1 ． [ 4 ] C H O IHG ，T H I T EAN ，T H O M P S O NDJ ．C o m p a r i s o no f m e t h o d sf o rp a r a m e t e rs e l e c t i o ni nT i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n w i t ha p p l i c a t i o nt oi n v e r s ef o r c ed e t e r m i n a t i o n [ J ] ．J o u r n a lo f S o u n da n dV i b r a t i o n 。2 0 0 7 ，3 0 4 3 ／4 ／5 8 9 4 9 1 7 ． [ 5 ] T H I T EAN ，T H O M P S O NDJ ．T h eq u a n t i f i c a t i o n o f s t r u c t u r eb o r n et r a n s m i s s i o np a t h sb yi n v e r s em e t h o d s [ J ] ． J o u r n a lo fS o u n da n dV i b r a t i o n ，2 0 0 3 ，2 6 4 3 4 1 1 4 5 1 ． [ 6 ] 郭荣，房怀庆，裘剡，等．基于T i k h o n o v 正则化及奇异值 分解的载荷识别方法[ J ] ．振动与冲击，2 0 1 4 ，3 3 6 5 3 5 8 ． G U OR o n g ，F A N GH u a i q i n g ，Q I US h a n ，e ta 1 ．h a d i d e n t i 6 c a t i o nm e t h o db a s e do nt h ec o m b i n a t i o no fT i k h o n o v r e g u l a r i z a t i o na n ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n [ J ] ．J o u r n a l o fV i b r a t i o na n dS h o c k ，2 0 1 4 ，3 3 6 5 3 5 8 ． [ 7 ] 张磊，曹越云，杨自春，等．总体最小二乘正则化算法的 载荷识别[ J ] ．振动与冲击，2 0 1 4 ，3 3 9 1 5 9 1 6 4 ． Z H A N GL e i ，C A OY u e y u n ，Y A N GZ i c h u n ，e ta 1 ．1o a d i d e n t i f i c a t i o nu s i n gC G - 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