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4.1齐次方程组4.2非齐次方程组,第4章线性方程组,4.1齐次线性方程组,设有齐次线性方程组,该方程组写成向量方程形式为,(1),一、齐次线性方程组解的性质,称为方程组1的解向量。,方程组的任一解,其中,关于齐次线性方程组解有如下性质,证明,(2)若为的解,为实数,则也是的解.,证明,由以上两个性质可知,如果把方程组的全体解向量所组成的集合记作S,则S对向量的加法和乘数运算是封闭的。,证毕.,结论齐次线性方程组Ax0的解的全体是一个向量空间(记为S,称S为该方程组的解空间),上式称为方程组(1)的通解表达式。,解空间的基S0称为该齐次线性方程组的基础解系。,如果能够求得S的一个基S0,则S的任意元素(方程组的解)都可由该基线性表示。,1.基础解系的另一定义,二、基础解系及其求法,2.线性方程组基础解系的求法,设齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r,并不妨设的前个列向量线性无关.,于是可化为,现对自由变量依次取,得到方程组的解的一般表达式,考虑方程组的如下个解,这实际是当取下列组数,依次得,从而求得原方程组的个解,下面说明就是齐次线性方程组的一个基础解系.,由于维向量,线性无关,,所以个维向量亦线性无关.,定理1,2方程组的基础解系一般不是唯一的。,注,例1解线性方程组,解,对系数矩阵施行初等行变换,即方程组有无穷多解,,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,实际上,方程组的通解可以通过如下写法更简单的写出,例2,证,这说明矩阵B的l个列都是方程Ax0的解。,,,,例3,证,
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