轴以扭转为主要变形的构件如机器中的传动轴.ppt

1,扭转,,,,第九章扭转,9-1引言轴以扭转为主要变形的构件。如机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。扭转角（）任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（）直角的改变量。,2,扭转,,,,一、传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系,其中P功率，千瓦（kW）n转速，转/分（rpm）,其中P功率，马力（PS）n转速，转/分（rpm）,1PS735.5Nm/s，1kW1.36PS,9-2扭矩与扭矩图,3,3扭矩的符号规定“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。,扭转,,,,二、扭矩与扭矩图1扭矩构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2截面法求扭矩,4,扭转,,,,4扭矩图表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。,目的,,,,,,,,,,,,,,,x,T,,m,5,扭转,,,,[例1]已知一传动轴，n300r/min，主动轮输入P1500kW，从动轮输出P2150kW，P3150kW，P4200kW，试绘制扭矩图。,解①计算外力偶矩,6,扭转,,,,②求扭矩（扭矩按正方向设）,,x,7,扭转,,,,③绘制扭矩图,BC段为危险截面。,,,x,T,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4.78,9.56,6.37,,8,扭转,,,,9-3剪应力互等定理与剪切胡克定律,一、实验,1.实验前,①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。,9,扭转,,,,2.实验后,①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。,3.结论①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。②各纵向线均倾斜了同一微小角度。③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,10,扭转,,,,①无正应力②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,4.与的关系,微小矩形单元体如图所示,小变形假设前提下，cosφ≈cosγ≈1,因此，有,11,扭转,,,,二、薄壁圆筒剪应力大小,,A0平均半径所作圆的面积。,注在t≤r0/10的前提下，本公式误差不超过4.53。,12,扭转,,,,三、剪应力互等定理,,上式称为剪应力互等定理。该定理表明在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,13,扭转,,,,四、剪切胡克定律,,单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,14,扭转,,,,式中G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。,弹性模量、剪切弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）,可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,剪切胡克定律当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp，剪应力与剪应变成正比关系。,15,扭转,,,,9-4圆轴扭转时横截面的应力,等直圆杆横截面应力,①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面,1.横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。,一、等直圆杆扭转实验观察,16,扭转,,,,17,扭转,,,,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力,1.变形几何关系,距圆心为任一点处的与该点到圆心的距离成正比。,扭转角沿长度方向变化率。,18,扭转,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,T,2.物理关系,虎克定律代入上式得,19,扭转,,,,3.静力学关系,令,代入物理关系式得,20,扭转,,,,横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。,4.公式讨论①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。,②式中T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。Ip截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,单位mm4，m4。,21,扭转,,,,③应力分布,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,T,t,max,,,,,,,,,,,,,,,,,,,t,max,t,max,,T,,（实心截面）,（空心截面）,,工程上采用空心截面构件提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。,,22,扭转,,,,④确定最大剪应力,WP抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位mm3或m3。,23,扭转,,,,一、对于实心圆截面,,,,,,,D,,,,d,O,9-5极惯性矩与抗扭截面系数,24,扭转,,,,二、对于空心圆截面,,,O,,,,d,三、对于薄壁圆截面原理同上，参见教材p178.,25,扭转,,,,强度条件,对于等截面圆轴,[]称为许用剪应力。,强度计算三方面,①校核强度,②设计截面尺寸,③计算许可载荷,9-6圆轴扭转破坏与强度条件,26,试验表明，塑性材料的扭转破坏，通常是沿横截面断裂；脆性材料则多沿与轴线成45。角断裂，且断裂前不像塑性材料有较为明显的屈服。设计扭转轴一要尽量设计为空心，以充分利用材料，但过薄又容易引起其他破坏。二要尽量避免截面尺寸的急剧变化，以避免应力集中。,27,,,扭转,,,,[例2]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力[]30MPa,试校核其强度。,,T,,m,解①求扭矩及扭矩图,②计算并校核剪应力强度,③此轴满足强度要求。,x,,,28,扭转,,,,9-7圆轴扭转时的变形和刚度计算,一、扭转时的变形,由公式,知长为l一段杆两截面间相对扭转角为,29,扭转,,,,二、单位长度扭转角,或,三、刚度条件,或,GIp反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。,[]称为许用单位长度扭转角。,30,扭转,,,,刚度计算的三方面,①校核刚度,②设计截面尺寸,③计算许可载荷,有时，还可依据此条件进行选材。,31,扭转,,,,[例3]长为L2m的圆杆受均布力偶m20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为0.8，G80GPa，许用剪应力[]30MPa，试设计杆的外径；若[]2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,,,解①设计杆的外径,32,,扭转,,,,,,40Nm,,x,,,T,代入数值得,D0.0226m。,②由扭转刚度条件校核刚度,33,,扭转,,,,,,,40Nm,x,,,T,③右端面转角为,34,[例4]某传动轴设计要求转速n500r/min，输入功率N1500马力，输出功率分别N2200马力及N3300马力，已知G80GPa，[]70MPa，[]1/m，试确定①AB段直径d1和BC段直径d2②若全轴选同一直径，应为多少③主动轮与从动轮如何安排合理,扭转,,,,解①图示状态下,扭矩如图，由强度条件得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,T,x,–7.024,–4.21,kNm,35,扭转,,,,由刚度条件得,,,,,T,x,–7.024,–4.21,kNm,36,扭转,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,综上,②全轴选同一直径时,37,扭转,,,,,,,,,,,,,,,,,,③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才为75mm。,,,,,T,x,–4.21,kNm,2.814,38,扭转,,,,[例5]图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为D60mm，小端直径为d40mm，材料的许用应力为，试校核该轴的强度。解1．内力分析画扭矩图如图所示。,,39,扭转,,,,2．应力分析及强度条件,故强度不够。,,40,扭转,,,,[例6]横截面相等的两根圆轴，一根为实心，许用剪应力为，另一根为空心，内外直径比，许用剪应力为，若仅从强度条件考虑，哪一根圆轴能承受较大的扭矩。解两根圆轴横截面相等，即1,∵,∴2,41,联合1、2式得说明第二根圆轴能承受较大的扭矩。,扭转,,,,[例7]图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为D60mm，小端直径为d30mm，已知G80GPa，。试求1．校核该轴刚度；2．A截面相对于C截面的扭转角。,,,解1．内力分析画扭矩图如图所。,42,扭转,,,,2．变形分析及刚度条件,43,本章作业思考题9-8习题9-4、9-13、9-17,