机电耦合 17_070125102534.ppt

wangcl,1,机电耦合系数,一般情况下的压电方程组机电耦合因子,wangcl,2,一般情况下的压电方程组,在上节中以z切割的钛酸钡晶片为例，分别讨论了压电方程组以及各常数之间的关系。下面将进一步给出一般情况下的压电方程组以及各常数之间的关系。虽然一般情况下的压电方程组比较复杂，但是处理方法以及各常数之间的关系，基本上与节中一致。所以这里只给出结果，不作详细地重复讨论。,wangcl,3,第一类压电方程组（Tj，En）,,,wangcl,4,第二类压电方程组（Si，En）,,,,,wangcl,5,第三类压电方程组（Tj，Dm）,,,,,wangcl,6,第四类压电方程组（Si，Dm）,,,,,wangcl,7,,（1）表中i、j1、2、3、4、5、6，m、n1、2、3；（2）表中dt矩阵是d矩阵的转置矩阵，et、gt和ht是e、g和h的转置矩阵。（3）表中短路弹性柔顺常数sEijSi/TjE为短路时由于应力分量Tj变化引起应变分量Si的变化与应力分量Tj的变化之比。,wangcl,8,,压电常数dniSi/EnTDn/TiE为机械自由时由于电场分量En变化引起应变分量Si的变化与电场分量En的变化之比；或者短路时，由于应力分量Ti变化引起电位移分量Dn的变化与应力分量Ti的变化之比。介电常数TmnDm/EnT为机械自由时，由于电场分量En变化引起电位移分量Dn的变化与电场分量En的变化之比。其它常数与此类似。,wangcl,9,压电方程组中各常数之间的关系,,介电常数与压电常数之间的关系,,wangcl,10,压电方程组中各常数之间的关系,,弹性常数与压电常数之间的关系,,,,wangcl,11,各类压电常数之间的关系,,,,,,,wangcl,12,举例说明第一类压电方程组分量表达式,,wangcl,13,,可见压电方程组共包括九个方程式，前六个称为弹性方程，后三个称为介电方程。每个方程又包括九项，前六项与应力有关，后三项与电场强度有关。,wangcl,14,第一类压电方程组的矩阵形式为,,,弹性方程部分,wangcl,15,第一类压电方程组的矩阵形式为,,介电方程部分,wangcl,16,,可见dt矩阵为六行三列，d矩阵三行六列。dt是d的转置矩阵（或称易位矩阵）。d矩阵的行与列互换就成为dt矩阵。其余三类压电方程组的情况与（4-27）、（4-28）和（4-29）式类似，这里不再一一列出。在压电晶体中，除去属于三斜晶系的压电晶体外，其它晶系的对称性较高，独立的弹性常数、介电常数和压电常数随着对称性程度增高而相应减少，压电方程组也相对应简化。,wangcl,17,几种典型晶体的压电方程组,实用化晶体石英属32点群钛酸钡属4mm点群铌酸锂和钽酸锂属3m点群压电陶瓷可用m表示，与6mm点群相同,wangcl,18,钛酸钡晶体的第一类方程组,,,wangcl,19,分量形式为,,wangcl,20,铌酸锂和钽酸锂的第一类方程组,,,wangcl,21,分量形式为,,wangcl,22,压电陶瓷的第一类方程组,,,wangcl,23,写成为分量为,,wangcl,24,几点注意,在这里，这四类压电方程组是作为根据实验结果而得到的，但是从热力学理论也可以严格地导出这四类压电方程组。在本章中讨论这四类压电方程组时，并没有考虑压电晶体与工作环境（例如空气）交换热量问题。因为压电体工作时机械能与电能之间转换过程是很快的，所以可以近似认为转换过程中与工作环境无热量交换。就是说压电方程组是在绝热过程中建立的。,wangcl,25,,关于单位问题。压电方程组中各物理量的单位，在实际应用中，常用MKS单位制，因此这里中也采用MKS单位制。参考资料中也有采用CGS单位制的。为了便于换算，在表4-6中给出了MKS单位制与CGS单位制之间的换算因子。,wangcl,26,,压电方程组是分析讨论压电元件性能的根据，在大多数情况下，是从第一类压电方程组出发，其次是第三类方程组。至于第二类和第四类压电方程组，往往只在某一个方向的应变分量远大于其它应变分量的情况下，才被选用（例如，在细长杆压电元件以及利用厚度振动模的压电元件中，有时就选用第二类和第四类压电方程组）。,wangcl,27,机电耦合系数,前面已经引入了介电常数、弹性常数和压电常数来描写材料的压电性质，但是在实际应用上，还使用另一个衡量材料的压电性质好坏的重要物理量机电耦合系数（也称压电耦合因子）。例如，压电滤波器的频率宽度、压电变压器的升压比等等都直接与机电耦合系数有关。,Electro-mechanicalcouplingfactor,wangcl,28,,所谓“机电耦合系数”就是指压电材料中与压电效应相联系的相互作用强度（也称压电能密度）与弹性能密度和介电能密度的几何平均值之比。用数学式表示为，（4-37）,,wangcl,29,,式中k代表机电耦合系数，U互为相互作用能密度，U弹为弹性能密度，U介为介电能密度，为弹性能密度和介电能密度的几何平均值。,,wangcl,30,,因为压电常数、弹性常数、介电常数和机电耦合系数都是描写材料压电性能的物理量，因此机电耦合系数与这些常数之间存在一定的关系。这个关系可通过压电材料的内能以及机电耦合系数的定义（4-37）式而导出。,wangcl,31,,压电晶体的内能与应力、应变、电位移和电场强度之间的一般关系为，（4-38）,,式中U为压电晶体的内能。,wangcl,32,,如果要得到某个压电晶体的内能表达式，将该晶体的压电方程组代入到内能表达式（4-38）后，即可得到体系的内能U。实际上常用的压电元件都是采用沿晶体的某个方向切下的晶片，例如薄长条片、薄圆片或细长杆等都具有较简单的形状，这样的压电元件的内能表示式也比较简单。,wangcl,33,,求出内能表示式后，再代入到机电耦合系数表达式（4-37），即得到相应的机电耦合系数k。举例如下薄长条片的机电耦合系数;细长杆的机电耦合系数;平面机电耦合系数;厚度切变机电耦合系数;,wangcl,34,薄长条片的机电耦合系数,设为z切割晶片，如图4-17所示，若晶片受到沿x方向的应力T1与沿z方向的电场强度E3的作用，其它T2、T3、T4、T5、T6、E1、E2皆等于零，在此情况下，晶片的内能表示式为,,wangcl,35,图4-17薄长条片压电晶片示意图,wangcl,36,,选T、E为自变量，则晶体的第一类压电方程组为，,,,wangcl,37,式中sE11T12/2为晶片的弹性能密度U弹；T33E32/2为晶片的介电能密度U介；d31E3T1/2为与压电效应有关的相互作用能密度U互。,,将上式代入（4-39）式得到晶片的内能表示式为,wangcl,38,将这些结果代入到（4-37）式即得晶片的机电耦合系数k为,,,即,与元件的形状有关,wangcl,39,,式中机电耦合系数k31的前一个下标代表电场的方向是沿z轴方向，后一个下足标代表晶片是x方向的伸缩振动。从（4-40）式可以看出长条晶片的机电耦合系数k31与压电常数d31成正比；与短路弹性柔顺常数sE11和自由介电常数T33的乘积的平方根成反比。,wangcl,40,k31的数值举例,钛酸钡晶片d31-34.510-12库仑/牛顿sE118.0510-12米2/牛顿T331688.8510-12法拉/米故有k310.317,wangcl,41,k31的数值举例,PZT-4压电陶瓷d31-12310-12库仑/牛顿sE1112.310-12米2/牛顿T3313008.8510-12法拉/米故有k310.327,wangcl,42,,钛酸钡陶瓷d31-7810-12库仑/牛顿sE119.110-12米2/牛顿T3317008.8510-12法拉/米故有k310.212计算时已将d31中的负号省去,wangcl,43,细长杆的机电耦合系数,设细长杆的长度方向与z轴平行，电极面与z轴垂直。若杆只受到沿z轴方向的应力T3以及电场E3的作用，在此情况下，杆的内能表示式为,,wangcl,44,图4-18细长杆压电振子示意图,选T、E为自变量，杆的第一类压电方程组为,wangcl,45,,代入到（4-41）式得到杆的内能为,,,故得,wangcl,46,,可见电场与形变都沿z方向的细长杆的机电耦合系数与d33成正比，与sE33T33的根方成反比。,,再代入到（4-37）式，即得细长杆的机电耦合系数为，,wangcl,47,k33的数值举例,钛酸钡晶片d3386.510-12库仑/牛顿sE3315.710-12米2/牛顿T331688.8510-12法拉/米故得k330.565,wangcl,48,,PZT-4压电陶瓷d3328910-12库仑/牛顿sE3315.510-12米2/牛顿T3313008.8510-12法拉/米故得k330.70,wangcl,49,,钛酸钡陶瓷d3319010-12库仑/牛顿sE339.5110-12米2/牛顿T3317008.8510-12法拉/米故得k330.50,wangcl,50,平面机电耦合系数,设所研究的晶片为z切割的薄圆片，并有sE11sE22，d31d32，电极面与z轴垂直，晶片只受到应力T1与T2以及电场E3的作用。在此情况下，选T、E为自变量，则第一类压电方程组为,,wangcl,51,图4-19薄圆片压电振子示意图,wangcl,52,,考虑到薄圆片存在sE11sE22，d31d32等对称性，因而有T1T2Tp，并引入平面应变SpS1S2，平面压电常数dp2d31，平面弹性柔顺常数sEp2（sE11sE22），利用这些关系，压电方程组可简化为,,wangcl,53,,即,,T1T2Tp，SpS1S2，dp2d31，sEp2（sE11sE22）,wangcl,54,,又薄片的内能表示式为,,,即,wangcl,55,,将（4-43）式代入（4-44）式可得式中,,,wangcl,56,,再代入到（4-37）式，即得薄圆片的机电耦合系数为,,wangcl,57,式中kp称为平面机电耦合系数，-sE12/sE11称为泊松比，可见平面机电耦合系数kpk31。应该注意，因为导出（4-45）式时曾用到sE11sE22，d31d32等对称性关系，所以（4-45）式规定的平面机电耦合系数适用范围为属于四方晶系中的4、4mm点群，三方晶系中的3、3m点群，六方晶系中的6、6mm点群等晶体以及压电陶瓷。,wangcl,58,kp的数值举例,钛酸钡晶体的kp值-sE12/sE112.3510-12/8.0810-120.292k310.317故得kp0.529,wangcl,59,,PZT-4压电陶瓷的kp值4.0510-12/12.310-120.33k310.327故kp0.562,wangcl,60,,钛酸钡陶瓷的kp值2.710-12/9.110-120.296k310.212故有kp0.358,wangcl,61,厚度切变机电耦合系数,设有压电常数d150的x切割的晶片，电极面与x轴垂直，若此晶片只受到切应力T5以及电场强度E1的作用。在此情况下选T、E为自变量，第一类压电方程组为,,wangcl,62,图4-20厚度振动压电振子示意图,wangcl,63,,晶片内能为,,wangcl,64,,代入到（4-37）式，即得晶片的机电耦合系数为,,wangcl,65,,对于四方晶系、三方晶系和六方晶系中的晶体，具有d150的压电晶体以及压电陶瓷（z轴为极化轴）都存在sE55sE44，故（4-46）式可改写为,,wangcl,66,,对于四方晶系、三方晶系和六方晶系中的大多数晶体以及压电陶瓷，除了sE55sE44外，还存在d14d15关系。于是可得到切变机电耦合系数k14为,,wangcl,67,,可见切变机电耦合系数k15和k14与d15成正比，与sE55T11平方跟成反比。k15和k14的数值举例，钛酸钡晶体d1539210-12库仑/牛顿sE5518.410-12米2/牛顿T1129208.8510-12法拉/米故得k15k140.568,wangcl,68,小结,一般情况下的四类压电方程组，矩阵形式和分量形式，参量之间的关系，机电耦合因子定义，如何求得；薄长条片的机电耦合系数，细长杆的机电耦合系数，平面机电耦合系数，厚度切变机电耦合系数,