半参数模型在开采沉陷预计中的应用_成枢.pdf

收稿日期2019-07-03 作者简介成枢 （1963） ， 男， 教授， 博士， 硕士研究生导师。 总第 525 期 2020 年第 3 期 金属矿山 METAL MINE 半参数模型在开采沉陷预计中的应用 成枢 1 朱玉明 1 马卫骄 2 高秀明 3 刘忠伟 31 （1. 山东科技大学测绘科学与工程学院， 山东 青岛 266590； 2. 山东省核工业二四八地质大队， 山东 青岛 266041； 3. 山东泰丰控股集团有限公司王家寨煤矿， 山东 泰安 271204） 摘要半参数模型作为发展于20世纪80年代用于参数研究的重要统计模型在许多领域得到了广泛应用。 当观测值中存在无法消除的模型误差时， 模型误差既无法与观测值建立函数关系， 也不能将其归入参数模型误差 项或采用非参数模型处理。半参数模型在平差模型中将这种模型误差采用非参数向量表示， 使平差模型兼顾参数 模型与非参数模型的特点。在处理模型误差不可忽略的测量数据时， 半参数模型在数学模型方面更加贴近实际问 题， 在数值求解方面可以同时求解模型误差与偶然误差。针对半参数模型的理论， 采用了矿区实测数据验证半参 数模型在数据处理中的有效性与优越性。对矿区地表沉降实测数据建立了半参数灰色Verhulst模型， 并设计了不 同方案进行计算。试验结果表明 当观测量中模型误差不可忽略时， 半参数模型的计算结果优于参数模型。 关键词开采沉陷半参数模型补偿最小二乘估计正则矩阵灰色Verhulst模型 中图分类号TD325文献标志码A文章编号1001-1250 （2020） -03-154-05 DOI10.19614/ki.jsks.202003023 Application of Semi-parametric Model in Prediction of Mining Subsidence Cheng Shu1Zhu Yuming1Ma Weijiao2Gao Xiuming3Liu Zhongwei32 （1. College of Geomatics， Shandong University of Science and Technology， Qingdao 266590， China； 2. Shangdong Provincial Nuclear Industry 248 Geological Brigade， Qingdao 266041， China； 3. Wangjiazhai Coal Mine， Shangdong Taifeng Holding Group Co.， Ltd.， Taian 271204， China） AbstractAs an important statistical model developed in 1980s，semi-parametric model has been widely used in many fields. When there are irreconcilable model errors in the observed values，the model errors can neither establish a functional relationship with the observed values，nor can they be classified as parametric model errors or treated by non-parametric models. In the adjustment model of semi-parametric model，the model error is expressed as non-parametric vector，which makes the adjustment model take into account the characteristics of both parametric model and non-parametric model. When dealing with the measurement data whose model error cannot be ignored，semi-parametric model is closer to practical prob- lems in mathematical model，and can solve both model error and accidental error in numerical solution. According to the the- ory of semi-parametric model，the validity and superiority of semi-parametric model in data processing are verified by the measured data of mining area. The semi-parametric grey Verhulst model was established to calculate the measured data of surface subsidence. The test results show that the semi-parametric model is better than the parametric model when the model error is not negligible. KeywordsMining subsidence，Semi-parametric model，Compensated least squares estimation，Regular matrix，Grey Verhulst model Series No. 525 March 2020 由于参数模型具有很强的假设性， 需要满足一 些假设条件， 比如 观测误差中只有偶然误差， 平差 模型线性化后的微小量可忽略不计等。所以， 当参 数假定与实际偏差较大时， 平差模型的参数估值精 度降低。由于参数模型的局限性， 相关学者引入非 参数模型理论。非参数模型取消了变量之间在函数 关系形式上的假设， 其函数模型表示任意的函数关 系， 因此放宽了函数形式的限制 ［1-3］， 但是非参数模型 的模型解释能力较低且观测数据的维度受到限制。 因此， 针对参数模型与非参数模型各自的局限性， 相 154 ChaoXing 关学者将二者结合到一起构建了半参数模型。 在20世纪80年代， Engle等针对气候条件改变对 电力需求变化的影响提出了半参数模型 ［4-6］。半参数 模型作为一种重要的统计模型， 数学模型中包含参 数部分与非参数部分， 克服了单一的参数模型与非 参数模型的不足 ［7］。当观测值中存在无法忽略的模 型误差时， 半参数模型在数学模型方面相对于参数 模型更符合客观实际； 在数值求解方面可以分别求 解参数向量、 非参数向量和偶然误差， 因此被广泛应 用于测量数据处理中。 本研究采用矿区地表沉降实测数据建立半参数 灰色Verhulst模型， 考虑到模型误差问题， 灰色Ver- hulst模型的时间响应序列的系数求取可以采用半参 数模型， 根据半参数模型估值准则设计不同计算方 案构建半参数灰色Verhulst模型， 求解时间响应序列 中的参数， 并进行沉降预计结果对比和精度分析。 1半参数灰色Verhulst模型 1. 1半参数模型 通常影响观测值的因素有很多， 然而经典平差模 型不考虑系统误差与粗差的影响。当模型误差无法 忽略且其性态十分复杂时， 可以在函数模型中加入一 个待定量， 用来描述观测量与影响因素之间函数关系 不明确的部分， 这种平差模型即为半参数模型 ［4， 7］。 半参数模型的函数模型和随机模型分别为 L BX S Δ E Δ 0,EΔi,Δj 0,D Δ σ2 0P -1，（1） 式中， L为n维观测向量；X为t维参数向量； B为列满 秩设计矩阵； S 为n维非参数向量； Δ 为n维误差向 量；σ2 0为方差因子； P为Δ的权矩阵。 半参数模型在函数模型表达式中添加了非参数 部分， 相对于参数模型而言， 在模型误差无法忽略 时， 半参数模型具有更大的优越性 在模型建立方 面， 数学模型与客观实际更为接近； 在数值解算方 面， 可求出模型误差与偶然误差。 由式 （1） 可知， 半参数模型的误差方程为 V BX S - L，（2） 式中，V V为误差改正数向量；S s 1 ,s 2,,sn T 为S的 估计量；X 为X的估计量。 在最小二乘准则VTPV min下构造条件极值函 数得到的法方程为 ■ ■ ■ ■ ■ ■ BTPBBTP PBP ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ X S ■ ■ ■ ■ ■ ■ BTPL PL .（3） 由于待定参数个数多于误差方程个数， 因此基 于最小二乘准则构建的半参数模型的法方程唯一解 不存在， 需要在VTPV min基础上附加最优化准则， 构成补偿最小二乘法则 ［8］ VTPV αS TRS min，（4） 式中， R为正则矩阵；α为正则化参数 （或称为平滑因 子） ， 其主要作用是在极小化过程中， 在二次型VTPV 和S TRS 起到平衡作用 ［9-10］。 根据式 （2） 和式 （4） 以及构造条件极值的拉格朗 日乘数法， 构造的目标函数为 φ1V,S ,X ,λ1 V TPV αS TRS 2λ1BX S - L - V, （5） 式中，λ1为拉格朗日常数。 式 （5） 分别对V,S ,X ,λ1求一阶偏导数并令其为 0 ［11］， 得到 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ∂φ1V,S ,X ,λ1 ∂V 2PV - λ1 0 ∂φ1V,S ,X ,λ1 ∂S 2αRS λ1 0 ∂φ1V,S ,X ,λ1 ∂X 2BTPV 0 ∂φ1V,S ,X ,λ1 ∂λ1 2BX S - L - V 0 . （6） 由式 （6） 可得 ■ ■ ■ ■ ■ λ1 PV λ1 -αRS BTλ1 0 .（7） 结合式 （2） 和式 （7） ， 可得到基于补偿最小二乘 估计准则的半参数模型误差方程的法方程 ■ ■ ■ ■ ■ ■ BTPBBTP PBP αR ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ X S ■ ■ ■ ■ ■ ■ BTPL PL .（8） 由于矩阵R为正定矩阵， 因此基于补偿最小二乘 估计构建的法方程是正定可逆矩阵， 法方程有唯一 解， 对式 （8） 求解可得 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ X []BTPI - M B -1BTP I - M L M P αR -1P H []BTPI - M B -1BTP I - M S MI - BH L ， （9） 式中， M M为光滑矩阵； H H为帽子矩阵。 正则矩阵选取根据实际情况， 构造方法一般有 时间序列法、 距离法和样条函数法等； 正则矩阵选取 一般有L曲线法、 信噪比值法、 效率法等 ［7， 12］ 。 当法方程系数矩阵接近奇异时， 应当采用半参 数岭估计准则 2020年第3期成枢等 半参数模型在开采沉陷预计中的应用 155 ChaoXing VTPV αS TRS kX TQX min，（10） 式中，k是在X与V的正则化参数， 称为岭参数， 岭参 数的构造方法一般有L曲线法 ［7， 13］ 、 U曲线法 ［14-15］ 等， 参数求解方法与式 （6） 相同， 在此不做赘述；Q一般取 单位矩阵。 1. 2灰色Verhulst模型 设原始监测数据序列为 x 0 {}x 0 1,x 0 2 ,,x 0 n ， （11） 通过原始数据累加弱化原始数据序列的波动性和随 机性， 生成1-AGO序列 x1{}x11,x1 2 ,,x1 n ，（12） 式中，x1 t ∑ k 1 t x 0 k , t 1,2,,n。 根据GM （1， 1） 模型的建模方法， 得到灰色Ver- hulst模型的一阶白化非线性微分模型为 dx1 dt ax1 bx1 2， （13） 式中，a,b为灰色Verhulst模型待计算参数。 若按最小二乘法， 解得待求参数估值为 []a b BTB -1BTY ，（14） 式中，B ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Z 1 t2-[]Z 1 t2 2 Z 1 t3-[]Z 1 t3 2 ⋮⋮ Z 1 tk-[]Z 1 tk 2 ； Z 1 tk 0.5 []x 1 n - 1 x1 n ； Y []x 0 2 ,x 0 3,,x 0 n T。 将参数估值a,b代入微分方程求解得到灰色 Verhulst模型的时间响应序列 ［16］ x1 t ax 0 1 bx 0 1 []a - bx 0 1 e at，（15） 最后还原数列得到模型的预测值 x 0 t x1 t - x1 t - 1.（16） 从测量平差的角度分析， 式 （14） 求取待求参数 与参数平差的法方程求解形式相同。在只考虑偶然 误差的情况下， 可以采用最小二乘准则求解灰色 Verhulst模型一阶白化非线性微分方程中的参数最 优估值。若模型误差不可忽略， 可考虑采用半参数 模型求解一阶白化非线性微分方程的参数估值， 进 而建立半参数灰色Verhulst模型进行预计。 1. 3半参数灰色Verhulst模型检验 建立半参数灰色 Verhulst模型时应当进行模型 检验， 验证所建立的模型是否符合实际情况。半参 数灰色Verhulst模型检验主要包括采用半参数模型 求解一阶白化非线性微分方程中参数估值的假设检 验以及灰色模型的精度检验。其中， 半参数模型检 验采用线性假设法 ［17］， 灰色模型精度检验结果等级 划分如表1所示 ［18］。 2算例分析 2. 1试验数据 以某矿区地表沉降监测为例， 跟据相关设计， 矿 区九采区共有5个回采工作面， 其中， 7265工作面回 采走向长度D1909 m， 倾向长度D2186 m， 煤层厚度 m4.15 m， 煤层倾角θ0～12 （平均 7） ， 倾斜面积 168 334 m2， 工业储量 106 万 t， 工作面标高-678～- 743 m， 地面高程34.1～37.5 m， 2017年2月中旬开采， 2018年 1月 12日回采结束， 回采量 88.2万 t， 回采率 85。 依据 测量规程 和 “三下” 开采规范， 结合九采 区的覆岩岩性， 选取岩移角值参数布设观测线。 7265工作面观测期间， 观测站97号测点具有最 大下沉速度Vmax， 最大下沉值达到Wmax1 241 mm。选 取97号沉降监测点的14期观测数据得到的累计沉 降值W（表2） 建立预计模型。以原始数据为基础建立 预计模型， 并以最后4期数据进行预计值与实际值对 比， 作为精度检核依据。 2. 2计算结果对比及分析 若根据矿区沉降实测数据建立半参数灰色Ver- hulst模型， 首先要判定系数矩阵B的复共线性 ［19-20］。 经计算， 系数矩阵B存在较强的复共线性， 因此半参 数模型中估值准则只需要考虑半参数岭估计准则。 基于半参数灰色 Verhulst模型在无粗差数据时 设计了以下3种计算方案 ①灰色Verhulst模型； ②半 金属矿山2020年第3期总第525期 156 ChaoXing 参数灰色Verhulst模型， 其中正则矩阵采用时间序列 一阶差分法； ③半参数灰色Verhulst模型， 其中正则 矩阵采用时间序列二阶差分法。正则化参数按Xu函 数法确定取值α2.436， 岭参数按U曲线法确定取值 k0.334。经过不同方案计算， 并以最后 4期的实测 值作为预计效果的评价标准， 得到了不同平差模型 的预计结果以及残差值如表3所示。 由表3可知 通过采用不同半参数回归模型对97 号监测点进行累计沉降预计时， 方案1预计误差绝对 值的最大值为33 mm， 方案2预计误差绝对值的最大 值为 15 mm， 方案 3 预计误差绝对值的最大值为 34 mm， 3 种方案的均方误差经计算分别为 37.68 mm、 14.82 mm和35.92 mm。因此方案2建立的半参数灰 色Verhulst模型求取时间响应式参数的精度最高， 在 3种方案中的均方误差最小， 相应的预计下沉曲线更 加符合实测数据的变化趋势。 由表3中方案2和方案3对比可知 当正则矩阵 采用时间序列法确定时， 方案2得到的预计结果优于 方案3。因此， 本次实测数据中采用半参数模型的估 值准则计算灰色Verhulst模型一阶白化非线性微分 方程的待求参数时， 应选择时间序列一阶差分法确 定的正则矩阵。 在上述分析的基础上， 本研究进一步对实测数 据进行半参数模型检验与灰色模型精度检验。由线 性假设法计算可知， 统计量F87.642。由F分布表可 知F ＞ F0.0514,13 ＞ F0.0515,13 2.53， 因此非参数 向量S为非零向量。同时， 经计算相对误差q0.032， 方差比C0.394， 小误差概率P0.615， 对照灰色模型 精度检验表 （表1） 可知 灰色模型精度满足Ⅱ级 （优） 标准。因此， 矿区地表沉降实测数据适用于构建半 参数灰色Verhulst模型。 3结语 采用矿区沉降实测数据进行了半参数灰色Ver- hulst模型的算法验证， 基于半参数模型理论和矿区 沉降实测数据建立了半参数灰色Verhulst模型。针 对灰色Verhulst模型的时间响应序列的系数求取问 题， 根据正则矩阵、 正则化参数以及岭参数的选取方 法， 设计了多种方案计算半参数灰色Verhulst模型的 参数估值， 并进行了沉降预计结果对比和精度分析。 在上述分析的基础上， 采用模拟数据与矿区沉降实 测数据进行了模型检验。检验结果表明 矿区沉降 实测数据适用于半参数灰色Verhulst模型。实际应 用中， 关于地表沉陷动态预计的时间函数还有Knothe 时间函数、 Logistic时间函数等， 对于不同地表沉陷动 态预计的时间函数可进行进一步讨论。 参 考 文 献 刘国林， 赵长胜， 张书毕， 等.近代测量平差理论与方法 ［M］ .徐 州 中国矿业大学出版社， 2012. 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