极限平衡和数值方法在边坡工程中的应用_秦鹏飞.pdf

收稿日期2020-04-12 基金项目郑州铁路职业技术学院博士科研专项课题 （编号 1760002602） 。 作者简介秦鹏飞 （1984） ， 男， 副教授， 博士。 总第 528 期 2020 年第 6 期 金属矿山 METAL MINE 极限平衡和数值方法在边坡工程中的应用 秦鹏飞 1 （郑州铁路职业技术学院铁道工程学院， 河南 郑州451000） 摘要刚体极限平衡法和强度折减数值方法在边坡工程稳定分析中发挥重要作用， 已经取得了许多重要的 研究成果。文中对以简化 Bishop法、 Morgenstern-Price法和通用条分法为代表的刚体极限平衡法的理论基础和计 算过程进行了阐释， 并将其与瑞典圆弧法、 简化Janbu法及Spencer法等其他刚体极限平衡法的计算原理进行了对 比分析， 接着从计算方法、 失稳判据和折减改进等方面对强度折减数值方法进行了分析， 阐述了这2种方法在工程 应用中的研究进展。边坡工程分析方法的进步， 必将推动边坡工程治理向着精细化水平迈进。 关键词边坡稳定分析Bishop法通用条分法强度折减法数值计算 中图分类号TD854.6文献标志码A文章编号1001-1250 （2020） -06-204-06 DOI10.19614/ki.jsks.202006032 Application of Limit Equilibrium and Numerical in Slope Engineering Qin Pengfei2 （School of Railway Engineering ， Zhengzhou University of Railway Vocational Technology， Zhengzhou 451000， China） AbstractRigid limit equilibrium and strength reduction numerical play an important role in slope sta⁃ bility analysis，and many important research results have been obtained． In this paper，the theoretical basis and calculation process of the limit equilibrium of rigid body represented by the simplified Bishop ，Morgenstern price meth⁃ od and general slice are explained，and series of contrast analysis will be carried out with the calculation principles of other limit equilibrium s of rigid body such as Sweden Arc ，simplified Janbu and Spencer ． Then the strength reduction is made from the calculation ，instability criterion and reduction improvement． The re⁃ search progress of the two s in engineering application is described． The progress of slope engineering analysis will promote the slope engineering treatment to the level of refinement． KeywordsSlope stability analysis， Bishop ， General slice ， Strength reduction ， Numerical calcu⁃ lation Series No． 528 June 2020 边坡及边坡稳定是土木、 水利、 矿山、 交通等工 程建设中需要研究和解决的难点问题， 由于人为因 素的干扰和自然因素的侵袭， 近年来我国多个省份 和地区发生了严重的滑坡事故。边坡的稳定性分析 和治理研究具有重大的学术意义和工程价值， 一直 受到岩土工程工作者的广泛关注和重视 ［1-5］。作为边 坡稳定分析主流和发展较快的分析方法， 刚体极限 平衡法和计算机数值分析方法目前已取得了许多重 要的研究成果 ［6-7］。本文旨在对边坡稳定性分析方法 最新进展及工程应用进行分析述评， 希望能为推动 边坡工程治理的精细化管理和精细化水平作出贡 献。 1刚体极限平衡法 刚体极限平衡法是以刚体极限平衡理论为基 础， 假定滑动面发生刚性滑动破坏而进行边坡失稳 分析的物理方法。其求解思路是以摩尔库仑的抗 剪强度理论为基础， 将潜在滑动面范围内的坡体按 一定比例剖分为若干条块， 然后根据条块间的极限 平衡条件建立静力平衡方程， 进而根据方程计算坡 体的安全系数并评价坡体的稳定性 ［8-9］。滑动面可以 假定为折线形或圆弧形， 根据所假定滑动面形状的 不同而采用不同的计算方法。 204 ChaoXing 1. 1简化Bishop法 简化Bishop法较Fellenius平面应变问题分析方 法的优势在于考虑了条块间的水平作用力， 因而计 算结果具有更高的准确度。简化Bishop法假定滑面 为圆弧形 （见图1） ， 它在计算中忽略了条间的竖向剪 力作用， 是非严格条分法， 但在均质土坡稳定性的分 析中， 简化Bishop法的计算精度与考虑竖向剪力的严 格法基本一致， 因而在工程分析中具有广泛的适用 性。简化Bishop法是目前 建筑边坡工程技术规范 推荐采用的计算方法， 计算公式 Fs Mr Ms ∑ Nitanφi cili ∑Wisinαi ，（1） 式中，Mr和Ms分别为抗滑力矩和滑动力矩；Ni为土条 i底部的法向力；Wi为土条i重力；ci、φi为土条i抗剪 强度参数；αi为土条i底部的倾角；li为土条i长度。 苏振宁等 ［10］采用积分中值定理推导了任意滑面 简化 Bishop 法的安全系数计算式 （式 （2） ） ， 使简化 Bishop法适宜于非圆弧滑面的计算， 拓展了它的工程 应用范围。 Fs ∫lτfdl ∫lτdl ∑ Nitanφi cili ∑Wisinαi ，（2） 式中，∫ lτdl 和∫ lτfdl 分别为任意滑面上的抗滑力和滑 动力。 卢玉林等［11］假定浸润线为抛物线形式， 推导了 渗流作用下粘土边坡安全系数的简化Bishop法计算 式 （式 （3） ） ， 并通过计算机程序实现了数值解。算例 表明该方法具有较高的可靠性， 可为渗流作用下边 坡的稳定分析提供参考。 Fs ∫x 1 m [ cdx dW - dUcosθ tanφ] ∫x 1 m dWsinθ ，（3） 式中， m为隐式系数；m cosθ1 tanφtanθ/F ； W为 土条自重； U为水土压力。 1. 2Morgenstern-Prince法 Morgenstern-Price 法是严格条分法， 其每一条 块均能严格满足力和力矩的平衡条件， 且M-P法不 要求滑面是圆弧形的， 适宜于更一般情形下边坡的 稳定分析计算 （见图2） 。M-P法建立的平衡方程数 目较多， 为便于计算在平衡分析中引入了条间力函 数f （x） ， 并假定条块剪切力X与法向力E满足关系式 Xλf （x）E， λ为比例常数。当f （x） 取常数1时， Mor- genstern-Price法与严格分析法Spencer法等价。 朱大勇等 ［12］对传统M-P法安全系数F s的计算方 法进行了改进， 建立了易于编程的安全系数Fs和比 例常数λ的迭代计算公式 （见式 （4） 、 式 （5） ） ， 只需经 过简单迭代便可得到快速稳定的收敛解。 Fs ∑ i 1 n - 1 Ri∏ j i n - 1 ψj Rn ∑ i 1 n - 1 Ti∏ j i n - 1 ψj Tn ，（4） 2020年第6期秦鹏飞 极限平衡和数值方法在边坡工程中的应用 205 ChaoXing λ ∑ i 1 n [bi Ei Ei - 1 tanαi KcWihi 2Qisinωihi] ∑ i 1 n [bi fiEi fi - 1Ei - 1] ,（5） 式中， R为抗滑力； T为下滑力； ψ为传递系数； Kc为地 震影响系数； Q为坡面上外荷载； ω为其与竖线夹角。 邓东平等 ［13］通过改变条分数、 边坡高度和边坡 角度等参数， 采用M-P法对圆弧和任意滑面形状边 坡的稳定性进行了计算， 结果发现条间力函数f （x） 取 0.1、 0.5、 1.0或半正弦函数对计算结果影响不大； 梁冠 亭等 ［14］采用改进的M-P法对抗滑桩支护边坡的稳定 性进行了计算， 通过引入自适应遗传算法准确地搜 寻到了坡体最危险滑动面的位置， 并分析得到了支 护结构的受力规律及其与边坡稳定性的关系。 1. 3通用条分法 通用条分法 （General Limit Equilibrium ） 是基于静力平衡方程的一般形式及其边界条件， 严 格考虑所有力和力矩的平衡所建立的条分方法。通 用条分法所得结果是理论意义上的最严格解， 能广 泛应用于任意形状滑面的边坡稳定分析和安全系数 的计算。通用条分法力和力矩的平衡方程计算见式 （6） 、 式 （7） 所示。 cos φ′ - α β dG dx - sin φ′ - α β dβ dx G -p x ， （6） Gsinβ -y d dx Gcosβ d dx ytGcosβ η dW dx he， （7） 其中 p x dW dx q sin φ′ - α - ru dW dx secαsinφ′ c′secαcosφ′ - η dW dx cos φ′ - α , 式中， G为土条垂直侧边上的总作用力； W为土条自 重； α为坡面倾角； β为作用力G与水平线的夹角。 陈祖煜等 ［15-18］在分析 Fredlund 普遍极限平衡法 的基础上推导出边坡稳定静力微分方程的闭合解， 并编制了相应的求解计算程序STAB， 为通用条分法 的工程应用作出了重要贡献。各种极限平衡分析方 法基本原理见表1所示。 2强度折减数值计算法 强度折减数值计算方法 （Strength Reduction Nu- merical Calculation ） 可以考虑边坡失稳破坏过 程中土的应力应变关系， 随着高性能计算机技术 的发展和岩土强度理论的进步， 数值计算方法如有 限 元 法（Plaxis、ABAQUS） ［19-22］、离 散 元 法（PFC、 3DEC） ［23-25］、 边界元法（BEM）［26］和拉格朗日元法 （FLAC） ［27］等已取得了许多积极的研究成果， 并在工 程分析中发挥着举足轻重的作用。 2. 1计算原理 强度折减数值计算方法的基本原理是， 将岩土 材料的黏聚力和内摩擦角等抗剪强度参数进行折减 （式 （8） ） ， 用折减后的参数进行边坡的稳定性分析计 算。不断降低强度参数直至边坡失稳破坏为止， 破 坏时的折减数值即为坡体的安全系数。 { cF c/F tanφF tanφ/F ，（8） 式中，c和cF分别为折减前后土体的黏聚力；φ和φF 则为折减前后的内摩擦角； F为强度折减系数。强度 折减法不需要作繁琐的条分计算， 也不需要假定潜 在滑动面的位置和形状， 程序可严格依照实际地质 条件分析坡体滑动破坏的自然过程［28-29］。图3分别 为采用FLAC3D和PFC2D计算得到的某黏质土坡安全 系数、 剪切应变增量云图及速度矢量图等， 计算结果 可以为相关工程的设计和安全评判提供可靠的参考 和依据。 2. 2失稳判据 强度折减法通常以位移突变、 塑性区贯通和数 值计算不收敛作为边坡失稳的判据。具体来说 ① 坡顶的竖直位移或坡脚的水平位移突然大幅度增 加， 则认为边坡失稳； ②坡脚至坡顶的塑性区范围不 断扩大直至贯通， 则认为边坡失稳； ③程序计算无限 制运行， 无收敛迹象则认为边坡失稳 ［30-32］。 对于严格遵从弹塑性本构关系的理想岩土体边 坡， 上述3种失稳判据具有较好的一致性， 而对于成 分复杂的高陡边坡这3种判据则存在较大偏差。为 解决失稳判据选取上的争议， 陈力华等 ［33］提出考虑 “张拉剪切破坏的强度折减法” ， 主张将坡体渐进 破坏过程中的抗拉强度同幅度折减 （见式 （9） ） ， 结果 表明考虑张拉强度折减的计算方法在失稳判据上具 注 M为整体力矩平衡，Mi为条块i力矩平衡，Fh为条块水平方 向力的平衡，Fv为条块垂直方向力的平衡， θ为滑动面平均坡度。 金属矿山2020年第6期总第528期 206 ChaoXing 有较高的一致性和准确性； c′ c/F,tanφ′ tanφ/F,T′ T/F．（9） 周正军等 ［34］指出边坡的失稳破坏模式与所采用 的岩土屈服强度准则密切相关， 目前广泛应用于边 坡稳定分析中的 Drucker-Prager 准则和 Mohr-Cou- lomb准则不能准确反映土体的抗拉强度， 应予以适 当折减和修正； 李永亮等 ［35］指出岩土本构模型和计 算参数、 迭代计算算法及收敛容差等均会影响边坡 的稳定性， 为准确衡量边坡的失稳破坏状况应联合 多种判据进行综合分析， 对于均质、 非均质、 土岩 组合边坡和岩质边坡， 建议分别采取① （主） ② （辅） 、 ② （主） ① （辅） 、 ② （主） ①（辅） 和③ （主） ① （辅） 相结合的边坡失稳分析方法； 等。 2. 3折减方法改进 边坡失稳破坏过程具有渐进性和局部化特征， 物理机制表现为坡体局部强度降低， 岩土材料出现 应变软化， 应力转移进而引起塑性区贯通。赵炼恒 等 ［36］指出强度参数c和φ在边坡失稳过程中不是同 时折损的， 采用单一折减系数F进行等比例折减存在 较大的不合理性， 为此他基于双强度 （c、φ） 折减的方 法提出边坡安全系数的隐式函数表达式（见式 （10） ） ， 并编制非线性规划程序迭代求解， 对准确求 解安全系数具有参考价值。 Fs f FS c,FSφ,c,φ,α,β,γ,H . （10） 陈国庆等 ［37-38］指出坡体真实失稳破坏过程中只 有滑动带的强度参数受损减小， 而强度折减法忽略 了滑动区和未滑动区土体强度的差异性致使计算获 得的塑性区偏大， 为此提出动态、 整体相结合的强度 折减法， 即由动态强度折减法搜寻确定滑动面， 由整 体强度折减法计算安全系数， 为强度折减法作出了 重要改进。李世贵等 ［39］以岩土材料的极限剪应变作 为坡体失稳破坏的判据， 建立了模拟边坡破坏的极 限应变动态局部强度折减法， 并采用离散元程序 UDEC进行模拟和验证， 结果表明该方法在坡体稳定 性评价和渐进性破坏分析方面具有较高的可靠性。 3结语 本文阐释了以简化Bishop法、 Morgenstern-Price 法和通用条分法为代表的刚体极限平衡法的基本原 理、 主要特点和功能优势， 并从计算方法、 失稳判据 和折减改进等方面对强度折减数值方法进行了分 析， 阐述了2种方法在工程应用中的研究进展。边坡 工程分析方法的进步， 必将推动边坡工程治理向着 精细化水平迈进。 参 考 文 献 Liang F，Chen L，Han J． Integral equation for analysis of piled rafts with dissimilar piles under vertical loading ［J］ ． Comput⁃ ers and Geotechnics， 2009， 36 （3） 419-426． El-Garhy B， Galil A A， Youssef A F， et al． Behavior of raft on settle⁃ ment reducing piles Experimental model study ［J］ ． Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering， 2013， 5（5） 389-399． 周家文， 徐卫亚， 邓俊晔， 等．降雨入渗条件下边坡稳定性分析 ［J］ ．水利学报， 2008， 39 （9） 1066-1073． Zhou Jiawen，Xu Weiya，Deng Junye，et al． Stability analysis of slope under the condition of rainfall infiltration ［J］ ． Journal of Hy⁃ draulic Engineering， 2008， 39 （9） 1066-1073． 王旭， 刘东升， 宋强辉．基于极限平衡法的边坡稳定性可靠度 分析 ［J］ ．地下空间与工程学报， 2016， 12 （3） 839-845． Wang Xu， Liu Dongsheng， Song Qianghui． Slope stability reliabili⁃ ty analysis based on limit equilibrium s ［J］ ．Journal of Under⁃ ground Space and Engineering， 2016， 12（3） 839-845． Kim K N， Lee S H， Kim K S． Optimal piearrangement for minimiz⁃ ing differential settlements in piled raft foundations ［J］ ．Computers and Geotechnics， 2011， 28 （4） 235-253． 刘金龙， 栾茂田， 赵少飞， 等．关于强度折减有限元方法中边坡 ［1］ ［2］ ［3］ ［4］ ［5］ ［6］ 2020年第6期秦鹏飞 极限平衡和数值方法在边坡工程中的应用 207 ChaoXing ［7］ ［8］ ［9］ ［10］ ［11］ ［12］ ［13］ ［14］ ［15］ ［16］ ［17］ ［18］ ［19］ ［20］ ［21］ ［22］ ［23］ ［24］ ［25］ ［26］ ［27］ 失稳判据的讨论 ［J］ ．岩土力学， 2005， 26 （8） 1345-1348． Liu Jinlong，Luan Maotian，Zhao Shaofei，et al． Discussion on the instability criterion of slope strength reduction finite element meth⁃ od， ［J］ ． Rock and Soil Mechanics， 2005， 26 （8） 1345-1348． Chaudhary M A．FEM modeling of a large pile draft for settlement control in weak rock［J］ ． Engineering Strucres，2007，28（11） 2901-2907． 邵龙潭， 刘士乙， 李红军．基于有限元滑面应力法的重力式挡土 墙结构抗滑稳定分析 ［J］ ．水利学报， 2011， 42 （5） 602-608． Shao Longtan，Liu Shiyi，Li Hongjun． Anti-sliding stability analy⁃ sis of gravity retaining wall structure based on finite element sliding surface stress ［J］ ．Journal of Hydraulic Engineering，2011， 42（5） 602-608． 蒋中明， 龙芳， 熊小虎， 等．边坡稳定性分析中的渗透力计算 方法考证 ［J］ ．岩土力学， 2015， 36 （9） 2478-2486． Jiang Zhongming， Long Fang， Xiong Xiaohu， et al． Study of calcu⁃ lation s of acting force of seepage in slope stability analysis ［J］ ．Rock and Soil Mechanics， 2015， 36 （9） 2478-2486． 苏振宁， 邵龙潭．边坡稳定分析的任意形状滑动面的简化Bish⁃ op法 ［J］ ．水利学报， 2014， 45 （S2） 147-152． Su Zhenning，Shao Longtan． Simplified Bishop with gener⁃ al slip surface for slope stability analysis［J］ ．Journal of Hydraulic Engineering， 2014， 45 （S2） 147-152． 卢玉林， 陈晓冉．地下水渗流作用下土坡稳定性的简化Bishop 法解 ［J］ ．应用力学学报， 2018， 35 （3） 524-530． Lu Yulin，Chen Xiaoran． Solution for stability of soil slopes sub⁃ jected to seepage of groundwater via simplified Bishop ［J］ ． Chinese Journal of Applied Mechanics， 2018， 35（3） 524-530． 朱大勇， 李焯芬， 黄茂松．对3种著名边坡稳定性计算方法的改 进岩石力学与工程学报， 2005， 24 （2） 183-194． Zhu Dayong，Lee C F，Huang Maosong． Modifications to the three well-known s of slope stability analysis ［J］ ． Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2005， 24（2） 183-194． 邓东平， 李亮．两种滑动面型式下边坡稳定性计算方法的研 究 ［J］ ．岩土力学， 2013， 34 （2） 372-381． Deng Dongping，Li Liang． Research on calculation s of slope stability under two types of sliding surface ［J］ ． Rock and Soil Mechanics， 2013， 34（2） 372- 381． 梁冠亭， 陈昌富， 朱剑锋．基于M-P法的抗滑桩支护边坡稳定性 分析 ［J］ ．岩土力学， 2015， 36 （2） 451-457． Liang Guanting，Chen Changfu，Zhu Jianfeng． Stability analysis of pile stabilized slope based on Morgenstern-Price ［J］ ． Rock and Soil Mechanics， 2015， 36（2） 451-457． 陈祖煜．土质边坡稳定分析-原理 方法 程序 ［M］ ．北京 中国水 利水电出版社， 2003． Chen Zuyu． Stability Analysis of Soil Slope PrinciplePro⁃ cedure［M］ ． Beijing China Water Conservancy and Hydropower Press， 2003． Braja M Das．Principles of Geotechnical Engineering［M］ ． South⁃ wickThomson Engineering， 2013． Taha A， Fall M． Shear behavior of sensitive marine clay-steel inter⁃ faces ［J］ ． Acta Geotechnica， 2014， 9 （6） 968-980． 陈祖煜， 宗露丹， 孙平．加筋土坡的可能滑移模式和基于库仑 理论的稳定分析方法 ［J］ ．土木工程学报， 2016， 49 （6） 113-122． Chen Zuyu，Zong Ludan，Sun Ping． Investigation on possible fail⁃ ure modes of geotextile reinforced slopes and stability analysis s based on Coulomb theory ［J］ ．China Civil Engineering Jour⁃ nal， 2016， 49（6） 113-122． Chen X，Jie Y，Liu J． Robust partitioned block preconditioners for large-scale geotechnical applications with soil-structure interactions ［J］ ． International Journal for Numerical and Analytical s in Geomechanics， 2014， 38 （1） 72-91． 赵尚毅， 郑颖人， 时卫民， 等．用有限元强度折减法求边坡稳定 安全系数 ［J］ ． 岩土工程学报， 2003， 24（3） 343-346． Zhao Shangyi，Zheng Yingren，Shi Weimin，et al． The stability safety factor of the slope is calculated by the finite element strength reduction ［J］ ．Chinese Journal of Geotechnical Engineer⁃ ing， 2003， 24（3） 343-346． 郑颖人， 赵尚毅．有限元强度折减法在土坡与岩坡中的应用 ［J］ ． 岩石力学与工程学报， 2004， 23 （19） 381-388． Zheng Yingren，Zhao Shangyi． Application of finite element strength reduction in soil slopes and rock slopes［J］ ． Chi⁃ nese Journal of rock mechanics and engineering，2004，23（19） 381-388． Tschuchnigg F， Schweiger H F， Sloan S W． Slope stability analysis by means of finite element limit analysis and finite element strength reduction techniques Part INumerical studies considering non-as⁃ sociated plasticity ［J］ ． Computers and Geotechnics，2015，70169- 177． 周健， 王家全， 曾远．土坡稳定分析的颗粒流模拟 ［J］ ．岩 土力学， 2009， 30 （1） 86-90． Zhou Jian，Wang Jiaquan，Zeng Yuan． Particle flow simulation for slope stability analysis ［J］ ． Geotechnical Mechanics，2009，30 （1） 86-90． 张小雪， 王滨生， 迟玉鹏， 等．边坡稳定分析的颗粒流方法研究 ［J］ ．哈尔滨工程大学学报， 2015， 36 （5） 666-670． Zhang Xiaoxue， Wang Binsheng， Chi Yupeng， et al． Study on par⁃ ticle flow for slope stability analysis［J］ ． Journal of Harbin Engineering University， 2015， 36 （5） 666-670． 赵健， 杨立， 邓冬梅， 等．基于3DEC对某输电线路新建铁塔 岩质边坡的稳定性评价 ［J］ ．安全与环境工程， 2018， 25 （2） 55- 60． Zhao Jian，Yang Li，Deng Dongmei，et al． Stability uation of rock slope of a new transmission tower based on 3DEC ［J］ ． Safety and Environmental Engineering， 2018， 25（2） 55-60． 刘艳章， 葛修润， 李春光， 等．基于矢量法安全系数的边坡与坝 基稳定分析 ［J］ ． 岩石力学与工程学报，2007，26 （10） 2130- 2140． Liu Yanzhang，Ge Xiurun，Li Chunguang，et al． Stability analysis of slope and dam foundation based on vector safety factor ［J］ ． Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2007， 26 （10） 2130-2140． 范凌燕．基于FLAC3D纤维石灰土路基边坡稳定性分析 ［J］ ．铁 道科学与工程学报， 2018， 15 （9） 2258-2262． Fan Lingyan． Stability analysis of limestone soil subgrade slope based on FLAC3D［J］ ． Journal of Railway Science and Engineer⁃ 金属矿山2020年第6期总第528期 208 ChaoXing ［28］ ［29］ ［30］ ［31］ ［32］ ［33］ ［34］ ［35］ ［36］ ［37］ ［38］ ［39］ ing， 2018， 15（9） 2258-2262． 裴利剑， 屈本宁， 钱闪光．有限元强度折减法边坡失稳判据的统 一性 ［J］ ．岩土力学， 2010， 31（10） 3337-3341． Pei Lijian， Qu Benning， Qian Shanguang．Uniity of slope insta⁃ bility criteria of strength reduction with FEM ［J］ ．Rock and Soil Me⁃ chanics， 2010， 31（10） 3337-3341． 陈曦， 刘春杰．有限元强度折减法中安全系数的搜索算法 ［J］ ． 岩土工程学报， 2010， 28 （9） 1443-1447． Chen Xi，Liu Chunjie． Search algorithms for safety factor in finite element shear strength reduction ［J］ ． Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2010， 28 （9） 1443-1447． Chen X，Wu Y，Yu Y，et al． A two grid search scheme for large- scale 3-D finite element analyses of slope stability［J］ ． Computers and Geotechnics， 2014， 62 203-215． 王冬勇， 陈曦， 吕彦楠．基于二阶锥规划理论的有限元强度 折减法及应用 ［J］ ．岩土工程学报， 2018， 36（11） 1254-1260． Wang Dongyong，Chen Xi，Lu Yannan． A shear strength reduction finite element based on second-order cone programming theory and its application ［J］ ．Chinese Journal of Geotechnical Engi⁃ neering， 2018， 36 （11） 1254-1260． 肖特， 李典庆， 周创兵．基于有限元强度折减法的多层边坡非 侵入式可靠度分析 ［J］ ． 应用基础与工程科学学报， 2014， 22 （4） 718-725． Xiao Te，Li Dianqing，Zhou Chuangbing． Non-intrusive reliability analysis of multi-layered slopes using strenth reduction FEM［J］ ． Journal of Basic Science and Engineering， 2014， 22（4） 718-725． 陈力华， 靳晓光．有限元强度折减法中边坡三种失效判据的适 用性研究 ［J］ ．土木工程学报， 2012， 45 （9） 136-146． Chen Lihua， Jin Xiaoguang．Study on the applicability of three crite⁃ ria for slope instability using finite element strength reduction meth⁃ od ［J］ ．China Civil Engineering Journal， 2012， 45 （9） 136-146． 周正军， 陈建康， 吴震宇， 等．边坡稳定数值计算中失稳判据和 岩土强度屈服准则 ［J］ ． 四川大学学报工程科学版， 2014， 46 （4） 6-12． Zhou Zhengjun，Chen Jiankang，Wu Zhenyu，et al． Failure crite⁃ ria and the yield criterion in the numerical calculation of slope sta⁃ bility［J］ ．Journal of Sichuan Un