利用卡尔曼滤波综合算法构建开采沉陷预测模型_陈竹安.pdf

利用卡尔曼滤波综合算法构建开采沉陷预测模型 陈竹安 1， 2， 3 熊鑫 1 危小建 1， 2， 3 （1. 东华理工大学测绘工程学院， 江西 南昌330013； 2. 流域生态与地理环境监测国家测绘地理信息局重点实验室， 江西 南昌330013； 3. 江西省数字国土重点实验室， 江西 南昌 330013） 摘要为提高矿区地表沉陷预测精度， 提出了基于自回归综合移动平均模型 （Autoregressive Integrated Mov- ing Average， ARIMA） 的卡尔曼滤波模型与Elman神经网络相结合的综合预测模型。首先， 针对沉陷监测序列的非 平稳性与复杂性特点， ARIMA模型能够将原始数列平稳化， 构建地表下沉预测模型， 并作为卡尔曼滤波的状态方 程； 然后将Elman神经网络的沉陷预测结果作为观测值引入卡尔曼滤波观测方程中， 建立综合预测模型； 最后针对 噪声方差Q与R选取的问题， 统计出ARIMA模型与Elman神经网络模型的误差特性， 从而计算出噪声Q与R的取 值。分别将综合预测模型与BP神经网络模型、 Elman神经网络模型以及卡尔曼滤波模型进行了预测精度对比， 4 种模型预测值与实测值的均方根误差分别为2.06、 5.857 8、 2.926 9、 3.688 9 mm， 相对误差分别为1.170 4％、 3.050 2％、 1.432 6％、 1.908 4％， 绝对误差平均值分别为1.886 7、 10.703 9、 2.329 4、 2.807 6 mm。研究表明 综合预测模型 能够有效减小单一预测机制造成的同一性质误差累积， 其预测精度明显优于其余3种模型， 对于大幅提升矿区地 表沉陷的预测精度有一定的参考价值。 关键词开采沉陷卡尔曼滤波自回归综合移动平均模型Elman神经网络综合预测模型BP神经网络 中图分类号TD327文献标志码A文章编号1001-1250 （2019） -05-132-05 DOI10.19614/ki.jsks.201905021 Prediction Model of Mining Subsidence Based on Kalman Filter Integrated Algorithm Chen Zhuan1， 2， 3Xiong Xin1Wei Xiaojian1， 2， 32 （1. Faculty of Geomatics， East China University of Technology， Nanchang 330013， China； 2. Key Laboratory of Watershed Ecology and Geographical Environment Monitoring， NASG， Nanchang 330013， China； 3. Jiangxi Province Key Laboratory of Digital Land， Nanchang 330013， China） AbstractIn order to improve the prediction accuracy of mining subsidence in mining area， a integrated prediction model with the combination of the Kalman filter model and Elman neural network is proposed based on the autoregressive in- tegrated moving average model（ARIMA） .Firstly， in view of the non-stationarity and complexity characteristics of the subsid- ence mining monitoring sequence， ARIMA model is able to stabilize the original sequence， so as to construct the prediction model of surface subsidence and serve as the equation of state of Kalman filter； then， the results of Elman neural network sub- sidence prediction is introduced as the measured value into the Kalman filter measurement equation to establish the integrat- ed prediction model； finally， for the selection of noise variance Q and R， the error characteristics of ARIMA model and Elman network model are calculated， so as to calculate the value of noise Q and R.Comparison of the prediction accuracy of the inte- grated prediction model proposed in this paper and BP neural network model， Elman neural network model， Kalman filter model.The results show that the root-mean-square-error（RMSE） of the prediction values and actual measured data of the four models are 2.06， 5.857 8， 2.926 9， 3.688 9 mm respectively， the relative error of the four models are 1.170 4％、 3.050 2％、 1.432 6％ and 1.908 4％， mean absolute errors of them are 1.886 7， 10.703 9， 2.329 4， 2.807 6 mm.The study results indicat- ed that the integrated prediction model can effectively reduce the accumulation of errors of the same nature caused by a single prediction mechanism， the prediction accuracy of the integrated model is superior to the ones of other three models， it is help for improving the prediction accuracy of mining subsidence in mining area. 收稿日期2019-02-12 基金项目国家自然科学基金项目 （编号 51708098） ， 江西省教育厅课题 （编号 GJJ160537） ， 江西省自然科学基金项目 （编号 20171BAA218018） ， 东华理工大学江西省数字国土重点实验室开放研究基金项目 （编号 DLLJ201814） 。 作者简介陈竹安 （1978） ， 男， 副教授， 硕士研究生导师。通讯作者熊鑫 （1995） ， 男， 硕士研究生。 总第 515 期 2019 年第 5 期 金属矿山 METAL MINE Series No. 515 May 2019 132 ChaoXing KeywordsMining subsidence， Kalman filter， Autoregressive integrated moving average model， Elman neural network， Integrated prediction model， BP neural network 准确预测矿区开采沉陷对于确保矿山安全开采 具有意义 ［1-2］。现阶段， 主要通过灰色理论、 神经网 络、 模糊数学、 时间序列、 支持向量机、 卡尔曼滤波等 构建沉陷预测模型 ［3-7］， 虽然取得了一定成效， 但基于 单一方法构建的模型， 其预测精度提高有限。如灰 色系统模型虽然不需要进行大量的样本训练， 但最 终的预测精度不理想 ［8］； 神经网络预测模型容易陷入 局部最优解问题； 卡尔曼滤波模型难以对非线性模 型进行建模； 支持向量机模型的待定参数较多， 模型 预测精度依赖于核函数构建以及核取值 ［9］。总体上， 单一预测模型的精度与稳定性较差， 难以得到精确 的预测结果 ［10］。鉴于卡尔曼滤波具有较好的信息融 合能力， 本研究利用该方法将不同方法的预测结果 进行有机融合得到最优的预测值 ［11-13］， 即将基于自回 归综合移动平均模型 （ARIMA） 的卡尔曼滤波模型与 Elman神经网络相结合， 对矿区开采沉陷进行综合预 测。 1基于卡尔曼滤波的综合预测方法 1. 1卡尔曼滤波的基本方程 卡尔曼滤波是根据当前时刻的测量值预测下一 时刻的测量值， 采用一步预测递推方程进行迭代预 测， 易造成一定程度的延迟性。一般来说， 开采沉陷 监测数据为离散型数据， 离散卡尔曼滤波的基本方 程 （状态方程和观测方程） 可表示为 ［14-15］ { Xk1Ak1,kXkΓk1,kwk Zk1Hk1Xk1vk1 ，（1） 式中，Xk和Xk1分别为k时刻和k1时刻的n1阶 状态向量；Ak1,k为k时刻至k1时刻的nn阶状态 转移矩阵；Γk1,k为k时刻至k1时刻的nr阶动态 噪声矩阵；wk为k时刻的r1阶动态噪声矩阵；Zk1 为k1时刻的m1阶观测向量；Ηk1为k1时刻的 mn阶观测矩阵；vk1为k1时刻的m1阶观测噪 声矩阵。 离散线性系统的卡尔曼滤波递推方程可表示为 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ X ∧ [k1|k1]Ak1,kX ∧ k|kΚk1 ■ ■ ■ ■ ■ ■Zk1-Hk1Ak1,kX ∧ k|k Kk1P[k1|k]HTk1 [] Hk1P[k1|k]HTk1Rk1 -1 P[k1|k]Ak1,kPk|kATk1,k Γk1,kQkΓTk1,k P[k1|k1][]I-Kk1Hk1 P[k1|k] ， （2） 式中，X ∧ k和X ∧ k1分别为k时刻和k1的n1阶状态 估计向量；Kk1为k1时刻滤波的增益矩阵； Pk1|k为k1时 刻 预 测 状 态 的 协 方 差 矩 阵 ； Pk1|k1为k1时刻的误差协方差矩阵；Qk为wk 的协方差矩阵；Rk1为vk1的协方差矩阵；I为单 位矩阵。 1. 2卡尔曼滤波状态方程和观测方程建立 1. 2. 1ARIMA基本原理 ARIMA 模型适用于非平稳时间序列的预测分 析。地表沉陷通常有3个特性， 即季节性、 趋势性与 非平稳性。本研究采用差分法将非平稳时间序列 转换为平稳时间序列， 消除其趋势性、 季节性。通 过观察自相关系数、 偏相关性系数， 确定自回归模 型阶数和移动平均模型阶数。ARIMAp,d,q模型可 表示为 ［16-18］ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ϕB1-BdXtθBεt ϕB1-ϕ1B-ϕ2B2--ϕpB p θB1-θ1B-θ2B2--θqB q ，（3） 式中，Xt为观测样本序列；εt为正态白噪声；p、d、q分别 为 ARIMA 模 型 的 阶 数 ；ϕii1,2,3,,p与 θjj1,2,3,,q为待估系数；B为后移算子。 1. 2. 2基于ARIMA的卡尔曼滤波状态方程和观测 方程 差分后的观测样本X ∧ t为平稳的时间序列， 由前p 个时刻的观测值与噪声信号可构建如下线性方程 Xtϕ1Xt-1ϕ2Xt-2ϕpXt-pεt-θ1ε1-θqεt-q. （4） 于是， 卡尔曼滤波的状态方程与观测方程可分 别表示为 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ X1k1 X2k1 ⋮ Xp-1k1 Xpk1 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ϕ1ϕ2ϕp-1ϕp 1000 0100 ⋮⋮⋱⋮⋮ 0010 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ X1k X2k ⋮ Xp-1k Xpk ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 1 0 ⋮ 0 0 []εk1,εk,,εk1-q ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ θ1 θ2 ⋮ θq-1 θq ， （5） 陈竹安等 利用卡尔曼滤波综合算法构建开采沉陷预测模型2019年第5期 133 ChaoXing Zk1[]1,0,,0,0 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ X1k1 X1k1 ⋮ Xp-1k1 Xpk1 vk1.（6） 在卡尔曼滤波迭代计算过程中， 通常采用 ZK1代替Zk进行预测。本研究采用Elman神经网 络实现对Xk1的预测， 并将预测值作为观测方程中 的Zk1。 由于卡尔曼滤波状态方程由ARIMA方法建立， 其 Q 值选取应与 ARIMA 建模误差相关， 即 Q 值为 ARIMA模型的方差； Elman神经网络模型预测结果作 为观测方差中的ZK1， 故取Elman神经网络模型的 方差作为观测噪声R。 2开采沉陷预测 九江市兄弟矿业某矿区占地面积约0.42 km2， 本 研究在矿区内建立了一个包含3个控制点的控制网， 3个控制点的平面坐标依据国家B级GPS网的要求进 行联测， 高程采用二等水准联测， 矿区数字地表模型 及数字正摄影像见图1。通过Hermite插值法获取等 时间间隔 （1 d） 的地表变形数据， 3个月共获得了90 期观测数据， 如图2所示。将前80期观测数据作为 模型训练样本， 后10期数据作为测试样本。 Elman神经网络结构包括输入层、 隐含层、 承接 层和输出层。其中， 输入层、 输出层和隐含层类似于 BP神经网络， 加入的承接层作为记忆延时算子来记 忆隐含层单元前一时刻的输出值并返回给网络的输 入层， 这种连接方式增强了对动态信息的处理能力， 使其预测性能优于BP神经网络， 更适合对时间序列 数据的预测 ［19-21］。对原始监测数据采用滚动采样法 取4 d的观测数据作为输入向量， 即输入层为4， 输出 层为1。网络训练误差设置为10-5， 训练次数设置为 500步。对于神经网络的隐含层， 其节点数M根据下 式取值 ■ ■ ■ Mmn α M≤4 mn31 ，（7） 式中，m为输入层节点数；n为输出层节点数； α∈[0,10]。 根据式 （7） ， 可知M取值为5～15 （图3） 。由图3 可知 当M7时， 模型的均方根误差和最大误差均最 小。 本研究采用BP神经网络与Elman神经网络分别 进行了未来10期的沉陷预测， 结果如图4所示。 通过差分方法对原始观测数据进行平稳化处理 后构建ARIMA模型。对观测数据进行状态方程构 建， 根据赤池信息准则 （Akaike Inationn Criterion， AIC） ［22］构建ARIMA模型， 其中自回归模型 （AR） 系 数分别为ϕ1-1.255 8、ϕ2-1.557 8 、ϕ3-0.888 1、 ϕ4-0.636 2、ϕ5-0.330 1， 滑动平均模型 （MA） 系数 分别为θ10.059 9、θ20.101 8 、θ3-0.754 5。 将Elman神经网络所得的预测结果作为卡尔曼 金属矿山2019年第5期总第515期 134 ChaoXing 滤波观测方程中的Zk1使用， 实现卡尔曼滤波综合 预测， 结果如图5所示。 由图5可知 卡尔曼滤波可有效地将ARIMA模 型与Elman神经网络进行有机集成， 构建的综合模型 的预测值更接近实测值。 4种预测方法的误差对比如表1所示。 由表1可知 本研究构建的综合模型的预测精度 明显优于其余3种模型， 表明将ARIMA模型和Elman 神经网络进行有机集成， 减少了同一性质的误差累 积， 可有效反映矿区沉陷趋势。 3结语 针对卡尔曼滤波预测模型中系统噪声Q和量测 噪声R的取值问题， 由于基于ARIMA的卡尔曼滤波 模型的噪声Q和R值分别取决于ARIMA模型预测精 度与Elman神经网络预测精度， 故利用Elman神经网 络预测结果作为卡尔曼滤波量测方程的Zk1， 构建 了基于自回归综合移动平均模型 （ARIMA） 的卡尔曼 滤波模型与 Elman 神经网络相结合的综合预测模 型。某矿区实测沉陷数据试验表明 该模型的预测精 度明显优于BP神经网络、 Elman神经网络、 卡尔曼滤 波等模型。优化Elman神经网络或采用精度更高、 拟 合效果更好的预测方法获取预测值并作为预测模型 的观测值是进一步提高模型预测精度的有效方法。 参 考 文 献 黄声享.变形监测数据处理 ［M］ .武汉 武汉大学出版社， 2010. 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