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基于弹性薄板理论的地表下沉预计模型 袁鑫 1 王远坚 1 郑健 1 李鹏宇 2 胡重戎 1 姜岩 11 （1. 山东科技大学测绘科学与工程学院， 山东 青岛 266590； 2. 中国矿业大学 （北京） 地球科学与测绘工程学院， 北京 100083） 摘要地下开采破坏了地层的原始应力平衡状态， 导致地表移动变形， 对地表建筑物和生态环境造成了损 害。地表下沉预计是研究地表移动变形的重要内容， 经典的地表下沉预计数学模型十分复杂， 为简化预计模型的 复杂性， 将椭圆弹性薄板挠度计算方法引入地表下沉预计中， 建立了基于弹性薄板理论的主断面地表下沉预计模 型， 并应用实测数据对该模型进行了验证。研究表明 根据弹性板理论建立的预计模型的计算结果与实测结果吻 合度较高， 并且模型简单直观， 适合应用于实际工程中。 关键词开采沉陷弹性力学椭圆薄板地表下沉预计模型 中图分类号TD325文献标志码A文章编号1001-1250 （2019） -10-037-05 DOI10.19614/ki.jsks.201910006 Surface Subsidence Prediction Model Based on Elastic Thin Plate Theory Yuan Xin1Wang Yuanjian1Zheng Jian1Li Pengyu2Hu Chongrong1Jiang Yan12 （1. College of Surveying and Mapping Science and Engineering， Shandong University of Science and Technology， Qingdao 266590， China； 2. College of Geoscience and Surveying Engineering， China University of Mining Technology （Beijing） ， Beijing 100083， China） AbstractUnderground mining destroys the original stress balance state of the stratum， which causes the movement and deation of the surface， and brings damage to surface buildings and the ecological environment. Mining subsidence predic- tion is an important part of studying the movement and deation of the surface.The classic mathematical model of surface subsidence prediction is very complicated.In order to simplify the complexity of the predicting model， the elliptical elastic thin plate deflection calculation is introduced into the prediction of surface subsidence， and the prediction model of main- section surface subsidence based on elastic thin plate theory is established. This model is validated by the measured data.The study results show that the calculation results of the model above established by the elastic thin plate theory are in good agree- ment with the measured results at the mine site.In addition， this model is simple and intuitive， and is suitable for practical en- gineering. KeywordsMining subsidence， Elastic mechanics， Elliptical thin plate， Ground subsidence， Prediction model 收稿日期2019-08-18 作者简介袁鑫 （1994） ， 女， 硕士研究生。通讯作者姜岩 （1962） ， 男， 教授， 博士， 博士研究生导师。 总第 520 期 2019 年第 10 期 金属矿山 METAL MINE Series No. 520 October 2019 煤炭作为我国的主要能源， 在国民经济发展中 具有重要的战略地位。随着对煤炭资源需求的不断 增长， 深部压煤以及 “三下”（建 （构） 筑物下、 铁路下 和水体下） 压煤开采问题越来越突出。地下压煤开 采引起的采空区地表下沉， 会导致土地破坏、 地表建 筑物损害、 地下水系及生态环境破坏， 目前已成为煤 矿区危害范围最广、 影响程度最大、 延续时间最长的 一种工程地质灾害。 地表下沉预计是开采沉陷工程研究中的一项重 要内容， 早在20世纪20年代已出现有关地表下沉的 预计方法 ［1］。从20世纪80年代至21世纪初， 我国开 采沉陷预计理论有了长足的进步， 已形成许多有价 值的预计方法与成果 ［2-3］。同一时期， 对矿区地表下 沉预测的研究方法也有了很大发展。现阶段， 应用 较多的矿区地表下沉预计方法主要有基于经验的剖 面函数法和典型曲线法、 影响函数法 ［4］， 基于随机介 质理论的概率积分法 ［5-8］、 数值模拟方法［9-13］和相似 材料模拟方法 ［14］， 此外， 还有基于力学理论的岩层 移动预计方法 ［15］以及灰色系统理论［16］、 人工神经网 络 ［17］、 时间序列预测［18］等方法。该类方法虽然取得 37 ChaoXing 金属矿山2019年第10期总第520期 了一定的应用效果， 但存在模型复杂、 考虑的影响 因素多、 计算偏差大、 适用条件单一等不足， 在一定 程度上限制了在实践中的应用。为简化预计模型 的复杂性， 本研究建立了基于椭圆弹性薄板理论的 地表下沉预计模型， 并应用实测数据对该模型进行 验证。 1地表沉陷预计模型构建 1. 1基本假设 在弹性力学中， 两个平行面和垂直于这两个平 行面的柱面或棱柱面所围成的物体称为板， 平分板 厚度的平面称为中面， 板厚可以是常量， 也可以是变 量。所谓的薄板， 实际上是指板厚h与板的短边长f 之间满足1/100～1/80＜h/f＜1/8～1/5的板。薄板受到 的荷载可以分解为中面荷载及横向荷载， 对于横向 荷载引起的应力、 变形、 位移可以按薄板弯曲问题进 行计算。取板的中面为xoy平面，z轴垂直于中面与 xy轴成右手螺旋， 如图1所示。 当中面点下沉量w小于板厚h时， 有克希霍夫 （kirchhoff） 假定成立 （1） 中性面假设。板弯曲时， 板中面保持中性， 即板中面各点只有垂直位移， 无平行于中面的位移， 即板中面上各点沿x轴方向的位移u0， 沿y轴方 向的位移v0。 （2） 直法线假设。弯曲变形前垂直于薄板中面 的直线， 变形后仍为直线， 且长度不变， 仍垂直于弹 性曲面。由此可知， 板中面内任何点位的剪应变应 等于0。 （3） 不挤压假设。薄板各层纤维在变形前后均 互不挤压， 即垂直于板面的应力分量和应变分量可 忽略不计。 由于岩板是脆性材料， 其挠度必然小于岩层开采 厚度， 而岩板自身厚度又往往大于矿层开采厚度， 故 岩板挠度远远小于其厚度， 这符合薄板弯曲小挠度理 论的前提条件， 因此， 岩层移动分析选择薄板力学模 式是合适的。此外， 对于岩石材料而言， 其主要特点 是抗拉强度远小于抗剪强度和抗压强度， 因而岩石的 强度基本由其单轴抗拉强度控制， 最大拉应力是引起 岩体破坏的主要原因。对于脆性较大的岩石更具有 该特性， 故满足将岩板定义为薄板的几何条件 ［19-21］。 1. 2理论模型构建方法 矿体开采导致地面下沉， 形成下沉盆地， 主断面 内移动盆地边界可以认为呈椭圆形， 在最大下沉较小 的情况下， 可以采用薄板小挠度弯曲理论研究地表沉 陷问题。本研究将椭圆形弹性薄板挠度计算方法引 入沉降盆地主断面内各点下沉量计算中， 构建了基于 四周固定的椭圆薄板模型的地表下沉预计模型。如 图2所示， 图中q为薄板上方的横向载荷；w为地表 下沉量；a为走向主断面盆地半长， 即椭圆板长半轴； b为倾向主断面盆地半长， 即椭圆板短半轴。 地表下沉盆地的最大下沉点为原点o， 以工作面 走向为x轴， 倾向为y轴。根据弹性薄板理论得到地 表移动盆地的基本方程为 ∂4w ∂x4 2 ∂4w ∂x2∂y2 ∂4w ∂y4 q D ，（1） 式中，w为薄板挠度， 等价为地表下沉；D为抗弯刚 度。 弹性薄板的基本假设为 ■ ■ ■ σz0 γzxγzy0 ，（2） 式中，σz为垂直于板面的正应力；γzx为z方向与x 方向的剪应变；γzy为z方向与y方向的剪应变。 则形变势能为 U D 2∬S ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ∂2w ∂x2 ∂2w ∂y2 2 dxdy，（3） 式中，U为形变势能；S为下沉盆地区域。 外力势能V为 V-∬Sqwdxdy.（4） 总势能π为 πUV.（5） 38 ChaoXing 2019年第10期袁鑫等 基于弹性薄板理论的地表下沉预计模型 设位移函数为 wx,y ∑ m-1 n Amwmx,y，（6） 式中，wmx,y为x,y点的下沉值；Am为待定系数。 则外力势能表示为 V-∬SqAmwmx,y dxdy.（7） 根据弹性薄板的Ridz解法， 总势能的极值条件 为∂π ∂Am0， 并取m1， 即 ∂U ∂A1 -∬Sqw1x,y dxdy 0.（8） 根据下沉盆地主断面形状， 令 w1 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 1- x2 a2 - y2 b2 2 ，（9） 即 wA1■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 1- x2 a2 - y2 b2 2 ，（10） 式中a，b分别为走向和倾向主断面盆地半长， m。 通过积分运算得到 U8Dπ3a 4 2a2b23b4 6a3b3 A12，（11） ∬Sqw1dxdy πabq 3 .（12） 根据弹性薄板的Ridz解法， 有 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 8Dπ3a 4 2a2b23b4 6a3b3 A1- πabq 3 0 A1 q D■ ■ ■ ■ ■ ■ 24 a4 16 a2b2 24 b4 ， （13） 因此， 基于弹性椭圆薄板模型的地表下沉预计 模型的一级近似解为 w q D■ ■ ■ ■ ■ ■ 24 a4 16 a2b2 24 b4 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 1- x2 a2 - y2 b2 2 .（14） 1. 3确定下沉盆地模型 工作面走向方向、 倾向方向沉陷规律分别如图 3、 图4所示。图3中，d1为走向盆地半长；h0为平均 开采深度；wm为最大地表下沉值；δ0为工作面走向 边界角；L为沿走向的开采长度。图4中，d2为上山 盆地半长；d3为下山盆地半长；h2为上山开采深度； h3为下山开采深度；wm为最大地表下沉值；γ0为上 山边界角；β0为下山边界角；l为沿倾向的开采宽 度；α为矿体倾角；θ为最大下沉角。 在下沉盆地模型中将坐标原点设置在最大下沉 位置。本研究用最大下沉值wmmqcosα代替式 （10） 中的A1， 则下沉模型可以表示为 wwm■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 1- x2 a2 - y2 b2 2 .（15） 下沉盆地研究中可以认为走向主断面是左右对 称的， 而倾向主断面一般可以认为下山半长大于上 山半长， 则对于a和b的预计要有3个变量， 分别为 走向盆地半长d1， 上山盆地半长d2， 下山盆地半长 d3。该下沉盆地模型由两部分组成 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ w上wm■ ■ ■■ ■ ■ ■■ 1- x2 d2 1 - y2 d2 2 2 w下wm■ ■ ■■ ■ ■ ■■1- x2 d2 1 - y2 d2 3 2， （16） 式中，w上为上山盆地点的下沉值；w下为下山盆地点 的下沉值。 由图3和图4中的几何关系可得 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ d1 h0 tanδ0 L 2 d2 lcosα 2 h2h3 2tanθ h2 tanγ0 d3 lcosα 2 h2h3 2tanθ h3 tanβ0 .（17） 2模型验证 2. 1工作面地质概况 本研究选用位于山东省滕州市某煤矿的一个工 作面进行试验。该矿区地层属华北型， 矿区内地势 较为平坦， 地面标高平均为40.0 m， 地层由上而下 为第四系、 二叠系、 石炭系、 奥陶系等。该工作面开 39 ChaoXing 采三煤层， 煤层厚9～10 m， 走向N80W， 煤层倾角平 均4， 采用倾斜分层人工假顶下行陷落法开采， 沿走 向开采长度为L540 m， 沿倾向开采宽度为l136 m， 回风巷底板标高为-86.0 m， 运输巷底板标高为- 94.0 m。采煤工作面推进过程中， 共进行了18次水准 测量， 3次距离测量， 历时4 a。根据实测资料， 该工作 面走向边界角δ062， 上山边界角γ071， 下山边 界角β054， 平均开采深度h0130m， 上山开采深 度h2128m， 下山开采深度h3132m， 最大下沉值 为wm1 431mm。 2. 2开采沉陷预计结果 根据前期实测资料与式 （17） 可分别计算得到 d1339m，d2135m，d3141m。则本研究开采沉 陷预计模型可以表示为 ■ ■ ■ ■ ■■ ■ ■ ■■ ■ w上wm■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 1- x2 3392 - y2 1352 2 w下wm■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 1- x2 3392 - y2 1412 2 .（18） 根据式 （18） 预计模型与概率积分法 ［22-24］分别对 该工作面走向主断面与倾向主断面的下沉值进行了 计算， 并与实际下沉值进行比较， 结果如图5和图6 所示。 通过走向主断面的地表下沉曲线 （图5） 可知， 概 率积分法和基于椭圆弹性薄板模型的地表下沉预计 结果均与实测值趋势大体一致， 经过计算得到， 走向 主断面概率积分法预计中误差为175.2 mm， 椭圆 弹性薄板模型预计中误差为77.1 mm， 椭圆弹性薄 板模型的预计误差更小， 预计结果更加接近实测 值。在倾向主断面地表下沉预计中 （图6） ， 椭圆弹性 薄板模型表现出了更大的优势， 预计结果中误差 为69.9 mm， 而概率积分法预计中误差为447.7 mm， 椭圆弹性薄板模型预计误差相对于概率积分法 模型大大减小， 尤其对于地表距离较远的点位依然 保持较高的预计精度， 说明该模型在该工作面能够 成功预测走向和倾向主断面的地表下沉值。 3结论 （1） 将椭圆形弹性薄板挠度计算方法引入地表 下沉预计中， 基于弹性薄板理论建立了主断面地表 下沉预计模型， 给出了地表变形预计的表达式。 （2） 本研究构建的预计模型能够成功预测走向 和倾向主断面地表下沉值， 预计结果更加符合实际， 且模型直观简单， 便于在实际中应用。 （3） 利用该模型可以进一步预计地表任意点的 下沉值， 为预计全盆地地表下沉提供了有效方法。 参 考 文 献 Keinhorst H.Bei bodensenkungen auftretende bodenverschiebun- gen und bodenspannungen ［J］ .Gluckauf， 1928， 6445-65. 何国清， 杨伦， 凌赓娣， 等.矿山开采沉陷学 ［M］ .徐州中国矿 业大学出版社， 1991. 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