基于分形理论探究砂岩最小孔隙半径的最优区间_徐路路.pdf

第 47 卷 第 5 期 煤田地质与勘探 Vol. 47 No.5 2019 年 10 月 COAL GEOLOGY 2. Xi’an Research Institute Co. Ltd., China Coal Technology and Engineering Group Corp., Xi’an 710077, China; 3. College of Geoscience and Surveying Engineering, China University of Mining 4. College of Safety Engineering, North China Institute of Science and Technology, Beijing 101601, China Abstract Permeability is a main parameter for uation of water conductivity of porous media, and it is a macro- scopic feature of micro-pore structure of water-conducting media. To obtain the geometry parameters of microscopic pores, we pered scanning electron microscopySEM on sandstone samples. The image processing techniques were also applied in calculation of different statistical parameterse.g., fractal dimensions and geometrical parameters. Then, fractal theory was introduced to investigate the influence of micro pore structure on permeability. At the same time, the minimum pore radius rmin interval acting on the seepage was obtained by the measured permeability values. This interval can be used as the optimal interval of the minimum pore radius rmin when we have a prediction for per- meability. The corresponding percentage of pore accumulation interval was also determined. The results show that the value of minimum pore radius rmin of sandstone has a great influence on permeability. With increase of the value of minimum pore radius, its permeability decreases sharply at first, then tends to be stable gradually, is finally accompa- nied by an upward trend. In compact sandstone, when theoretical permeability is equivalent to measured one, the ChaoXing 第 5 期 徐路路等 基于分形理论探究砂岩最小孔隙半径的最优区间 17 minimum pore radius rmin falls within the interval of 15-25 of the cumulative percentage of pore radius, and the corresponding pore radius interval can be used as the optimal interval of the minimum pore radius rmin when we cal- culate the theoretical permeability of sandstone. Meanwhile, with the increase of the permeability of sandstone, cor- responding to the minimum pore radius, the cumulative percentage of pore radius increases. Keywords fractal theory; permeability; micro-pore structure; minimum pore radius rmin; image processing technology 渗透性是评价矿区水文地质条件的重要参数之 一，其渗透性能大小依赖于多孔介质的孔隙大小、 孔隙连通性等微观结构特征[1]。由于微观孔隙结构 的非规则性和复杂性，准确描述其微观结构始终是 一个具有挑战性的课题。 20 世纪 80 年代初期，分形理论的提出，让研 究各种杂乱复杂的自然现象成为了可能[2]。国内外 众多学者研究发现[3]天然多孔岩石往往具有良好 的分形特征。 D. Avnir 等[4]较早提出了岩土多孔介质 具有分形特征的概念；J. P. Hansen 等[5]利用盒子法 测得砂岩的分形维数；A. J. Katz 等[6]和 C. E. Krohn 等[7]利用 SEM 实验，并结合分形理论表征出砂岩的 孔隙结构。分形理论的引入，为准确描述多孔介质 的微观孔隙结构开辟了一条新道路，众多分形渗透 率模型也相继提出。 Xu Peng等[8]根据多孔介质的分形特征推导出 了多孔介质的渗透率解析表达式，并表示理论渗透 率与分形维数D和孔隙大小关系密切。 郑斌等[9]基于 Kozeny-CarmanKC方程建立了渗透率分形模型， 得到具有分形特征的KC常数， 并探究了在不同的最 小与最大孔隙半径之比λ下，KC常数与分形维数D间 的关系曲线。徐艳玲等[10]利用扫描电镜和Image-pro 图像识别技术得到砂岩微观孔隙结构参数，并通过 引入分形理论来表征孔隙结构，建立了分形渗透率 模型。综上所述，分形理论在多孔介质中的应用， 实际上是采用分形方法来表征多孔介质结构，进而 研究其传输性质，取得了较大的成功[11]。 由此可见，砂岩的渗透率主要取决于其微观孔 隙结构，通常引入分形理论来表征砂岩的微观孔隙 结构。然而，在研究微观孔隙结构对渗透率的影响 时，由于多孔介质中孔隙数量多，难以准确地统计 出孔隙结构等几何参数，对推导出的公式进行验证 时，也无法从砂岩的真实孔隙结构出发进行验证。 因此，基于砂岩真实微观孔隙结构，研究其分形特 性与渗透率间的关系鲜有报道；在统计出砂岩真实 微观孔隙几何参数下，探究最小孔隙半径 rmin取值 对渗透率影响的报道更是少之又少。 针对上述问题，通过扫描电镜实验获取砂岩微 观孔隙结构图像， 利用图像处理技术对 SEM 图像进 行识别，提取出砂岩微观结构中孔隙的几何参数； 再结合砂岩微观结构和分形特征与其渗透率之间的 关系式，探究最小孔隙半径 rmin取值对砂岩渗透率 的影响，并以实测渗透率为约束条件，确定了能对 渗流起作用的最小孔隙半径 rmin最优取值区间，并 获取了该区间对应下的孔隙半径累积百分数区间。 在对致密砂岩的渗透率进行预测时，该结论可以作 为最小孔隙半径 rmin的选取依据，以提高预测精度， 可以更好地指导工程实践。 1 砂岩孔隙结构图像的采集与处理 1.1 岩心试样的选择与制作 4 组砂岩岩心样取自华北石炭–二叠系上煤层， 编号为 ALYQ-01ALYQ-04。为了开展扫描电镜实 验，需对砂岩岩心进行制样处理。在每一组岩心上 随机挑选两个点，以该点为中心制成长、宽和高为 1.0 cm1.0 cm1.0 mm 的薄片， 共计8 个扫描电镜薄片。 将 4 个砂岩岩心样分别制成直径约 2.5 cm、高 约 2.5 cm 的小圆柱，用于覆压孔隙度–渗透率实验， 测定岩心的渗透率。 1.2 SEM 图像获取与处理 本次实验采用日立 Hitachi S-4800 型扫描电镜 直接观察砂岩的孔隙大小、连通性、孔径分布等样 品表面的微观形貌及微观结构。 对砂岩薄片表面进行扫描电镜实验，观察微 观孔隙结构。首先，用无水乙醇浸泡去除有机质 等杂质，通过吹气球吹去表面杂物，再用碳导电 胶带将薄片粘在样品托上。然后，对砂岩薄片表 面进行镀金处理，增强薄片表面导电性。最后， 进行薄片加载， 在 8 k 倍数下观察薄片微观孔隙结 构，并记录图像。本次实验，共获得 42 张扫描电 镜图像。 利用图像处理技术，识别砂岩的微观孔隙结 构。本文采用整体阈值法对 SEM 图像进行二值化 处理，将图像中的孔隙和岩石骨架区分开来。利用 式1和式2，以岩心实测孔隙度 Ф 为约束条件求 取阈值 k*。 当小灰度值表征孔隙时 MIN MAX MIN *min k i I I i I p i f kf k p i       1 ChaoXing 18 煤田地质与勘探 第 47 卷 当大灰度值表征孔隙时 MAX MAX MIN *min I i k I i I p i f kf k p i       2 式中 为砂岩试样实测孔隙度，k*代表灰度阈值， IMAX、IMIN分别表示图像的最大、最小灰度值，pi 是灰度值为 i 时的体素数。 通过整体阈值法选择出合适的阈值 k*， 对 SEM 图像进行阈值分割，得到 SEM 二值化图像。图 1 为 SEM 图像和二值化效果图， 白色表示砂岩微观孔 隙，黑色表示固体颗粒。 图 1 砂岩试样的 SEM 原始图像及其二值化效果图 Fig.1 SEM image of sandstone sample and its binarization effect 1.3 识别砂岩孔隙几何参数 利用图像处理技术对砂岩二值化图像进行识 别，统计出砂岩微观孔隙的周长、面积等几何参数。 接着计算出砂岩孔隙结构中所有孔隙的半径大小； 将孔隙半径按从大到小排列，得到最大孔隙半径 rmax与最小孔隙半径 rmin。然而，图像是由一系列像 素组成，对图像面积和周长的识别实质上是统计像 素的计数之和及边界像素的距离总和[12]，所得单位 为像素。因此，计算砂岩孔隙半径前，先对孔隙周 长和面积进行单位换算。 文中砂岩 SEM 图像大小为 1 280960 像素，分辨率为 96 dpi，结合 SEM 图像 的放大倍数为 8 k 可知在 SEM 图像中，每单位像 素表示的实际长度为 0.033 1 μm。 将计算得到的砂岩试样孔隙半径大小进行区 间划分，如图 2 所示。从图 2 可以看出，砂岩试样 微观孔隙半径大多数分布在5.015.010–2 μm 区 间中，孔隙半径分布不均匀，孔隙半径越大，数目 越少。 图 2 砂岩试样孔隙半径分布直方图 Fig.2 Histogram of pore radius distribution of sandstone samples 为了更好地评价砂岩试样孔隙半径分布情况， 基于计算得到的所有孔隙半径大小，绘出砂岩微观 孔隙半径累积百分数曲线图 3。 如图 3 所示，孔隙半径与孔隙半径累积百分数 间存在一一对应关系。不同的岩体中，孔隙大小差 异大，而孔隙半径累积百分数始终在 0100区间 内。因此，采用某一孔隙半径累积百分数对应下的 孔隙半径作为最小孔隙半径 rmin更具有研究意义和 推广价值。 图 3 砂岩微观孔隙半径累积百分数曲线 Fig.3 Cumulative percentage curve of microscopic pore radius of sandstone 2 砂岩孔隙结构的分形表征 国内外众多学者对岩体、土壤等天然多孔介质 进行了大量的研究，结果表明天然多孔介质孔隙 结构局部形态与整体形态相似， 具有分形特性[13-17]。 由分形理论可知，孔隙半径 r 与大于该半径 r 的孔 ChaoXing 第 5 期 徐路路等 基于分形理论探究砂岩最小孔隙半径的最优区间 19 隙累积数目 Nr呈幂函数关系[18]   d D r N rf rrr     3 式中 D 为孔隙结构分形维数， 反映孔隙分布复杂程 度；α 为分形系数，反映孔隙的发育程度；fr为孔 隙分布函数。 通过已计算得到的孔隙半径大小，统计出大于 孔隙半径 r 时的孔隙累积数目 Nr。如图 4 所示 在笛卡尔坐标系中，以孔隙半径 r 为横坐标，对应 的 Nr为纵坐标；通过幂函数拟合得到孔隙半径 r 与累积数目 Nr间的关系式，获取分形维数 D 和分 形系数 α。 砂岩试样曲线拟合得到的幂函数关系式及与之 对应的孔隙结构分形特征参数见表 1。 图 4 砂岩试样孔隙半径与累积数目拟合曲线 Fig.4 Fitting curves of pore radius and accumulative amount of sandstone sample 表 1 砂岩试样孔隙结构分形特征参数 Table 1 Fractal characteristic parameters of pore structure of sandstone samples 岩样编号 幂函数 分形系数α 分形维数 D 相关系数 R2 ALYQ-01 y7.010–5x–2.43 7.010–5 2.43 0.98 ALYQ-02 y5.010–5x–2.49 5.010–5 2.49 0.98 ALYQ-03 y2.010–5x–2.54 2.010–5 2.54 0.97 ALYQ-04 y3.010–4x–2.20 3.010–4 2.20 0.98 基于砂岩真实孔隙结构得到幂函数拟合曲线的 相关系数 R2高达 0.97 以上， 说明砂岩试样的孔隙结 构具有良好的分形特征，可以用分形理论很好地表 征砂岩微观孔隙结构。针对不同砂岩的孔隙结构， 具有不同的分形特性，且不同砂岩试样间的分形系 数差别很大。 3 砂岩渗透率的分形表达式 宏观渗透率是多孔介质微观孔隙结构输送性能 的具体表现形式。利用传统的毛管束模型表征砂岩 孔隙结构时，往往假设砂岩微观孔隙空间由等径的 平行毛管束组成。 然而实际岩体的孔隙大小不均匀、 孔隙分布不平行，传统毛管束模型存在一定的局限 性。从分形理论出发，假设毛管束是不等径、非平 行的前提下，建立新型毛管束模型，新型毛管束模 型更符合实际的岩体结构。 在分形理论中，孔隙半径 r 与孔隙累积数 N 存 在幂函数关系，如式3所示。将式3引入传统的毛 ChaoXing 20 煤田地质与勘探 第 47 卷 管束模型中，可以得到单位截面内半径在 rrdr 间的毛管个数表达式[9] 1 d d D N rDrr   4 根据 Posenille 定律， 单根毛管束流量表达式为 4 12 8 rpp q L   5 式中 p1和 p2分别代表进口端和出口端的压力；μ 为流体黏度；τ 为毛管束的迂曲度；L 表示毛管束长 度；r 为毛管束半径。 为求解多孔介质迂曲度，众多迂曲度模型相继 提出[19-22]。相比于传统迂曲度 τ 模型，A. Khabbazi 等[21]基于圆形颗粒的 Sierpinski 地毯自相似结构， 提出了适用于分形特征结构的迂曲度–孔隙度模型 44 1   6 式中 表示砂岩试样孔隙度。 结合 Posenille 定律，沿水力梯度流经某单元截 面 A 的总流量公式为 max min max 1 min 44 4 12 12 maxmin d d 8 84 D DD r r r r QqA N r rpp DrA r L ppAD rr DL              7 最后，结合 Darcy 公式，可得砂岩宏观渗透率 分形表达式 44 maxmin 8 4 DD D Krr D       8 上述公式中，孔隙结构几何参数 rmax、rmin和分 形特征参数 D、α 已知，迂曲度 τ 未知。为求出迂曲 度 τ， 同时得到砂岩试样的实测渗透率， 需对试样开 展覆压孔隙度–渗透率实验， 测定试样的孔隙度和渗 透率。 本次实验采用 AP-608 覆压孔隙度渗透率自动 测量仪对砂岩试样进行孔隙度和渗透率的测定。 AP-608 覆压孔隙度渗透率仪由美国 CORETEST 公 司设计和生产，具有模拟油藏压力条件下测量岩样 孔隙度和渗透率的功能。 孔隙度与实测渗透率 ks的测定结果如表 2 所 示。将孔隙度代入式6求出迂曲度 τ。再结合已 知的砂岩微观孔隙结构几何参数 rmin、 rmax和分形特 征参数 D 与 α，求出砂岩试样的理论渗透率。 由表 2 可知，通过理论计算的渗透率 kl远远大 于实验测定的渗透率 ks。这是由于在理论计算时， 砂岩孔隙空间被假设为由一根根毛管束构成，但真 实孔隙结构中往往存在较小的孔隙，这些孔隙半径 很小，无法对渗流起作用；再者，这些小孔隙的存 在，也会影响孔隙结构的分形表征。所以，在理论 计算渗透率时，需要确定出能对渗流起作用的最小 孔隙半径 rmin。 表 2 砂岩试样宏观渗透率理论计算值 Table 2 Theoretical calculation of macroscopic permeability of sandstone samples 岩样编号 rmax/10–2 μm rmin/10–2 μm 分形系数 分形维数 孔隙度/迂曲度 理论渗透率 kl/10 –3 μm2 实测渗透率 k s/10 –3 μm2 ALYQ-01 131.7 5.9 7.010–5 2.43 8.65 1.250.053 0.018 ALYQ-02 138.1 5.9 5.010–5 2.49 7.94 1.250.042 0.021 ALYQ-03 105.5 5.7 2.010–5 2.54 2.20 1.270.012 0.004 ALYQ-04 83.0 5.3 3.010–4 2.20 8.06 1.250.083 0.033 4 分析与讨论 由式8可知， 砂岩试样渗透率取决于最小孔隙半 径 rmin、最大孔隙半径 rmax以及反映砂岩微观孔隙结 构的分形特征参数 D 与 α。在研究孔隙半径大小与分 形特征参数对渗透率的影响时，国内外众多学者通常 从数学关系式出发，假设分形参数 D 和 α 为固定值， 探究孔隙半径的取值变化对渗透率的影响；或假设孔 隙半径大小一定，探究随着分形维数 D 的增大，砂岩 理论渗透率如何变化。而在这一过程中，往往忽略了 砂岩微观孔隙结构分形参数 D 与 α 的实际意义， 即为 砂岩微观孔隙结构复杂程度和孔隙发育程度的表征参 数。当孔隙半径大小取值变化时，砂岩的微观孔隙结 构改变，衡量孔隙结构复杂程度和孔隙发育程度的分 形参数 D 与 α 也会发生变化，反之亦然。 因此，在探究最小孔隙半径 rmin取值对渗透率 的影响时，应先考虑在最小孔隙半径 rmin变化下， 分形参数 D 和 α 的变化情况。在此基础上，再探究 最小孔隙半径 rmin与渗透率的变化关系。 根据孔隙半径累积百分数曲线图图3，选取孔 隙半径累积百分数分别为5、10、15、20、 25和30对应下的孔隙半径作为最小孔隙半径 rmin，结合拟合得到砂岩试样的 D 和 α，代入式8 计算出砂岩试样的理论渗透率 kl。如图6所示，4组 ChaoXing 第 5 期 徐路路等 基于分形理论探究砂岩最小孔隙半径的最优区间 21 砂岩试样的最小孔隙半径 rmin对应下的孔隙半径累 积百分数为横坐标，分形系数 α 与分形维数D 为纵 坐标，绘出分形特征参数 D 与 α 随着最小孔隙半径 rmin取值变化的关系曲线。 图 5 砂岩试样分形特征参数与最小孔隙半径 rmin的关系曲线 Fig.5 Relationship between the fractal parameters and the minimum pore rmin of sandstone samples 如图 5 所示，砂岩的真实孔隙结构中，随着所 选取能对渗流起作用的最小孔隙半径rmin值的增大， 分形系数 α 先以较快的速度减小， 后趋于平缓； 分形 维数 D 则先以较快的速度增加，后也趋于平缓。分 形系数 α 是衡量孔隙发育程度的参数， 而分形维数 D 表征孔隙结构的复杂性。说明随着最小孔隙半径 rmin 增大，孔隙发育程度降低，孔隙结构变得复杂。 4 个砂岩试样符合上述规律，但针对不同的砂 岩试样，由于微观孔隙结构存在差异，各个砂岩试 样分形维数 D 和分形系数 α 的大小不相同，且相差 较大。由式8可知砂岩的渗透率大小除取决于分 形维数 D 和分形系数 α 外，还与孔隙结构中的最大 孔隙半径 rmax和最小孔隙半径 rmin有关。在致密砂 岩中，探究对渗流起作用的最小孔隙半径 rmin的大 小至关重要。 为了使本次研究成果更具有推广价值， 利用孔隙半径大小与孔隙半径累积百分数具有一一 对应关系的特点，用孔隙半径累积百分数区间来表 示最小孔隙半径 rmin的最优取值区间。 如图 6 所示， 以孔隙半径累积百分数为横坐标， 对应的理论渗透率计算值为纵坐标，拟合出砂岩理 论渗透率随最小孔隙半径 rmin变化曲线，获得相应 的砂岩理论渗透率与最小孔隙半径 rmin间的拟合关 系式，以及最优最小孔隙半径 rmin,y对应的孔隙半径 累积百分数。 由图 6 可知，理论渗透率与最小孔隙半径 rmin的 相关系数 R2均大于 0.89。 表明砂岩试样理论渗透率与 最小孔隙半径 rmin具有良好的相关性。从图 6 可以看 出，最小孔隙半径 rmin的取值对砂岩渗透率的影响较 大，随着砂岩最小孔隙半径 rmin的增大，其渗透率先 急剧下降，后渐渐地趋于稳定，并伴有上升趋势。 从图 6 可以看出， 砂岩试样 ALYQ-01、 ALYQ-02 和 ALYQ-04 的实测渗透率点画线与拟合曲线的交 点落在孔隙半径累积百分数为 2025区间内； 试 样ALYQ-03的相交点在百分数为1520区间内。 定义实测渗透率与理论渗透率相等时的最小孔隙半 径 rmin为最优最小孔隙半径 rmin,y。各砂岩试样的 rmin,y相对应下的孔隙半径累积百分数大小关系为 ALQY-0423.3ALQY-0222ALQY-0121.7 ChaoXing 22 煤田地质与勘探 第 47 卷 ALQY-0315.5，且砂岩试样的实测渗透率大小关 系为ALQY-04ALQY-02ALQY-01ALQY-03。上 述结果表明砂岩的渗透率越大，rmin,y对应的孔隙半 径累积百分数越大。 图 6 砂岩理论渗透率随最小孔隙半径 rmin变化拟合曲线 Fig.6 Fitting curve of the variation of the theoretical permeability with with minimum pore radius rmin of sandstone sample 综上所述利用式8对致密砂岩宏观渗透率进 行预测时，最小孔隙半径 rmin的取值会严重影响到 预测精度，合理地选取 rmin至关重要。同时，在致 密砂岩中，最优最小孔隙半径 rmin,y一般在孔隙半径 累积百分数为 1525区间内， 并且随着渗透率的 增大，rmin,y对应的孔隙半径累积百分数越大，这一 结论对致密砂岩渗透率的预测具有指导意义。 5 结 论 a. 砂岩试样的孔隙结构具有良好的分形特征， 可 以用分形理论很好地表征砂岩的微观孔隙结构特征。 b. 在砂岩的真实孔隙结构中，随着最小孔隙半 径 rmin取值的增大，分形系数 α 先以较快的速度减 小，后趋于平缓；分形维数 D 则先以较快的速度增 加，后也趋于平缓。 c. 砂岩试样理论渗透率随最小孔隙半径 rmin取 值变化的拟合曲线，相关系数 R2均大于 0.89，表明 砂岩试样理论渗透率与最小孔隙半径 rmin的取值具 有良好的相关性。 d. 最小孔隙半径 rmin的取值对砂岩渗透率的影 响较大，随着砂岩最小孔隙半径 rmin取值的增大， 其渗透率先急剧下降，后渐渐地趋于稳定，并伴有 上升趋势。 e. 对致密砂岩渗透率进行预测时，可以选取孔 隙半径累积百分数为1525区间内的孔隙半径 作为最小孔隙半径 rmin计算值，与孔隙半径累积百 分数区间对应的孔隙半径区间称为最小孔隙半径 rmin的最优取值区间；且渗透率越大， 选取的最小孔 隙半径 rmin对应的孔隙半径累积百分数越高。 参考文献 [1] ZHANG Maohua，LI Hui. 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